Tuyển tập Đại số tổ hợp

để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách. Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách. 34. (HV Chính trị quốc gia 2001) 1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là: 3 26 4C .C = 120 2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: 56C = 6 * Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: 4 16 4C .C = 60 Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66. 35. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = 1 2 3 4 5 6a a a a a a . + Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có 57A = 2520 số. + Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 46A số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. 46A = 10800 số. Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số. 36. (ĐH Huế khối ABV 2001) · Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số · Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần: + Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a Ỵ {1,2,3,..,9} Þ có 9 số + Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số: * a111 với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số * 1b11 với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số * 11c1 với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số * 111d với d Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 19 Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số + Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần. Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9.35 = 324 số · Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số. 37. (ĐH Huế khối DHT 2001) * Số cách chọn 5 em từ 13 em là: 513C = 1287 * Số cách chọn 5 em toàn nam là: 57C = 21 * Số cách chọn 5 em toàn nữ là: 56C = 6 Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai. · Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có 25C = 10 cách chọn 2 học sinh khá. * Có 58C = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách. · Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có 35C = 10 cách chọn 3 học sinh khá. * Có 48C = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách. Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách. 39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số: · Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 35A Þ Số các số thu được là: 4.4. 35A = 960 số Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 24 Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5. Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp. Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số. 52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a (ai Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả năng sau: · a1, a2, a3 Ỵ {1; 3; 6} · a1, a2, a3 Ỵ {1; 4; 5} · a1, a2, a3 Ỵ {2; 3; 5} Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 . Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số. 53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Có 3 khả năng: · 5 nam và 1 nữ: có 5 15 7C .C cách · 4 nam và 2 nữ: có 4 25 7C .C cách · 3 nam và 3 nữ: có 3 35 7C .C cách Vậy tất cả có: 5 15 7C .C + 4 2 5 7C .C + 3 3 5 7C .C = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách. 54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8. · Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có 68A số thuộc loại này. · Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 21 a2 đến a6: có 5 cách xếp. Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này: có 58A cách. Vậy tất cả có: 5. 58A = 33600 cách. 2. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a . Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có 27C cách. Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 35C cách. Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2! 28C cách. Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có: 27C . 3 5C .2! 2 8C = 11760 số. Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0. Đối với các số 2 3 4 5 6 70a a a a a a : * Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có 26C cách. * Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 34C cách. * Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách. Như vậy loại này có: 26C . 3 4C .7 = 420 số. Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số. 45. (ĐHSP HN II 2001) Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Xét x = 1 2 3 4 5a a a a a Ỵ X. Nếu chọn a5 = 1 thì 1 2 3 4a a a a ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4, 5, 7, 8 Þ có 45A số có chứ hàng đơn vị là 1. Tương tự có 45A số có chứ hàng đơn vị là 3; … Þ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x Ỵ X là: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). 45A = 3360. Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x Ỵ X là: 3360.10; … Vậy tổng tất cả các phần tử của X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960. 46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) 1. Số tập con của A là: + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 20 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 22 2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là: T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C Ta có: 0 = (1 – 1)20 = - + - +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C Þ + + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C = + + + 1 3 19 20 20 20C C ... C Þ + + + +0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 ( )+ + + +0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C Þ T = + + +2 4 2020 20 20C C ... C = - 20 0 20 2 C 2 = 219 – 1. 47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 1. Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c Ỵ {1;2;3;4;5} = E. Vì x chẵn nên c Ỵ {2;4} Þ có 2 cách chọn c. Với mỗi cách chọn c, có 24A cách chọn bc . Vậy tất cả có: 2. 24A = 24 số chẵn. 2. Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ 4 thì x > 345. * Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x = abc < 345. Loại này có: 2. 25A = 40 số. * Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345 Û { }é = Ỵ ê = =ë b 1hoặc 2; c E \ a,b b 4; c 1hoặc 2 Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số. Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số. 48. (ĐH Văn Lang 2001) 1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp: * 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C cách. * 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C cách. Vậy tất cả có: 2. 2 310 10C .C = 10800 cách. 2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp: * 1 nam và 4 nữ: có 1 410 10C .C cách. * 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C cách. * 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C cách. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 23 * 4 nam và 1 nữ: có 4 110 10C .C cách. Vậy tất cả có: 2. 1 410 10C .C + 2. 2 3 10 10C .C = 15000 cách. 49. (ĐH Y HN 2001) Ta xét các trường hợp sau: 1. Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 Þ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. Þ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số. b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục. Þ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số. 2. Chữ số hàng đơn vị là 8: a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. Þ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số. b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục. Þ Số các số thu được là: 6 số. Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số. 50. (ĐH khối D dự bị 1 2002) Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: 818C = 43758 Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau: Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn (số cách phải tìm). Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọn nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối). Bộ phận II có thể chia thành ba loại: · 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có 813C cách. · 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: có 812C cách. · 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: có 811C cách. Vậy số cách phải tìm là: 818C – ( 8 13C + 8 12C + 8 11C ) = 41811 cách. 51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 28 · Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là: 1325C = 5200300 Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: 4 915 10C C Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: 3 10 15 10C C Þ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là: 4 915 10C C + 3 10 15 10C C = 13650 + 455 = 14105 Þ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là: ( )- +13 4 9 3 1025 15 10 15 10C C .C C .C = 5186195 · Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là: ( )é ù- +ë û2 13 4 9 3 105 25 15 10 15 10C C C .C C .C = 51861950 66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có 24C cách. Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách. Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách. Vậy tất cả có: 24C .3. 2 8A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài. 67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) · Gọi ab là số tự nhiên phải tìm Þ a ≠ 0 Do ab chẵn nên b Ỵ {0, 2, 4, 6, 8} Có 2 trường hợp: * Nếu b = 0 thì a Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ có 9 cách chọn a. Þ có 9 số a0 * Nếu b ≠ 0 thì b Ỵ {2, 4, 6, 8} Þ có 4 cách chọn b. Khi đó có 8 cách chọn a. Þ có 4.8 = 32 số ab Vậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm. · Đặt S là tổng của 41 số đó. S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88) = 45. +10 98 2 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210. 68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) · Hai đỉnh thuộc d1, một đỉnh thuộc d2: có 210C .8 tam giác · Hai đỉnh thuộc d2, một đỉnh thuộc d1: có 28C .10 tam giác Vậy tất cả có: 210C .8 + 2 8C .10 = 640 tam giác. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 25 chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4. ( )-6 58 7A A . Vậy tất cả có: 68A + 4. ( )-6 58 7A A = 90720 số. 55. (CĐ Sư phạm khối A 2002) 1. a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm Þ Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là 210C = 45 điểm. b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm Þ Số giao điểm tối đa của 6 đường tròn phân biệt là 2. 26C = 30 điểm. 2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường tròn có tối đa 12 giao điểm. Do đó số giao điểm tối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường tròn là: 10.12 = 120. Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là: 45 + 30 + 120 = 195 điểm. 56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần tử Þ Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là: 2nC Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo Þ 2nC = n + 2n Û -n(n 1) 2 = 3n Û n2 – n = 6n Û n2 – 7n = 0 Û =é ê =ë n 7 n 0 (loại) Vậy n = 7. 57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Gọi số cần tìm là: x = 1 2 3a a a Vì x < 245 nên a1 = 1 hoặc a1 = 2 · a1 = 1: x = 2 31a a a2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5 Þ Có: 24A = 4.3 = 12 số · a1 = 2: x = 2 32a a a2 có 2 khả năng: * a2 < 4 Þ a2 Ỵ {1, 3} Þ a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại Þ Có 2.3 = 6 số * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 có 2 cách chọn Þ Có 2 số Þ Có 6 + 2 = 8 số x = 2 32a a Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài. Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 26 58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a . Chọn a4 từ {1, 5, 9} Þ có 3 cách chọn. Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ có 3 cách chọn. Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ có 3 cách chọn. Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ có 2 cách chọn. Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài. 59. (ĐH khối B 2004) Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau: * Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó Þ có 2 2 115 10 5C .C .C đề. * Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó Þ có 2 1 215 10 5C .C .C đề. * Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó Þ có 3 1 115 10 5C .C .C đề. Vậy tất cả có: 2 2 115 10 5C .C .C + 2 1 2 15 10 5C .C .C + 3 1 1 15 10 5C .C .C = 23625 + 10500 + 22750 = 56875 đề. 60. (ĐH khối B 2005) Có 1 43 12C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có 1 42 8C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có 1 41 4C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba. Vậy tất cả có: 1 43 12C C . 1 4 2 8C C . 1 4 1 4C C = 207900 cách phân công. 61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Gọi x = 1 2 3 4 5 6a a a a a a là số cần lập. YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 Þ a3, a4, a5 Ỵ {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 Ỵ {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 Ỵ {1, 2, 5} · Có 6 cách chọn a1 · Có 5 cách chọn a2 · Có 3! cách chọn a3, a4, a5 · Có 4 cách chọn a6 Þ Có: 6.5.6.4 = 720 số x. b) Khi a3, a4, a5 Ỵ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 27 Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x. 62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Ta có các trường hợp: · 3 nữ và 5 nam: có 3 55 10C C = 2520 cách. · 4 nữ và 4 nam: có 4 45 10C C = 1050 cách. · 5 nữ và 3 nam: có 5 35 10C C = 120 cách. Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. 63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2) · Cách 1: Gọi x = 1 2 3 4 5a a a a a là số cần lập. Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có 25A = 20 cách. Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên. 4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai. 3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba. Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số. · Cách 2: * Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có 25A = 20 cách. * Bước 2: có 35A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20.60 = 1200 số. 64. (ĐH khối D 2006) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: 412C = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: · Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh. Þ Số cách chọn là: 2 1 15 4 3C C C = 120 · Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh: Þ Số cách chọn là: 1 2 15 4 3C C C = 90 · Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh: Þ Số cách chọn là: 1 1 25 4 3C C C = 60 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách. 65. (CĐ GTVT III khối A 2006) · Số cách chọn 2 học sinh khối C là: 25C = 10 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 32 nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá +n 1 2 . 30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng: + + + + = -0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1) 31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001) Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng: ( )+ - £ 2n n n2n k 2n k 2nC .C C 32. (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) -- -- - - -- -- - + = + + + + + n n n 1x xx 1 x 1 x 1 0 13 32 2 2 n n n 1 nx xx 1 n 1 n3 32 n n 2 2 C 2 C 2 2 ... C 2 2 C 2 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó =3 1n nC 5C và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x. 33. (ĐH khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n. Tìm n? 34. (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: + + + +0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C = 243 35. (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: -+3 n 2n nA 2C ≤ 9n. 36. (ĐH dự bị 4 2002) Giả sử n là số nguyên dương và: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho - += =k 1 k k 1a a a 2 9 24 . Hãy tính n. 37. (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 29 Phần II. BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON 1. (CĐSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: + ++ =k k 2 k 114 14 14C C 2C 2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) Tính tổng: + + + +6 7 8 9 1010 10 10 10 10C C C C C trong đó knC là số tổ hợp chập k của n phần tử. 3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Tìm các số nguyên dương x thoả: + + = -1 2 3 2x x xC 6C 6C 9x 14x 4. (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng: S = -- + - + + -1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) .nC trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2. 5. (ĐHQG HN khối A 2000) Chứng minh rằng: ++ £ +k k 1 1000 10012001 2001 2001 2001C C C C (trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000û) 6. (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau: ỉ ư ç ÷+ ç ÷ è ø 17 4 3 3 2 1 x x , x ≠ 0 7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình: - £ +2 2 32x x x 1 6A A .C 10 2 x 8. (ĐHSP HN khối A 2000) Trong khai triển nhị thức -ỉ ư ç ÷+ ç ÷ è ø n28 3 15x x x , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng - -+ + =n n 1 n 2n n nC C C 79 9. (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. 10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) Tính tổng: S = + + + + + 0 1 2 n n n n n 1 1 1C C C ... C 2 3 n 1 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 30 11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) Chứng minh: - - - - -+ + + + + =n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 4 4 n n 1n n n n n2 C 2 C 2 C 2 C ... nC n.3 12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Tìm hệ số của x31 trong khai triển của f(x) = ỉ ư+ç ÷ è ø 40 2 1x x 13. (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có: -+ + + + =2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 n 1... nA A A A 14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14. Hãy tính hệ số a9. 15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau: 1. + + + +0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2 n 2. -+ + + +1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC C C ... C = + + + + 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2nC C C ... C 16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) Tính tổng: S = + + + +0 1 2 20002000 2000 2000 2000C 2C 3C ... 2001C 17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Tìm max(a1, a2, …, a12). 18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I = -ị 1 2 n 0 x(1 x ) dx (n Ỵ N*) Từ đó chứng minh rằng: -- + - + + = + + n 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 ( 1) 1C C C C ... C 2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1) 19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 20. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 31 xn = + + - 4 n 4 n 2 n A 143 P 4P (n = 1, 2, 3, …) 21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có: + + +2 2 2 2 3 n 1 1 1... A A A = -n 1 n . 22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) Giải hệ phương trình: ì + =ï í - =ïỵ y y x x y y x x 2A 5C 90 5A 2C 80 23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) 1. Tính tích phân: I = +ị 1 6 0 (x 2) dx 2. Tính tổng: S = + + + + + + 6 5 4 3 2 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 1C C C C C C C 1 2 3 4 5 6 7 24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001) Chứng minh rằng với mọi số x ta có: xn = = -å n k k nn k 0 1 C (2x 1) 2 (n Ỵ N) (*) 25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: S = + + + + + + 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 1 1 1C C .2 C .2 C .2 ... C .2 2 3 4 n 1 26. (ĐH Hàng hải 2001) Chứng minh: -+ + + + = +0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3 2 (2 1) 27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: - - -+ + + +1 n 1 2 n 2 3 n 3 nn n n nC .3 2.C .3 3.C .3 ... n.C = n.4 n–1 28. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của ỉ ư+ç ÷ è ø 101 2 x 3 3 thành đa thức: a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak Ỵ R) hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10). 29. (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng knC lớn Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 36 Cho A = ỉ ư ỉ ư- + -ç ÷ç ÷ è øè ø 20 10 3 2 1 1x x xx . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số ha