Tóm tắt Luận văn Phép tính ma trận và ứng dụng

ọc Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép tính ma trận ứng dụng trong lĩnh vực phân tích nhiều chiều. Nó đề cập đến một số kí hiệu khác nhau mà sử dụng ma trận và vector để suy ra đạo hàm của mỗi thành phần của biến phụ thuộc đối với mỗi thành phần của biến độc lập. Các biến độc lập có thể là một vô hướng, một vector hay một ma trận trong khi biến phụ thuộc có thể là một trong số chúng cũng được. Trong toán học ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình ma trận có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao gồm lý thuyết điều khiển, hỗ trợ máy tính trong mô phỏng những hệ cỡ lớn thông qua giảm bậc, xử lý ảnh, mô phỏng hệ cơ cưỡng bức. Nghiệm của phương trình cho ta thông tin về tính ổn định của phương trình vi phân, phân tích giá trị riêng của ma trận và là công cụ trong điều khiển những hệ động lực mô tả mà phương trình trạng thái của nó là một phương trình vi phân đại số. Trong số đó thì phương trình Sylvester có vai trò quan trọng trong cả toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Vấn đề đặt ra ở đây là cần tìm lời giải cho phương trình ma trận nói trên. Có nhiều phương pháp để giải quyết trong đó không thể không đề cập tới vai trò của phép tích Kronecker và đạo hàm ma trận. Ngoài ra để tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phương bé nhất và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng hay ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận thì phép tính đạo hàm ma trận được ứng dụng rất nhiều và sử dụng đạo hàm ma trận để giải quyết các vấn đề trên cũng rất nhanh chóng và mang lại hiệu quả cao. 2 Với ý tưởng này tác giả đã lựa chọn đề tài “Phép tính ma trận và ứng dụng”. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tƣợng nghiên cứu: Phép tính ma trận. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS. Phan Đức Tuấn và các tài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính ma trận. Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, đánh giá, tổng hợp tư liệu và tiếp cận hệ thống. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ bản về tích Kronecker và đạo hàm ma trận. Đưa ra phương pháp giải quyết các bài toán phương trình ma trận, tính ma trận xấp xĩ ở bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận. Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành Toán. 3 6. Bố cục luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Phép tính ma trận. Chương 3. Ứng dụng. CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hàm vết (tr) và toán tử vec, hàm mũ ma trận. Trong đó có một số kí hiệu và một số kết quả mà có ích cho phát triển lý thuyết của tích Kronecker và đạo hàm ma trận trong các chương tiếp theo. 1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1.1. Một số định nghĩa ma trận 1.1.2. Các phép toán trên ma trận 1.1.3. Định thức 1.1.4. Ma trận nghịch đảo 1.1.5. Hạng của ma trận 1.1.6. Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.2. KHAI TRIỂN CỦA MỘT MA TRẬN 1.3. HÀM VẾT VÀ TOÁN TỬ VEC 1.3.1. Hàm vết (tr) 1.3.2. Toán tử vec 1.3.3. Ma trận hoán vị kết hợp vecX và TvecX 1.4. HÀM MŨ MA TRẬN 4 CHƢƠNG 2 PHÉP TÍNH MA TRẬN Trong chương này ta tìm hiểu một số phép tính ma trận trong đó tập trung vào phép tích Kronecker và phép đạo hàm ma trận. Cụ thể phần 2.1 sau giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của tích Kronecker có kèm theo phần chứng minh cụ thể. Và phần 2.2 thu thập một số công thức hữu ích về đạo hàm ma trận thường xuất hiện trong đạo hàm của các phần tử hữu hạn. 2.1. TÍCH KRONECKER 2.1.1. Định nghĩa tích Kronecker Xét ma trận ij m n A a      và ma trận ij .r s B b      Tích Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A B được xác định như ma trận sau: 11 12 1 21 22 2 ij 1 2 , n n m m mn a B a B a B a B a B a B A B a B a B a B a B                 (2.1) A B được xem là ma trận cấp ( ).mr ns Nó có mn khối, khối ở vị trí hàng i, cột j là ma trận ija B cấp .r s 2.1.2. Một số tính chất và quy tắc cho tích Kronecker Tính chất 2.1. ( ) ( )A B A B    ( là đại lượng vô hướng). (2.2) Tính chất 2.2. (i) ( ) ,A B C A C B C      (2.3) (ii) ( ) .A B C A B A C      (2.4) Tính chất 2.3. ( ) ( ) .A B C A B C     (2.5) 5 Tính chất 2.4. Tính chất 2.5. ( ) .T T TA B A B   (2.6) Tính chất 2.6. Cho các ma trận A cấp ( ),m n B cấp ( ),r s C cấp ( ),n p D cấp ( ).s t ( )( ) .A B C D AC BD    (2.7) Tính chất 2.7. Cho A là ma trận cấp ( )m m và B là ma trận cấp ( ),n n trong đó ,A B không suy biến. 1 1 1( ) .A B A B     (2.8) Tính chất 2.8. Cho hai ma trận A và B cùng cấp ( )n n ( ) ( ) .Tvec AXB B A vecX  (2.9) Tính chất 2.9. Nếu  i và  ix là các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của ma trận A cấp ( )n n . Nếu  j và  jy là các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của B cấp ( )m m . Khi đó, A B có các giá trị riêng  i j  và vector riêng tương ứng  i jx y . Tính chất 2.10. 1 2( )A B U B A U   (2.10) trong đó 1U và 2U là các ma trận hoán vị. Tính chất 2.11. Cho hai ma trận ij n n A a      và ij m m B b      , m n A B A B  (2.11) trong đó: A là định thức của .A Tính chất 2.12. Nếu là f hàm giải tích, ij n n A a      và tồn tại ( ).f A Khi đó: ( ) ( ),m mf I A I f A   (2.12) ( ) ( ) .m mf A I f A I   (2.13) Trường hợp riêng: Nếu ta cho ( ) zf z e . Khi đó: 6 I ,m A A me I e    (2.14) I .m A A me e I    (2.15) 2.1.3. Định nghĩa tổng Kronecker Xét ma trận ij n n A a      và ma trận ij .m m B b      Tổng Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A B được xác định bằng biểu thức: .m nA B A I I B     (2.16) Tính chất 2.13. Nếu  i và  j là các giá trị riêng tương ứng của A cấp ( )n n và B cấp ( ).m m Khi đó,  i j  là các giá trị riêng của .A B Tính chất 2.14. Cho A là ma trận cấp ( )n n và B là ma trận cấp ( )m m ( ) .exp A B expA expB   (2.17) 2.2. ĐẠO HÀM MA TRẬN 2.2.1. Đạo hàm của một ma trận Cho ma trận ij( ) ( ) , m n A t a t      đạo hàm của ma trận A đối với biến vô hướng t , kí hiệu: ( ) d A t dt hay dA dt hay ( )A t được định nghĩa như một ma trận ij( ) ( ) . d d A t a t dt dt        (2.18) Tính chất 2.15. Cho các ma trận ( )A t và ( )B t , ta có:   . d dA dB AB B A dt dt dt   (2.19) Ví dụ 2.4. Cho .C A B  Chứng minh rằng: , dC dA dB B A dt dt dt     (2.20) trong đó: các ma trận A và B là hàm của t (t là biến vô hướng). 7 2.2.2. Đạo hàm của các vector Cho các vector 1 2 n x x x x             và 1 2 . m y y y y             Khi đó ta có đạo hàm các vector như sau: (i) Đạo hàm của vector y đối với vector x là ma trận cấp ( )n m 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 . m m m n n n yy y x x x y yy y x x x x yy y x x x                                (2.21) (ii) Đạo hàm của một đại lượng vô hướng y đối với một vector x 1 2 . n y x y y x x y x                        (2.22) (iii) Đạo hàm của một vector y đối với một đại lượng vô hướng x 8 1 2 . m y x y y x x y x                       (2.23) 2.2.3. Jacobian của phép biến đổi một biến 2.2.4. Đạo hàm của một ma trận đối với một trong các phần tử của nó và ngƣợc lại Ta xét ma trận ij . m n X x      Đạo hàm của ma trận X đối với một trong các phần tử của nó rsx là: ,rs rs X E x    (2.24) trong đó: rsE là ma trận cơ sở cùng cấp với ,X 1, ; s 1, .r m n  Từ đó, suy ra . T T rs rs X E x    (2.25) Bây giờ, ta xét dạng tích các ma trận sau: Y AXB trong đó: ij m n X x      ; ij n qB b      ; ij l m A a      ; ij .l q Y y      Lúc này ta cần tìm rs Y x   và ijy X   ( rsx và ijy lần lượt là phần tử đặc trưng của X và Y). ij ij . T T y A E B X    (2.26) ( ijE là ma trận cơ sở cấp ( )l q cùng cấp với Y ) . 9 .rs rs Y AE B x    (2.27) ( rsE là ma trận cơ sở cấp ( )m n cùng cấp với ma trận X ). 2.2.5. Đạo hàm hàm vô hƣớng của ma trận đối với ma trận Cho ma trận ij m n X x      và ( )y f X là hàm vô hướng của .X Đạo hàm của y đối với X được xác định là ma trận cấp ( )m n như sau: 11 12 1 21 22 2 ij ij ij, 1 2 , n n i j m m mn y y y x x x y y y y y y x x x E X x x y y y x x x                                            (2.28) trong đó: ijE là ma trận cơ sở cấp ( ).m n 2.2.6. Đạo hàm của hàm vô hƣớng vết (tr) đối với ma trận. Cho ma trận ij , m n X x      Y là ma trận vuông và hàm .trY Khi đó đạo hàm của hàm trY đối với ma trận X được viết như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n m m mn trY trY trY x x x trY trY trY trY x x x X trY trY trY x x x                                    (2.29) Hay ( ) ( ) , rs trY trY X x          (2.30) 10 trong đó: vế phải của (2.30) là ma trận có cấp ( ),m n rsx là các phần tử ở vị trí hàng r, cột s của ma trận X  1, ; s 1, .r m n  Ví dụ 2.8. Hãy ước lượng ( ) . trY X   a) TY A X d) TY X X b) TY X A e) .T TY U XX c) XT TY U 2.2.7. Xác định đạo hàm của vecY vecX   cho phƣơng trình phức tạp hơn 2.2.8. Trạng thái ma trận chuyển tiếp Ma trận chuyển tiếp là khái niệm quan trọng trong lý thuyết điều khiển và phân tích không gian trạng thái của hệ bất kỳ. Trước tiên ta xét nghiệm của phương trình ma trận trạng thái thuần nhất được cho bởi: ( ) ( ) ,X t AX t (2.31) với điều kiện ban đầu 0(0) ,X X trong đó: A là ma trận cấp ( ).n n 0( ) . AtX t e X (2.32) Như vậy phương trình này cung cấp hệ thức giữa trạng thái ban đầu 0(0)X X tại 0 0t  và trạng thái ( )X t tại bất kỳ thời điểm t. Sự chuyển đổi từ trạng thái 0X đến ( )X t được thực hiện bởi hàm mũ ma trận .Ate Do đó hàm ma trận này được gọi là trạng thái ma trận chuyển tiếp và được ký hiệu bởi ( ).t Khi đó ( ) .Att e  Tính chất 2.16. (0) ,I  1( ) ( ),t t    1 2 2 1( ) ( ) ( )t t t t    11 Ngoài ra trạng thái ma trận chuyển tiếp luôn luôn thỏa mãn hệ thức sau: ( ) ( ) ( ) ( , ) . t A t t t t I        CHƢƠNG 3 ỨNG DỤNG 3.1. ỨNG DỤNG TÍCH KRONECKER Trong phần này xét một số ứng dụng của tích Kronecker trong việc giải một số dạng phương trình ma trận trong đó đặt biệt có phương trình ma trận Sylvester. Từ phương trình tổng quát này ta có thể giải một số phương trình ma trận dạng tương tự. 3.1.1. Nghiệm của + AX XB C Xác định điều kiện để phương trình Sylvester + ,AX XB C (3.1) có nghiệm duy nhất. Trong đó A : là ma trận cấp ( );n n B là ma trận cấp ( m m ); C là ma trận cấp ( ).n m Phương pháp giải. Ta sử dụng toán tử vec trên (3.1) : ( + ) = vec AX XB vecC ( ) + ( ) = TI A vecX B I vecX vecC   (theo (2.9)) ( ) .TB A vecX vecC   (theo (2.16)) Khi đó ta viết phương trình (3.1) về dạng: ,Gx c (3.2) 12 trong đó: ; c T T n mG B A B I I A x vecX vecC           Gọi i là các giá trị riêng của A j là các giá trị riêng của B cũng là giá trị riêng của . TB Theo Tính chất 2.13 thì các giá trị riêng của G là:  .i j  Phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất:  G không suy biến.  Tất cả các giá riêng của G khác 0.    0i j   (tất cả i và j ). Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất:  A và (-B) không có giá trị riêng chung. Ngược lại, A và (-B) có chung các giá trị riêng. Khi đó tồn tại nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận mở rộng  .G c Nếu    rank G c rank G khi đó nghiệm tồn tại, ngược lại hệ phương trình + AX XB C là không phù hợp. Ví dụ 3.1. Tìm nghiệm của phương trình .AX XB C  Cho biết: (a) 1 1 0 2 A        ; 3 4 1 0 B        ; 1 3 . 2 2 C        (b) 1 1 0 2 A        ; 3 4 0 1 B        ; 0 5 . 2 9 C        Giải. Ta kí hiệu 1 3 2 4 . x x X x x        13 Khi đó  1 2 3 4 . T x vecX x x x x  (a) Các giá trị riêng của A : 1; 2 .   Các giá trị riêng của B : 1; 4.    Nhận thấy A và B không có giá trị riêng chung. Ta viết phương trình về dạng (3.2): Gx c trong đó: 2 2 ; c T TG B A B I I A x vecX vecC           Ta có 2 1 1 0 0 1 0 1 . 4 0 1 1 0 4 0 2 G                  1 2 3 2 . TTc vecC   Khi đó 1 2 3 4 2 1 1 0 1 0 1 0 1 2 4 0 1 1 3 0 4 0 2 2 x x x x                                  1 2 3 2 4 1 3 4 2 4 2 1 + 2 4 = 3 4 + 2 2. x x x x x x x x x x               1 2 3 4 = 0 1 = 2 1. x x x x          Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0 2 . 1 1 X        (b) Các giá trị riêng của A : 1; 2 .   Các giá trị riêng của B : 1; 3.     Nhận thấy A và B có giá trị riêng chung ( 1).  Ta viết phương trình về dạng (3.2): 14 ,Gx c 2 1 0 0 0 1 0 1 . 4 0 0 1 0 4 0 1 G                  0 2 5 9 . TTc vecC  Khi đó 1 2 3 4 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 4 0 0 1 5 0 4 0 1 9 x x x x                                  Nhận thấy     3r G r G c  (< số ẩn). Mà G là ma trận suy biến. Do đó hệ có ít nhất một nghiệm tồn tại 1 2 2 4 4 2 0 2 = 1 1 x x x x x            1 2 4 3 = 1 2 = 1 , R. x x x x             Chọn 0 1      3 3 0 1. x x     Vậy hệ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là: 1 1 0 2 1 X         và 2 1 1 . 2 1 X         3.1.2. Nghiệm của AX XA X  Xác định điều kiện để phương trình ,AX XA X  (3.3) có một nghiệm không tầm thường. Trong đó: A là ma trận cấp ( ).n n 15 Phương pháp giải. Ta sử dụng toán tử vec trên (3.3): Khi đó ta viết phương trình (3.3) về dạng: ,Hx x (3.4) trong đó: . TH I A A I x vecX        Phương trình (3.4) có một nghiệm không tầm thường: 0,I H    là giá trị riêng của .H Theo Tính chất 2.13 các giá trị riêng của H là  ( ) ,i j  trong đó i là các giá trị riêng của .A Do đó phương trình đã cho có một nghiệm không tầm thường: .i j     Ví dụ 3.2. Xác định nghiệm của phương trình .AX XA X  Cho 1 0 2 3 A        và 2.   3.1.3. Nghiệm của + ; (0) = .X AX XB X C Giải phương trình + ; (0) = ,X AX XB X C (3.5) trong đó ( ),A n n ( ),B m m ( ).X n m Phương pháp giải. Trước tiên ta nhắc lại công thức nghiệm của phương trình vi phân ma trận dạng , x(0) = cx Ax (3.6) là: exp( ) .x At c (3.7) Ta sử dụng toán tử vec trên (3.5), ta được: , x(0) = c,x Gx (3.8) 16 trong đó: , c . T T m nG B A I A B I x vecX vecC           Theo (3.6) và (3.7) thì nghiệm của (3.8) là: exp( )x Gt c  exp Tm nvecX I A B I t vecC       = exp ) ( Tm nI A t B I t vecC      = exp( ) exp( ) .Tm nI A t B I t vecC    Theo (2.14) và (2.15):  exp( ) exp( ) .Tm nvecX I At B t I vecC     (3.9) Ngoài ra, ta chứng minh được: ( )TvecAB B I vecA  (3.10) ( ) .vecAB I A vecB  (3.11) Theo (3.10):  exp( ) exp( ) .T TnB t I vecC vec C B t     Mà exp( ) exp( ).TB t Bt        exp( ) exp( ) .T nB t I vecC vec C Bt   (3.12) Thay (3.12) vào (3.9) :    exp( ) exp( ) .mvecX I At vec C Bt  Sử dụng (3.11), ta tìm được:  exp( ) exp( ) .vecX vec At C Bt Vậy exp( ) exp( ).X At C Bt (3.13) Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm của phương trình + X AX XB ; ( ) 0.X C  Cho 1 1 0 2 A        ; 1 0 0 1 B        ; 2 0 . 1 1 C        17 Giải. Nghiệm của phương trình đã cho có dạng: exp( ) exp( ).X At C Bt * Tính được 2 2 ; 0 t t t t e e e expAt e         0 ( ) . 0 t Bt t e exp Bt e e          Vậy 2 3 3 1 . t t t t t e e e X e e           3.1.4. Tìm ma trận chuyển tiếp kết hợp với phƣơng trình = + .X AX XB Cho A và B lần lượt là các ma trận cấp ( )n n và ( ).m m Phương pháp giải. Trước tiên, ta xét phương trình ma trận trạng thái thuần nhất ( )X A t X Ma trận chuyển tiếp là 1( , )t  hay 1 , có hai tính chất sau: 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) . t A t t t t I          (3.14) Nếu A là ma trận không đổi, ta dễ dàng chỉ ra rằng: 1 exp( ) . AtAt e   Tương tự, ta xét phương trình ( )X XB t X ( ) .T T TB t X  Khi đó ma trận chuyển tiếp 2 ( , )t  có tính chất là: 2 2. TB  (3.15) Bây giờ, ta kí hiệu  là ma trận chuyển tiếp đối với phương trình = + .X AX XB 18 Ta viết phương trình đã cho về dạng: x Gx trong đó: ; .T Tm nG I A B I B A x vecX       Xác định ma trận chuyển tiếp  như sau: ( ) TGt B A te e   TB t Ate e   (theo (2.17)) 2 1 ( , ) ( , ) ( , ).t t t        (3.16) Để cho đơn giản ta kí hiệu thay  cho ( , ).t  Suy ra 2 1 2 1( , )t         (theo (2.20)) 2 1 2 1( ) ( ) TB A       (theo (3.14) và (3.15)) 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) TB I I A       (do ( , ) 1t t I   ) 2 1 2 1( )( ) ( )( ) TB I I A         (theo (2.7))  2 1( ) ( ) . TB I I A         Do đó .G  (3.17) Ngoài ra 2 1( , ) ( , ) ( , ) .t t t t t t I I I       (3.18) Qua (3.17) và (3.18) chứng tỏ rằng  là ma trận chuyển tiếp đối với = + .X AX XB Ví dụ 3.4. Tìm ma trận chuyển tiếp đối với phương trình: = + .X AX XB (3.19) Cho 1 1 0 2 A        và 1 0 . 0 1 B        3.1.5. Nghiệm của phƣơng trình AXB C 3.2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM MA TRẬN 3.2.1. Các vấn đề về bình phƣơng bé nhất và tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc trong các biến vô hƣớng. 19 a. Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho quan hệ tuyến tính giữa x và y. b. Phương pháp nhân tử Lagrange 3.2.2. Tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phƣơng bé nhất và tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc. Ta biểu diễn phần dư (hay độ lệch) ở dạng của ma trận E như sau: ,E A X  (3.20) trong đó: ij ;E e    ij ;A a     ij .X x     Khi đó, tổng bình phương các phần dư là: .TS trE E (3.21) Tiêu chuẩn của phương pháp bình phương bé nhất là tổng ở (3.21) nhỏ nhất. Bài toán tối ưu được ràng buộc khi đó đưa về dạng tìm ma trận X mà hàm ma trận vô hướng ( )S f X nhỏ nhất tùy thuộc các ràng buộc trên X ở dạng: ( ) 0G X  (3.22) (Đây còn được gọi là phương trình ràng buộc), trong đó: ij , r s G g      s, r phụ thuộc vào số lượng các ràng buộc ij.g Đối với trường hợp vô hướng, nhân tử Lagrange ở dạng hàm ma trận bổ trợ (hàm Lagrange) *( ).f X Mỗi ràng buộc ijg được kết hợp với một tham số (nhân tử Lagrange) kí hiệu ij. Từ đó ij ij ij 1 1 1 1 ( ) m n m n T T ji j i j i g U g trU G        ij( ).r sU      20 Vậy hàm ma trận bổ trợ có thể viết như sau: ij ij( ) ( )f X f X g    ( ) + .T Tf X trE E trU G  (3.23) Cuối cùng, để tìm X tối ưu, ta giải hệ phương trình sau: ( ) 0 ( ) 0. f X X G X       (3.24) Bây giờ ta xét bài toán với các ràng buộc cụ thể như sau: Cho ma trận không suy biến ij . n n A a      Xác định ma trận ijX x     mà bình phương bé nhất xấp xỉ đến .A (a) Khi X là ma trận đối xứng (b) Khi X là ma trận trực giao. Phương pháp giải. (a) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là: E A X  .T T TE A X   Mà TX X (Vì X là ma trận đối xứng). Nên phương trình ràng buộc có dạng: ( ) 0.TG X X X   Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:  ( ) .T T T Tf X tr A X A X trU X X            Theo (3.24): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. T T T T T T T f X trA A trA X trX A X X X X trX X trU X trU X X X X                      ( ) 0 2 0T f X A A X U U X           21 ( ) 2 2 0T f X A X U U X          . 2 TU U X A     (3.25) Khi đó . 2 2 T T T T TU U U UX A A           (3.26) Ta lấy (3.25) + (3.26): 2 2 T T T T U U U UX X A A         1 . 2 TX A A   Như vậy xấp xỉ A với ma trận đối xứng, ma trận tối ưu theo tiêu chuẩn bình phương bé nhất là trung bình cộng các phần tử của A và các phần tử của .TA (b) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là: E A X  .T T TE A X   Mà TX X I (Vì X là ma trận trực giao). Nên phương trình ràng buộc có dạng: ( ) 0.TG X XX I   Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:  ( ) T T T Tf X tr A X A X trU XX I            ( ) .T T T T T T Tf X trA A trA X trX A trX X trU XX trU I       Theo (3.24): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. T T T T T T T f X trA A trA X trX A X X X X trX X trU XX trU I X X X                      22 ( ) 2 2 0T f X A X X U U X           . 2 TU U X A X          Nhân hai vế với ,TX ta được: . 2 T T T T U UX X X A X X         2 T T U UI X A I          ( ).Tdo X X I . 2 T T U UX A I          (3.27) Ta chuyển vị hai vế: . 2 T T U UA X I         (3.28) Từ (3.27) và (3.28), suy ra: .T TX A A X (3.29) Bây giờ ta giải phương trình (3.29) để tìm X. Ta lấy vec hai vế (3.29): T TvecX A vecA X ( ) ( ) .T T TA I vecX I A vecX    Mà TvecX UvecX (U là ma trận hoán vị). Suy ra ( ) ( )T TA I UvecX I A vecX   ( ) ( ) 0.T TI A A I U x       (3.30) Vậy ta đã rút gọn phương trình ma trận thành hệ phương trình thuần nhất. Lúc này ta giải (3.30) để tìm nghiệm độc lập tuyến tính và chọn nghiệm tương ứng để X là ma trận trực giao. 23 Ví dụ 3.7. Cho 1 2 . 1 1 A        Tìm ma trận trực giao X mà bình phương bé nhất xấp xỉ đến A. 3.2.3. Ƣớc lƣợng Jacobian của một số phép biến đổi Xét một số bài toán sau: Bài toán 3.1. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính tổng quát ,Y AXB (3.31) với A , X , B là các ma trận cấp ( ),n n không suy biến. Giải. Phương trình (3.31) được viết lại như sau: ,y Px trong đó ; x = .T y vecY vecX P B A     Khi đó ( ) ( )T T T T y Px P B A B A x x           và 1 1 1( ) .T T T x B A B A y          Vậy ước lượng Jacobian của phép biến đổi trên là: 1 1 1 .T y vecY J B A x vecX           nn TJ B A   (theo (2.11)) . n n J B A    (3.32) Bài toán 3.2. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính ,Y AX (3.33) trong đó: , YX là các ma trận cấp .m n A là ma trận cấp ,n n không suy biến. Bài toán 3.3. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính 24 ,Y XB (3.34) với , YX là các ma trận cấp ( ),m n B là ma trận cấp ( )n n không suy biến. KẾT LUẬN Qua quá trình nghiên cứu đề tài luận văn của tác giả đã thu được một số kêt quả sau: 1. Đã hệ thống được một số kiến thức cơ bản về phép tính ma