Vấn đề xấp xỉ ngẫu nhiên và ứng dụng

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ T3 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 5 VẤN ĐỀ XẤP XỈ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Văn Thu (1), Hoàng Văn Bắc (2) (1) Trường Đại học Quốc tế, ĐHQG-HCM (2) Trường THPT Đức Trọng, tỉnh Lâm Đồng (Bài nhận ngày 08 tháng 11 năm 2009, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 22 tháng 11 năm 2010) TÓM TẮT: Xấp xỉ ngẫu nhiên là một công cụ vô cùng quan trọng của giải tích số. Trong bài này chúng tôi sẽ trình bày tổng quát về xấp xỉ ngẫu nhiên ñồng thời cũng nêu ra một phương pháp ñặc biệt của xấp xỉ ngẫu nhiên, ñó là phương pháp Robbins - Monro. Từ khóa: xấp xỉ ngẫu nhiên, phương pháp Robbins – Monro. 1. CÁC VÍ DỤ THỰC TẾ a. Để biết ñộ cứng của hợp kim ñồng - sắt ở nhiệt ñộ 5000C người ta thường xét khoảng thời gian x và ( )Y x là ñộ cứng tương của hợp kim. Vấn ñề ñặt ra là tìm các giá trị của x mà hợp kim có ñộ cứng trung bìnhα . Biết rằng các loại hợp kim khác nhau ứng với ñộ cứng khác nhau. b. Ta xét ñộ nhạy của một chất nổ khi bị va chạm. Một phương pháp thong thường ta thả cho nó rơi tự do từ một ñộ cao xác ñịnh. Đối với một số chất nổ thì ñộ cao này thì phát nổ mỗi loại chất nổ làm cho nổ khi ñược thả. c. Tương tự, trong việc kiểm tra thuốc trừ sâu, ta cũng phải xác ñịnh giới hạn của các loại thuốc ñối với các loại côn trùng và mức ñộ sử dụng sao cho phù hợp ñể ñạt kết quả cao trong sử dụng. 2. XẤP XỈ NGẪU NHIÊN Các tình huống trong ví dụ rất thực tế và cụ thể ở trên có thể vận dụng toán học ñể giải quyết như sau. Chọn ngẫu nhiên một giá trị 1x , sau ñó quan sát giá trị 1( )y x của biến ngẫu nhiên 1( )Y x với kỳ vọng { }1( ) ( )M x E Y x= . Trong ñó E là kí hiệu kỳ vọng toán học và M là một hàm tăng chưa biết dạng chính xác. Ta cũng chọn một dãy các số dương na giảm dần theo n , ví dụ chọn n c a n = , trong ñó c là hằng số dương tuỳ ý. Vấn ñề ñặt ra là xác ñịnh giá trị của θ sao cho ( )M θ α= . Ta thiết lập hệ thức ñệ quy ñể tìm các giá trị x cho các thí nghiệm tiếp theo: [ ]1 ( ) .n n ncx x y x n α+ = − − (1) Giả sử ta làm ñược thí nghiệm thứ n và ñã biết ñược nx cũng như giá trị ( )ny x . Sử dụng (1) ta có thể xác ñịnh giá trị cụ thể của x ñể sử dụng cho lần thí nghiệm thứ 1n + . Ta sẽ kiểm tra hệ thức ñệ quy này. Với trường hợp ñơn giản nhất. Xét 0α = thì (1) có dạng 1 ( )n n n c x x y x n + = − (2) Science & Technology Development, Vol 13, No.T3- 2010 Trang 6 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Nếu ( ) 0ny x > thì 1n nx x+ < và nếu ( ) 0ny x . Nếu ( )ny x là dương thì giảm giá trị của x cho lần thí nghiệm thứ 1n + và ngược lại. Ta sẽ nghiên cứu một ứng dụng của xấp xỉ ngẫu nhiên, ñó là phương pháp Robbins - Monro ñược trình bày sau ñây. 3. PHƯƠNG PHÁP ROBBINS - MONRO 3.1. Giải tích thích ứng - Không thích ứng Trong việc kiểm tra thuốc trừ sâu, ta nhận thấy hiện tượng là có hoặc không có loại côn trùng mà thuốc có tác dụng. Do ñó, vấn ñề là ñể xác ñịnh phù hợp chủng loại và liều lượng mà thích ứng cho từng loại côn trùng. Về mặt toán học, các vấn ñề này ñược giải quyết như sau. Xét Z là biến ngẫu nhiên với hàm phân bố M . Nếu x là số thực và ( )Y x là biến ngẫu nhiênsao cho: ( ) 1Y x = nếu Z x≤ 0= nếu Z x> Thì [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 1 ( ), ( ) 0 1 ( ), ( ) 1. ( ) 0. 1 ( ) ( ). P Y x P Z x M x P Y x P Z x M x E Y x M x M x M x = = ≤ = = = > = − = + − = Bây giờ ( )Y x là một quan sát thích ứng ñối với số lượng x (khối lượng thuốc trừ sâu chẳng hạn). Vấn ñề là ñể xác ñịnh giá trị của x cho sự thích ứng α . Ta có ñịnh lí sau: Định lí 1. Giả sử M là một hàm phân phối và α là một số thực ứng với một số thực θ thoả mãn ( )M θ α= ; giả sử M khả vi tại θ và ( ) 0M θ′ > . Xét 1x là một số thực và n là một số nguyên dương. Nếu ( )1 1n n nX X Y n α+ = − − (1) trong ñó nY là một nghiệm ngẫu nhiên sao cho [ ] [ ] 1 2 1 1 1 2 1 1 1| ,..., , ,..., ( ) 0| ,..., , ,..., 1 ( ) n n n n n n n n P Y X X X Y Y M X P Y X X X Y Y M X − − = = = = − Thì 2lim ( ) 0 n E X θ →∞ − = , dẫn ñến dãy biến ngẫu nhiên { }nX hội tụ ñến θ theo bình phương trung bình và do ñó hội tụ theo xác suất. Gợi ý chứng minh: Đặt ( )2n nE Xξ θ= − , ta chỉ cần chứng minh lim 0 n n ξ →∞ = . Có một phương pháp ñể giải quyết vấn ñề thích ứng – không thích ứng là phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên. 3.2. Xấp xỉ ngẫu nhiên một chiều Bây giờ ta xét câu hỏi của tình huống tổng quát trong ñó Y không bị hạn chế nhận giá trị 1 hoặc 0 mà có thể nhận bất kì giá trị nào Định lí 2 (Dvoretzky). Giả sử { } { } { }, ,n n nα β γ là các dãy số thực không âm sao cho lim 0 n n α →∞ = (1) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ T3 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 7 1 nβ ∞ < ∞∑ (2) 1 nγ ∞ = ∞∑ (3) Xét θ là một số thực và nT là các phép biến ñổi ño ñược sao cho ( ) [ ]1,..., max ,(1 )| |n n n n n nT X X Xθ α β θ γ− ≤ + − − (4) với mọi 1,..., nX X . Xét 1X và ( 1, 2,...)nY n = là các biến ngẫu nhiên và ñịnh nghĩa 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ), 1.n n n n nX T X X Y X X n+ = − ∀ ≥ (5) Thì các ñiều kiện { }21E X < ∞ . { }2 1 n n E Y ∞ = < ∞∑ (6) và { }1| ,..., 0n nE Y X X = (7) với xác suất 1 với mọi n , suy ra lim 0 1n n P X →∞  = =   (8) Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn 0θ = . 1. Từ (4) và (6) suy ra rằng ( )2nE X < ∞ với mọi n . 2. Đặt ( )s n là dấu của ( ) [ ]1, ...,n n nT X X X   nếu cả 2 thừa số là khác 0, và ( ) 1s n = nếu một trong hai thừa số bằng 0. Viết ( , ) ( ), (1, ) n n n j m m n s j Y n Y = ′= =∏ ∏ ∏ .Thì 1 nY ∞ ′∑ hội tụ với xác suất 1 bởi (6) và (7). Viết ( , ) . n j j m Z m n Y = ′=∑ Với 00, 0, ( , )Mδ ε δ ε∀ > ∀ > ∃ sao cho , sup ( , ) / 2. 48 M m n m n P Z m n δ ε ≤ ≤    > <     (9) 3. Đặt ( , 1) 1d m m − = , 1 ( , ) (1 ) n j j m d m n β + = = +∏ với n m≥ . Xét tổng 1 1( , ) ( , ) n j j m S m n d j n Y + − = ′=∑ bằng với [ ]1 2(( 2),( 1)) ( , ) ( 1, ) ( , ) n n j m Z m j d j n d j n Y d mn − − + ′ − − − + −∑ (( 2), ( 1)) ( , ) nZ m n d n n Y ′+ − − + (10) Khi ( , ) ( 1, )d j n d j n≥ + chúng ta thấy rằng giá trị tuyệt ñối của (10) không lớn hơn 1 2 sup (( 2), ( 1)) ( ( , )) m j n n j Z m j d m n Y − ≤ ≤     − − +     Science & Technology Development, Vol 13, No.T3- 2010 Trang 8 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Do ñó từ (2) và (9) ta có ñược rằng với 0, 0δ ε> > tồn tại một 00 0( , ) ( , )M Mδ ε δ ε≥ sao cho ( , ) 3 / 2d m ∞ < với 00m M≥ và 00 00 , , sup ( , ) , sup ( , ) 1 / 2. 48 8 M m n M m n m n m n P Z m n S m nδ δ ε ≤ ≤ ≤ ≤     −     (11) Ta suy ra ñiều phải chứng minh. Định lí 3 (Dvoretzky) Cho{ } { }1 1( ,..., , ( ,..., )n n n nX X X Xα β và { }1( ,..., )n nX Xγ là những dãy hàm không âm của biến số thực 1,..., nX X sao cho hàm 1( ,..., )n nX Xα là bị chặn ñều và 1lim ( ,..., ) 0n n n X Xα →∞ = hội tụ ñều với mọi 1,..., nX X ; (1) hàm 1( ,..., )n nX Xβ là ño ñược và 1 1 ( ,..., )n nX Xβ ∞ ∑ là bị chặn ñều và hội tụ ñều trong 1,..., nX X ; (2) và 1 1 0, ( ,..., ) 0: 0, n n n L X Xγ γ ∞ ∀ > ∃ ≥ =∑ (3) và 1 1 1( ,..., ) max{ ( ,..., ),[1 ( ,..., )] | | }n n n n n n n nT X X X X X X Xθ α β θ γ− ≤ + − − (4) cố ñịnh ñều với mọi dãy 1,..., nX X thoả mãn 1,2,... sup n n X L = < , trong ñó L là số dương tuỳ ý, (5) ở ñây 1( ,..., )nT X X là phép biến ñổi ño ñược sao cho 1 1( ,..., ) ( ), 1n n n n nX T X X Y X n+ = + ≥ (6) và 21( )E X < ∞ (7) 2 1 ( )nE Y ∞ < ∞∑ ; (8) với xác suất 1 { }1| , ..., 0.n nE Y X X = (9) Thì { }lim 1n n P X θ →∞ = = (10) và 2lim ( ) 0.n n E X θ →∞ − = (11) Chứng minh: Lấy 0θ = và ,δ ε là những số dương tuỳ ý. Để chứng minh (10) ta cần chứng minh nó thoả mãn { }, 1nP X nδ ε − (12) Lấy 0 ( , )M M δ ε≥ là ñủ lớn thoả, với , / 8nn M α δ≥ < . Lấy L ñủ lớn thoả L δ> và { } 22 1 . 32jj m LMax E X M ε ≤ ≤ < (13) Chúng ta lấy L ở ñây là thoả mãn với (3). Nó cũng thoả mãn rằng { }1 / 4 1 / 2.jj MP Max X L ε≤ ≤ ≤ > − (14) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ T3 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 9 Giả sử rằng 4 ñiều kiện sau ñược thoả mãn liên hệ (1) của ñịnh lí 1. (15) / 4mX δ≤ với một vài m M≥ . (16) 1 / 4, 1mX j kδ+ ≥ ≤ ≤ . (17) 1 / 4m kX δ+ + ≤ . (18) trong ñó 1 k≤ ≤ ∞ . Khi k = ∞ , (17) ñúng khi 1j ≥ và (18) là rổng (là rõ ràng khi chứng minh xong mà k ≠ ∞ ). Bởi vì / 8nα δ< khi n M≥ và bởi vì (15), (16), (17) dẫn ñến ( ) (0 1)m j m j m jT X j kα+ + +> ≤ ≤ − (19) ( ) ( )1 ( ) (0 1)m j m j m jsign X sign T X j k+ + + += ≤ ≤ − (20) Áp dụng (4) ( với 0γ = ) ta có 1mX + nằm giữa 0 và ( )(1 )m m ms m X Yβ+ + (21) Lập lại lập luận này, khi 1 j k≤ ≤ thì m jX + nằm giữa 0 và ( 1) ( 2)... ( ) ( , 1) ms m j s m j s m d m m j X+ − + − + − ( 1)... ( 1) ( 1, 1) ms m j s m d m m j Y+ + − − + + − 2 1( 1) ( 1, 1) m j m js m j d m j m j Y Y+ − + −+ + − + − + − + (22) Giá trị tuyệt ñối của (22) không lớn hơn ( , 1) ( 1, 1) .mX d m m j S m m j+ − + + + − (23) Vì vậy , 1 .m jX j k+ ≤ ≤ (24) Để chứng minh (12) ta chỉ cần chỉ ra rằng các kiều kiện sau không thể xảy ra cả hai. Liên hệ với (11) và (14) của (15), (25) / 4mX δ> với tất cả m M≥ . (26) Để chứng minh (11). Xét 1 lim jjk α≤ <∞= . Xét N là số nguyên. Bởi vì (10), ta chỉ phải chứng minh rằng ( ){ }2lim (| | ) 0n n E X k + →∞ − = ở ñây ( ) ( ){ }| | max | | , 0n nX k X k+− = − . 3.3. Xấp xỉ cho quá trình tiệm cận chính quy Trong phần này sẽ nghiên cứu dãy các biến ngẫu nhiên, nhưng chỉ tập trung vào các ñiều kiện yếu trên các hệ số lập. Định lí 4(a) (Comer). Xét { }nX là một dãy xác ñịnh như dưới ñây và 1X là một biến ngẫu nhiên sao cho ( )2 21E X Vθ− < < ∞ , ở ñây θ và V là các số thực. Giả sử rằng (i) [ ]1 0( )n n n n nX X a Y X Y+ ′= − − , ở ñây 0Y là số thực bất kì và ( )n nY X là biến ngẫu nhiên sao cho [ ]( ) | ( )n n nE Y X X M X= . (ii) 0( )n n n M X YL d u X θ − ≤ = ≤ − với mọi n , ở ñây L và u là những số thực thoả mãn L u< . Không mất tính tổng quát giả sử rằng 0 0Y = . (iii) 1 na ∞ ′ = ∞∑ , ở ñây { }na′ là dãy số dương. Science & Technology Development, Vol 13, No.T3- 2010 Trang 10 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM (iv) lim 0n n a a →∞ ′ ′= ≥ . (v) 10 a u ′≤ ≤ . (vi) ( ) ( )n n n nZ Y X M X= − và M là lien tục tại θ với (0) 0M = . (vii) 2 2nE Z k  =  , ở ñây k là số thực dương bất kì. Thì 1 2 2lim ( ) /n n E X k Lθ →∞  − ≤  và 1 2 2lim sup n n ukE Y k L→∞    ≤ +   . Chứng minh: Từ (iv) và (v) luôn tồn tại một số N sao cho 1na u′ . Do ñó [ ] ( ) ( ) { } ( ) ( ) 1 1 1 2 22 2 2 1 22 2 2 0 1 1 1 1, ( ), (1 )( ) ( 1), (1 ) , (1 ) 2(1 ) | || | (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a u a d a L n N X X a Z a d X X a d X a Z n X a d X a Z E X a L E X a E Z a L a E Z X a L E X a E Z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + + + ′ ′ ′ ′ − = − − − − ′ ′ − = − − − ≥ ′ ′ − ≤ − − + ′ ′ − ≤ − − + ′ ′+ − − ′≤ − − + 1 1 2 22 2 1 1 2 22 2 1 1 1 2 22 2 2(1 )( ) ( ) , ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) / , . n n n n n n n n n n n a L a EZ E X E X a L E X a k E X a L E X k L n N θ θ θ θ θ +               ′ ′    + − −      ′ ′   − ≤ − − +       ′   = − − − − ≥         (1) Lấy 0ε > thì ta giả sử trái với giả thiết rằng ( )2 / .nE X k Lθ ε− ≥ + Lấy .n N> Thay vào (1) ta có ( ) ( ) 1 1 2 22 2 1n n nE X E X a Lθ θ ε+    ′− ≤ − −    , thì 1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 22 2 1 1 1 ( ) 1 2 22 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . n n n n n n N N N n n N n N E X E X L a E X E X L a ε ε ε ε ε θ θ ε θ θ ε − − − + −  ′   − ≤ − −        ′   − ≤ − −     ∑ ∑ ∑ ∑ (2) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ T3 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 11 Nhưng khi 1 na ∞ ′ = ∞∑ ta có 1( ) 2 2( ) / n n N N L a E X k L ε ε θ′  ≥ − − ∑ (3) Thay (3) vào (2) ta ñược ( ) 1 2 2 ( ) / .nE X k Lε θ − ≤   Khi ( ) ( 1),n n n n n n n Y d X Z n Y u X Z θ θ = − + ≥ ≤ − + và 1 1 2 22 2( ) / .nEY u E X k uk L kθ   ≤ − + ≤ +    Định lí 4(b)(Comer). Giả sử có các ñiều kiện (i) ñến (iv) của ñịnh lí 4(a) (i) Xét ( ) , 1 1| , ,...,n m n n m n mE Z Z Z Zµ − − −= , ở ñây 1m ≥ và 1n m≥ + . (ii) Tồn tại một dãy các số thực { }mξ sao cho 1 2 2 , ( ) , 1n m mE mµ ξ  ≤ ≥  và 1n m≥ + và lim 0m m ξ →∞ = . Thì tồn tại một hàm g của a′ sao cho ( ) [ ] 2 2 2 limsup ( ), lim ( ) ( ) n n n n m E X g a E Y Z u g a θ →∞ →∞ ′− ≤ ′− ≤ và 0 lim ( ) 0, (0) 0. a g a g ′→ ′ → = Định lí 4(c). Giả sử có các ñiều kiện của ñịnh lí 4(a) và 4(b). Thêm vào (i) 0na′ → khi n → ∞ ii) ( ) ( ) 0.n nX M Xθ− > Thì lim 1.n n P X θ →∞  = =   3.4. Lý thuyết mẫu nhỏ Vì các phương pháp ñã trình bày ở các phần trước trong thực tế chỉ áp dụng ñối với các vấn ñề giải quyết một cỡ mẫu xác ñịnh, câu hỏi ñặt ra là lí thuyết xấp xỉ tiệm cận tốt như thế nào ñối với các trường hợp cụ thể. Trong toán học, khài niệm tuyến tính rất quan trọng, ví dụ trong Kakutani là sự mở rộng của ñịnh lí ñiểm bất ñộng Brauwer có quan hệ gắn với vấn ñề ñặt ra. Vì vậy nó ñược giả thiết rằng ( )( ) ( )M X E y X= là một ñường thẳng với phương sai của X ñược chọn là một hằng số. Science & Technology Development, Vol 13, No.T3- 2010 Trang 12 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM STOCHASTIC APPROXIMATIONS AND APPLICATIONS Nguyen Van Thu (1), Hoang Van Bac(2) (1) International University,VNU-HCM (2) Secondary School, Duc Trong, Lam Dong ABSTRACT: The purpose of this note is to present introductory ideas of stochastic approximation problems which stand for important aspects of numerical analysis. In particular, we illustrate by considering the Robbins – Monro method. Từ khóa: Xấp xỉ ngẫu nhiên, phương pháp Robbins – Monro, biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, nghiệm ngẫu nhiên, quá trình tiệm cận chính quy, mẫu nhỏ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. M.T. Wasan, Stochastic Approximation, Cambridge University Press, (1969). [2]. Vivek S. Borkar, Stochastic Approximation, Cambridge University Press, (2008).