Tuyển tập kỷ yếu toán học Olympic trại hè Hùng Vương năm 2008

3 nghiệm phân biệt (trong mỗi khoảng (−2;−1); (−1; 1); (1; 2) phương trình (6) có ít nhất một nghiệm mà ba khoảng đó đôi một rời nhau). Nhưng (6) là phương trình bậc 3 nên (6) có nhiều nhất 4.6. Phương pháp Lượng giác 103 3 nghiệm phân biệt. Vậy (6) có đúng ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3. Ngoài ra, từ trên ta thấy mọi nghiệm của (6) đều ∈ (−2; 2) nên để tìm nghiệm của (6) ta có thể đặt x = 2 cos t với 0 < t < pi (∗). Ta thu được phương trình 8 cos3 t− 6 cos t+ 1 = 0 ⇔ 4 cos3 t− 3 cos t = −1 2 ⇔ cos 3t = −1 2 . (6.1) (6.1) ⇔  3t = 2pi3 + 2kpi 3t = −2pi 3 + 2npi ⇔  t = 2pi9 + 2kpi3 t = −2pi 9 + 2n pi 3 (k, n ∈ Z). Do t ∈ I(a, b) nên ta được k = 0; k = 1; n = 1. Như vậy, (6.1) có ba nghiệm ∈ I(a, b) là t = 8pi 9 := t1; t = 4pi 9 := t2; t = 2pi 9 := t3 (t1 > t2 > t3). Do hàm số cosx nghịch biến trên I(a, b) nên ta được ba nghiệm phân biệt của phương trình (6) là x1 = 2 cos 8pi 9 < x2 = 2 cos 4pi 9 < x3 = 2 cos 2pi 9 . Ngoài ra, x2 + 2 = 2 cos 4pi 9 + 2 = 2(1 + cos 4pi 9 ) = 2.2. cos2 2pi 9 = x23. Đó chính là điều phải chứng minh. Ví dụ 4.6.7. Tìm m để hệ: { |x|+ |y| = 1 (α) x2 + y2 = m (β) (7) có nghiệm. Từ (α) có 0 6 |x|; |y| 6 1 nên có thể đặt |x| = sin2 t⇒ |y| = cos2 t. Ta thu được{ sin2 t+ cos2 t = 1 (luôn đúng với mọi t ∈ R) sin4 t+ cos4 t = m ⇔ sin4 t+ cos4 t = m (7.1). Mà (7.1) ⇔ m = (sin2 t + cos2 t)2 − 2 sin2 t cos2 t = 1 − 1 2 sin2 2t. (7.2), nên ta có: Phương trình (7) có nghiệm ⇔(7.2) có nghiệm ⇔ 1 2 6 m 6 1. Vậy 1 2 6 m 6 1 là các giá trị cần tìm. Ví dụ 4.6.8. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ x+ √ 1− x > m √ x− x2 + 1. (8) Điều kiện:  x > 0 1− x > 0 x− x2 > 0 ⇔  x > 0 x 6 1 0 6 x 6 1 ⇔ 0 6 x 6 1. (∗) 4.6. Phương pháp Lượng giác 104 Với điều kiện đó ta có thể đặt x = cos2 t với 0 6 t 6 pi 2 (∗1). Ta thu được bất phương trình cos t+ sin t > m. sin t. cos t+ 1. (8.1) (Do từ (∗1) có | sin t| = sin t; | cos t| = cos t; | sin t cos t| = sin t cos t.) Lại đặt z = cos t+sin t. Với t ∈ (∗1) ta dễ thấy z ∈ [1; √ 2]. Ngoài ra, sin t. cos t = z2 − 1 2 và bất phương trình (8.1) trở thành: 2z > m(z2 − 1) + 2 ⇔ 2(z − 1) > m(z2 − 1). (8.2) Nếu z = 1 thì (8.2) ⇔ 2.0 > m.0 : vô lý. Vậy (8.2) không có nghiệm z = 1. Xét z ∈ (1;√2] (∗2). Khi đó z − 1 > 0; z + 1 > 0 nên (8.2) ⇔ m < 2 z + 1 := f(z). Ta có: (8) có nghiệm ⇔ (8.1) có nghiệm t ∈ (∗1) ⇔ (8.2) có nghiệm z ∈ (∗2) ⇔ m < cosh (∗2)Sup f(z). Dễ thấy f(z) liên tục và nghịch biến trên (∗2) nên cosh (∗2)Sup f(z) = f(1) = 1. Vậy m < 1 là các giá trị cần tìm. Bài tập tương tự 1. Cho x2 + y2 = 1; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng |xu+ yv| 6 1 2. Cho y = x4 − x2 + 1 8 . 1) Chứng minh rằng |y| 6 1 8 với mọi x ∈ [−1; 1]. 2) Chứng minh rằng phương trình: x4 − x2 + 1 8 = 0 có bốn nghiệm phân biệt x ∈ [−1; 1]. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = 1 + x4 (1 + x2)2 4. Cho ab; bc; ca cùng 6= −1. Chứng minh rằng a− b 1 + ab + b− c 1 + bc + c− a 1 + ca = a− b 1 + ab . b− c 1 + bc . c− a 1 + ca 4.6. Phương pháp Lượng giác 105 5. Cho a, b, c > 0; a > c; b > c. Chứng minh rằng√ c(a− c) + √ c(b− c) 6 √ ab 6. Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng: x 1− x2 + y 1− y2 + z 1− z2 > 3 √ 3 2 7. Chứng minh rằng với mọi x ∈ (−1; 1) và n > 2, ta luôn có: (1 + x)n + (1− x)n < 2 8. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R, ta luôn có: −1 2 6 (a+ b)(1− ab) (1 + a2)(1 + b2) 6 1 2 9. Cho a, b, c > 0 và abc+ a+ c = b. Tìm MaxP với: P = 2 a2 + 1 − 2 b2 + 1 + 3 c2 + 1 10. Cho dãy số (xn) xác định như sau: x1 = 1 2 ; xn+1 = √ 1−√1− x2n 2 Chứng minh rằng: xk + xk+1 + xk+2 + · · ·+ xk+l < 1, 03 với mọi k, l ∈ N∗ 11. Tìm a để phương trình : x+ √ 1− x2 = a có nghiệm. 12. Giải và biện luận: √ a+ x+ √ a− x = x. 13. Tìm nghiệm của hệ:  x2 + y2 = 4 z2 + t2 = 9 xt+ yz > 6 với x+ z lớn nhất. 14. Giải phương trình: x2 + ( x x− 1) 2 = 1. 15. Giải hệ: 3(x+ 1 x ) = 4(y + 1 y ) = 5(z + 1 z ) xy + yz + zx = 1 4.6. Phương pháp Lượng giác 106 16. Cho y = |x|(4x2 +m). Tìm m để |y| 6 1 với mọi x; |x| 6 1. 17. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 + cosA. cosB. cosC > √ 3 sinA. sinB. sinC 18. Giải hệ: {√ 2(x− y)(1 + 4xy) = √3 x2 + y2 = 1 19. Cho dãy {un} xác định như sau: u1 = √ 2 un+1 = un + √ 2− 1 (1−√2)un + 1 (n > 1) Hãy tính u2004 20. Cho 0 < x1 < y1. Hai dãy {xn}; {yn} xác định như sau:xn+1 = xn + yn 2 yn+1 = √ xn+1yn (n > 1) Chứng minh rằng Lim n→+∞ xn = Lim n→+∞ yn. Hãy tìm giới hạn đó. 21. Cho dãy {xk}nk=0 thoả mãn:{ x0 = 0; n = 50.000 xk+1 = xk + 1 30.000 √ 1− x2k (k ∈ 0;n− 1) Bất đẳng thức xn 6 1 đúng hay sai?. 22. Cho dãy các hàm số {Tn(x)} được xác định như sau: T1(x) = x T2(x) = 2x 2 − 1 Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) (n > 2) Chứng minh rằng: 1) Nếu |x| 6 1 thì |Tn(x)| 6 1 với mọi n ∈ N∗. 2) Phương trình Tn(x) = 0 có đúng n nghiệm phân biệt và các nghiệm đó đều ∈ [−1; 1]. 3) Tìm tất cả các giá trị của x để |Tn(x)| = 1. 23. Chứng minh rằng với a, b > 0, ta luôn có:√ a+ √ b = √ a+ √ a2 − b 2 + √ a+ √ a2 − b 2 4.6. Phương pháp Lượng giác 107 24. Chứng minh rằng với a > c; b > c; c > 0 ta luôn có:√ (a+ c)(b+ c) + √ (a− c)(b− c) 6 2 √ ab 25. Rút gọn biểu thức: T = √ a−√4(a− 1) +√a+√4(a− 1)√ a2 − 4(a− 1) 26. Chứng minh rằng với a > |b|, ta luôn có √ 2b 2a+ √ a2 − b2√ a+ √ a2 − b2 = √ (a+ b)3 − √ (a− b)3 27. Giải phương trình:√ 4 + √ 16− x 2 + √ 4−√16− x 2 = √ 4 + √ x+ √ 16− x 28. Cho xyz 6= 0; xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng (x− 1 x )(y − 1 y ) + (y − 1 y )(z − 1 z ) + (z − 1 z )(x− 1 x ) = 4 29. Cho x; y; z 6= ± √ 3 3 ; x+ y + z = xyz. Chứng minh rằng 3x− x3 1− 3x2 + 3y − y3 1− 3y2 + 3z − z3 1− 3z2 = 3x− x3 1− 3x2 . 3y − y3 1− 3y2 . 3z − z3 1− 3z2 30. Cho xyz 6= 0; x+ y + z − xyz = 1− xy − yz − zx. Chứng minh rằng 1− x2 x + 1− y2 y + 1− z2 z = 1 4 . 1− x2 x . 1− y2 y . 1− z2 z 31. Cho x1;x2;x3 là các nghiệm của phương trình x3 + ax2 + x+ b = 0 Chứng minh rằng (x1 − 1 x1 )(x2 − 1 x2 ) + (x2 − 1 x2 )(x3 − 1 x3 ) + (x3 − 1 x3 )(x1 − 1 x1 ) = 4 4.6. Phương pháp Lượng giác 108 32. Cho x; y;x 6= 1 thoả mãn: 1 + x 1− x + 1 + y 1− y + 1 + z 1− z = 1 + x 1− x. 1 + y 1− y . 1 + z 1− z Chứng minh rằng a) x+ y + z − xyz = xy + yz + zx− 1 b) 2(x+ y)(1− xy) (1 + x2)(1 + y2) = 1− z2 1 + z2 c) (1− xy)2 − (x+ y)2 (1 + x2)(1 + y)2 = 2z 1 + z2 33. Giải biện luận phương trình: x+ √ a2 − x2 0. 34. Giải hệ: { |x+ y|+ |x− y| 6 2 x2 + y2 = 1 35. Giải hệ x √ 1− y2 + y√1− x2 = 1 x √ 1− y2 − y√1− x2 = 1 2 36. Giải hệ {√ x+ √ 1− y = m+ 1√ y + √ 1− x = m+ 1 37. Giải hệ { 4xy(2x2 − 1) = 1 x2 + y2 = 1 38. Giải biện luận phương trình: (a+ b) √ a2 + b2 + x2 − (a− b) √ a2 + b2 − x2 = a2 + b2 39. Giải phương trình: 1 x + 1√ 1− x2 = 5 12 40. Giải phương trình: x+ x√ x2 − 1 = 35 12 41. Giải phương trình:√ 1 + √ 1− x2 (√ (1 + x)3 − √ (1− x)3 ) = 2 + √ 1− x2 4.6. Phương pháp Lượng giác 109 42. Giải phương trình: √ x− 2 +√4− x = x2 − 6x+ 11 43. Giải phương trình: √ 1− x = 2x2 − 1 + 2x √ 1− x2 44. Giải biện luận phương trình:( 2a 1 + a2 )x − ( 1− a2 1 + a2 )x = 1 (0 < a < 1) 45. Giải phương trình: |2x− √ 1− 4x2| = √ 2(8x2 − 1) 46. Giải bất phương trình: √ 1− x−√x > √ 3 3 47. Giải bất phương trình: √ x− 1−√x− 2 > √3− x 48. Giải bất phương trình: √ 1− x+√1 + x < 2 49. Cho f(x) = x3 − 3 4 x 1) Chứng minh rằng |f(x)| 6 1 4 với mọi x; |x| 6 1. 2) Chứng minh rằng: Phương trình x3 − 3 4 x = m có nghiệm x ∈ [−1; 1] ⇔ |m| 6 1 4 50. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R ta luôn có |a− c|√ (1 + a2)(1 + c2) 6 |a− b|√ (1 + a2)(1 + b2) + |b− c|√ (1 + b2)(1 + c2) 51. Phương trình 8x(1− 2x2)(8x4 − 8x2 + 1) = 0 có bao nhiêu nghiệm ∈ [0; 1]?. 52. Cho 0 6 ak 6 1 (k ∈ 1;n). Chứng minh rằng n∏ k=1 (1 + a2k) + n∏ k=1 (1− a2k) 6 2n 53. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = x2 1 + x4 . 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 110 54. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = |x|√1− x2. 55. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = √ 1− x+√1 + x 56. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = x 1 + x2 với −1 6 x 6 1. 57. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: y = x3 − 1 2 x với −1 6 x 6 1. 4.7 Sử dụng định lý Lagrange Định lí 1 (Lagrange). Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho: f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a) (1) hay là: f ′(c) = f(b)− f(a) b− a (2) Các công thức (1) và (2) đều được gọi là các công thức Lagrange. Trong định lý Lagrange a có thể = b. Khi đó, chỉ cần điều kiện f(x) khả vi tại x = a, ta có c = a và công thức (1) vẫn đúng. Các nhận xét sau đây là các hệ quả trực tiếp của định lý Lagrange. Bổ đề 12. Nếu:{ 1) f ′(x) + 1 6= 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông. 2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗). thì trong (∗∗) ta có: f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = ψ(x)− ϕ(x) ⇔ ϕ(x) = ψ(x) Bổ đề 13. Nếu: 1) f(x)đồng biến với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông. 2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗). 3) h(x) > 0 với mọi x ∈ (∗∗). thì trong (∗∗) ta có: f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = [ψ(x)− ϕ(x)].h(x) ⇔ ϕ(x) = ψ(x) Bổ đề 14. Nếu: 1) f ′(x) > 0; g′(x) > 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df ; (*) liên thông. 2) ϕ(∗∗) ⊆ (∗); ψ(∗∗) ⊆ (∗). 3) h(x) > 0 với mọi x ∈ (∗∗). thì trong (∗∗) ta có: f(ϕ(x))− f(ψ(x)) = [g(ψ(x))− g(ϕ(x))].h(x) ⇔ ϕ(x) = ψ(x) 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 111 Bổ đề 15. Nếu f(x) đồng biến trong (∗) ⊆ Df , (∗) liên thông, thì trong I(a, b) ta có: f(f(x)) = x⇔ f(x) = x ; f(f(f(x))) = x⇔ f(x) = x Nếu f ′(x) + 1 6= 0 với mọi x ∈ I(a, b) ⊆ Df , (∗) liên thông, thì trong I(a, b) ta có: f(f(x)) = x⇔ f(x) = x ; f(f(f(x))) = x⇔ f(x) = x Ví dụ 4.7.1. Giải phương trình: x3 + 1 = 2 3 √ 2x− 1. (1) (1) ⇔ x = 1 2 ( 1 + 1 2 (1 + x3) )3 = f(f(x). Với f(x) = 1 2 (1 + x3). Có f ′(x) = 3 2 x2 > 0 với mọi x ∈ R ⇒ f(x) đồng biến trên tập xác định R. Do đó (1) ⇔ f(x) = x⇔ x3 − 2x+ 1 = 0 ⇔ (x− 1)(x2 + x− 1) = 0 ⇔ [ x− 1 = 0 x2 + x− 1 = 0 ⇔  x = 1 x = −1−√5 2 x = −1 +√5 2 . Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 1 ∨ x = −1− √ 5 2 ∨ x = −1 + √ 5 2 . Ví dụ 4.7.2. Giải phương trình: 2x − 22x+1 = (x+ 1).3x. (2) Xét hàm số f(x) = 2x có f ′(x) = 2x ln 2, ∀x ∈ R. Theo định lý Lagrange, tồn tại c nằm giữa x và 2x+ 1 sao cho 2x − 22x+1 = f ′(c).[x− (2x+ 1)] = −(x+ 1).2c. ln 2. Bởi vậy: (2) ⇔ −(x+1).2c. ln 2 = (x+1).3x ⇔ (x+1)[3x +2c. ln 2] = 0 ⇔ x+1 = 0 ⇔ x = −1. (Do [3x + 2c. ln 2] > 0 với mọi x ∈ R.) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −1. Ví dụ 4.7.3. Chứng minh rằng phương trình: pi.ar cosx− pi 2 − pix− 1√ 1− x2 . (3) luôn có nghiệm x ∈ ( 1 pi ; pi 4 ) (∗). 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 112 Đặt f(x) = V T (3). Xét hàm số F (x) = (pix− 1)(cos x− √ 2 2 ). Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [ 1 pi ; pi 4 ] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F ( 1 pi ) = 0 =; F ( pi 4 ) = 0. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (pi 4 )− F ( 1 pi ) pi 4 − 1 pi = 0. Vậy, phương trình f(x) = 0 (3) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). Ví dụ 4.7.4. Chứng minh rằng phương trình: (4x− 3) log3 x+ 2x2 − 3x+ 1 x ln 3 = 0. (4) luôn có nghiệm x ∈ (1 2 ; 1) (∗). Đặt f(x) = V T (4). Xét hàm số F (x) = (2x2 − 3x+ 1) log3 x. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [ 1 2 ; 1] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (1 2 ) = 0; F (1) = 0. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (1)− F (1 2 ) 1− 1 2 = 0. Vậy, phương trình f(x) = 0 (4) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). Ví dụ 4.7.5. Chứng minh rằng phương trình: 2(x− 1) sin 2x− cos 2x+ √ 2 2 = 0. (5) luôn có nghiệm x ∈ (pi 8 ; 1) (∗). 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 113 Đặt f(x) = V T (5). Xét hàm số F (x) = (x− 1)(cos 2x− √ 2 2 ). Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [ pi 8 ; 1] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (pi 8 ) = 0; F (1) = 0. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (1)− F (pi 8 ) 1− pi 8 = 0. Vậy, phương trình f(x) = 0 (4) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). Ví dụ 4.7.6. Chứng minh rằng phương trình: 2(x2 − x− 2) cos 2x = (1− 2x) sin 2x. (6) luôn có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (−1; 2) (∗). (6) ⇔ f(x) := 2(x2 − x− 2) cos 2x− (1− 2x) sin 2x = 0 (6.1). Xét hàm số F (x) = 9x2 − x− 2) sin 2x. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [−1; 2] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (−1) = 0; F (0) = 0; F (pi 2 ) = 0; F (2) = 0. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ (−1; 0) (∗1) sao cho f(x0) = F (0)− F (−1) 0− (−1) = 0. Tương tự, tồn tại x1 ∈ (0; pi 2 ) (∗2) sao cho f(x1) = 0; tồn tại x2 ∈ (pi 2 ; 2) (∗3) sao cho f(x2) = 0. Mà các khoảng (∗1); (∗2); (∗3) đôi một không giao nhau nên các nghiệm x0; x1; x2 cũng đôi một khác nhau. Vậy, phương trình f(x) = 0 (6.1) ⇔ (6) luôn có ít nhất ba nghiệm phân biệt x ∈ I(a, b) (đpcm). 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 114 Ví dụ 4.7.7. Cho phương trình: ax2 + bx+ c = 0. (7) Chứng minh rằng nếu m > 0; a, b, c ∈ R, thoả mãn a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0 (∗1) thì phương trình (7) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗). Đặt f(x) = axm+1 + bxm + cxm−1 = xm−1(ax2 + bx+ c). Xét hàm số F (x) = a m+ 2 xm+2 + b m+ 1 xm+1 + c m xm. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (1)− F (0) 1− 0 = 0. hay là xm−10 (ax 2 0 + bx0 + c) = 0 ⇒ ax20 + bx0 + c = 0 (vì x0 ∈ (0; 1) ⇒ xm−10 6= 0). Vậy, phương trình ax2 + bx+ c = 0 (7) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). Ví dụ 4.7.8. Cho phương trình: anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a− 1x+ a− 0 = 0. (8) Chứng minh rằng nếu an n+ 1 + an−1 n + · · ·+ a1 2 + a0 = 0 (∗1) thì phương trình (8) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗). Đặt f(x) = V T (8). Xét hàm số F (x) = an n+ 1 xn+1 + an−1 n xn + · · ·+ a1 2 x2 + a0x. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = 0 (do (∗1)). Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (1)− F (0) 1− 0 = 0. Vậy, phương trình f(x) = 0 (8) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). 4.7. Sử dụng định lý Lagrange 115 Ví dụ 4.7.9. Cho phương trình: anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a− 1x+ a− 0 = 0. (9) Chứng minh rằng nếu tồn tại m ∈ N∗ sao cho : an n+m + an−1 n+m− 1 + · · ·+ a1 m+ 1 + a0 m = 0 (∗1) thì phương trình (8) luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) (∗). Đặt f(x) = V T (9). Xét hàm số F (x) = an n+m xn+m + an−1 n+m− 1x n+m−1 + · · ·+ a1 m+ 1 xm+1 + a0 m xm. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 1] và có F ′(x) = xm−1.f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (1) = 0 (do (∗1)). Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho F ′(x0) = xm−10 f(x0) = F (1)− F (0) 1− 0 = 0. ⇒ f(x0) = 0 do x0 ∈ (0; 1) ⇒ xm−10 6= 0. Vậy, phương trình f(x) = 0 (9) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). Ví dụ 4.7.10. Cho phương trình: a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = 0. (10) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R thì phương trình (10) luôn có nghiệm x ∈ (0; 2pi). Đặt f(x) = V T (10). Xét hàm số F (x) = a 3 sin 3x+ b 2 sin 2x+ c sin x− cosx+ 1. Hàm số F (x) xác định, liên tục trên [0; 2pi] và có F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I(a, b); F (0) = 0; F (2pi) = 0, ∀a, b, c ∈ R. Vậy theo định lý Lagrange, tồn tại x0 ∈ I(a, b) sao cho f(x0) = F (2pi)− F (0) 2pi − 0 = 0. Vậy, với mọi a, b, c ∈ R phương trình f(x) = 0 (10) luôn có nghiệm x ∈ I(a, b) (đpcm). 4.8. Sử dụng định lý Rolle 116 Bài tập tương tự 1. Giải phương trình: 22x+3 − 2x2 = ( 3 √ x2 − 3√2x+ 3)(x2 + 1 + 2x) 2. Giải phương trình: (x3 + 1)5 − (x2 + 1)5 = ( √ x2 + 1− √ x3 + 1)( √ x+ √ x+ 1) 3. Giải phương trình: x = a+ √ a+ √ x 4. Giải phương trình: x = √ a+ √ a+ x 4.8 Sử dụng định lý Rolle Định lí 2 (Rolle ). Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên khoảng (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f ′(c) = 0. Từ định lý Rolle ta thu được các hệ quả sau: Bổ đề 16. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì giữa hai nghiệm (liên tiếp) ∈ (a; b) của phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm của phương trình f ′(x) = 0. Bổ đề 17. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ; có đạo hàm trên khoảng (a, b) và phương trình f(x) = 0 có k nghiệm x ∈ (a; b) thì phương trình f ′(x) = 0 có ít nhất k − 1 nghiệm x ∈ (a; b). Ví dụ 4.8.1. Giải phương trình: 3x + 2x = 3x+ 2. (1) Ta có (1) ⇔ f(x) = 3x+2x−3x−2 = 0. Nhận xét rằng f(0) = 0; f(1) = 0 ⇒ phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. Giả sử (1) có nhiều hơn hai nghiệm thực phân biệt, khi đó, theo hệ quả của định lý Rolle , phương trình f ′(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. Cũng theo lý do trên, phương trình f ′′(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Mà f ′(x) = 3x ln 3 + 2x ln 2− 3 ⇒ f ′′(x) = 3x( ln 3)2 + 2x( ln 2)2 > 0 với mọi x ∈ R. Đó là điều mâu thuẫn với kết quả trên. Vậy giả sử của ta là sai, tức là (1) có không quá hai nghiệm thực phân biệt, Nói cách khác, (1) chỉ có đúng hai nghiệm là x = 0; x = 1. 4.8. Sử dụng định lý Rolle 117 Ví dụ 4.8.2. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R, phương trình: a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = 0. (2) luôn có nghiệm x ∈ [0; 2pi] (∗). Xét hàm số f(x) = a 3 sin 3x+ b 2 sin 2x+ c. sin x− cosx. Ta có f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm bậc nhất: f ′(x) = a. cos 3x+ b. cos 2x+ c. cosx+ sinx = V T (2) với mọi x ∈ I(a, b). Ngoài ra, f(0) = f(2pi) = a+ b+ c. Vậy, theo định lý Rolle , tồn tại c ∈ (0; 2pi) ⊂ [0; 2pi] = (∗) sao cho f ′(c) = 0. Nói cách khác, phương trình (2) luôn có ít nhất một nghiệm (x = c) ∈ I(a, b). Đó chính là điều cần chứng minh. Ví dụ 4.8.3. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]; khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b) = 0. Chứng minh rằng với mọi k ∈ R∗, phương trình f(x) + k.f ′(x) = 0 (3) luôn có ít nhất một nghiệm x ∈ (a; b). Xét g(x) = e x k .f(x). Ta có g(x) liên tục trên [a; b]; khả vi trên (a; b) và g(a) = g(b) = 0. Theo định lý Rolle , phương trình g′(x) = 0 (3.1) luôn có ít nhất một nghiệm x ∈ (a; b). Mà g′(x) = 1 k e x k .f(x) + e x k .f ′(x) = 1 k e x k [f(x) + kf ′(x)]. Còn 1 k e x k 6= 0 với mọi x ∈ R nên (3.1) ⇔ f(x) + k.f ′(x) = 0 (3). Vậy phương trình (3) luôn có ít nhất một nghiệm x ∈ (a; b). Đó chính là đpcm. Ví dụ 4.8.4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ∈ R, đa thức: P (x) = x5 − 2x4 + 2x3 + ax2 + bx+ c có không quá ba nghiệm thực phân biệt. 4.8. Sử dụng định lý Rolle 118 Giả sử P (x) có nhiều hơn 3 nghiệm thực phân biệt. Khi đó, do P (x) xác định, liên tục và khả vi trên R nên theo hệ quả của định lý Rolle , đa thức P ′(x) có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Lập luận tương tự ta được P ′′′(x) có ít nhất một nghiệm thực. Mà P ′(x) = 5x4 − 8x3 + 6x2 + 2ax+ b⇒ P ′′(x) = 30x3 − 24x2 + 12x+ 2a ⇒ P ′′′(x) = 60x2 − 48x+ 12 = 12(x2 + (2x− 1)2) > 0, ∀x ∈ R. Điều mâu thuẫn thu được chứng tỏ giả sử trên là sai, tức là đa thức P (x) đã cho có không quá ba nghiệm thực phân biệt (đpcm), Ví dụ 4.8.5. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d ∈ R , đôi một khác nhau thì phương trình: (x−a)(x−b)(x−c)+(x−b)(x−c)(x−d)+(x−c)(x−d)(x−a)+(x−d)(x−a)(x−b) = 0 (4) luôn có ba nghiệm phân biệt. Xét P (x) = (x− a)(x− b)(x− c)(x− d). Ta có P (x) xác định, liên tục, khả vi trên R và có bốn nghiệm thực phân biệt. Theo hệ quả của định lý Rolle , phương trình P ′(x) = 0 (4.1) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Mặt khác, P ′(x) là đa thức bậc ba nên nó có không quá ba nghiệm thực phân biệt. Vậy P ′(x) có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Nhưng P ′(x) = V T (4) nên (4.1) ⇔ (4). Nói cách khác phương trình (4) luôn có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Đó chính là điều phải chứng minh. Ví dụ 4.8.6. Tìm số nghiệm của phương trình: 3 sinx = x. (5) Đặt f(x) := 3 sin x− x. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và (5) ⇔ f(x) = 0 (5.1) Do với mọi x ∈ R ta luôn có −1 6 sin x 6 1 nên mọi nghiệm nếu có của phương trình (5) đều ∈ (−3; 3) (∗). Nhận xét rằng (∗) ⊂ (−pi; pi) := (∗1). Ngoài ra, ta có f ′(x) = 3 cos x− 1 suy ra f ′(x) có hai nghiệm phân biệt ∈ (∗1) ⇒ f ′(x) có không quá hai nghiệm phân biệt ∈ I(a, b). Sử dụng định lý Rolle ta được f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt. Mà f(x) liên tục trên R, f(0) = 0; f(−pi 2 ).f(−3) < 0; f(pi 3 ).f(3) < 0 nên f(x) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Tóm lại phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt. 4.8. Sử dụng định lý Rolle 119 Ví dụ 4.8.7. Giải phương trình: 2x− sin pix = 0. (6) Đặt f(x) := 2x− sin pix. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và (6) ⇔ f(x) = 0 (6.1) Do với mọi x ∈ R ta luôn có −1 6 sin pix 6 1 nên mọi nghiệm nếu có của phương trình (5) đều ∈ (−1 2 ; 1 2 ) (∗). Nhận xét rằng (∗) ⊂ (−pi 2 ; pi 2 ) := (∗1). Ngoài ra, ta có f ′(x) = 2− pi sin pix suy ra f ′(x) có hai nghiệm phân biệt ∈ (∗1) ⇒ f ′(x) có không quá hai nghiệm phân biệt ∈ I(a, b). Sử dụng định lý Rolle ta được f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt. Mà f(0) = 0; f(−1 2 ) = 0; f( 1 2 ) = 0 nên f(x) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Tóm lại phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt là x = 0; x = −1 2 ; x = 1 2 . Ví dụ 4.8.8. Chứng minh rằng phương trình: 2x = x2 + 1. (7) có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đặt f(x) := 2x − x2 − 1. Ta có f(x) xác định, liên tục, khả vi trên R và (7) ⇔ f(x) = 0 (7.1) Có f(0) = f(1) = 0; f(2) = −1, f(5) = 6 ⇒ f(2).f(5) = −6 < 0 ⇒ f(x) có ít nhất ba nghiệm phân biệt. Giả sử f(x) có > 4 nghiệm phân biệt. Theo hệ quả của định lý Rolle , f ′′(x) có > 2 nghiệm phân biệt. Mà f ′(x) = 2x ln 2−2x; f ′′(x) = 2x( ln 2)2−2 ⇒ f ′′(x) có đúng một nghiệm. Ta thu được hai kết quả mâu thuẫn nhau. Điều đó chứng tỏ rằng f(x) có không quá ba nghiệm phân biệt. Vậy f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt. Từ đó thu được đpcm. Bài tập tương tự 1. Giải và biện luận phương trình: ax = (a− 1)x+ 1 (a > 0; 6= 1) 4.8. Sử dụng định lý Rolle 120 2. Giải phương trình: n+1∑ k=2 kx = n+ n(n+ 1) 2 x 3. Giải bất phương trình: lg 5 + x 5− x 2x − 3x+ 1 < 0 4. Giải phương trình: (4x + 2)(2− x) = 6 5. Tìm nghiệm x > 1 của phương trình: (x+ 1) ln x+ 1 x + x− 1 = x(x2 + 1) ln x 2 + 1 x2 6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d, e ∈ R, phương trình: a. sin 6x+ b. cos 5x+ c. sin 4x+ d. cos 3x+ e. sin x = 0 luôn có nghiệm . 7. Cho f(x) = anx n+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0. Chứng minh rằng nếu tồn tại m ∈ N∗ sao cho: an m+ n + an−1 m+ n− 1 + · · ·+ a1 m+ 1 + a0 m = 0 thì phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm x ∈ (0; 1) 8. Cho f(x) xác định, liên tục và dương trên [a; b]; khả vi trên (a; b). 1) Chứng minh rằng ∃ c ∈ (a; b) sao cho: f(b) f(a) = e(b−a) f ′(c) f(c) 2) Chứng minh rằng phương trình: f(b) f(a) = e(b−a) f ′(x) f(x) luôn có nghiệm x ∈ (a; b). 9. Chứng minh rằng với mọi ak; bk ∈ R; an + bn 6= 0, phương trình: n∑ k=1 (ak sin kx+ bk cos kx) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm. 10. Chứng minh rằng với mọi a ∈ R, giữa hai nghiệm của đa thức f(x) ∈ R[x] luôn có ít nhất một nghiệm của đa thức f ′(x) + a.f(x). 4.8. Sử dụng định lý Rolle 121 11. Giải phương trình: (1 + cos x)(2 + 4cosx) = 3.4cosx 12. Chứng minh rằng nếu n chẵn thì với mọi p, q ∈ R, phương trình: xn + px+ q = 0 không thể có quá hai nghiệm thực phân biệt. 13. Giải phương trình: 4x−1 − 2x2−x = log2 x− 1 14. Giải phương trình: x2 + x+ 6 √ x+ 2 = 18 15. Giải phương trình: x4 + x3 + 5 √ x+ 1 = 2 + 5 √ 2 16. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n − 1 trên đoạn [x0;xn] và có đạo hàm đến cấp n trên khoảng (x0;xn). Ngoài ra: f(x0) = f(x1) = · · · = f(xn) với x0 < x1 < · · · < xn Chứng minh rằng khi đó, phương trình: f (k)(x) = 0 có ít nhất n − k + 1 nghiệm trong khoảng (x0;xn); (k ∈ 1;n). Đặc biệt, phương trình f (n)(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (x0;xn). 17. Biết rằng đa thức: Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (với an 6= 0; n > 2) có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng phương trình P (k)(x) = 0 có đúng n− k nghiệm thực phân biệt. 18. Biết rằng phương trình t2 + αx + β = 0 (α; β ∈ R) có nghiệm thực và đa thức P (x) (bậc n > 1; ∈ R[x]) có các nghiệm đều thực. Chứng minh rằng phương trình: P (x) + αP ′(x) + βP ′′(x) = 0 cũng có các nghiệm đều thực. 19. Cho x1 < x2 < x3 là các nghiệm của đa thức P (x) ∈ R[x]. Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai f(x) = x2 + ax + b có các nghiệm nằm ngoài đoạn [x1;x2] thì phương trình: P ′′(x) + aP ′(x) + bP (x) = 0 có nghiệm trong đoạn [x1;x3] 20. Xét phương trình với hệ số thực: P (x) = xn + nxn−1 + n(n− 1) 2 (1 + a2)xn−2 + a1xn−3 + · · ·+ an−2 = 0 Tìm a để phương trình