Xác định năng lượng dao động của cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi

Xác định năng lượng dao động của cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi TS. Nguyễn Đăng Cường, KS. Trương Chí Công, Hồ Sĩ Sơn Trường Đại học Thuỷ lợi I. Đặt vấn đề Để hoàn thiện thêm cho lớp bài toán nghiên cứu hệ số truyền năng lượng của cọc đóng trong nền đồng nhất hay không đồng nhất chúng ta đi tính năng lượng dao động của cọc. Trước đây một số tá c giả đã nghiên cứu về năng lượng dao động của cọc trong một nh tá búa ở bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, đáy cọc gặp lực chống không đổi, không có ma sá t mặt bên. Nội dung báo cáo này, trên cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi, các tá c giả sẽ x cá định vận tốc tâm khối lượng của cọc trong thời gian va chạm, xác định động năng tâm khối lượng và tìm năng lượng dao động của cọc đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không đổi nhưng có kể đến ma sá t mặt bên. II. Thiết lập bài toán 2.1. Sơ đồ bài toán 2.2. Phương trình vi phân chuyển động của cọc             K x u a t u 2 2 2 2 2 (1) Trong đó : u là dịch chuyển của cọc; K= EF rq ; K  0 khi at - x > 0; q là lực ma sát của đất trên một đơn vị diện tích mặt bên; r là chu vi diện tích ngang; E, F là môđun đàn hồi và diện tích tiết diện ngang của cọc;   E a là vận tốc truyền sóng trong cọc;  là khối lượng riêng của cọc. 2.3. Nghiệm tổng quát Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 1 có dạng:   KatxKx 2 1 xat)t,x(u 2  (2a) Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 2 có dạng:    2xLK 2 1 xat)t,x(u  (2b) Nghiệm tổng quát của (1) ở các miền khác có dạng:    2xLK 2 1 )xat(xat)t,x(u  (2c) L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 14 1 5 1 6 17 18 1 9 20 2 1 2 2 2 3 24 2 5 2 6 27 2 8 29 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 t l 0 L /a 2 L /a L /a + t l 3 L /a 4 L /a 3 L /a + t l 5 L /a 6 L /a R P ( t) q t x Hình 1. Sơ đồ bài toán 2.4. Các điều kiện của bài toán a. Điều kiện đầu của bài toán Với t = 0 thì u = 0; 0 t u    (3) b. Điều kiện biên của bài toán + Tại đầu cọc x = 0 thì: EF )t(P x u    (4) + Tại đáy cọc x = L thì: - Cọc chưa lún: R x u EF    và 0 t u    (5a) - Khi cọc lún thì: R x u EF    và 0 t u    (5b) - Cọc dừng lún: R x u EF    và 0 t u    (5c) ở đây coi lực cản R là hằng số Trong [3] đã xác định được lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong thời gian va chạm và đã tìm được năng lượng của búa truyền cho cọc trong một lần va chạm xác định theo công thức:  vct dt)t(V)t(P 0 A (6) Trong đó: A là năng lượng búa truyền cho cọc trong một lần va chạm; P(t) là lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong thời gian va chạm; V(t) là vận tốc đầu cọc; tvc là thời điểm kết thúc va chạm. III. Xác định năng lượng dao dộng trong cọc 3.1. Xác định vận tốc tâm khối lượng của cọc Theo định lý biến thiên động lượng, ta có:   vct 0 0ccc dttPVMVM (7) Ban đầu cọc đứng yên do đó: V0 = 0  ta có:   vct 0 cc dttPVM (8) Hay:   vct 0c c dttP M 1 V (9) Trong đó : Mc là khối lượng của cọc; P(t) là lực nén của đệm lên đầu cọc. a. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 0  t  L/a       a L 0 22 2 4231 c a/L 0 0 c co nw tKCa 0,0,tIC0,0,tIC M 1 dttP M 1 V          (10) b. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a  t  2L/a        a L2 a L 4433 c a/L2 a/L 1 c 1c 0,0,tIC0,0,tIC M 1 dttP M 1 V   (11) c. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 2L/a  t  L/a+tL                           a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 0 4635 c ta/L a/L2 2 c 2c L Lt a L a L222 2 12 0 nw tKCa2 a L2 , a L2 ,tI w2 B             (12) d. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a+tL  t  3L/a                           a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 1 4837 c a/L3 ta/L 3 c 3c L a L3 t a L22 2 12 1 Lnw tKCa2 a L2 , a L2 ,tI w2 B            (13) e. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a  t  4L/a                          a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 1 4837 c a/L4 a/L3 4 c 4c a L4 a L312 1 a L2 , a L2 ,tI w2 B           (14) f. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 4L/a  t  3L/a+tL                           a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 3 412311 c tla/L3 a/L4 5 c 5c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 4 2 4 19 4 12 3                                  a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 4 2 4 20 4 32 2 4 2 4 tl a L3 a L422 2 42 2 4 2 4 nw tKCa2 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                     (15) g. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a+tL  t  5L/a                           a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 5 414313 c a/L5 tla/L3 6 c 6c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 6 2 6 19 6 12 5                                  a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 6 2 6 20 6 32 2 6 2 6 a L5 tl a L322 2 42 2 6 2 6 nw tKCa2 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                    (16) h. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 5L/a  t  tVC                          a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M 1 dttP M 1 V 11 7 416315 c tcv a/L5 7 c 7c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 8 2 8 19 8 12 7                                  a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 8 2 8 20 8 32 2 8 2 8 aL5 tl a L342 2 8 2 8 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                 (17) Tương tự ta xác định được vận tốc tâm khối lượng của cọc trong các miền còn lại cho đến khi kết thúc va chạm. 3.2. Tính động năng của cọc theo vận tốc tâm khối lượng của nó trong thời gian va chạm Động năng khối tâm của cọc được xác định theo công thức: 2 VM T 2 cc c  (18) Thay các biểu thức vận tốc đã tính được ở trên vào ta có: a. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 0  t  L/a     2 a L 0 22 2 4231 c 2 coc co nw tKCa 0,0,tIC0,0,tIC M2 1 2 VM T           (19) b. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a  t  2L/a     2 a L2 a L4433 c 2 1cc 1c 0,0,tIC0,0,tIC M2 1 2 VM T          (20) c. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian2L/at L/a+tL                       a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M2 1 2 VM T 11 0 4635 c 2 2cc 2c 2 t a L a L222 2 12 0 L nw tKCa2 a L2 , a L2 ,tI w2 B              (21) d. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a+tL t 3L/a                       a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M2 1 2 VM T 11 1 4837 c 2 3cc 3c 2 a L3 t a L22 2 12 1 Lnw tKCa2 a L2 , a L2 ,tI w2 B              (22) e. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a t 4L/a                       a L2 , a L2 ,tI w2 A 0, a L2 ,tIC0, a L2 ,tIC M2 1 2 VM T 11 1 4837 c 2 4cc 4c 2 a L4 a L312 1 a L2 , a L2 ,tI w2 B            (23) f. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 4L/a t 3L/a+tL                       a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M2 1 2 VM T 11 3 412311 c 2 5cc 5c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 4 2 4 19 4 12 3                                a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 4 2 4 20 4 32 2 4 2 4 2 tl a L3 a L422 2 42 2 4 2 4 nw tKCa2 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                         (24) g. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a+tL t 5L/a                       a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M2 1 2 VM T 11 5 414313 c 2 6cc 6c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 6 2 6 19 6 12 5                                a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 6 2 6 20 6 32 2 6 2 6 2 a L5 tl a L322 2 42 2 6 2 6 nw tKCa2 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                         (25) h. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 5L/a t 6L/a                       a L4 , a L4 ,tI w2 A 0, a L4 ,tIC0, a L4 ,tIC M2 1 2 VM T 11 7 416315 c 2 7cc 7c                          a L4 , a L4 ,tI aw LB2 w4 A a L4 , a L4 ,tI w4 B a L4 , a L4 ,tI w2 B 12 8 2 8 19 8 12 7                                  a L4 , a L4 ,tI aw LA2 w4 B a L4 , a L4 ,tI w4 A a L4 , a L4 ,tI wa LB4 aw LA 11 8 2 8 20 8 32 2 8 2 8 2 a L5 tl a L342 2 8 2 8 a L4 , a L4 ,tI wa LA4 aw LB                     (26) Tương tự ta xác định được động năng tâm khối lượng của cọc trong các miền còn lại cho đến khi kết thúc va chạm. 3.3. Năng lượng dao động của cọc khi va chạm  Gọi năng lượng dao động của cọc trong một nhát búa là A0. Ta có:     2c t 0 c0 MV 2 1 dttVtPTAA vc   (27) Trong đó: A là năng lượng của búa truyền cho cọc trong một lần va chạm; Tc là động năng của cọc theo vận tốc tâm khối lượng của nó trong thời gian va chạm.  Ta gọi hệ số truyền năng lượng dao động trong một nhát búa là , bằng tỷ số năng lượng dao động và năng lượng búa truyền cho cọc. Ta có: C C A T T η = = 1 A A   (28) IV. Tính toán với số liệu cụ thể Số liệu tính toán:  Đệm đầu cọc: C = 571855 N/cm, dạng không thứ nguyên CL γ = = 0,185 EF .  Búa: Khối lượng đầu búa: M = 1800 Kg; Chiều cao rơi của búa: H = 180 cm.  Cọc: Mô đun đàn hồi của cọc: E = 3,11106 N/cm2; Kích thước của cọc: 30301000 cm; Khối lượng riêng của cọc:  = 0,024 N/cm3.  Đất nền: Lực ma sát mặt bên: q = 2,50 N/cm2; Lực chống tại đáy cọc: R = 297000N. Với số liệu đã cho dựa vào công thức xác định lực nén P(t), năng lượng của búa truyền cho cọc ở [3] và dựa vào công thức (18), (27) và (28) sử dụng máy tính với ngôn ngữ lập trình Pascal ta tính được thời điểm kết thúc va chạm tk=0,01641(s) nằm trong khoảng (5L/a ; 6L/a) và vẽ được đồ thị năng lượng dao động như hình 2 và đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc như hình 3: (a) (b) Hình 2: Đồ thị năng lượng dao động Hình 2a: đồ thị năng lượng dao động ứng với q = 0 N/cm2.  Đường (1): Năng lượng búa truyền cho cọc, A1 = 2656689,33 N.cm;  Đường (2): Động nă ng của cọc tính theo vận tốc khối tâm của nó, T0 = 629679,24 N.cm;  Đường (3): Năng lượng dao động của cọc, A0 = 2133679,45 N.cm. Hình 2b: Đồ thị năng lượng dao động ứng với q = 2,50 N/cm2.  Đường (1): Năng lượng búa truyền cho cọc, A1 = 3084491,94 N.cm;  Đường (2): Động nă ng của cọc tính theo vận tốc khối tâm của nó, T0 = 651096,56 N.cm;  Đường (3): Năng lượng dao động của cọc, A0 = 2539888,15 N.cm. (a) (b) Hình 3: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc Hình 3a: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với trường hợp thay đổi khối lượng đầu búa.  Các đường (4), (5) và (6): Các đường biểu thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với các khối lượng đầu búa: 1200 Kg; 1500 Kg; 1800 Kg. Hình 3b: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với trường hợp thay đổi lực ma sát mặt bên.  Các đường (7), (8) và (9): Các đường biểu thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với các lực ma sát mặt bên: 1,50 N/cm2; 2,50 N/cm2; 3,50 N/cm2. Gamma = 0.185 ; MS mat ben = 1.50 N/cm2 ; 2.50 N/cm2 ; 3.50 N/cm2 (a) (b) Hình 4: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc Hình 4a, 4b: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với các trường hợp lực ma sát mặt bên q = 0 N/cm2 và 2,50 N/cm2. V. Kết luận Trên cơ sở lý thuyết sóng một chiều nghiệm Đalambe các tác giả đã xét bài toán va chạm của búa vào cọc qua đệm giảm chấn tuyến tính, cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi. Từ cơ sở trên các tác giả đã tính được năng lượng dao động trong cọc dưới dạng biểu thức giải tích, sau đó sử dụng máy tính với ngôn ngữ Pascal đã tính được vận tốc khối tâm, động năng của cọc theo vận tốc khối tâm và năng lượng dao động trong cọc và rút ra nhận xét:  Khi tăng khối lượng đầu búa thì năng lượng dao động trong cọc tăng.  Khi có thêm lực ma sát ở mặt bên thì năng lượng dao động trong cọc giảm.  Lực ma sát mặt bên tă ng dần thì năng lượng dao động trong cọc giảm dần.  Bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không đổi, có ma sát mặt bên thì có năng lượng dao động trong cọc nhỏ hơn ở bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không dổi nhưng không có ma sát mặt bên. (Công trình này được sự tài trợ của Viện KH&CN Việt Nam - Bộ KH&CN) Tài liệu tham khảo [1]. Nguyễn Thúc An, 1975. Lý thuyết va chạm dọc của thanh và ứng dụng vào thi công móng cọc. Trường Đại học Thuỷ lợi, Hà Nội. [2]. Nguyễn Thúc An, 1999. áp dụng lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi vào bài toán cọc. Trường Đại học Thuỷ lợi, Hà Nội. [3]. Nguyễn Đăng Cường, 2000. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc và chọn đầu búa theo lý thuyết va chạm, Luận án TSKT, Hà Nội. [5]. Nguyễn Đăng Cường, Trương Chí Công, Nguyễn Ngọc Huyên, 2002. Xác định năng lượng dao động của cọc. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, Hà Nội. [6]. Quách Tuấn Ngọc, 1996. Ngôn ngữ lập trình Pascal, Hà Nội. Abstract: Agitation - energy of the pile, which was driven into homogeneous foundation and the bottom of the pile met constant resistance - force. Based the one - way wave theory, authors defined agitation - energy of the pile, which was driven into homogeneous foundation. Friction of the side face of the pile were constant and the bottom met constant resistance - force R. In this article, writers defined compressible force’s work of elastic matress, kinetic energy of weighting center and agitation - energy of the pile.