Giáo trình môn Lý thuyết trường điện từ

− •      −ω•• ==      − rrr (2.59) Các thế chậm ME A ,A , ••• ψ rr được tính là ( ) ( )∫ − • • ′ pi =ψ V ikr dV r et,rg 4 1 t,r (2.60) ( ) ( )∫ − • • ′ pi µµ = V ikr E0 E dV r et,rJ 4 t,rA r r (2.61) 44 ( ) ( )∫ − • • ′ pi εε = V ikr M0 M dV r et,rJ 4 t,rA r r (2.62) 2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten. Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài Để đơn giản ta có giả thiết như sau - đặt trong điện môi lí tưởng: σ = 0; ε, µ = const - l << λ, l là chiều dài của lưỡng cực điện và λ là bước sóng của trường điện từ do nó phát ra - Dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện biến thiên điều hoà với tần số góc ω - r >> l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện Ứd phương pháp thế chậm để tính trường 2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có dạng ti m ti m SeJkeIkI ω • ω •• == rrrr (2.63) Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế chậm của lưỡng cực điện là ikrm0 l ikr m0 V ikr m0 EmEm e r4 lIkdl r eI 4 kdV r eJ 4 kAkA − • − • − • •• pi µµ = pi µµ = pi µµ == ∫∫ rrrrr (2.64) 45 Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r. Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức θθ−θ= sincosrk 00 rrr (2.65) 0r r và 0θ r là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Khi đó (2.64) được viết lại ( )θθ−θ pi µµ = − • • sincosr r4 leIA 00 ikr m0 Em rrr (2.66) Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là ( )      θθ−θ×∇ pi =      ×∇ µµ = − • •• sincosr r e 4 lIA1H 00 ikr m Em 0 m rrrr (2.67) Suy ra r e sinik r 1 4 lIH ikr m 0m − • • θ      + pi ϕ= r r (2.68) 0ϕ r là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có m0m EiH •• ωεε=×∇ rr (2.69) Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là       θ      +−θ+θ      + ωεεpi =      ×∇ ωεε = − • •• sin r ikk r 1 cos r ik r 1 r2. . r e i4 lIH i 1E 2 2020 ikr 0 m m 0 m rr rr (2.70) 46 Nhận xét: Các biểu thức tính • E r và • H r trong (2.68) và (2.70) của bức xạ lưỡng cực điện đều có thừa số r e ikr− và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng pha là mặt cầu bán kính r. Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph Ta có phương trình của mặt đẳng pha là φ = ωt – kr = const dφ = ωdt – kdr = 0 (2.72) Và kdt dr vph ω == (2.73) Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với eiωt và lấy phần thực của • E r và • H r ta có giá trị tức thời của chúng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0HHE krtcos kr 1krtsin1 rk 1 sin r4 lkIE krtcos kr 1krtsin rk 1 cos r2 lkIE krtsinkrtcos kr 1 sin r4 lkIH r 22 0 2 m 22 0 2 m r m ===       −ω−−ω      −θ piωεε =       −ω−−ωθ piωεε =       −ω−−ωθ pi = θϕ θ ϕ (2.74) 2.5.2. Trường ở vùng gần Khi r > l thì gọi là trường ở vùng gần Do r << λ nên kr = r2 λ pi << 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao so với kr 1 và độ lệch pha kr ta có 47 tsinsin r4 lIE tsincos r2 lIE tcossin r4 lIH 3 0 m 3 0 m r 2 m ωθ piωεε = ωθ piωεε = ωθ pi = θ ϕ (2.75) Nhận xét: Hϕ lệch pha so với Er và Eθ một góc 2 pi nên vector Poynting trung bình tbΠ r = re • Π r = 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực điện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính chất sóng, gọi là vùng cảm ứng . Hình 2.1 trình bày cấu trúc đường sức của E r và H r 2.5.3. Trường ở vùng xa Khi r >> λ thì thì gọi là trường ở vùng xa Do r >> λ nên kr = r2 λ pi >> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao so với kr 1 ta có ( ) ( ) ( ) ( )krtsinsin r2 lIkrtsinsin r4 lkIE krtsinsin r2 lIkrtsinsin r4 lkIH 0 0m 0 2 m mm −ωθ εε µµ λ −=−ωθ piωεε = −ωθ λ −=−ωθ pi = θ ϕ (2.76) Nhận xét: I Er Er H r E r E r r 48 - Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần Hϕ và Eθ đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector Poynting phức chỉ có phần thực tbΠ r = re • Π r ≠ 0, năng lượng trường điện từ bức xạ vào trong không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ - Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với ω, tỉ lệ nghịch với λ. Nếu có cùng giá trị dòng điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì Hϕ và Eθ càng lớn - Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng 2 pi và bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện θ = 0. - Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ hướng. Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(θ, ϕ), là hàm được xác định bởi biểu thức: ( ) θ==ϕθ sin E E ,F max (2.77) 2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức SdP S tbbx rr ∫Π= (2.78) θ θ = 00 θ = 900 E = 0 E = Emax Mặt phẳng kinh tuyến ϕ Mặt phẳng vĩ tuyến Z 49 Trong đó θ ωεεpi =Π 2 0 32 322 m tb sin r32 klI r rr (2.79) Vi phân mặt cầu dS = r2sinθdθdϕ Suy ra bx 2 m 0 0 222 m 0 3 2 00 32 322 m bx R2 I 12 klIdsind r32 klIP = εε µµ pi =θθϕ ωεεpi = ∫∫ pipi (2.80) Trong đó 2 0 0 0 0 2 bx 1 3 2 6 lkR       λεε µµ = εε µµ pi = (2.81) Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện Đặt 0 0 cz εε µµ = [Ω] (2.82) zc - trở sóng của môi trường Trong chân không hoặc không khí, ta có ε = µ = 1, do đó Ω=pi= ε µ = 377120z 0 0 0c dθ dϕ H r E r Sd r I r 50 Ω      λ =      λ pi= 22 2 0bx 1790180R W1I395P 2 2 m0bx       λ = 2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay H r bằng E r , thay E r bằng H r , thay µ bằng - ε và thay mI • bằng MmI • − r e sinik r 1 4 lIE ikr Mm 0m − • • θ      + pi ϕ−= r r (2.83)       θ      +−θ+θ      + ωµµpi = − • • sin r ikk r 1 cos r ik r 1 r2 r e i4 lIH 22020 ikr 0 Mm m rrr (2.84) Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, E r , H r ~ r, ω E r , H r có tính định hướng trong không gian I Er Er r E r E r H r 51 Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với E r và H r đổi chỗ cho nhau 2.6.1 Trường điện từ của vòng dây Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1 vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực từ. Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố. Giả sử: - mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu - kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó phát ra - dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω: tim eII ω •• = với biên độ và pha dọc theo đường dây có giá trị như nhau Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra ∫ − • • ′pi µµ = V ikrm0 Em dVe r J 4 A r r (2.85) Trong đó: r’ là khoảng cách từ điểm Q đến yếu tố vi phân ldr Ta có: lSddV r = , ldIlSdJdVJ mmm rrrr • == (2.86) Suy ra ∫ ′pi µµ = − • • l ikr m0 Em ld r e 4 IA rr (2.87) Vì dòng điện chạy trong dây dẫn chỉ theo phương vĩ tuyến ϕ nên thế chậm EmA •r của nó cũng chỉ có 1 thành phần hướng theo phương vĩ tuyến Thí dụ: 52 Xét 2 yếu tố vi phân ld r của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng P gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân ldr lại phân tích thành 2 yếu tố vi phân: ld ′′ r // (P) và ld ′r ⊥ (P). Nhận xét: - thế vector do các yếu tố vi phân ld ′′ r tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu - thế vector do các yếu tố vi phân ld ′ r tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng hướng với nhau nên tăng gấp đôi. Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân ld ′r . Hơn nữa do tính đối xứng của ld ′ r đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo nửa vòng dây và nhân đôi Ta có: dl’ = dl cosϕ = Rcosϕ dϕ (2.88) Trong đó: R là bán kính của vòng dây Suy ra: ∫ ϕ ′ ϕ pi µµϕ= − • • V ikr m0 0Em d r cose 2 RIA r r (2.89) P ϕ θ r r’ O a a’ b R I Q O a’ R I ϕ ϕ dl dl’’ dl’ dl’ dl’’ dl 53 Trong đó: 0ϕ r là vector đơn vị hướng theo phương vĩ tuyến, theo hình vẽ trên ta có các hệ thức sau 222 abaQr +=′ , ϕ−+= cosROa2ROaab 222 (2.90) Hay ϕθ−+=ϕ−++=′ cossinRr2RrcosROa2ROaaQr 222222 (2.91) Trong đó: r là khoảng cách từ O đến Q Theo giả thiết r’ >> R nên cho R2 = 0 và từ (2.91) ta có ϕθ−≈ϕθ−=ϕθ−=′ cossinRrcossin r R21rcossinRr2rr 2 Suy ra ϕθ+=      ϕθ+≈ ≈ ϕθ− = ϕθ− = ′ cossin r R r 1 cossin r R1 r 1 cossin r R1 1 r 1 cossinRr 1 r 1 2 Và ( ) ( ) ( )( )ϕθ+ϕθ= ==≈ − ϕθ−ϕθ−−′− cossinkRsinicossinkRcose eeee ikr cossinikRikrcossinRrikrik Khi λ >> R thì kR << 1, do đó có thể xem ( ) 1cossinkRcos ≈ϕθ ( ) ϕθ≈ϕθ cossinkRcossinkRsin Suy ra ( )ϕθ+≈ −′− cossinikR1ee ikrrik Thay vào tích phân trong (2.89) ta có       +θpi=ϕϕ ′ −− ∫ ik r 1 sin r e 2 dcos r e ikr V ikr (2.92) Và 54 2 ikr m0 0Em Rik r 1 sin r4 eIA       +θµµϕ= − • • rr (2.93)       θ      +−θ+θ      += − • • sin r ikk r 1 cos r ik r 1 r2 r e 4 RIH 22020 ikr2 m m rrr (2.94)       +θ ωεε ϕ=      ×∇ ωεε = − • •• ik r 1 sin ri4 lekRIH i 1E 0 ikr22 m 0m 0 m rrr (2.95) Dễ thấy rằng trường bức xạ của vòng dây dẫn có tính chất tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực từ và sẽ hoàn toàn giống nhau nếu thoả mãn điều kiện sau 2 m0 Mm RI i lI piµµ= ω • • (2.96) Đặt ω == • •• i lIlqP MmMmM r rr (2.97) MP •r gọi là moment lưỡng cực từ Đặt 2 m00m00Mv RISSISP piµµ=µµ= ••• rrr (2.98) MvP •r gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện mI • và diện tích S Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương nhau MvM PP •• = rr (2.99) Từ các biểu thức (2.94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ của vòng dây ở vùng xa là 55 ( ) ( )krtcossin r4 kRIE krtcossin r4 kRIH 0 0 22 m 22 m −ωθ εε µµ == −ωθ−= ϕ θ (2.100) Công suất bức xạ và trở bức xạ của vòng dây được tính là bxv 2 m bxv R2 IP = (2.101) c 2 3 bx z S 3 8R       λ pi= (2.102) 2.7. Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và từ mặt chảy vuông góc với nhau. Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ nhật kích thước a, b Dòng điện mặt hướng theo trục x: IESx bthiên điều hoà theo thời gian Dòng từ mặt hướng theo trục y: IMSy bthiên điều hoà theo thời gian S << λ nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích với dòng điện mặt IESx và dòng từ mặt IMSy ta có IESx IMSy O a b x z y 56 ∫ − • • pi µµ = S ikr ESxm0 Exm dS r eI 4 A (2.103) ∫ − • • pi εε = S ikr MSym0 Mym dS r eI 4 A (2.104) Vì dòng điện mặt IESx hướng theo trục x nên ExmA • cũng chỉ có thành phần này, tương tự dòng từ mặt IMSy hướng theo trục y nên MymA • cũng chỉ có thành phần này Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài r4 eISA ikr ESxm0 Exm pi µµ = − • • (2.105) r4 eISA ikr MSym0 Mym pi εε = − • • (2.106) Trong đó: r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ S = ab là diện tích của yếu tố mặt Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên hệ với nhau như sau θ+ϕθ+ϕθ= cosAsinsinAcossinAA zyxr θ+ϕθ+ϕθ=θ sinAsincosAcoscosAA zyx (2.107) ϕ+ϕ−=ϕ cosAsinAA yx Do chỉ có ExmA • và MymA • khác 0, ta có ϕθ= •• cossinAA ExmErm 57 ϕθ= • θ • coscosAA ExmmE (2.108) ϕ−= • ϕ • sinAA ExmmE ϕθ= •• sinsinAA MymMrm ϕθ= • θ • sincosAA MymmM (2.109) ϕ= • ϕ • cosAA MymmM Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và (2.109), ta được       ×∇ µµ = •• Em 0 A1H rr       ×∇ εε −= •• Mm 0 A1E rr Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm r 1 , bỏ qua các số hạng bậc cao hơn n r 1       . Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và (2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm r A m 0 ∂ ∂ϕ θ • r và r A m 0 ∂ ∂θ ϕ • r được giữ lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có ikrESxm mE e r4 coscosIikSH − • ϕ • pi ϕθ = ikrESxm mE e r4 sinIikSH − • θ • pi ϕ −= (2.110) ikrMSym mM e r4 sincosIikSE − • ϕ • pi ϕθ = 58 ikrMSym mM e r4 cosIikSE − • θ • pi ϕ −= Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai       ×∇ ωεε −= •• Em 0 Em H i 1E rr       ×∇ ωµµ −= •• Mm 0 Mm E i 1H rr cho các biểu thức (2.110) ta có ikrESxm00 mE e r4 sinISik E − • ϕ • pi ϕεεµµ = ikrESxm00 mM e r4 coscosISik E − • θ • pi ϕθεεµµ −= (2.111) ikr 00 MSym mM e r4 cosIikSH − • ϕ • piεεµµ ϕ −= ikr 00 MSym mM e r4 sincosIikSH − • θ • piεεµµ ϕθ −= Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của Eθ và Eϕ ta được ( )θα+ pi ϕεεµµ −=+= − • ϕ • ϕ • ϕΣ • cos1e r4 sinIikS EEE ikr ESxm00 mMmEm (2.112) Trong đó: 00ESxm MSym I I εεµµ =α Tương tự, theo các thành phần của Hθ và Hϕ ta được       θ α + piεεµµ ϕ −=+= − • ϕ • ϕ • ϕΣ • cos 11e r4 cosIikSHHH ikr 00 MSym mMmEm 59 ( )θα+ pi ϕ −=+= − • θ • θ • θΣ • cos1e r4 sinIikSHHH ikrESxmmMmEm (2.113) Nhận xét: - Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng dạng đường cong cardioid - Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa mặt phẳng C(1+αcosθ) z 60 Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG • Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng • Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ • Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu • Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. • Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) - Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của E r và H r bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của E r và H r trong hệ toạ độ Decac có dạng xmP ymzm Ei z H y H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (1) ymP zmxm Ei x H z H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (2) zmP xmym Ei y H x H • •• ωε= ∂ ∂ − ∂ ∂ (3) xm0 ymzm Hi z E y E • •• ωµµ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (4) 61 ym0 zmxm Hi x E z E • •• ωµµ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (5) zm0 xmym Hi y E x E • •• ωµµ−= ∂ ∂ − ∂ ∂ (6) Trong đó: • Oz ≡ phương truyền sóng • mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l       ωεε σ −εε=ε 0 0P i1 E r và H r có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi đó: 0 y H x H y E x E = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ (3.1) 0HE zmzm == •• (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của E r và H r . Các E r và H r nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có: P O l y z 62 0Ek z E xm 2 P2 xm 2 =+ ∂ ∂ • • (7) 0Ek z E ym 2 P2 ym 2 =+ ∂ ∂ • • (8) 0Hk z H xm 2 P2 xm 2 =+ ∂ ∂ • • (9) 0Hk z H ym 2 P2 ym 2 =+ ∂ ∂ • • (10) Trong đó: 0 0 00PP i1k µµ      ωεε σ −εε=µµεω= - số sóng phức Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là zik xmpx zik xmtxm PP eEeEE • − •• += (3.3) Trong đó: - zik xmt PeE − • biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P P O l y z 63 - zik xmpx PeE • biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt phẳng P - xmtE • , xmpxE • là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là zik ympx zik ymtym zik xmpx zik xmtxm zik ympx zik ymtym PP PP PP eHeHH eHeHH eEeEE • − •• • − •• • − •• += += += (3.4) Suy ra       ++      +=+=       ++      +=+= • − •• − •••• • − •• − •••• zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm zik ympx zik ymt zik xmpx zik xmtymxmm PPPP PPPP eHeHjeHeHiHjHiH eEeEjeEeEiEjEiE rrrrr rrrrr (3.5) Để tìm mối liên hệ giữa mE •r và mH •r cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x // E r , do đó trục y // H r , ta có mxmymxmm EiEiEjEiE ••••• ==+= rrrrr vì 0E ym = • mymymxmm HjHjHjHiH ••••• ==+= rrrrr vì 0Hxm = • (3.6) Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có mối liên hệ giữa mE •r và mH •r cho sóng tới và sóng phản xạ như sau x y mH •r mE •r ymH • xmE • O 64 mpxPympx P 0ympx P xmpxmpx mtPymt P 0ymt P xmtmt HZH z H i 1EE HZH z H i 1EE •• • •• •• • •• −= ε µµ −= ∂ ∂ ωε −== = ε µµ = ∂ ∂ ωε −== (3.7) Trong đó: ( ) EE0 0 P 0 P itg1 1Z itg1 Z δ− = δ−εε µµ = ε µµ = (3.8) Từ (3.7) dạng của mE •r và mH •r cho sóng phẳng TEM được viết lại zik mpx zik mtm zik mpx zik mtPm PP PP eHeHH ekHekHZE • − •• • − •• +=             ×−      ×= rrr rrrrr (3.9) Hoặc ( ) ( ) ( ) ( )zkti mpx zkti mt ti m zkti mpx zkti mtP ti m PP PP eHeHeHH ekHekHZeEE +ω • −ω • ω •• +ω • −ω • ω •• +==             ×−      ×== rrrr rrrrrr (3.10) Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn. β α γ O x y z l 65 Dạng của mE •r và mH •r của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có: ( )lkti mtt PeHH −ω •• = rr (3.11) mtH •r nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và ( )lkti mtPt PelHZE −ω ••       ×= rrr (3.12) l r là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại ψ = α−β= i PP P eZZ ik (3.13) Trong đó α, β và ψ là các số thực α là hệ số tổn hao của môi trường β là hệ số pha của sóng ψ argument của trở sóng phức Khi đó α, β, PZ và ψ biểu diễn qua ω, ε, µ và thời gianδE như sau E 2 00 tg12 1 2 1 δ++−µµεεω=α (3.14) E 2 00 tg12 1 2 1 δ++µµεεω=β (3.15) 4 E 2P tg1 ZZ δ+ = (3.16) 66 E 2 E 2 tg11 tg11 arctgarctg δ++ δ++− =β α =ψ (3.17) Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng constzt =β−ω=φ (3.18) Suy ra 0dzdtd =β−ω=φ (3.19) Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi E 2 E 200 ph tg1 2 1 2 1 v tg1 2 1 2 1 1 . 1 dt dz v δ++ = δ++µµεε =β ω == (3.20) Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là P 2 mt2 mtPmt * mttb Z E 2 1kHZ 2 1kHEre 2 1 re rrrrrr ==      ×=Π=Π ••• (3.21) Lưu ý: Vì • E r và • H r đồng pha nên ψ = 0 ⇒ 1e i =ψ 3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng • Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. 67 • Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0, 0 0 0P i1 εε=      ωεε σ −εε=ε , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có Z E 2 1HZ 2 1 v 1 v ZZ k 0,0 2 mt2 mttb 00 ph 0 0 P 00 ==Π = µµεε = εε µµ == µµεεω==β =ψ=α r (3.22) mE •r và mH •r có dạng là zi mtm zi mtm ekHZE eHH β− •• β− ••       ×= = rrr rr (3.23) Hoặc ( ) ( )zti mt ti m zti mt ti m ekHZeEE eHeHH β−ω • ω •• β−ω • ω ••       ×== == rrrr rrr (3.24) Nhận xét: • E r và H r vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng • E r và H r luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng • Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường • Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực 68 3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện • Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức, α−β=µµ      ωεε σ −εεω=µµεω= ii1k 0 0 00PP ψ =       ωεε σ −εε µµ = ε µµ = i P 0 0 0 P 0 P eZ i1 Z Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) • E r và • H r có dạng ( ) ( ) ( ) zzti mt zizti mt zkti mt eeHeHeHH P α−β−ω • α+β−ω • −ω •• === rrrr ....... ( ) ( ) ( ) zzti mtP zizti mt i P zkti mtP eekHZ ekHeZekHZE P α−ψ+β−ω • α+β−ω • ψ−ω ••       ×= =      ×=      ×= rr rrrrr (3.25) H r E