Tuyển tập đề thi đại học - Đại số tổ hợp

– (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) 1. Ñeå coù ít nhaát laø 2 nöõ thì ta phaûi choïn: * 2 nöõ, 4 nam ® coù caùch hoaëc * 3 nöõ, 3 nam ® coù caùch hoaëc * 4 nöõ, 2 nam ® coù caùch hoaëc * 5 nöõ, 1 nam ® coù caùch hoaëc * 6 nöõ ® coù caùch Vaäy: coù + + + + caùch 2. Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: . 14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) 1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng: hoaëc hoaëc * Vôùi soá ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. Þ Coù 5.4.3 = 60 soá * Vôùi soá hoaëc ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. Þ Coù 4.4.3 = 48 soá vaø 48 soá Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün. 2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng hoaëc . * Vôùi soá ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. Þ Coù 5.4 = 20 soá * Vôùi soá ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. Þ Coù 4.4 = 16 soá Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm. 3. Goïi laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540 ® coù 4 soá * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû ® coù 3! = 6 soá. Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm. 15. (ÑH Y HN 2000) Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: = 5.3.4 = 60 Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: = 18 Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: = 12 Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn 16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) Xeùt soá naêm chöõ soá 1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù = 120 caùch. Vaäy coù 5.120 = 600 soá. 2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù caùch. Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù = 24 caùch. Vaäy coù . = 480 soá. 17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) 1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù = 5400 caùch. 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch * 3 nam vaø 2 nöõ: coù = 5400 caùch * 4 nam vaø 1 nöõ: coù = 2100 caùch Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch. 18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000) Taát caû coù 9.10.10.10.10 = 90000 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá. Trong caùc soá coù 5 chöõ soá naøy, xeùt caùc soá khoâng coù maët caùc chöõ soá 2, 3, 4. Loaïi naøy coù: 6 caùch choïn chöõ soá haøng vaïn 7 caùch choïn chöõ soá haøng nghìn 7 caùch choïn chöõ soá haøng traêm 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc 7 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò Do ñoù coù 6.7.7.7.7 = 14406 soá. Vaäy taát caû coù: 90000 – 14406 = 75594 soá coù 5 chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû caùc chöõ soá 2, 3, 4. 19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000) Xeùt moät soá coù 4 chöõ soá tuyø yù ñaõ cho . Coù hai khaû naêng: 1. Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5 Î {1, 3, 5, 7, 9} vaø laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá leû. 2. . Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5 Î {0, 2, 4, 6, 8} vaø laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá leû. Vì coù taát ca 9.10.10.10 = 9000 soá coù 4 chöõ soá, moãi soá coù 4 chöõ soá naøy laïi sinh ra 5 soá coù 5 chöõ soá coù toång caùc chöõ soá laø moät soá leû, neân coù taát caû 9000.5 = 45000 soá coù 5 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät soá leû. 20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000) 1. Coù: caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû. caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi. Vaäy coù: . = 7150 caùch choïn 2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: * 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng ® coù caùch * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng ® coù caùch * 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng ® coù caùch Vaäy coù taát caû: + + = 3045 caùch. 21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000) Coù 2 khaû naêng: 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün ® coù 5!5! caùch 2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû ® coù 5!5! caùch Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch. 22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000) Coù 8 oâ troáng, caàn choïn ra 1 oâ ñieàn chöõ soá 2, 1 oâ ñieàn chöõ soá 3, 1 oâ ñieàn chöõ soá 4, 1 oâ ñieàn chöõ soá 5. Sau ñoù trong 4 oâ coøn laïi, caàn choïn 2 oâ ñieàn chöõ soá 1, cuoái cuøng coøn laïi 2 oâ ñieàn chöõ soá 6. Vaäy coù taát caû coù: 8.7.6.5..1 = 10080 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. 23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) Soá caùc soá coù 6 chöõ soá laø 9.105 soá Vôùi moãi soá coù 6 chöõ soá ta laäp ñöôïc 5 soá coù 7 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät soá chaün. Vaäy coù taát caû: 9.105.5 = 45.105 soá. 24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) Theo yeâu caàu cuûa baøi toaùn vaø soá 0 khoâng ñöùng tröôùc baát kì soá naøo neân caùc soá coù 5 chöõ soá chæ coù theå taïo thaønh töø caùc soá {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T. ÖÙng vôùi moãi boä 5 chöõ soá phaân bieät baát kì trong T chæ coù 1 caùch saép xeáp duy nhaát thoaû maõn ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá lieàn tröôùc. Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: = 126. 25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) Coù taát caû: = 1260 caùch 26. (ÑH GTVT 2000) Coù 2 khaû naêng: * 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù * 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù Vaäy soá choïn laø: + = 324 caùch. 27. (HV Quaân y 2000) 1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø . Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø . Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: . = 840 caùch. 2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3! Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch. 28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) Caùc soá coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, vieát theo thöù töï taêng laø: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Caùc soá leû coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, laäp thaønh moät caáp soá coäng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 vôùi coâng sai d = 18. Do ñoù: un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 Vaäy taát caû coù 50000 soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9. 29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) Xeùt soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau, lôùn hôn 500000: x = Töø giaû thieát Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9} Coù 2 khaû naêng: 1. a1 leû: * a1 coù 6 caùch choïn * a6 coù 4 caùch choïn * sau khi choïn a1, a6, caàn choïn , moãi caùch choïn öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 8 phaàn töû. Vaäy khaû naêng thöù nhaát coù: 6.4. = 40320 soá 2. a1 chaün: * a1 coù 2 caùch choïn * a6 coù 5 caùch choïn * coù caùch choïn Vaäy khaû naêng thöù hai coù: 2.5. = 16800 soá Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm. 30. (CÑSP Nha Trang 2000) Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. = 300 Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø: = 120 Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá. 31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) Choïn 3 em nam: coù caùch Choïn 2 em nöõ: coù caùch Vaäy coù: . = 1260 caùch. 32. (ÑH An ninh khoái D 2001) Giaû söû soá coù 7 chöõ soá laäp ñöôïc vieát trong 7 oâ cuûa hình sau: Theá thì: * Coù 6 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0 (tröø oâ soá 1) * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho soá chöõ 0 ta coøn = 20 caùch choïn vò trí cho 3 chöõ soá 4. * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho chöõ soá 0 vaø chöõ soá 4, ta coøn 3! = 6 caùch choïn cho 3 chöõ soá coøn laïi. Vaäy soá caùc soá laäp ñöôïc laø: 6.20.6 = 720 soá. 33. (ÑH Caàn Thô 2001) Coi 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau nhö moät vò trí maø thoâi thì soá caùch ñeå boá trí 7 hoïc sinh ñöùng lieàn nhau xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ baèng 4!. Nhöng ñeå xeáp 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau thì laïi coù 7! caùch. Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch. 34. (HV Chính trò quoác gia 2001) 1. Chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau töùc laø chia moãi nhoùm coù 5 ngöôøi maø trong ñoù coù 3 nöõ vaø 2 nam Þ soá caùch chia laø: = 120 2. * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø khoâng coù nam laø: = 6 * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù 1 nam (vaø 4 nöõ) laø: = 60 Vaäy soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù khoâng quaù 1 nam laø: 6 + 60 = 66. 35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = . + Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù = 2520 soá. + Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng hôïp naøy coù 6.5. = 10800 soá. Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá. 36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001) · Soá caùc soá töï nhieân coù 4 chöõ soá laø: 9.10.10.10 = 9000 soá · Ta tìm soá caùc soá töï nhieân coù 1 chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn: + Soá 0 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi soá töï nhieân vôùi a Î {1,2,3,..,9} Þ coù 9 soá + Soá 1 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi caùc soá: * vôùi a Î {2,3,4, …,9} Þ coù 8 soá * vôùi b Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá * vôùi c Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá * vôùi d Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá Þ coù 8 + 9 + 9 + 9 = 35 soá + Töông töï vôùi moãi soá töø 2 ñeán 9 ta cuõng tìm ñöôïc 35 soá töï nhieân sao cho moãi chöõ soá treân laëp laïi ñuùng 3 laàn. Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù moät chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9 + 9.35 = 324 soá · Vaäy soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá maø trong ñoù khoâng coù chöõ soá naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9000 – 324 = 8676 soá. 37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001) * Soá caùch choïn 5 em töø 13 em laø: = 1287 * Soá caùch choïn 5 em toaøn nam laø: = 21 * Soá caùch choïn 5 em toaøn nöõ laø: = 6 Vaäy soá caùch choïn 5 em coù caû nam vaø nöõ laø: 1287 – (21 + 6) = 1260 38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001) Moãi toå coù 1 hoaëc 2 hoïc sinh gioûi. Vì khoâng phaân bieät thöù töï cuûa 2 toå neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù 8 hoïc sinh trong ñoù phaûi coù 1 hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Caùc hoïc sinh coøn laïi taïo thaønh toå thöù hai. · Tröôøng hôïp 1: Coù 2 hoïc sinh khaù: * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi. * Coù = 10 caùch choïn 2 hoïc sinh khaù. * Coù = 56 caùch choïn 5 hoïc sinh trung bình. Þ Coù: 3.10.56 = 1680 caùch. · Tröôøng hôïp 2: Coù 3 hoïc sinh khaù: * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi. * Coù = 10 caùch choïn 3 hoïc sinh khaù. * Coù = 70 caùch choïn 4 hoïc sinh trung bình. Þ Coù: 3.10.70 = 2100 caùch. Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch. 39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001) Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá: · Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0: Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. = 960 soá · Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0: Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. = 600 soá. Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá. 40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001) 1. Coù 9 caùch choïn chöõ soá haøng traêm, 9 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc, 8 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. Vaäy coù 9.9.8 = 648 soá. 2. · Tröôøng hôïp 1: Chöõ soá taän cuøng baèng 0. Boán chöõ soá ñöùng ñaàu ñöôïc choïn tuyø yù trong 7 chöõ soá coøn laïi neân soá caùc soá taïo thaønh laø: = 840 · Tröôøng hôïp 2: Chöõ soá taän cuøng khaùc 0. * Chöõ soá taän cuøng coù 3 caùch choïn (töø 2, 4, 6) * Chöõ soá ñöùng ñaàu coù 6 caùch choïn * 3 chöõ soá coøn laïi ñöôïc choïn tuyø yù trong 6 chöõ soá coøn laïi. Þ Soá caùc soá taïo thaønh: 3.6. = 2160 Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá. 41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001) Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720 Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120 soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120 Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá. 42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001) Ñaùnh soá vò trí ñöùng töø 1 ñeán 9. Ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ thì moãi hoïc sinh nöõ ñöùng caùch nhau moät, töùc laø 3 hoïc sinh nöõ ñöùng ôû caùc vò trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9). Coù 5 caëp 3 vò trí cuûa 3 hoïc sinh nöõ. Caùch xeáp 3 baïn nöõ vaøo moãi caëp 3 vò trí laø 3!. Caùch xeáp 6 baïn nam vaøo 6 vò trí coøn laïi laø 6!. Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch. 43. (HV Quan heä quoác teá 2001) Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9. Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8! Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá. 44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) 1. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: . Xeáp chöõ soá 0 vaøo caùc vò trí töø a2 ñeán a6: coù 5 caùch xeáp. Coøn laïi 5 vò trí, ta choïn 5 trong 8 chöõ soá ñeå xeáp vaøo 5 vò trí naøy: coù caùch. Vaäy taát caû coù: 5. = 33600 caùch. 2. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: . Choïn 2 vò trí ñeå xeáp hai chöõ soá 2: coù caùch. Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù caùch. Coøn 2 vò trí, choïn 2 chöõ soá tuyø yù ñeå xeáp vaøo 2 vò trí naøy: coù 2! caùch. Nhö vaäy neáu xeùt caû caùc soá baét ñaàu baèng chöõ soá 0 thì coù: ..2! = 11760 soá. Trong caùc soá naøy, caàn loaïi boû caùc soá baét ñaàu bôùi chöõ soá 0. Ñoái vôùi caùc soá : * Choïn 2 vò trí ñeå xeáp chöõ soá 2: coù caùch. * Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù caùch. * Choïn 1 soá ñeå xeáp vaøo vò trí coøn laïi: coù 7 caùch. Nhö vaäy loaïi naøy coù: ..7 = 420 soá. Vaäy taát caû coù: 11760 – 420 = 11340 soá. 45. (ÑHSP HN II 2001) Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Xeùt x = Î X. Neáu choïn a5 = 1 thì öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5 phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 Þ coù soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1. Töông töï coù soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; … Þ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x Î X laø: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). = 3360. Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x Î X laø: 3360.10; … Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960. 46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001) 1. Soá taäp con cuûa A laø: = 220 2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: T = Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = Þ = Þ = 2 Þ T = = = 219 – 1. 47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) 1. Xeùt caùc soá chaün x = vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c Î {1;2;3;4;5} = E. Vì x chaün neân c Î {2;4} Þ coù 2 caùch choïn c. Vôùi moãi caùch choïn c, coù caùch choïn . Vaäy taát caû coù: 2. = 24 soá chaün. 2. Xeùt x = vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6} * Neáu a ≥ 4 thì x > 345. * Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta ñeàu coù x = < 345. Loaïi naøy coù: 2. = 40 soá. * Neáu a = 3 thì x = < 345 Û Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá. Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá. 48. (ÑH Vaên Lang 2001) 1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh nam thì coù 2 tröôøng hôïp: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù caùch. * 3 nam vaø 2 nöõ: coù caùch. Vaäy taát caû coù: 2. = 10800 caùch. 2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù 4 tröôøng hôïp: * 1 nam vaø 4 nöõ: coù caùch. * 2 nam vaø 3 nöõ: coù caùch. * 3 nam vaø 2 nöõ: coù caùch. * 4 nam vaø 1 nöõ: coù caùch. Vaäy taát caû coù: 2. + 2. = 15000 caùch. 49. (ÑH Y HN 2001) Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 Þ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá. 2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8: a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá. Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá. 50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002) Toång soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 em cuûa ñoäi tuyeån laø: = 43758 Toång soá caùch treân ñöôïc phaân laøm hai boä phaän rôøi nhau: Boä phaän I goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em sao cho moãi khoái ñeàu coù em ñöôïc choïn (soá caùch phaûi tìm). Boä phaän II goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em chæ goàm 2 khoái (löu yù laø soá em thuoäc moãi khoái ñeàu ít hôn 8 neân khoâng coù caùch choïn naøo maø caû 8 em thuoäc cuøng moät khoái). Boä phaän II coù theå chia thaønh ba loaïi: · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 11: coù caùch. · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 10: coù caùch. · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 11 hoaëc 10: coù caùch. Vaäy soá caùch phaûi tìm laø: – ( + + ) = 41811 caùch. 51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2) Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, 1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) = 192 soá. 52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1) Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá ñaõ cho coù daïng: (ai Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn trong 3 khaû naêng sau: · a1, a2, a3 Î {1; 3; 6} · a1, a2, a3 Î {1; 4; 5} · a1, a2, a3 Î {2; 3; 5} Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! = 108 soá. 53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2) Coù 3 khaû naêng: · 5 nam vaø 1 nöõ: coù caùch · 4 nam vaø 2 nöõ: coù caùch · 3 nam vaø 3 nöõ: coù caùch Vaäy taát caû coù: + + = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 caùch. 54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1) Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc 2, 4, 6, 8. · Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù soá thuoäc loaïi naøy. · Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4.. Vaäy taát caû coù: + 4. = 90720 soá. 55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002) 1. a) Hai ñöôøng thaúng phaân bieät coù toái ña 1 giao ñieåm Þ Soá giao ñieåm toái ña cuûa 10 ñöôøng thaúng phaân bieät laø = 45 ñieåm. b) Hai ñöôøng troøn phaân bieät coù toái ña 2 giao ñieåm Þ Soá giao ñieåm toái ña cuûa 6 ñöôøng troøn phaân bieät laø 2. = 30 ñieåm. 2. Vì 1 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn coù toái ña 12 giao ñieåm. Do ñoù soá giao ñieåm toái ña giöõa 10 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn laø: 10.12 = 120. Vaäy soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp caùc ñöôøng ñaõ cho laø: 45 + 30 + 120 = 195 ñieåm. 56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò) Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc töông öùng moät toå hôïp chaäp 2 cuûa n phaàn töû Þ Soá ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc laø: Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc hoaëc laø caïnh hoaëc laø ñöôøng cheùo Þ = n + 2n Û = 3n Û n2 – n = 6n Û n2 – 7n = 0 Û Vaäy n = 7. 57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Goïi soá caàn tìm laø: x = Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2 · a1 = 1: x = a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5 Þ Coù: = 4.3 = 12 soá · a1 = 2: x = a2 coù 2 khaû naêng: * a2 < 4 Þ a2 Î {1, 3} Þ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3 soá coøn laïi Þ Coù 2.3 = 6 soá * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 coù 2 caùch choïn Þ Coù 2 soá Þ Coù 6 + 2 = 8 soá x = Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. 58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002) Soá caàn tìm coù daïng: . Choïn a4 töø {1, 5, 9} Þ coù 3 caùch choïn. Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ coù 3 caùch choïn. Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ coù 3 caùch choïn. Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ coù 2 caùch choïn. Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. 59. (ÑH khoái B 2004) Moãi ñeà kieåm tra coù soá caâu deã laø 2 hoaëc 3, neân coù caùc tröôøng hôïp sau: * Ñeà coù 2 caâu deã, 2 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù ñeà. * Ñeà coù 2 caâu deã, 1 caâu trung bình, 2 caâu khoù Þ coù ñeà. * Ñeà coù 3 caâu deã, 1 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù ñeà. Vaäy taát caû coù: + + = 23625 + 10500 + 22750 = 56875 ñeà. 60. (ÑH khoái B 2005) Coù caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát, thì coù caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba. Vaäy taát caû coù: .. = 207900 caùch phaân coâng. 61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1) Goïi x = laø soá caàn laäp. YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 Þ a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 Î {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} · Coù 6 caùch choïn a1 · Coù 5 caùch choïn a2 · Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5 · Coù 4 caùch choïn a6 Þ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x. b) Khi a3, a4, a5 Î {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x. Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x. 62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1) Ta coù caùc tröôøng hôïp: · 3 nöõ vaø 5 nam: coù = 2520 caùch. · 4 nöõ vaø 4 nam: coù = 1050 caùch. · 5 nöõ vaø 3 nam: coù = 120 caùch. Vaäy taát caû coù: 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch. 63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2) · Caùch 1: Goïi x = laø soá caàn laäp. Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù = 20 caùch. Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân. 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai. 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba. Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá. · Caùch 2: * Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù = 20 caùch. * Böôùc 2: coù = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi. Vaäy coù 20.60 = 1200 soá. 64. (ÑH khoái D 2006) Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: = 495 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau: · Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. Þ Soá caùch choïn laø: = 120 · Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: Þ Soá caùch choïn laø: = 90 · Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: Þ Soá caùch choïn laø: = 60 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: 120 + 90 + 60 = 270 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch. 65. (CÑ GTVT III khoái A 2006) · Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: = 10 · Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn baát kì laø: = 5200300 Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: Þ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: + = 13650 + 455 = 14105 Þ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: = 5186195 · Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A l