Tổng quan về tín hiệu

) được định nghĩa như sau: ; (1.21) Hàm tự tương quan Rx() cho biết mức độ giống nhau giữa tín hiệu và phiên bản dịch thời của nó. Biến có vai trò quét hoặc tìm thông số. Rx() không phải là hàm của thời điểm t mà nó chỉ là hàm của hiệu số thời gian giữa sóng và bản sao được dịch thời của nó. Các tính chất của hàm tự tương quan của tín hiệu giá trị thực 1. đối xứng qua 2. cực trị tại 3. cặp biến đổi Fourier giữa hàm tự tương quan và mật độ phổ năng lượng ESD 4. giá trị tại gốc bằng năng lượng của tín hiệu Nếu đáp ứng các tính chất 1 đến 3, thì ta nói thoả mãn những tính chất của hàm tự tương quan. Tính chất 4 được suy ra từ tính chất 3. 1.4.2. Tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn Hàm tự tương quan của tín hiệu công suất giá trị thực x(t) được định nghĩa là với (1.22) Khi tín hiệu công suất x(t) tuần hoàn với chu kì T0 thì hàm tự tương quan (1.22) được biểu diễn trong một chu kỳ T0 như sau với (1.23) Tính chất của hàm tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn giá trị thực giống như của tín hiệu năng lượng. 1. đối xứng qua 2. cực trị tại 3. cặp biến đổi Fourier giữa hàm tự tương quan và mật độ phổ năng lượng PSD 4. giá trị tại gốc bằng công suất trung bình của tín hiệu 1.5 Tín hiệu ngẫu nhiên Mục đích của hệ thống truyền thông là truyền thông tin qua kênh trruyền thông. Tất cả các tín hiệu bản tin hữu hiệu đều xuất hiện ngẫu nhiên, nghĩa là máy thu không biết trước các sóng bản tin phát. Vì vậy, ta mô tả ngắn gọn các tín hiệu ngẫu nhiên 1.5.1. Biến ngẫu nhiên Coi biến ngẫu nhiên X(A) thể hiện mối quan hệ hàm giữa sự kiện ngẫu nhiên A và số thực. Để đơn giản về kí hiệu toán học, ta ký hiệu biến ngẫu nhiên là X, và ẩn sư kiện A. Biến ngẫu nhiên X có thể là rời rạc hoặc liên tục. Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi trong đó P(X≤ x ) là xác suất của sự kiện biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng số thực x. Hàm phân bố có nhũng tính chất sau Hàm mật độ xác xuất (pdf) (1.25a) Như trong trường hợp của hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất pdf là hàm của số thực x. Tên gọi “hàm mật độ” xuất phát từ xác suất của sự kiện biến ngẫu nhiên X trong khoảng [ x1, x2] là (1.25b) Từ (1.25b), xác suất biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong một số khoảng rất nhỏ từ x đến x+∆x được tính xấp xỉ là (1.25c) Vì vậy khi ∆x → 0. ta có thể viết (1.25d) Các tính chất của hàm mật độ xác suất 1. 2. Như vậy, hàm mật độ xác suất luôn là hàm không âm có vùng diện tích là 1. Mặc dù ký hiệu PX(x ) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Để đơn giản về ký hiệu, ta thường bỏ qua chỉ số dưới X và viết p(x). Ta sẽ dùng ký hiệu P(x =xi ) là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, trong đó X chỉ nhận những giá trị rời rạc. Trung bình theo tập hợp Giá trị trung bình mX hay kì vọng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là (1.26) Môment bậc n của đại lượng ngẫu nhiên X là (1.27) Với mục đích phân tích hệ thống truyền thông. Trong các môment của biến ngẫu nhiên X thì môment bậc 1 (n=1), bậc 2 (n=2) là quan trọng nhất. Khi n=1, phương trình (1.27) cho ta giá trị trung bình mx , với n = 2 ta được giá trị trung bình bình phương (mean-square value) của X là (1.28) Ta định nghĩa các môment trung tâm, là các môment của hiệu số giữa X và mx. Môment trung tâm bậc 2 được gọi là phương sai của X được định nghĩa là (1.29) Phương sai của X được kí hiệu là , và căn bậc hai của nó là được gọi là độ lệch chuẩn của X. Phương sai là phép đo “mức độ ngẫu nhiên” của biến ngẫu nhiên. Từ phương trình (1.29) ta có quan hệ giữa phương sai và giá trị trung bình bình phương như sau Vì vậy, phương sai là sự khác nhau giữa giá trị trung bình bình phương và bình phương của trung bình 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên X(A,t) được xem là hàm của hai biến: biến sự kiện A và biến thời gian. Hình 1.5 minh hoạ cho quá trình ngẫu nhiên, trong đó gồm N hàm mẫu theo thời gian {Xj(t)}. Mỗi hàm mẫu có thể coi là đầu ra của bộ tạo tập âm khác nhau. Với một sự kiện Aj cụ thể, ta có một hàm thời gian X(Aj,t)=Xj(t) (nghĩa là hàm mẫu). Tổng tất cả các hàm mẫu gọi là một tập hợp. Tại một thời điểm tk cụ thể, thì X(A,tk) là một biến ngẫu nhiên, giá trị của X(tk) phụ thuộc vào sự kiện đó. Cuối cùng, tại một thời điểm cụ thể t=tk và sự kiện cụ thể A=Aj, thì X(Aj, tk) là một con số. Để đơn giản về ký hiệu toán, ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên là X(t). Hình 1.5. Quá trình tạp âm ngẫu nhiên 1.5.2.1 Trung bình thống kê của quá trình ngẫu nhiên Do không biết được giá trị của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm trong tương lai (vì nhận biết sự kiện A là không biết), nên các hàm phân bố của quá trình ngẫu nhiên này là liên tục và được mô tả thống kê bằng hàm mật độ xác xuất (pdf). Nhìn chung, dạng hàm mật độ xác suất pdf của quá trình ngẫu nhiên sẽ khác nhau tại các thời điểm khác nhau. Đa số không thể xác định được phân bố xác suất của quá trình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, việc mô tả từng phần gồm trung bình và hàm tự tương quan thường thích hợp cho các yêu cầu của các hệ thống truyền thông. Trung bình của quá trình ngẫu nhiên X(t) được định nghĩa là (1.30) trong đó X(tk) là biến ngẫu nhiên nhận được bằng cách quan trắc quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm tk ; và là hàm mật độ xác suất pdf của biến ngẫu nhiên X(tk), mật độ trên tập hợp các sự kiện tại thời điểm tk Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là hàm 2 biến t1 và t2 được định nghĩa là (1.31) trong đó X(t1);X(t2) là 2 biến ngẫu nhiên nhận được bằng cách quan trắc quá trình ngẫu nhiên X(t) tại thời điểm t1 và t2. Hàm tự tương quan là phép đo đánh giá mức độ tương quan của hai mẫu thời gian của cùng một quá trình ngẫu nhiên. 1.5.2.2 Quá trình dừng Quá trinh ngẫu nhiên X(t) được gọi là quá trình dừng chặt SS nếu tất cả các đặc trưng thống kê của nó không phụ thuộc vào dịch thời gian. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng WSS nếu 2 đặc trưng thống kê của nó là trung bình thống kê và hàm tự tương quan không bị thay đổi bởi sự dịch chuyển của gốc thời gian. Vì vậy, quá trình là WSS nếu thỏa mã (1.32) và (1.33) sau (1.32) (1.33) Quá trình dừng chặt SS là quá trình dừng rộng WSS, nhưng ngược lại là không đúng. Hầu hết các tín hiệu thông tin ngẫu nhiên và tạp âm trong lý thuyết truyền thông được coi là dàng rộng WSS. Từ quan điểm thực tế, không cần thiết phải xét quá trình ngẫu nhiên là quá trình dừng mọi lúc mà chỉ cần xét trong một số khoảng thời gian cần thiết. Với quá trình dừng, thì hàm tự tương quan (1.33) không phụ thuộc và thời điểm mà phụ thuộc vào hiệu số thời gian giữa t1 và t2, nghĩa là tất cả các cặp giá trị của quá trình ngẫu nhiên X(t) tại các thời điểm được phân cách nhau đều có cùng giá trị tương quan. Vì vậy, với các hệ thống dừng ta ký hiệu là 1.5.2.3 Tự tương quan của quá trình dừng nghĩa rộng WSS Thấy rõ, phương sai cho phép đánh giá mức độ ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên, tự tương quan cho phép ta đánh giá mức độ giống nhau của quá trình ngẫu nhiên. Với quá trình ngẫu nhiên dừng nghĩa rộng WSS, Hàm tự tương quan chỉ là hàm của hiệu số thời gian , ngghĩa là với (1.34) Với quá trình WSS trung bình không, cho biết sự phạm vi các giá trị ngẫu nhiên của quá trình được phân tách bởi giây được tương quan thống kê nhau. Nói cách khác cho ta ý tưởng về đáp ứng tần số của quá trình. Nếu thay đổi chậm khi tăng từ 0 đến một số giá trị, thì về mặt trung bình các giá trị mẫu của quá trình ngẫu nhiên X(t) tại t = t1 và t = t1+ là gần như bằng nhau. Vì vậy, thể hiện tính trội trong vùng tần số thấp. Mặt khác, nếu giảm nhanh khi tăng, X(t) thay đổi nhanh theo thời gian và hầu như chứa các tần số cao. Các tính chất của hàm tự tương quan của quá trình dừng nghĩa rộng giá trị thực là đối xứng qua gốc tọa độ với mọi cực trị tại gốc tọa độ cặp biến đổi Fourier giá trị tại gốc tọa độ là công công suất trung bình của tín hiệu. 1.5.3 Trung bình thời gian và quá trình Ergodic Để tính trung bình mx và tự tương quan bằng cách lấy trung bình tập hợp, ta phải lấy trung bình trên tất cả các mẫu của quá trình ngẫu nhiên, đồng thời cũng phải biết hàm mật độ xác xuất liên hợp bậc một và bậc hai, nói chung chúng không có sẵn. Khi quá trình ngẫu nhiên thuộc về một loại cụ thể như quá trình Ergodic, thì lấy trung bình theo thời gian là bằng với lấy trung bình tập hợp, và các tính chất thống kê của quá trình này có thể được xác định bằng cách lấy trung bình theo thời gian trên một hàm mẫu của quá trình. Với quá trình là Ergodic, thì phải là quá trình dừng chặt (ngược lại là không đúng). Tuy nhiên, với các hệ thống truyền thông, trong đó thỏa mã các điều kiện của quá trình WSS, thì ta chỉ cần quan tâm đến trung bình và hàm tự tượng quan. Quá trình ngẫu nhiên là quá trình Ergodic theo trị trung bình nếu (1.35) Và là quá trình Ergodic theo hàm tự tương quan nếu (1.36) Việc kiểm tra Ergodic của quá trình ngẫu nhiên thường rất khó. Thực tế cần phải xem việc chuyển đổi giữa lấy trung bình theo thời gian và lấy trung bình tập hợp có phợp lý không. Giả định hợp lý trong phân tích các tín hiệu truyền thông là dạng sóng được coi là ergodic theo trung bình và hàm tự tương quan. Vì đối với quá trình ergodic, trung bình theo thời gian bằng với lấy trung bình tập hợp, nên các thông số thiết kế cơ bản như: giá trị dc, rms, công suất trung bình liên quan với các mômen của quá trình ergodic. Dưới đây là tổng hợp các quan hệ này. 1. Đại lượng mx =E{x(t)} là mức một chiều dc của tín hiệu. 2. Đại lượng mx2 là công suất dòng chuẩn hóa trong thành phần một chiều dc 3. Môment bậc 2 của X(t) là E{x2(t)} là tổng công suất chuẩn hóa trung bình. 4. Đại lượng là giá trị trung bình bình phương căn nguyên rms của tín hiệu dòng điện hoặc điện áp. 5. Phương sai là công suất chuẩn hóa trung bình trong tín hiệu biến đổi theo thời gian hoặc thành phần xoay chiều của tín hiệu 6. Nếu quá trình có trung bình 0 (nghĩa là, mx=mx2=0), thì và phương sai chính là giá trị trung bình bình phương (căn bậc 2 của trị trung bình), phương sai thể hiện tổng công suất trên tải chuẩn hóa. 7. Độ lệch chuẩn là giá trị rms của thành phần xoay chiều của tín hiệu. 8. Nếu mx=0, thì là giá trị rms của tín hiệu. 1.5.4 Mật độ phổ công suất và tự tương quan của tín hiệu ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên X(t) được phân loại thành tín hiệu công suất có mật độ phổ công suất (PSD) GX(f) theo (1.20). GX(f) đặc biệt hữu dụng trong trong hệ thống viễn thông bởi lẽ nó mô tả sự phân bố công suất của tín hiệu trong miền tần số. Hàm mật độ phổ công suất PSD cho phép ước lượng công suất của tín hiệu khi nó được truyền qua mạng có các đặc tính tần số cho trước. Các đặc trưng cơ bản của hàm mật độ phổ công suất là: 1.GX(f) 0 và luôn là giá trị thực. 2.GX(f) = GX(-f) khi X(t) là thực. 3.GX(f) RX() PSD và hàm tự tương quan là cặp biến đổi Fourier 4.PX = mối quan hệ giữa công suất trung bình chuẩn hoá và PSD Minh họa hàm tự tương quan và mật độ phổ công suất được cho ở hình 1.6. Khái niệm tương quan được hiểu là. Khi ta tìm hiểu về tương quan giữa hai hiện tượng nào đó (hoặc nghiên cứ về mối quan hệ giữa hai hiện tượng nào đó), ta quan tâm và xét mức độ tương đồng giữa chúng. Trong toán học, hàm tự tương quan của tín hiệu (trong miền thời gian) mô tả mức độ phù hợp của tín hiệu với chính nó theo cách: thực hiện một sao chép chính xác của tín hiệu đó và đặt tại âm vô cùng ; sau đó di chuyển bản sao theo các khoảng thời gian theo chiều dương và lần lượt so sánh với tín hiệu gốc tại các thời điểm đó. Sự tương quan giữa chúng là một hàm của thời gian, kí hiệu là là thông số quét. Hình vẽ từ 1.6a đến 1.6d là rõ từng từng bước. Hình 1.6a minh họa dạng sóng tín hiệu mẫu của quá trình ngẫu nhiên X(t) dừng nghĩa rộng WSSS. Dạng sóng là dãy nhị phân ngẫu nhiên có biên độ 1 và đồng xác suất. Độ rộng xung là T, và giá trị một chiều (dc) hoặc trung bình bằng 0. Hình 1.6b là dãy ở hình 1.6a được dịch thời giây, được ký hiệu là X(t-). Nếu coi X(t) là quá trình ergodic, thì khi tìm hàm tự tương quan RX() ta có thể lấy trung bình theo thời gian thay cho trung bình theo tập hợp. Hình 1.6 Tự tương quan và mật độ phổ công suất Tìm giá trị của Rx() bằng cách lấy tích hai chuỗi X(t) và X(t-) và tính giá trị trung bình theo (1.36). Công thức (1.36) chỉ chính xác đối với quá trình ergodic trong một giới hạn nào đó. Tuy nhiên, khi tích phân trong một số chu kỳ sẽ cho ta những ước tính về RX(). Lưu ý rằng, có thể tìm RX() theo cách dịch thời X(t) sang trái hoặc phải. Hình 1.6c minh họa việc tính toán này, trong đó chuỗi tín hiệu mẫu (hình 1.6a) được dịch sang phải giây (hình 1.6b). Vùng diện tích gạch chéo tạo bởi đường bị tích X(t)X(t-) cho phần giá trị dương, và phần diện tích màu sám tạo giá trị âm. Tích phân của X(t)X(t-) trên một số thời điểm xung cho ta một giá trị của vùng diện tích tương ứng với nó là một điểm, điểm RX() trên đường RX(). Khi dịch thời , mỗi lần dịch nhận được một điểm của hàm tự tương quan RX() (hình 1.6d). Hàm tự tương quan đạt cự trị tại RX(0) [đạt cực trị tại =0, và luôn có R() R(0) với mọi ], giảm dần khi tăng (Hình 1.6d) Biểu thức giải tích cho hàm tự tương quan RX() ở hình 1.6d là (1.37) Chú ý rằng hàm tự tương quan cho ta thông tin về tần số, nghĩa là độ rộng băng tần của tín hiệu. Hàm tự tương quan là hàm trong miền thời gian, như được thấy ở phương trình (1.37). Vậy thông tin về độ rộng băng tần của tín hiệu được nhận biết như thế nào? Xét tín hiệu di chuyển rất chậm (độ rộng băng tần nhỏ). Ta dịch bản sao của nó theo trục và theo dõi sự tương quan giữa chúng. Sẽ có thời điểm tương quan rất lớn. Nói cách khác, hàm tự tương quan dạng tam giác hình 1.6d và phương trình (1.37) sẽ dốc dần theo . Nhưng nếu tín hiệu di chuyển rất nhanh (độ rộng băng thông lớn) thì hàm tự tương quan có đồ thị rất dốc. Vì vậy, từ hình dạng đồ thị của hàm tự tương quan cho biết về độ rộng băng tần của tín hiệu. Từ hàm tự tương quan ta tính được mật độ phổ công suất và ngược lại vì chúng là cặp biến đổi Fourier. Trong trường hợp này ta có (1.38) với (1.39) Hình 1.6e minh họa dạng mật độ phổ công suất PSD GX(f). Chú ý rằng vùng diện tích được bao bởi PSD là công suất trung bình của tín hiệu. Ta thường xác định độ rộng băng thông của tín hiệu là độ rộng của búp phổ chính. Hình 1.6e minh họa mối quan hệ mật thiết giữa độ rộng băng tần của tín hiệu với khoảng thời gian ký hiệu hay hoặc độ rộng xung. Hình 1.6f-j tương tự như hình 1.6a-e, nhưng cho trường hợp độ rộng xung hẹp (tốc độ bit cao). Cần chú ý: (i) khi độ rộng xung hẹp thì RX() sẽ hẹp (hình 1.6i) tương ứng với PSD rộng, ngược lại khi độ rộng xung rộng thì RX() rộng (hình 1.6d) tương ứng với PSD hẹp; (ii) tham số quét , khi lớn hơn độ rộng xung thì RX()=0, khi này không có sự tương quan giữa chúng; (iii) độ rộng băng tần của tín hiệu hình 16j lớn hơn so với hình 16e. 1.5.5. Tạp âm trong hệ thống truyền thông Tập âm là tín hiệu điện không mong muốn luôn xuất hiện ở các hệ thống điện. Sự xuất hiện của tạp âm chồng lấn lên tín hiệu xu hướng che khuất tín hiệu, làm hạn chế khả năng quyết định ký hiệu chính xác (lỗi quyết định) cũng như hạn chế tốc độ truyền tin. Hai loại tạp âm là tạp âm do nhân tạo và tạp âm tự nhiên trong đó tạp âm do: (i) con người như đánh tia lửa điện, chuyển mạch, phát xạ tín hiệu điện từ; (ii) tự nhiên như khí quyển, mặt trời, phát xạ ngân hà. Thiết kế hệ thống tốt có thể khử được tạp âm cũng như ảnh hưởng của nó bằng cách lọc, chọn phương pháp điều chế, máy thu tối ưu. Ví dụ, đánh giá ảnh hưởng của vũ trụ được thực hiện tại các vị trí rất ra, con người khó kiểm soát được. Tuy nhiên, tồn tại nguồn tự tạp âm nhiên được gọi là tạp âm nhiệt (tạp âm Johnson) không thể khử được. Tạp âm nhiệt do chuyển động nhiệt trong mọi thành tiêu thụ như điện trở, cáp, ... Ta có thể mô tả tạp âm nhiệt như là quá trình ngẫu nhiên Gaussian trung bình không. Quá trình Gaussian n(t) là một hàm ngẫu nhiên có giá trị n tại thời điểm t được đặc trưng thống kê bởi hàm mật độ xác suất phân bố Gaussian là trong đó là phương sai của n, chuẩn hóa hàm mật độ Gaussian của quá trình trung bình không bằng cách cho phương sai , được minh họa ở hình 1.7 Ta thường biểu diễn tín hiệu ngẫu nhiên gồm tổng của biến ngẫu nhiên tạp âm Gaussian và tín hiệu một chiều dc, nghĩa là Hàm mật độ xác suất pdf của z được là (1.41) trong đó là phương sai của n. Phân bố Gaussian thường dùng để mô hình hóa tập âm hệ thống bởi vì theo định lý giới hạn trung tâm, định lý đó phát biểu như sau: trong điều kiện rất tổng quát thì phân bố xác suất của tổng j biến ngẫu nhiên độc lập thống kê tiến đến phân bố Gaussian khi , các hàm phân bố thành phần có thể là phân bố Gaussian hoặc bất kỳ. Vì vậy, thậm trí các cơ chế tạp âm riêng có thể khác với phân bố Gaussian, nhưng kết hợp chúng lại sẽ có xu hướng tiến đến phân bố Gaussian. Hình 1.7. Hàm mật độ xác suất Gaussian chuẩn hóa () 1.5.5.1 Tập âm trắng Các đặc tính phổ cơ bản của tạp âm nhiệt là mật độ phổ công suất, nó bằng nhau ở mọi thành phần tố được xét trong hầu hết các hệ thống truyền thông, nói cách khác nguồn tạp âm nhiệt phát ra một lượng công suất bằng nhau trên đơn vị độ rộng băng tần tại tất cả các tần số từ một chiều (f=0) đến 1012 Hz . Vì vậy, mô hình đơn giản cho tạp âm nhiệt là coi mật độ phổ công suất Gn(f) là phẳng với mọi tần số như được minh họa ở hình 1.8a và được ký hiệu là w/Hz (1.42) trong đó hệ số để chỉ Gn(f) là mật độ phổ công suất hai phía (tần số dương và tần số âm). Khi công suất tạp âm có mật độ phổ đồng đều, ta coi nó là tạp âm trắng. Tính chất “trắng “ có cùng nghĩa với ánh sáng trắng. Hàm tự tương quan của tạp âm trắng là biến đổi Fourier ngược của mật độ phổ công suất tạp âm, được ký hiệu là (1.43) Vì vậy, hàm tự tương quan của tạp âm trắng là hàm delta được đánh trọng số No/2 và được định vị tại (hình 1.8b). Chú ý rằng hàm Rn() bằng không tại , nghĩa là hai mẫu tạp âm trắng bấy kỳ không tương quan nhau. Công suất trung bình của tạp âm trắng là vô hạn vì, độ rộng băng tần của nó là vô hạn, được rõ bằng cách kết hợp phương trình (1.19) và (1.42) ta có (1.44) Hình 1.8. Mật độ phổ công suất (a) và hàm tự tương quan của tạp âm trắng (b) Mặc dù tạp âm trắng là khái niệm trừu tượng hữu dụng, nhưng thực sự không tồn tại quá trình tạp âm là trắng; nhưng tạp âm gặp phải trong nhiều hệ thống thực được lấy xấp xỉ là trắng. Ta chỉ quan sát tạp âm sau sau khi nó đi qua hệ thống thực tế (hệ thống có độ rộng băng tần hữu hạn). Như vậy, trong một chừng mực nhất định độ rộng băng tần của tạp âm lớn hơn đáng kể so với độ rộng băng tần của hệ thống, ta coi có độ rộng băng tần vô hạn. Hàm delta trong (1.43) thể hiện tín hiệu tạp âm n(t) hoàn toàn không tương quan với phiên bản dịch thời của nó với >0. Phương trình (1.43) cho thấy rằng bất kỳ hai mẫu của quá trình tạp âm trắng nào đều không tương quan nhau và các mẫu tạp âm này cũng độc lập nhau (với quá trình Gaussian, không tương quan thì cũng độc lập). Vì vậy, ảnh hưởng của quá trình tách tín hiệu trong kênh tạp âm Gaussian trắng cộng AWGN có nghĩa là tạp âm tác động lên mỗi ký hiệu phát một cách độc lập, thuộc loại kênh không nhớ. Từ “cộng” nghĩa là tập âm chỉ xếp chồng hay cộng vào tín hiệu (co chế cộng) chứ không phải là nhân. Vì tập âm nhiệt xuất hiện ở mọi hệ thống truyền thông và là nguồn tạp âm nổi trội đối với hầu hết các hệ thống, nên các đặc tính tạp âm nhiệt: toán tử cộng, phổ trắng, phân bố Gaussian thường được dùng để mô hình hóa tạp âm trong các hệ thống truyền thông. Vì tạp âm Gaussian trung bình không được đặc trưng hoàn toàn bởi phương sai của nó, nên mô hình này đặc đặc biệt đơn giản dùng trong tách tín hiệu và thiết kế máy thu tối ưu. 1.6 Truyền dẫn tín hiệu qua hệ thống tuyến tính Xét đặc tính của hệ thống và các ảnh hưởng của nó lên lên tín hiệu và tập âm. Vì có thể đặc tính hóa hệ thống một cách tường minh trong miền thời gian và tần số, nên các kỹ thuật được triển khai là phân tích đáp ứng của hệ thống tuyến tính lên tín hiệu bất kỳ. Xét trong miền thời gian ta tín hiệu vào x(t), đáp ứng ra là y(t), và đáp ứng xung kim h(t). Tương ứng trong miền tần số, đầu vào X(f), đáp ứng ra Y(f), hàm truyền đạt H(f). Giả sử hệ thống là tuyến tính bất biến và không có năng lượng được lưu trữ tại thời điểm đưa tín hiệu vào. Hình 1.9: Hệ thống tuyến tính và các thông số quan trọng 1.6.1 Đáp ứng xung kim Hệ thống tuyến tính bất biến LTIV được minh họa ở hình 1.9, được đặc trưng trong miền thời gian bởi đáp ứng xung kim h(t), là đáp ứng ra khi tín hiệu vào là xung kim đơn vị (1.45) Đặc tính hóa hệ thống tuyến tính ở dạng đáp ứng xung kim của nó là rất dễ hiểu. Tại đầu vào của hệ thống, ta đặt một xung kim đơn vị (một tín hiệu không có thực, có biên độ vô cùng, độ rộng bằng 0, và diện tích đơn vị) được minh họa ở hình 1.10a. Việc đặt xung đơn vị vào hệ thống có thể xem như cho hệ thống một cú “whack”. Khi đó đáp ứng ra h(t) là đáp ứng xung kim của hệ thống. (được mô tả trong hình 1.10b.) Đáp ứng ra của hệ thống với tín hiệu vào bất kì x(t) được tính bởi tích chập (1.46) trong đó * là phép tích chập (Xem phần A.5.). Giả thiết rằng hệ thống là nhân quả, tức là không có đầu ra trước thời điểm t=0, khi đưa tín hiệu đầu. Do đó, cận dưới của tích phân chuyển thành 0. Đầy ra y(t) được viết ở một trong hai dạng sau (1.47a) Hoặc (1.47b) Hình 1.10 (a)Tín hiệu vào x(t) là hàm xung kim đơn vị. (b) Tín hiệu ra y(t) là đáp ứng xung của hệ thống h(t). 1.6.2 Hàm truyền đạt tần số Tín hiệu đầu ra trong miền tần số Y(f) là biến đổi Fourier lên (1.46), ta có (1.48) (1.49) tất nhiên X(f)0 với mọi tần sồ f, H(f)=F{h(f)}, biến đổi Fourier của hàm đáp ứng xung, được gọi là hàm truyền đạt tần số hay đáp ứng tần số của hệ thống. H(f) là một số phức và được viết ở dạng (1.50) trong đó là đáp ứng biên độ. Đáp ứng pha được định nghĩa là (1.51) Hàm truyền đạt tần số của hệ thống tuyến tính bất biến dễ dàng đo được trong phòng thí nghiệm bằng cách dùng bộ tạo tín hiệu sin và dùng máy hiện sóng đo đầu ra. Khi dạng sóng đầu vào x(t) được biểu diễn dưới dạng x(t)=A cos(2f0t) thì đầu ra của hệ thống sẽ là: (1.52) Thay đổi tần số đầu vào f0 và đo biên độ và pha của tín hiệu ra bằng máy hiện sóng. Quá trình ngẫu nhiên và hệ thống tuyến tính Nếu đầu vào của hệ thống tuyến tính bất biến là một quá trình ngẫu nhiên, thì đầu ra cũng là một quá trình ngẫu nhiên, nghĩa là với mỗi hàm mẫu của quá trình đầu vào sinh ra một hàm mẫu của quá trình đầu ra. Quan hệ giữa mật độ phổ công suất đầu vào GX(f ) và mật độ phổ năng công suất GY(f ) như sau (1.53) Chương sau ta xét tách tín hiệu trong tạp âm Gaussian. Khi đó, ta dùng tính chất cơ bản của quá trình Gaussian và sẽ thấy rằng nếu quá trình Gauss X(t) được đưa vào bộ lọc tuyến tính bất biến thì nhận được quá trình ngẫu nhiên Y(t) ở đầu ra của bộ lọc cũng là quá trình Gauss.[6] 1.6.3 Truyền dẫn không méo tín hiệu Những yêu cầu để một hệ thống thực tế gần giống với lý tưởng là gì?. Tín hiệu đầu ra của đường truyền lý tưởng có một độ trễ nhất định so với tín hiệu đầu vào và có thể có biên độ khác đầu vào, tuy nhiên nó không bị méo so với tín hiệu ban đầu, tín hiệu ra phải có dạng giống với tín hiệu đầu vào. Vì vậy, với đường truyền không gây méo lý tưởng, ta có thể biểu diễn đầu ra ở dạng (1.54) với K và to là các hằng số. Biến đổi Fourier cả 2 vế ta được (1.55) Theo (1.49) hàm truyền đạt hệ thống là (1.56) Vì vậy, để đạt được hệ thống truyền dẫn không méo lý tưởng, hệ thống phải có đáp ứng biên độ là hằng số và đáp ứng pha pha là tuyến tính theo tần số (dịch pha của nó phải là tuyến tính theo tần số). Không hản là sự khuếch đại hay suy hao của hệ thống lên các mọi thành phần tần số của tín hiệu là như nhau. Mọi thành phần tần số của tín hiệu đều phải có thời gian trễ như nhau để cộng một cách chính xác. Vì thời gian trế t0 quan hệ với dịch pha và tần số góc theo công thức (1.57a) rõ ràng, dịch pha phải tỉ lệ với tần số để thời gian trế của mọi thành phần tần số là như nhau. Đại lượng được sử dụng để đánh giá méo pha (méo do trễ) của tín hiệu được gọi là trễ nhóm hay trễ đường bao, được định nghĩa như sau: (1.57b) Vì vậy, để truyền dẫn không méo, pha phải tuyến tính theo tần số để đặc tính hóa trễ đường bao là không đổi. Thực tế, thì tín hiệu sẽ bị méo khi qua các phần tử của hệ thống, cần có các bộ cân bằng hoặc hiệu chỉnh để hiệu chỉnh méo, đặc tính vào ra tổng thể của hệ thống xác định hiệu năng của nó. 1.6.3.1 Bộ lọc lý tưởng Không thể xây dựng được bộ lọc lý tưởng được mô tả bởi (1.56) bởi vì. (1.56) kéo theo độ rộng băng tần vô hạn, trong khi độ rộng băng tần của hệ thống được xác định là khoảng tần số dương trên đó độ lớn của hàm truyền đạt của hệ thống không đổi trong một giá trị cụ thể. Phần 1.7, liệt kê các phép đo độ rộng băng tần. Để đạt được một mạng gần như lý tưởng, ta chọn một mạng cắt xét qua đó truyền tín hiệu không bị méo trên khoảng đến, ( là tần số cắt dưới và là tần số cắt trên), được thể hiện ở hình 1.11, được gọi là bộ lọc lý tưởng. Ngoài khoảng tần số đến hay là dải thông này, thì độ lớn của hàm truyền đạt bằng 0. Ta có băng thông của bộ lọc Hz. Bộ lọc thông dải BPF (bandpass filter): khi và (hình 1.11a.) Bộ lọc thông thấp LPF (low-pass filter): Khi và có giá trị