Ứng dụng phép biến đổi laplace trong ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica 5.1

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 Tác giả: Đào Anh Pha ” DẪN NHẬP ” PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược ♦ Một số định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace trên hàm bậc thang Heaveside ” BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược ” ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Giải phương trình vi phân ♦ Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng ♦ Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang ” KẾT LUẬN [ 1 ] MỤC LỤC DẪN NHẬP 4 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 4 1.1.1 Định nghĩa 1 4 1.1.2 Định nghĩa 2 4 1.1.3 Thí dụ 4 1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 5 1.2.1 Định nghĩa 5 1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5 1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính 5 1.3.2 Biến đổi của e -at f(t) 5 1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) 6 1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) 6 1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7 1.3.6 Biến đổi của tích phân 7 1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.1.1Định nghĩa 1 10 1.4.1.2 Định nghĩa 2 10 1.4.1.3 Định nghĩa 3 10 1.4.1.4 Thí dụ 10 1.4.2 Biến đổi Laplace 11 1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside 11 1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside 11 1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside 11 1.4.2.4 Thí dụ 11 1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside 12 2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 13 2.1 MỘT SỐ HÀM CƠN BẢN TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 13 2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 14 2.2.1 Biến đổi Laplace 14 2.2.2 Biến đổi Laplace ngược 14 3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 15 3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 15 [ 2 ] 3.1.1.1 Phương pháp chung 15 3.1.1.2 Module cài đặt 15 3.1.1.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 17 3.1.2 Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 20 3.1.2.1 Phương pháp chung 20 3.1.2.2 Một số thí dụ 21 3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 23 3.2.1 Phương pháp chung 23 3.2.2 Module cài đặt 23 3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 28 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 [ 3 ] DẪN NHẬP Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình, hệ phương vi phân là một ứng dụng hiệu quả và được rất nhiều người sử dụng. Phương pháp này được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là lĩnh vực vật lý. Bên cạnh việc sử dụng phương pháp này người ta sử dụng thêm các công cụ hỗ trợ cho việc tính toán nhanh chóng và hiệu quả. Ở đây, chúng ta sử dụng ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica 5.1 để cài đặt các phương pháp nhằm mô tả việc giải phương trình và hệ phương trình vi phân. Đây là một công cụ khá mạnh giúp chúng ta thực hiện nhanh chóng và nhẹ nhàn. Tuy nhiên, việc cài đặt các Module cũng khá phức tạp. Sau đây, chúng ta nghiên cứu cơ sở lý thuyết và cài đặt cho phương pháp này. 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 1.1.1 Định nghĩa 1 Ta gọi hàm phức tùy ý của biến thực t là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau: )(tf 1) f(t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục trên toàn trục t trừ những điểm gián đoạn loại một mà số điểm hữu hạn trong mỗi khoảng hữu hạn. 2) Tăng không quá nhanh 0S00, 0, , ( ) . tM S t f t M e∃ > ≥ ∀ ≤ , S0 được gọi là mũ tăng của hàm . )(tf 3) =0 khi t<0. )(tf 1.1.2 Định nghĩa 2 Hàm F(p) của biến phức p u iv= + xác định bởi: (1) 0 ( ) ( )ptF p e f t dt ∞ −= ∫ được gọi là hàm ảnh của . )(tf Ký hiệu: [ ]( ) ( )L f t F p= hoặc )(tf F(p) hay F(p) )(tf 1.1.3 Thí dụ a) Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị [ ] 0 0 1 , 0 ( ) 0 , 0 1 1( ) pt pt t t t L t e dt e p p η η ∞∞ − − ≥⎧= ⎨ <⎩ = = −∫ = b) Tìm biến đổi Laplace của ( ) atf t e= ( ) ( ) 0 0 0 1 1at at pt p a t p a tL e e e dt e dt e p a p a ∞∞ ∞− − − − −⎡ ⎤ = = = − =⎣ ⎦ − −∫ ∫ [ 4 ] 1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.2.1 Định nghĩa Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa [ ]1 1( ) ( ) ( ) 2 a i pt a i f t L F p e F p d iπ + ∞− − ∞= = ∫ p (2) Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng p=a, từ đến i i− ∞ ∞ Do tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (2) để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t) khi đã có F(p). 1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính Cho hai hàm và g(t) với các hằng số k. F(s) và G(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f(t) và g(t). Ta có: )(tf 1) L[ +g(t)] = F(p) + G(p) )(tf 2) L[k ]= kF(p) )(tf Hai tính chất trên tương đương với: L[af(t)+bg(t)] = aF(p) + bG(p). (3) Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của cosat và sinat. Từ công thức Euler e ecos = , sin 2 2 iat iat iat iate eat at i − −+ −= Ta có: [ ] 2 2e 1 1 1cos 2 2 iat iate pL at L p ia p ia p a −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ [ ] 2 2e 1 1 1cos 2 2 iat iate aL at L i i p ia p ia p a −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 1.3.2 Biến đổi của e -at f(t) ( ) 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( )at at pt a p tL e f t e f t e dt f t e dt F p a ∞ ∞− − − − += = =∫ ∫ + (4) Khi hàm f(t) nhân với e -at , biến đổi Laplace tương ứng e -at f(t) có được bằng cách thay F(p) bởi F(a+p). [ 5 ] Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của và cosmte a− t tsinmte a− ( )2 2cos ( ) mt p mL e at F p m p m a − +⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ + + ( )2 2sin ( ) mt aL e at F p m p m a −⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ + + 1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) Nếu [ ( ) ( )] ( )L u t f t F p= với u(t) là bước nhảy đơn vị thì với mọi T>0 ta có: 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ptL u t f t u t f t e dtτ τ τ τ∞ −− − = − −∫ Đổi biến số: x t τ= − ( ) 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( )p x p pxL u t f t f x e dx e f x e dxτ ττ τ ∞ ∞− + − −− − = =∫ ∫ (5) [ ( ) ( )] ( ) pL u t f t e F pττ τ −− − = Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của 3( ) ( 2)tf t e u t−= − 3( 2) 6 6 3( 2)( ) ( 2) ( 2)t tf t e u t e e u t− − − − − −= − = − Vì 3 1( ) 3 tL e u t p −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + Nên ( ) 23 2 2 3 6 ( 2) 3 ( 2) 3 p t p t eL e u t p eL e u t e p −− − −− − ⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦ + ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ + 1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(p)và G(p) 1 0 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) t y t L G p F p g f t dτ τ τ−= −∫ (6) Tích phân trong biểu thức được goik là kết hợp hai hàm f(t) và g(t). Ký hiệu: 0 ( )* ( ) ( ) ( ) t g t f t g f t dτ τ τ= −∫ (7) Thí dụ: Tìm kết hợp 2 hàm e-t và e-2t. Sử dụng (7) ta có ( )22 0 2 0 2 2 0 * t tt t tt tt t e e e e d e e d e e e e ττ τ τ τ τ − −− − − − t− − − = = = = − ∫ ∫ [ 6 ] 1.3.5 Biến đổi của đạo hàm ♦ Đạo hàm cấp 1 0 ( ) ( ) ptdf t dL f t e dt dt dt ∞ −= ∫ Lấy tích phân từng phần Đặt: ( ) ( ) pt ptu e du pe dt dv df t v f t − −= ⇒ = − = ⇒ = 00 ( ) ( ) ( )pt pdf t tL e f t p f t e d dt ∞ ∞− −= + ∫ t Vì li nên m ( ) 0pt t e f t−→∞ = ( ) ( ) ( 0)df tL pF p f dt = − + (8) ♦ Đạo hàm cấp 2 2 2 ' 2 ( ) ( ) ( 0) ( 0)df tL p F p pf f dt = − + − + (9) ♦ Đạo hàm cấp n 1( ) ( ) ( 0) ... ( 0) n n n n n df tL p F p p f f dt − 1−= − + − − + (10) 1.3.6 Biến đổi của tích phân 0 0 0 ( ) [ ( ) ] t ptL f t dt f t dt e ∞ ∞ −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ dt Đặt: 0 ( ) ( ) 1 t pt pt u f t dt du f t dv e dt v e p − − = ⇒ = = ⇒ = − ∫ 0 0 00 1( ) ( ) ( ) pt t pteL f t dt f t dt f t e dt p p ∞−∞ ∞ −⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ Khi và 0ptt e−→∞⇒ → 0 0 ( ) 0 t t f t dt = =∫ nên số hạng thứ nhất của vế phải triệt tiêu. Vậy 0 1( ) ( ) t L f t dt F s p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (11) 1.3.7 Biến đổi của tf(t) Lấy đạo hàm hệ thức (1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và tích phân, ta được: 0 0 ( ) ( ) ( )pt ptdF p d f t e dt tf t e dt dp dp ∞ ∞− −⎡ ⎤ ⎡= = −⎣ ⎦ ⎣∫ ∫ ⎤⎦ [ 7 ] Vậy: ( )[ ( )] dF pL tf t dp = − (12) Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của hàm ( )tu t và cost at ( ) 2 1( ) ( ) ( ) 1 1 f t t F p p dL t t dp p p η η = ⇒ = = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 cos cos pf t at F p p a d p p aL t at dp p a p a = ⇒ = + ⎡ ⎤ −= − =⎢ ⎥+⎣ ⎦ + BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG STT )(tf )( pF 1 1 0, 1 >p p 2 t 0, 1 2 >pp 3 nt npp n n ,0, ! 1 >+ là số tự nhiên 4 ate apap >− , 1 5 ate − apap −>+ , 1 6 atte apap >− ,)( 1 2 7 atte− apap −>+ ,)( 1 2 8 atnet napap n n ,,)( ! 1 >− + là số tự nhiên 9 atnet − napap n n ,,)( ! 1 −>+ + là số tự nhiên 10 cos at 0,22 >+ pap p 11 atsin 0,22 >+ pap a 12 att cos 0, )( 222 22 >+ − p ap ap [ 8 ] 13 att sin 0,)( 2 222 >+ pap ap 14 bteat sin apbas b >+− ,)( 22 15 bteat cos apbas ap >+− − , )( 22 16 atcosh apap p >− ,22 17 atsinh apap a >− ,22 18 ( )df t dt ( ) ( 0)pF p f +− 19 2 2 ( )d f t dt 2 ( ) ( 0) '( 0)p F p pf f+ +− − 20 ( ) n n d f t dt 1 1( ) ( 0) ... ( 0)n n np F p p f f− −+ +− − − 21 0 ( )f t dt ∞∫ ( ) 1 0( ) fF p p p − ++ 22 ( ) ( )f t u tτ τ− − ( )pe F pτ− 23 ( ) ( )af t bg t+ ( ) ( )aF t bG t+ 24 ( )ate f t− ( )F p a+ 25 ( )tf t ( )dF p dp − [ 9 ] 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 1.4.1 Định nghĩa 1.4.1.1Định nghĩa 1 Hàm bậc thang Heaviside ⎩⎨ ⎧ ≥ <= 01 00 )( t t tH (13) còn được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị 0 khi đối số (t) âm và nhận giá trị 1 khi đối số (t) dương. Hàm này được sử dụng trong lý thuyết toán học điều khiển hay trong xử lý tín hiệu. 1.4.1.2 Định nghĩa 2 Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside ⎩⎨ ⎧ ≥ <=−= ct ct ctHtH c 1 0 )()( (14) Nếu c>0 (c<0) thì đồ thị của Hc sẽ được tịnh tiến qua phải (qua trái) so với đồ thị của H. 1.4.1.3 Định nghĩa 3 Hàm khoảng Hab với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside )()()()()( btHatHtHtHtH baab −−−=−= (15) Thật vậy: 1) t<a thì Ha(t) và Hb(t) bằng 0 0)( =⇒ tH ab 2) thì Hbta <≤ a(t) =1 và Hb(t) = 0 1)( =⇒ tH ab 3) thì Htb ≤ a(t) =1 và Hb(t) = 1 0)( =⇒ tH ab Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến Ha, và hàm khoảng Hab thường được dùng để mô tả hàm liên tục từng khúc. 1.4.1.4 Thí dụ Mô tả hàm: ⎩⎨ ⎧ ∞<≤ <≤= t tt tf 12 102 )( sử dụng hàm bậc thang Heaviside. [ 10 ] Từ là hàm khả vi từng khúc trên khoảng )(tf 10 <≤ t và , chúng ta sử dụng hàm khoảng H 1≥t 01(t) trên khoảng 10 <≤ t , và dùng hàm tịnh tiến H1(t) trên . 1≥t Vậy: [ ] )1()1(2)(.2 )1(2)1()(2)(2)(.2)( 101 −−−= −+−−=+= tHttHt tHtHtHttHtHttf 1.4.2 Biến đổi Laplace 1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside [ ] 0 ( ) ( ) cp pt pt c c c eL H p H t e dt e dt p ∞ ∞ − − −= =∫ ∫ = (16) 1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ap bpab a b e eL H p L H p L H p p − −−= − = (17) 1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside [ ] )()()()( pFepctfctHL cp−=−− (18) 1.4.2.4 Thí dụ a) Biến đổi Laplace ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞<≤ <≤− <≤ = − te t t tf t 6 645 403 )( 7 Ta có: [ ] [ ] )6(.)6(5)4(8)(3 )6()6(5)4(8)(3 )6()6()4(5)4()(3 )()(5)(3)( )6( 7 7 6 7 4604 −+−+−−= −+−+−−= −+−−−−−−= +−= −− − − − tHeetHtHtH tHetHtHtH tHetHtHtHtH tHetHtHtf t t t t Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được: [ ] 1 5.83)( 664 +++−= −−− p ee p e p e p pfL ppp b) Biến đổi Laplace ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤− < = 20 21sin 10 )( t tt t tf π Ta có: [ 11 ] [ ] )2()2(sin)1()1(sin )2(sin)1(sin )2()1(sin )(.0)(sin)(.0)( 2121 −−+−−= −+−−= −−−−= +−= tHttHt ttHttH tHtHt tHttHtHtf ππ ππ π π Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được: [ ] )()( 22 2 22 2 22 πππ π π π + +=+++= −−−− p ee p e p epfL pppp 1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside Cho hàm là hàm liên tục từng đoạn và )(tf [ ]( ) ( )F p L f t= thì: [ ] )()()()(1 ctfctHtpFeL cp −−=−− (19) [ 12 ] 2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 2.1 MỘT SỐ HÀM CƠN BẢN TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA Ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica là một trong những công cụ phổ biến được sử dụng trong việc tính toán trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật kỹ thuật. 1. Hàm nhập dữ liệu từ bàn phím Input[“Chuoi thong bao”] Thí dụ: f=Input["Nhap ham f"] Kết quả: f = Ætt 2. Hàm tính đạo hàm. Cú pháp: 9 tính đạo hàm riêng [ , ]D f x f x ∂ ∂ 9 { }, ,D f x n⎡⎣ ⎤⎦ tính đạo hàm riêng cấp n của n n f x ∂ ∂ 9 [ ], , ,...D f x y tính đạo hàm riêng .... m f xy ∂ ∂ 9 { }{ }1 2, , ,...D f x x⎡⎣ ⎤⎦ tính đạo hàm riêng theo các biến và kết quả trả về dạng véctơ 1 2 , ,...f f x x ⎧ ⎫∂ ∂⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ 3. Hàm giải phương trình hoặc hệ phương trình Solve[eqns, vars]giải phương trình eqns theo biến vars. Thí dụ: SolveA Ex2+2 bx+c ==0, x x→ −b−"###### #####b2− c , x → −b+"##########b2 − c:: > : >> Solve[{x+y==1,x-2y==3},{x,y}] [ 13 ] ::x→ 53 , y→ − 2 3 >> 4. Hàm thay thế trong biểu thức ReplaceAll[Expr,var→val] thay thế biến var bởi giá trị val trong biểu thức Expr. Thí dụ: ReplaceAll[1+x,x→a] 1+a 2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.2.1 Biến đổi Laplace , p] biến đổi Laplace của hàm f(t) hay L[f(t)]=F(p).  LaplaceTransform[f, t Thí dụ: LaplaceTransform[Cosh[t],t,p] p −1+p2  LaplaceTransform[f, {t1,t2, … }, {p1,ps2, … }] biến đổi Laplace liên tiếp theo các biến ti và pi hay L[…L[L[f(t),t1,p1],t2,p2]…,tn,pn]. Thí dụ: LaplaceTransform@ÆtSin t +x, x, t<, 8p, p<D@ D 8 1 p3 + 1 H H L L Ta cũng có thể thực hiện từng bước như sau: 1+ −1+p 2 p LaplaceTransform@ÆtSin t +x, x, pD@ D 1 p2 + ÆtSin@tD p LaplaceTransformA 1p2 + ÆtSin@tD p , t, pE 1 p3 + 1 H H L L1+ −1+p 2 p 2.2.2 Biến đổi Laplace ngược  InverseLaplaceTransform[F, s, p] biến đổi Laplace ngược của hàm f(t=L- 1[F(p)]. Thí dụ: InverseLaplaceTransformA pp2−1 , p, tE 1 2 Æ −tH1+ Æ2tL InverseLaplaceTransformA p1+ p3 , p, tE 1 3 Æ −tijjjj−1+ Æ3tê2 ijjjjCosB è!!!3 t 2 F + è!!!3 SinB è!!!3 t 2 F yzzzz yzzzz {{k k [ 14 ] 3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 3.1.1.1 Phương pháp chung Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng: (3.1) )()()('...)()( 01 )( 1 )( tftyatyatyatya nn n n =++++ − Trong đó Raaa n ∈...,,, 10 ( 1)0 1(0) , '(0) ,..., (0)n ny b y b y b− 1−= = = (3.2) là những điều kiện đầu. Phương pháp giải: Bước Thực hiện 1 Biến đổi Laplace cả 2 vế của (3.1) và kết hợp với điều kiện đầu (3.2). 2 Rút gọn 2 vế của phương trình được biến đổi về dạng ( ) [ ]( )Y p L y t= 3 Làm phép biến đổi Laplace ngược ( ) [ ]1 ( )y t L Y p−= ta có nghiệm của phương trình vi phân. 3.1.1.2 Module cài đặt CÁC MODULE NHẬP XUẤT [ 15 ] MODULE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG [ 16 ] CODE DEMO 3.1.1.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình Thí dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân ( ) ( ) 3'' 3 ' 2 0 1, ' 0 1 ty y y e y y −+ + = = = − [ 17 ] Thí dụ 2: Tìm nghiệm của p hương trình vi phân ( ) ( ) ( ) ''' ' 0 0, ' 0 0, '' 0 ty y e y y y + = 0= = = [ 18 ] Thí dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình vi phân 0)0(''',0)0('',1)0(',0)0( 0)4( ==== =− yyyy yy [ 19 ] -4 -2 2 4 -30 -20 -10 10 20 30 3.1.2 Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 3.1.2.1 Phương pháp chung Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng: (3.3) )()()('...)()( 01 )( 1 )( tftyatyatyatya nn n n =++++ − Trong đó f(t) là hàm bậc thang và Raaa n ∈...,,, 10 ( 1)0 1(0) , '(0) ,..., (0)n ny b y b y b− 1−= = = (3.4) là những điều kiện đầu. Phương pháp giải: Bước Thực hiện 1 Biến đổi Laplace f(t) bằng phương pháp biến đổi Laplace của hàm Heaveside. 2 Biến đổi Laplace theo vi phân các cấp của (3.3). 3 Biến đổi Laplace 2 vế của phương trình vi phân (3.3) dựa vào bước 1 và 2. 4 Rút gọn 2 vế của phương trình được biến đổi về dạng ( ) [ ]( )Y p L y t= [ 20 ] 5 Làm phép biến đổi Laplace ngược ( ) [ ]1 ( )y t L Y p−= . 6 Dựa vào hàm bậc thang ta tìm được nghiệm của phương trình vi phân. 3.1.2.2 Một số thí dụ Thí dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân 5)0( )(' = =+ y tfyy trong đó, ⎩⎨ ⎧ ≥ <≤= π π tt t tf cos3 00 )( Ta có: [ ] 1 3)( )()cos(3)(cos3cos3)(.0)( 2 0 +−=⇒ −−−=−=+= − p pepfL tHtttHtHtHtf pπ ππ πππ Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace ta được: )1)(1( 3 )1( 5)( 1 35)()1( 1 3)()0()( 2 2 2 ++−+=⇒ +−=+⇔ +−=+− − − − pp pe p pY p pepYp p pepYyppY p p p π π π Mà p ppp p e pp CApCBpBA e pp pCBppAe p CBpe p A pp pe π πππ π − −−− − ++ +++++= ++ ++++=+ +++=++ )1)(1( )()( )1)(1( )1)(()1( 11)1)(1( 2 2 2 2 22 Cân bằng 2 vế: Cho 2 1, 2 1 2 1 ==⇒−= CBA ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+−+++= +−+−+++=⇒ +++++−=++⇒ −−− −−− −−− − ppp ppp ppp p e p e p pe pp e p e p pe pp pY e p e p pe ppp pe πππ πππ πππ π 1 1 11 1 2 3 )1( 5 1 )2/3( 1 )2/3( 1 2/3 )1( 5)( 1 )2/1( 1 )2/1( 1 2/1 )1)(1( 22 22 222 Dùng biến đổi Laplace ngược ta được: [ ] [ ] )(cossin 2 35 )()cos()()sin()( 2 35)( )( )( π πππππ π π −+++= −−−−−−−+= −−− −−− tHttee tHttHttHeety tt tt Vậy nghiệm phương trình là: [ 21 ] [ ]⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+++ <≤ = −−− − π π π tttee te ty tt t cossin 2 35 05 )( )( Thí dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân 1)0(',0)0( )('' == =+ yy tfyy Trong đó, ⎩⎨ ⎧ ∞<≤ <≤= t tt tf 12 102 )( [ ] [ ] 22 1 11101 212)( )1()1(2)(2 )(2)()(2)(2)(2)( p e p pfL tHtttH tHtHtHttHttHtf p− −=⇒ −−−= +−=+= Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và điều kiện đầu, biến đổi Laplace bên vế trái là: [ ] 222 221)()1()())0(')0(.)(.('' p epYppYyyppYpyyL p−−=−+=+−−=+ 1 1 )1( 22)( .221)()1( 222 2 2 +++ −=⇒ −=−+⇔ − − ppp epY p epYp p p Mà ) 1 2222( )1( 22 2222 + −−−=+ − −−− p e p e pp e ppp 1 1 1 222 1 1) 1 2222( )1( 22)( 2222 22222 +−++−= +++ −−−=+ −= −− −−− pp e p e p pp e p e pp epY pp ppp Dùng biến đổi Laplace ngược ta được: [ ] )1()1sin()1(2sin2 sin)1sin()1(2)1()1(22)( −−+−−−= −−−+−−−= tHtttt tttHtHttty Vậy nghiệm phương trình ⎩⎨ ⎧ ∞<≤−−+ <≤−= ttt ttt ty 1sin)1sin(22 10sin2 )( [ 22 ] 3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 3.2.1 Phương pháp chung Cũng như phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng ta thay các hàm phải tìm, các đạo hàm của chúng và các hàm ở vế phải (nếu là hệ không thuần nhất) bằng ảnh của chúng (bằng cách áp dụng đạo hàm gốc). Khi đó ta sẽ thu được một hệ phương trình đại số tuyến tính đối với ảnh của các hàm phải tìm. Giải hệ đó và dùng phép biến đổi ngược để tìm gốc, ta được nghiệm riêng của hệ thoả mãn điều kiện đã cho. Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, vi phân cao nhất có cấp là n và có m phương trình là hệ có dạng: (3.5) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 , 1 ,0 1 1, 0 1,0 0 1 ( ) , 1 ,0 ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ...................................................................................................... ( ) ... n n m n m m m n m n m m n m m m a y t a y t a y t a y t f a y t a y − − − + + + + + + = + + ( )1 1, 0 1,0 0( ) ... ( ) ... ( ) ( )m n mn mt a y t a y t f− ⎧⎪⎨⎪ + + + + =⎩ t t Trong đó , , 1.. , 0..ii ja R i m j∈ = = n 1mb 0 ( 1) 0 1 ( 1)0 1 0 1 1 1[0] ,..., [0] ,..., [0] ,..., [0]n m nn m m ny b y b y b y− − −− −= = = −= (3.6) là những điều kiện đầu. Các bước thực hiện: Bước Thực hiện 1 Biến đổi Laplace cả 2 vế của hệ (3.5) và kết hợp với điều kiện đầu (3.6). 2 Giải hệ vừa biến đổi và tìm nghiệm. 3 Làm phép biến đổi Laplace ngược nghiệm vừa tìm ta được nghiệm của hệ phương trình vi phân. 3.2.2 Module cài đặt CÁC MODULE SỬ LÝ CƠ BẢN [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] MODULE GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ HẰNG [ 26 ] CODE DEMO [ 27 ] 3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình Thí dụ 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân ' 1 1 0 ' 1 0 0 0 1 3 0 0 [0] 1, [0] 1 y y y y y y y y ⎧ + + =⎪⎨ − + + =⎪⎩ = = [ 28 ] Thí dụ 2: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân " 1 1 0 " 1 0 0 ' ' 0 0 1 1 10 4 0 4 4 0 [0] 0, [0] 1, [0] 0, [0] 1 y y y y y y y y y y ⎧ + − =⎪⎨− + + =⎪⎩ = = − = = [ 29 ] Thí dụ 3: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân ' ' 1 1 0 ' 2 1 1 0 0 1 4 1 2 [0] 1, [0] 2 y y y y y y t y y ⎧ + + =⎪⎨ − + =⎪⎩ = − = [ 30 ] -2 -1 1 2 -60 -40 -20 20 40 KẾT LUẬN Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình và hệ phương trình vi phân ta thấy rằng phương pháp này có nhiều ưu điểm. Việc tính toán tương đối dễ dàng và nhẹ nhàn, và dù cấp của phương trình vi phân cao chúng ta vẫn thực hiện nhanh và khối lượng tính toán tương đối ít hơn phương pháp biến thiên hằng số. Việc tìm nghiệm Cauchy của phương trình và hệ phương trình vi phân không cần thông qua nghiệm tổng quát mà cho luôn nghiệm Cauchy của bài toán.Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát chỉ cần đặt y0 = C0, y’0 = C1,…, y0(n-1) = Cn-1, với Ck là những hằng số tuỳ ý. Việc ứng dụng Mathematica 5.1 kết hợp với việc lập trình minh họa phương pháp này giúp người đọc có một cái nhìn về việc ứng dụng công nghệ trong việc giải toán. Trong phần này tác giả đã lập trình mô tả cách giải tương đối đầy đủ từ các thông tin bài toán được nhập từ bàn phím đến kết quả bài toán được thể hiện một cách trực quan. [ 31 ] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Differential Equations; John Polking, David Arnold, Albert Boggess. [2] Hàm Phức Và Toán Tử Laplace; Võ Đăng Thảo, Đại Học Quốc Gia TP.HCM. [3] Hàm phức và toán tử Laplace, Tác giả: Dương Anh Đức. [ 32 ]