Tuyển tập các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc 1993-2005

Câu 4.

Xét B khi có các phần tử dẻu bằng 1. Khi đó A-B = {óịỹ}, Cij = —1, Cij = 0 hoặc =1999. det(A-B) = (-l)n9mod 1999. Suy ra det(A-B) =(-l)n9modl999. Suy ra det(A-B)^í) và n=hạng(A-B) hạng A+hạng(-B )=hạng A+l. đpcm.

Câu 5.

i) Khi ứ = 0, ờ = 0 thì P(x) tuỳ ý.

ii) Khi a = 0, 6 7^ 0 thì P(x) = 0 Va:.

iii) Khi a 7^ 0. b = 0 thì F(x) =const tuỳ ý.

iv) Khi a / 0, b / 0 thì

a) Nếu £ ị N thì khi thay X = b vào ta được X = b — a là nghiệm. Tương tự khi thay X = b — a thì sẽ có X = b — 2fl là nghiệm. Suy ra P(x) = X Vx.

b) Nếu E N thì P(x) có X = ứ, X = 2a, .,x= (n — l)a là nghiêm.

Suy ra Pịx) = (x — à)(x — 2tì).(x — (n — l)a)Ọ(x).

Thế vào bài ta được Qịx — fl) = Q(x) Vx, hay Q(x) =const. Vây P(x) = (x = a)(x = 2ứ).(x — (n — l)tì).