Tổng hợp các bài hình học thi vào lớp 10 năm 2017 - 2018

. Do đó (đvdt). 5 . CHUYEN KIÊN GIANG Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O) đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh rằng ABCF là tứ giác nội tiếp. Chứng minh rằng và tam giác DEC vuông cân. Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh rằng CEDH là hình vuông. HD: (hình vẽ: 0,5 điểm, vẽ hình cho câu a) (giả thiết) (góc chắn nửa đường tròn) Tứ giác ABCF nội tiếp do A và F cùng nhìn đoạn BC góc bằng nhau . Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCF là góc nội tiếp chắn cung là góc nội tiếp chắn cung Vậy . Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (tam giác ABC vuông cân) Vậy tam giác DEC vuông cân Vậy Ta lại có tam giác DHC vuông nên hai tam giác DEC và DCH đều vuông cân Tứ giác CEDH là hình vuông. 6. CHUYEN LS THANH HÓA (ĐỀ CHUNG) Câu 4(3 điểm) : Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB khác BC. Trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vuông ABDE, BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng qua I vuông góc với EF cắt BD và AB tại M và N. CMR: a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E, M, F cùng thuộc 1 đường tròn. c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy HD a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp ABCD là hình vuông => (1) MN^EF => (2) Từ (1) và (2) => => Tứ giác AEIN nội tiếp. ABCD là hình vuông => (3) MN^EF => (2) Từ (3) và (4) => => Tứ giác EMDI nội tiếp đường tròn đường kính EM b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn. *) CM : 3 điểm A, I, D thẳng hàng AB = AE => A thuộc đường trung trực của EB (5) DB = DE => D thuộc đường trung trực của EB (6) DDIE và DDIB có DE = DB(gt); (gt) ; DI chung => DDIE = DDIB (c.g.c) => IE = IB => I thuộc đường trung trực của EB (7) Từ 5,6,7 => A, I, D thuộc đường trung trực của EB nên 3 điểm A, I, D thẳng hàng *) CM : B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn. Tứ giác AEIN nội tiếp (CM trên) => (8) Tứ giác EMDF nội tiếp (CM trên) => (9) Từ 8, 9 =>DEMN vuông cân tại E , có EI là đường cao => Đồng thời là đường trung tuyến => IE = IN (10) Từ 7,10 => IE = IB = IN => B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn (I) c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy DADC có DB^AC; (11) CK ^ BF mà => BF//AD => CK ^ AD (12) Từ 11,12 => K là trực tâm tam giác ADC => AK DC tại Q ta chứng minh Q thuộc EF. Tứ giác AEDQ nội tiếp (Vì : ) => (13) Ta có KC//BE mà KC đi qua trung điểm của BF => đi qua trung điểm I của EF => C, K, I thẳng hàng => KI^AD => Tứ giác ABKI nội tiếp => (14) DIE = DIB => (15) Từ 13,14,15 => => Q thuộc EI Hay E, Q F thẳng hàng tức là AK ; CD; EF đồng quy 7. VÒNG 1 – CHUYÊN SP Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O) 1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1 2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH BM HD: Bài 4: 1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC1A1C nội tiếp suy ra DA.DC = DC1.DA1 tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX. DB Vậy DX.DB = DC1.DA1 2) Vì : DX.DB = DC1.DA1 nên tứ giác A1BX C1 nội tiếp suy ra BXC1 + BA1C1 =1800 do tứ giác BA1 HC1 nội tiếp BA1C1 = BHC1 nên tứ giác BXC1 H nội tiếp suy ra BXH =900 vậy HXBD (1) kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàngtứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =900 vậy EX BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng vậy MX BD lại có BHDM nên H là trực tâm tam giác DBM suy ra DHBM 8. ĐỀ HÀ NAM Câu 4 (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy C thuộc (O) (C không trùng với A, B), M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BM cắt nhau tại K. Chứng minh và DABI cân. Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đường thẳng NI là tiếp tuyến của (B, BA) và NI ^ MO Đường tròn ngoại tiếp DBIK cắt đường tròn (B, BA) tại D (D không trùng với I). Chứng minh A, C, D thẳng hàng. 9. ĐỀ ĐỒNG THÁP Câu 5: (1,5 điểm) Một toà nhà có bóng in trên mặt đất dài 16 mét, cùng thời điểm đó một chiếc cọc (được cấm thẳng đứng trên mặt đất) cao 1 mét có bóng in trên mặt đất dài 1,6 mét. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ). Tính chiều cao toà nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Giải: Như hình vẽ: AB là chiều cao của toà nhà. AC= 16m là bóng của toà nhà in trên mặt đất. HK= 1m là chiều cao của cọc. HC=1,6 m là bóng của cọc in trên mặt đất. Tam giác CHK vuông tại H, có: Tam giác ABC vuông tại A, có m. Câu 6: (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt cạnh BC tại D. Tính số đo cung nhỏ AD. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AC tại E. Tứ giác AODE là hình gì? Giải thích vì sao. Chứng minh OE// BC. Gọi F là giao điểm của BE với đường tròn (O). Chứng minh CDFE là tứ giác nội tiếp. Giải: a) Tam giác ABC vuông cân tại A, nên Mà sđ (tính chất góc nội tiếp) sđ b) Tứ giác AODE là hình vuông. Vì: (gt) (do DE là tiếp tuyến) (do tam giác OBD cũng vuông cân) và OA= OD (bán kính của (O)) c)Ta có: và Do đó: , ở vị trí trong cùng phía. Vậy OE// BC d)Xét tứ giác CDFE có là góc ngoài tại đỉnh F, (cùng chắn cung BD) Tam giác ABC vuông cân tại A, nên . Suy ra: =(góc ngoài tại đỉnh F của tứ giác bằng với góc C). Vậy tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp. 10. ĐỀ NAM ĐỊNH Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tòn (O) (K ≠ B). 1) Chứng minh AE2 = EK . EB. 2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn. 3) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh . HD 1) Chứng minh AE2 = EK . EB. + Chỉ ra tam giác AEB vuông tại A. + Chi ra góc AKB = 900 suy ra AK là đường cao của tam giác vuông AEB. + Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông AEB ta có AE2 = EK . EB 2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn. + Chỉ ra tứ giác AHKE nội tiếp suy ra góc EHK = góc EAK + Chỉ ra góc EAK = góc EBA + Suy ra tứ giác BOHK nội tiếp suy ra 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn 3) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh . + Chỉ ra tam giác OEM cân tại E suy ra ME = MO. + Chỉ ra OM // AE, áp dụng định lý ta – lét trong tam giác CEA ta có + Ta có Mà ME = MO nên suy ra (đpcm) 11. ĐỀ LẠNG SƠN Câu 4 (4 điểm)Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C). Gọi E là trung điểm của dây BC. a. Chứng minh: MAOE là tứ giác nội tiếp; b. MO cắt đường tròn tại I (I nằm giữa M và O). Tính c. Tia phân giác goc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh: . HD a. Do E là trung điểm của dây cung BC nên OEM = 900(Quan hệ giữa đường kính và dây cung) Do MA là tiếp tuyến nên OAM = 900, tứ giác MAOE có OEM+OAM=1800 nên nội tiếp đường tròn b. Ta có : 2.MAI = AOI (cùng chắn cung AI) Mà AOI + AMO = 900 ( Do tam giác MAO vuông tại A ) => AMI + 2.MAI = 900 c. Do (g.g) nên Gọi K giao điểm của phân giác AD với đường tròn (O) Có MDA = (Sđ KC +Sđ BA ) : 2 = (Sđ KB +Sđ BA ) : 2 = Sđ KA : 2 ( Vì AD là phân giác góc BAC nên cung KB = cung KC) Mặt khác: MAD = Sđ KA : 2 ( Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) nên cân : MA = MD Vậy 12. CHUYÊN KHÁNH HÒA Bài 4. (3,00 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên AD, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và M là trung điểm của BC. 1) Chứng minh đồng dạng với . 2) Từ C vẽ CF vuông góc với AD . Chứng minh M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB. Chứng minh . Bài 5. (1,00 điểm) Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. HD : Bài 4.3 Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB. Chứng minh . Hướng dẫn : Gọi G là trọng tâm . Khi đó O thuộc 1 trong 3 miền tam giác : , , . Không mất tổng quát, giả sử O thuộc miền (kể cả biên) + C/m được : + Vì . Bài 5 Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. Hướng dẫn : 1/ Chỉ có 1 điểm màu đỏ hoặc màu xanh khi đó luôn tìm được 3 đỉnh còn lại của hình vuông cùng màu à bài toán luôn xảy ra. 2/ Có 2 điểm phân biệt cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh. Giả sử A, B là 2 điểm phân biệt cùng màu đỏ. Ta vẽ một hình vuông ABCD tâm O. + Nếu C màu đỏ thì vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. Tương tự đối với D. + Nếu C, D cùng màu xanh. Khi đó, nếu O màu đỏ thì vuông cân có 3 đỉnh cùng màu đỏ. Còn nếu O màu xanh thì vuông cân có 3 đỉnh cùng màu xanh. Tóm lại trong tất cả các trường hợp, ta đều tìm được một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. 13. ĐỀ BÌNH DƯƠNG Bài 5. (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên tia OA lấy điểm C sao cho AC = AO. Từ C kẻ tiếp tuyến CD với (O) (D là tiếp điểm) 1/ Chứng minh tam giác ADO là tam giác đều 2/ Kẻ tia Ax song song với CD, cắt DB tại I và cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác AIB là tam giác cân. 3/ Chứng minh tứ giác ADIO là tứ giác nội tiếp 4/ Chứng minh OE DB HD Bài 4. (2 điểm) 1/ Ta có CD là tiếp tuyến của (O) (gt) →CD OD →DOC vuông tại D mà AC = AO (gt) →DA là đường trung tuyến của DOC →DA = OC (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) →DA = OA = OD →ADO là tam giác đều 2/ Cách 1: Ta có DA = OC (chứng minh trên) AC = AD→ ADC cân tại A→ DCA = CDA mà DCA = xAB (đồng vị của Ax // CD) và CDA = ABD (cùng chắn cung AD) xAB = ABD hay IAB = ABI→ AIB cân tại I Cách 2: Ta có Ax // CD (gt) và CD OD (Chứng minh trên) →Ax OD →Ax là đường cao của ADO →Ax đồng thời là đường phân giác của ADO →DAx = BAx mà DAx = CDA (So le trong của Ax //CD) và CDA = ABD (cùng chắn cung AD) → BAx = ABD hay IAB = ABI → AIB cân tại I 3/ Ta có AIB cân tại I (chứng minh trên) và OA = OB (bán kính) IO là đường trung tuyến và đồng thời là đường cao của AIB→ IO AB → IOA = 900 Ta có ADB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ADI = 900 IOA + ADI = 900 + 900 = 1800→ Tứ giác ADIO nội tiếp 4/ Ta có Ax là đường phân giác của ADO (chứng minh trên) DAx = BAx→ sđcungDE = sđcungBE→ cungDE = cungBE → DE = BE mà OD = OB (bán kính)→ OE là đường trung trực của BE →OE BD 14. ĐỀ BÌNH ĐỊNH Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M(khác điểm O), đường thẳng CM cắt CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P. a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được trong đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình gì? c) Chứng minh tích CM.CN không đổi. d) Chứng minh khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 4: (4,0 điểm) a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được trong đường tròn. Ta có: Tứ giác OMNP nội tiếp được trong đường tròn đường kính OP b) Tứ giác CMPO là hình gì? Ta có: MP//CO (vì cùng vuông góc với AB) (1) (cặp góc so le trong) Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung MO của đường tròn đường kính OP) Lại có: (vì tam giác ONC cân tại O) Do đó: MC//PO (2) Từ (1) và (2) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Chứng minh tích CM.CN không đổi. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét: CND và COM có: và : chung : không đổi d) Chứng minh khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đường thẳng cố định. Ta có: (so le trong và MC//OP) Mà: (cmt) Do đó: Xét: PDO và PNO có: ON = OD(= R); (cmt); OP: cạnh chung PDO = PNO(c – g – c) Mà: C, D là hai điểm cố định đường thẳng PD cố định Vậy: khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đường thẳng PD cố định. 15. ĐỀ CHUYÊN HÀ TĨNH HD 16 . ĐỀ THÁI NGUYÊN Bài 9: (1 điểm) Cho đường tròn (I,R), biết R =3cm. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (A,B là các tiếp điểm). Cho biết diện tích tứ giác MAIB là 12cm2. Tính độ dài đoạn thẳng MI. Bài 10: (1 điểm) Cho đường tròn (O,R) và dây cung CD cố định không đi qua O, cho A và B di động  trên cung lớn CD sao cho CA và DB luôn song song với nhau. Gọi M là giao điểm AD và BC. CMR: a) Các điểm C, D, O, M cùng nằm trên một đường tròn. b)  17. ĐỀ CHUYÊN HÀ NỘI Bài IV ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt các đường thẳng BO, CO lần lượt tại E, F. Chứng minh hai góc bằng nhau hoặc bù nhau. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng. Bài V ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho sáu điểm A1, A2, A3,A6 trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba điểm bất kỳ trong số sáu điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 671. Chứng minh trong số A1, A2, A3,A6 đã cho, luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013 HD: Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (1 điểm) Từ chứng minh trên suy ra 4 điểm O, N, E, C cùng thuộc một đường tròn ⟹=900 (1) Tương tự 4 điểm O,P,F,B cùng thuộc một đường tròn⟹=900(2). Từ (1) và (3) suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp Chứng minh O,M,K thẳng hàng (1 điểm) Gọi I là giao điểm của CE và BF. Bốn điểm O,N,E,C thuộc một đường tròn ⟹=900 ⟹ BE ^ CI Tương tự CF^BI⟹O là trực tâm của tam giác IBC⟹I,O,M thẳng hàng (3) Tứ giác OEIF nội tiếp đường tròn đường kính OI ⟹I,O,K thẳng hàng (4) Từ () và () suy ra O,M,K thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại tam giác (1 điểm) Với Ai, Ak bất kỳ (1≤i<k≤6) ta quy định : + Nếu AiAk<671 thì Ai, Ak được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu xanh +Nếu AiAk≥671 thì Ai, Ak được nối với nhau bởi đoạn thẳng màu đỏ Xét 5 đoạn thẳng A1A2, A1A3, A1A6. Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại 3 đoạn thẳng cùng màu. Không mất tính tổng quát, giả sử ba đoạn đó là A1A2, A1A3,A1A4 Trường hợp 1: ba đoạn A1A2, A1A3,A1A4 cùng màu xanh. Do tồn tại một canh trong DA2A3A4 có màu xanh, chẳng hạn A2A3⟹DA1A2A3 thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Ba đoạn A1A2, A1A3,A1A4 cùng màu đỏ ⟹DA2A3A4 thỏa mãn điều kiện 18. ĐỀ ĐỒNG THÁP Câu 6 : ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ), bán kính R , BC = a , với a và R là các số thực dương . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Các góc đều là góc nhọn . 1 ) Tính OI theo a và R . 2 ) Lấy điểm D thuộc đoạn AI , với D khác A , D khác I . Vẽ đường thẳng qua D song song với BC cắt cạnh AB tại điểm E . Gọi F là giao điểm của tia CD và đường tròn ( O ) , với F khác C . Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nội tiếp đường tròn . 3 ) Gọi J là giao điểm của tia AI và đường tròn ( O ) , với J khác A . Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ . HD 1 ) Tính OI theo a và R :Ta có : I là trung điểm của BC ( gt ) Nên IB = IC và ( liên hệ đường kính và dây ) Xét vuông tại I : Áp dụng định lý Pytago tính được : OI = 2 )Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nội tiếp đường tròn : Ta có : ( đồng vị ) Mà ( cùng nội tiếp chắn ) Suy ra : hay Tứ giác ADEF có : ( cmt ) Nên tứ giác ADEF nội tiếp được đường tròn ( E, F cùng nhìn AD dưới 2 góc bằng nhau ) 3 ) Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ : Chứng minh (g-g) ( 1 ) Chứng minh (g-g) ( 2 ) Mà BI = CI ( I là trung điểm BC ) ( 3 ) Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra : 19. ĐỀ BẮC GIANG Câu IV ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA; qua D vẽ dây cung EF bất kỳ của đường tròn (O;R), ( EF không là đường kính). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N. 1. Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp. 2. Chứng minh BE.BM = BF.BN 3. Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R. 4. Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi dây cung EF thay đổi. HD a) Ta có góc AEB = 900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => góc AEM =900 ( vì góc này kề bù với góc AEB) Xét tứ giác MCAE có: góc ACM =900 (gt) góc AEM =900 ( CM trên ) => góc ACM =900 +góc AEM =1800 mà hai góc này ở vị trí đối diện nhau => tứ giác MCAE nội tiếp. b) Chứng minh BAE đồng dạng tam giác BMC => BE.BM = BA.BC (1) Chứng minh BAF đồng dạng với BNC => BF.BN = BA.BC (1) Từ (1) và (2) => BE.BM = BF.BN Cách 2: Góc BMN = góc BAE ( cùng bù với góc CAE) mà góc BAE = góc EFN ( Hai góc nội tiếp cùng chăn một cung ) => Góc BMN = góc EFN Xét BEF đồng dạng với BNM => BE.BM = BF.BN c) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác EDO vuông tại O ta có DE = R => DE =R Vì EF vuông góc với BC và D là trung điểm của BC nên ta sẽ chứng minh được EF là đường trung bình của tam giác BMN => EF =2R. d) Gọi A' là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và tia AB Ta chứng minh được E,A,N và M, A, F thẳng hàng => A đối xứng với A' qua C => B đối xứng với A' qua điểm A mà A' cố định => Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BA'. 20. ĐỀ CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến taị B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Kẻ đường kính AD. Chứng minh rằng: a) Ba diểm K, A, D thẳng hàng. b) Bốn điểm A, B, K, H cùng thuộc một đường tròn, với H la fgiao điểm của BD và AC. c) KH song song với BC. Bài 4: (1 điểm) Giả sử AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi diện tích tam giác DEF bằng diện tích tam giác ABC. HD Bài 3. a) Ta có AB = AC; OB = OC; KB = KC => A, O, K nằm trên đường trung trực của BC. Mà D thuộc AD nên D cũng nằm trên đường trung trực của BC => A, K, D thẳng hàng. b)Vì D nằm trên đường trung trực của BC nên AD BC => => Tứ giác BAKH nội tiếp c) KH // BC vì cùng vuông góc với BC. Bài 4. +) Chứng minh điều kiện cần: Cho Tam giác ABC đều, AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC ta cần chứng minh:. Do tam giác ABCđều và AD, BE, CF là các đường phân giác của tam giác nên ta có => DEF đồng dạng với ABC => +) Chứng minh điều kiện đủ: Cho Tam giác ABC, AD, BE và CF là các đường phân giác trong của tam giác, thỏa , ta cần chứng minh: ABC là tam giác đều. Đặt BC = a; AC = b; AB = c (a, b, c > 0) Vì AD là phân giác nên ta có DC = a – DB = Chứng minh tương tự ta có: EC = ; EA = ; FA =; FB = . Ta có = 1 - == theo giả thiết ta có: = (a +b)(b + c)(c + a) = 8abc ó a(b –c)2 + b(c - a)2 + c(b – a)2 = 0 a = b = c => ABC là tam giác đều. Vậy ...... 21. ĐỀ AN GIANG Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB ; C là một điểm trên đường tròn sao cho số đo cung AC gấp đôi số đo cung CB.Tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) cắt AC tại E.Gọi I là trung điểm của dây AC. a.Chứng minh rằng tứ giác IOBE nội tiếp. b.Chứng minh rằng EB2 = EC . EA . c.Biết bán kính đường tròn (O) bằng 2 cm, tính diện tích tam giác ABE . 22. ĐỀ CHUYÊN VĨNH PHÚC B K E H C A O M D Câu 4 (3,0 điểm).Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Từ điểm kẻ hai tiếp tuyến ( là các tiếp điểm) tới đường tròn . Từ điểm kẻ cát tuyến ( nằm giữa và D, MBD không đi qua ). Gọi là giao điểm của và . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt đường tròn tại E (E khác C), gọi là giao điểm của và . Chứng minh: a) Tứ giác nội tiếp. b) K là trung điểm của BD. c) AC là phân giác của góc . HD: Tứ giác nội tiếp. Do MA, MC là tiếp tuyến của (O) nên Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM. K là trung điểm của BD. Do CE // BD nên , (cùng chắn cung ) . Suy ra tứ giác AKCM nội tiếp. Suy ra 5 điểm M, A, K, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay OK vuông góc với BD. Suy ra K là trung điểm của BD. AH là phân giác của góc . Ta có: , (Do đồng dạng) đồng dạng tứ giác BHOD nội tiếp (1) Tam giác OBD cân tại O nên (2) Tứ giác BHOD nội tiếp nên (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra AC là phân giác của góc . 23.TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NGUYỄN BÌNH – QUẢNG NINH Câu IV (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BM. Gọi H là chân đường vuông góc của M xuống AK Chứng minh rằng AOHM là tứ giác nội tiếp Tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao? Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Xác định vị trí của K để chu vi tam giác OPK lớn nhất HD: Hình vẽ: 0,25 Vì M là điểm chính giữa của cung AB, nên sđ900 => (đ/l góc ở tâm), mà MH ^ AK (gt) => = 900 Trong tứ giác AOHM, ta có: Do đó đỉnh O và H luôn nhìn đoạn Am dưới một góc 900, nên AOHM là tứ giác nội tiếp Xét tam giác vuông MHK có Nên MHK vuông cân tại H Vì tam giác MHK cân tại H nên : HM = HK Xét D MHO và D KHO có HM = HK (c/m trên) HO cạnh chung OM = OK = R Suy ra D MHO = D KHO ( c-c-c) Nên , Do vậy OH là phân giác của góc MOK Ta có chu vi của tam giác OPK là: C = OP + PK + OK. Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn nhất Û OP + PK lớn nhất Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có (OP + PK)2 ≤ (12 + 12)( OP2 + PK2) = 2R2. Vậy (OP + PK)2 lớn nhất bằng 2R2, nên OP + PK lớn nhất bằng. Do đó chu vi của tam giác OPK lớn nhất bằng: + R = (, khi OP = PK hay K là điểm chính giữa của cung MB ĐỀ ĐỒNG NAI Câu 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R, BC = a, với a và R là các số thực dương. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Các góc đều là góc nhọn. 1) Tính OI theo a và R. 2) Lấy điểm D thuộc đoạn AI, với D khác A, D khác I. Vẽ đường thẳng qua D song song với BC cắt cạnh AB tại điểm E. Gọi F là giao điểm của tia CD và đường tròn (O), với F khác C. Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nội tiếp đường tròn. 3) Gọi J là giao điểm của tia AI và đường tròn (O), với J khác A. Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ. HD Câu 6 : ( 3,0 điểm ) 1 ) Tính OI theo a và R: Ta có : I là trung điểm của BC ( gt ) Nên IB = IC và ( liên hệ đường kính và dây ) Xét vuông tại I có : ( định lý Pytago ) 2 )Chứng minh tứ giác ADEF là tứ giác nội tiếp đường tròn : Ta có : ( đồng vị )Mà ( cùng nội tiếp chắn ) Suy ra : hay Tứ giác ADEF có : ( cmt ) Nên tứ giác ADEF nội tiếp được đường tròn ( E , F cùng nhìn AD dưới 2 góc bằng nhau ) 3 ) Chứng minh rằng AB.BJ = AC.CJ : Xét vàcó : ( đối đỉnh ) ( cùng nội tiếp chắn ) Vậy (g-g) ( 1 ) Chứng minh (g-g) ( 2 ) Mà BI = CI ( I là trung điểm BC ) ( 3 ) Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra : 24. ĐỀ NINH BÌNH Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn tâmO, bán kính R. M là một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đển đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp. Tính diện tích tam giác AMB, biết OM = 5 và R = 3. Kẻ Mx nằm trong tam góc AMO cát đường tròn tại hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D). Chứng minh rằng EA là phân giác của góc CED. HDA D O B E C M 3. – Chứng minh MAO vuông tại A, Đường cao AE ME.MO = MA2 ME.MO = MC.MD(= MA2) , mà MDO và MEC có góc M chung nên hai tam giác đồng dạng MEC = MDO Từ đó suy ra tứ giác ECDO nội tiếp vì có CDO + CEO = CEM + CEO = 1800 OED = OCD = ODC = CEM CEA = DEA ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau) EA là phân giác của CED 25 . ĐỀ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN BẾN TRE NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu 4 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn ( T, S là các tiếp điểm). Trên cung lớn TS lấy điểm D sao cho < 1800. Kẻ các đường cao TE, SF và đường trung tuyến DM của tam giác TSD. Chứng minh rằng: *) DE. TA = DT.TM. *) = . *)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA. Gọi N là giao điểm của DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM. 26. ĐỀ HẢI PHÒNG Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . 1. Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp. 2. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (F nằm giữa M và E). Chứng minh: . 3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. HD Vẽ hình đúng để làm câu 1 + Ta có (vì AD và CF là đường cao của DABC) => . Suy ra tứ giác BDHF nội tiếp + Ta có (vì BE và CF là đường cao của DABC) Suy ra hai điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Hay tứ giác BFEC nội tiếp. 2. (0,75 điểm) Ta có (cùng bù với ) mà sđ + sđ) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) sđ + sđ) (góc nội tiếp) Suy ra 3. (0,75 điểm) DAFH đồng dạng với DADB (g.g) => AF.AB = AH.AD (1) DAFM đồng dạng với DAM