Ứng dụng của tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng

DANH SÁCH NHÓM 1 1 Hoàng Minh Trung Toán Nhóm trưởng THPT Phan Đăng Lưu 2 Lê Văn Vĩ Toán THPT Phan Đăng Lưu 3 Nguyễn Văn Dĩnh Toán THPT Hai Bà Trưng 4 Ngô Văn Mười Toán THPT Phan Đình Phùng 5 Phan Thanh Kiểu Toán THPT Phan Đình Phùng 6 Lê Thị Nhường Toán THPT Phạm Văn Đồng 7 Huỳnh Thị Tuyết Hai Toán THPT Phú Xuân 8 Văn Thị Lan Chi Toán THPT Phú Xuân ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy? Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH. +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b, trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5. a) Dùng công thức hình học tính diện tích hình phẳng. b) Tính tích phân sau HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của nó thay đổi như thế nào? o Diện tích không đổi. +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Từ kết quả trên, ta có Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3. Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung và đường thẳng +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. HĐ3.2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và x = 4. HĐ3.3. Cho :. Giá trị sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, có diện tích bằng 4 là: A. . B. . C. . D. . HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; bằng . Khi đó giá trị của là: A. . B. . C. . D. . DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG. +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tô màu) ở các hình dưới đây được tính như thế nào? Có thể tính S thông qua S1 và S2 không? và tính như thế nào? Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 "x Î [a;b]. Khi đó S = S1 - S2 +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Từ kết quả trên, ta có Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2 Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y = -x2 – 2x +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. B. C. D. HĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng A. B. C. D. HĐ3.3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2 = R2 C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Bài toán. GỢI Ý Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm m sao cho S = 48 A. m = 4 B. m = 6 C. m = 8 D. m = 10 Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x = 0 , x = π. Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. Bài toán 1. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy? Gợi ý: Giả sử parabol có phương trình Đi qua nên ta có hệ phương trình: Bài toán 2. Ông A có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) Gợi ý: Giả sử elip có phương trình . Từ giả thiết ta có Vậy phương trình của elip là: Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); và diện tích của dải vườn là Khi đó số tiền Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn) Gợi ý: + Diện tích khung cửa bằng tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích của phần parabol phía trên + Diện tích hình chữ nhật là Gọi đường cong parabol có phương trình Đường cong có đỉnh suy ra: Đường cong đi qua điểm: Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng là: đồng E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG. Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân. Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học. J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học. Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân. Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng:  (1). Về sau hiệu  được kí hiệu lại là  (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số  cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân  là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu là . Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại với nhau. Xét  và  sao cho . Với  đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng  và  là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm  và , cũng do  nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại  của . Như vậy độ dài  của đoạn thẳng nối 2 điểm  và  được tính bằng , trong đó  là góc tạo bởi tiếp tuyến tại  của  và trục Ox nên . Tóm lại  Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong  đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng  và  là