Giáo trình Toán cao cấp A2, C2 - Nguyễn Đức Phương

! B thì jBj D jAj Ví dụ 1.25. Tính các định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ1 2 02 1 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ I jBj D ˇˇˇ ˇˇˇ2 1 11 2 0 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ Tính chất 1.24. Nếu A di!di! ¤0 B thì jBj D jAj: Ví dụ 1.26. Tính các định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ2 1 02 0 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ I jBj D ˇˇˇ ˇˇˇ6 3 02 0 1 3 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ và suy ra giá trị j3Aj: Trang 14 Chương 1. Ma trận, định thức Tính chất 1.25. Nếu A di!diCk! B thì jBj D jAj: Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D ˇˇˇ ˇˇˇ 1 1 32 2 1 2 3 1 ˇˇˇ ˇˇˇ và định thức của ma trận B có được bằng phép biến đổi d2 D d2 2d1 từ ma trận A Nhận xét. Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung dưới dạng di!diCdk! ¤0 Tính chất 1.26.ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a11 C a=11 a12


a1n a21 C a=21 a22


a2n ::: :::


::: an1 C a=n1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ D ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: an1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇC ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ a = 11 a12


a1n a = 21 a22


a2n ::: :::


::: a = n1 an2


ann ˇˇˇ ˇˇˇ ˇˇˇ Ví dụ 1.28. Tính định thức ˇˇˇ ˇˇˇx a xy b y C 3 z c z ˇˇˇ ˇˇˇ 1.7 Ma trận khả nghịch Trang 15 Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biến đổi trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột. Chú ý.Một số kết quả đặc biệt  Dạng chia khối: nếu A;C là hai ma trận vuông và O là ma trận không ˇˇˇ ˇA BO C ˇˇˇ ˇ D ˇˇˇ ˇA 0B C ˇˇˇ ˇ D jAjjCj  Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.  jABj D jAjjBj: 1.7 Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.27. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng cấp A1 sao cho AA1 D A1A D In:Ma trận A1 là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A: Ví dụ 1.29. Ma trận A D  2 5 1 3  và A1 D  3 5 1 2  là hai ma trận nghịch đảo của nhau. Trang 16 Chương 1. Ma trận, định thức 1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A1 nếu có như sau: Bước 1. Lập ma trận .AjIn/: Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa .AjIn/ về dạng .A0jB/; với A0 là ma trận bậc thang rút gọn. Bước 3. Nếu A0 D In thì A khả nghịch và A1 D B; ngược lại ta kết luận A không khả nghịch. Ví dụ 1.30. Tìm A1 nếu có của A D  1 2 2 4  : Ví dụ 1.31. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D 0 @1 1 11 0 1 2 1 1 1 A : 1.7 Ma trận khả nghịch Trang 17 Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0 Ví dụ 1.32. Tìm m để A D 0 @mC 1 1 32 mC 2 0 2m 1 3 1 A khả nghịch 1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như sau: A1 D 1jAj 0 BBB@ A11 A12


A1n A21 A22


A2n ::: :::


::: An1 An2


Ann 1 CCCA T (1.1) Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D  2 3 1 4  : Trang 18 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.34. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D 0 @1 2 12 0 1 3 2 2 1 A : Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tổng quát Định nghĩa 2.1. Một hệ phương trình bậc nhất có n ẩn xj ; j D 1; : : : ; n:8ˆˆ ˆˆ< ˆˆˆˆ: a11x1 C a12x2 C


C a1nxn D b1 a21x1 C a22x2 C


C a2nxn D b1 ::: :::


::: ::: am1x1 C am2x2 C


C amnxn D b1 (2.1) trong đó aij ; bi là các hằng số thực, được gọi hệ phương trình tuyến tính. Nếu ta đặt: A D 0 BBB@ a11 a12


a1n a21 a22


a2n ::: :::


::: am1 am2


amn 1 CCCA IB D 0 BBB@ b1 b2 ::: bm 1 CCCA IX D 0 BBB@ x1 x2 ::: xn 1 CCCA Khi đó hệ ?? được viết dưới dạng ma trận AX D B: Ví dụ 2.1. Viết dạng ma trận8ˆ< :ˆ x1 x2 C 2x3 C 4x4 D 4 2x1 C x2 C 4x3 D 3 2x2 7x3 D 5 Trang 20 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.2 Hệ Cramer Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức ma trận hệ số khác không. Ví dụ 2.2. Kiểm xem hệ phương trình tuyến tính sau có phải là hệ Cramer: 8ˆ< :ˆ x C 2y C z D 4 x 3y C 6z D 4 5x y C z D 5 2.2.1 Quy tắc Cramer Định lý 2.3. Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là xj D jAj j jAj ; j D 1; 2; : : : ; n (2.2) trong đó Aj nhận được bằng cách thay cột j của A bằng B: Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình 8ˆ< :ˆ x1 2x2 C x3 D 5 2x1 C 3x2 2x3 D 1 x1 C x2 C 2x3 D 1 2.2 Hệ Cramer Trang 21 2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn Cho AX D B là hệ n phương trình n ẩn có chứa tham số m: Khi đó: Trường hợp 1. Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. Trường hợp 2. Nếu jAj D 0 và tồn tại jAj j ¤ 0 thì hệ vô nghiệm. Trường hợp 3. Nếu jAj D 0 và mọi jAj j D 0 thì hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ 2.4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình( .mC 1/x C y D mC 2 x C .mC 1/y D 0 có nghiệm. Trang 22 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình8ˆ< :ˆ 2x C 3y z D 1 4x C .mC 5/y C .m 3/z D mC 1 8x C 12y C .m 4/z D mC 4 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 23 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Phương pháp Gauss giải hệp phương trình có 3 bước: Bước 1. Đặt ma trận mở rộng NA D .AjB/ D 0 BBB@ a11 a12


a1n b1 a21 a22


a2n b2 ::: :::


::: ::: am1 am2


amn bm 1 CCCA Bước 2. Đưa NA về ma trận bậc thang QA Bước 3. Viết lại hệ và giải ngược lại từ dưới lên trên. Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ< :ˆ x C y C z D 6 2x C 3y z D 1 x C 4y C z D 10 Trang 24 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Định lý 2.4 (Kronecker-Capelli). Hệ phương trình tuyến tính AX D B có nghiệm khi và chỉ khi r.A/ D r. NA/: Nhận xét. i. r.A/  r. NA/: ii. Nếu r.A/ < r. NA/ thì hệ vô nghiệm. iii. Nếu r.A/ D r. NA/ D n thì hệ có nghiệm duy nhất. iv. Nếu r.A/ D r. NA/ < n thì hệ có vô số nghiệm. Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss8ˆ< :ˆ 3x C 7y D 5 2x C 3y z D 1 x C y C 2z D 2 2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 25 Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 8ˆ< :ˆ x C y z D 2 2x C y 4z D 3 3x C y 7z D 4 Trang 26 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.4 Hệ phương trình thuần nhất Định nghĩa 2.5. Hệ phương trình tuyến tính8ˆˆ ˆˆ< ˆˆˆˆ: a11x1 C a12x2 C


C a1nxn D 0 a21x1 C a22x2 C


C a2nxn D 0 ::: :::


::: ::: am1x1 C am2x2 C


C amnxn D 0 (2.3) được gọi là thuần nhất. Dạng ma trận của hệ thuần nhất trên là AX D O; trong đó O là ma trận không. Nhận xét.  Do r.A/ D r. NA/ nên hệ ?? luôn có nghiệm.  X D .0I 0I : : : I 0/ luôn là nghiệm của ?? và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Ví dụ 2.9. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm tầm thường 8ˆ< :ˆ 3x C m2y C .m 5/z D 0 .mC 2/y C z D 0 4y C .mC 2/z D 0 2.4 Hệ phương trình thuần nhất Trang 27 Ví dụ 2.10. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm8ˆ< :ˆ x C y C .1 m/z D 0 .mC 1/x y C 2z D 0 2x my C 3z D 0 Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình8ˆ< :ˆ x1 C 2x2 C 2x3 C 2x4 D 0 2x1 C 3x2 C 4x3 C x4 D 0 x1 C x2 C 2x3 x4 D 0 Chỉ ra nghiệm tổng quát, nghiệm cơ bản. Trang 28 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chương 3 Không gian vector 3.1 Không gian vector, không gian vector con Định nghĩa 3.1. Cho tập V khác rỗng, hai phép toan cộng và nhân vô hướng V  V ! V .x; y/ 7! x C y I R  V ! V .; y/ 7! x ta nói V cùng hai phép toán trên là không gian vector trên R nếu thỏa 8 điều sau: i. .x C y/C z D x C .y C z/; 8x; y; z 2 RI ii. 9 2 V W x C  D  C x D x; 8x 2 V I iii. 8x 2 V; 9 x 2 V W x C x D  I iv. x C y D y C x; 8x; y 2 V I v. .x C y/ D x C y;8x; y 2 V; 8 2 RI vi. .C /x D x C x;8; 2 R; 8x 2 V I vii. ./x D .x/; ;  2 R;8x 2 V I viii. 1x D 1; x 2 V: Chú ý.Mỗi x 2 V gọi là một vector và mỗi  2 R gọi là một vô hướng. Tính chất 3.2. Không gian vector có các tính chất : i. 0x D ; 8x 2 V I ii. x D 1x; 8x 2 V I iii.  D ; 8 2 RI iv. x D  khi và chỉ khi  D 0 hoặc x D  I Trang 30 Chương 3. Không gian vector v. Nếu x D x; x ¤ 0 thì  D I vi. Nếu x D y;  ¤ 0 thì x D y: Ví dụ 3.1. Tập hợp Rn D fx D .x1Ix2I : : : Ixn/jxi 2 Rg với hai phép toán: x C y D .x1 C y1Ix2 C y2I : : : Ixn C yn/ x D .x1Ix2I : : : Ixn/ với vector  D .0I 0I : : : I 0/ 2 Rn là không gian vector. Định nghĩa 3.3 (Không gian vector con). Cho không gian vector V; W  V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là không gian vector. Định lý 3.4. Cho không gian vector V; W  V là không gian vector khi và chỉ khi x C y 2 W; 8x; y 2 W I 2 R (3.1) Ví dụ 3.2. Tập W D f.˛I 0I 0/j˛ 2 Rg là không gian vector con của R3: 3.1 Không gian vector, không gian vector con Trang 31 Ví dụ 3.3. Tập nghiệm của hệ 8ˆ< :ˆ x C y C z D 0 x C 2y C z D 0 x C 3y C z D 0 là không gian vector con của R3 (còn được gọi là không gian nghiệm). Trang 32 Chương 3. Không gian vector 3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa 3.5. Cho hệ n vector U D fu1; u2; : : : ; ung trong V: Vector u D ˛2u2 C ˛2u2 C


C ˛nun; ˛i 2 R (3.2) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ n vector U: Cho trước vector u và bộ vector U: Nếu tồn tại ˛i để thỏa ?? thì ta gọi u biểu diễn được theo bộ vector U: Ví dụ 3.4. Tìm biểu diễn của u theo hệ hai vector u1 D .1I 3I 2/ và u2 D .2I 1I 4/: Trong đó: a. u D .4I 7I 8/: b. u D .5I 7I 8/: 3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính Trang 33 3.2.2 Độc lập tuyến tính Định nghĩa 3.6. Hệ n vector U D fu1; u2; : : : ; ung trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nun D  thì ˛i D 0;8i D 1; 2; : : : ; n (3.3) Hệ U không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 3.5. Trong R2; xét sự độc lập tuyến tính của hệ U D fu1 D .1I 2/; u2 D .3I 1/g Ví dụ 3.6. Trong R3; xét sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .1I 2I 3/Iu2 D .1I 2I 5/Iu3 D .2I 0I 2/g Trang 34 Chương 3. Không gian vector Định lý 3.7. Hệ n vector là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại trong hệ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại. Ví dụ 3.7. Hệ U D fu1 D .1I 2I 3/Iu2 D .2I 4I 6/Iu3 D .2I 0I 2/g là phụ thuộc tuyến tính vì sao? Nhận xét. Trong Rn để xét sự độc lập tuyến tính của hệ U gồmm vector ta thực hiện các bước:  Lập ma trận A có dòng i là vector ui :  Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ D m: Ngược lại, hệ U là phụ thuôc tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ < m: Ví dụ 3.8. Trong R3; xét sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .2I 1I 3/; u2 D .1I 2I 2/; u3 D .3I 4I 4/g 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 35 Chú ý. Trong Rn; hệ U có n vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi jAj ¤ 0: Ví dụ 3.9. Trong R3; biện luận theo m sự độc lập tuyến tính của U D fu1 D .mI 1I 1/; u2 D .1ImI 1/; u3 D .1I 1Im/g 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector 3.3.1 Không gian sinh Định nghĩa 3.8 (Không gian sinh bởi hệ vector U ). Trong không gian vector V cho hệ m vector. Tập hU i D fu D ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nunI˛i 2 Rg (3.4) gọi là không gian sinh bởi U: Nếu hU i D V thì ta gọi V được sinh bởi U; hay U là hệ sinh của S: Trang 36 Chương 3. Không gian vector Ví dụ 3.10. Trong R2; U D fu1 D .1I 2/Iu2 D .0I 1/g là hệ sinh của R3: Ví dụ 3.11. Trong không gian vector R3; hệ U D fu1 D .1I 1I 1/Iu2 D .0I 1I 1/g không là hệ sinh của R3: 3.3.2 Số chiều và cơ sở Định nghĩa 3.9 (Số chiều). Không gian vector V nếu có nhiều nhất m vector độc lập tuyến tính thì ta gọi số chiều của không gian V là m; ký hiệu dimV D m: Ví dụ 3.12. Tìm số chiều của không gian R3: 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 37 Định nghĩa 3.10 (Cơ sở). Hệ U gồm n vector độc lập tuyến tính trong không gian V có n chiều được gọi là không gian vector. Ví dụ 3.13. Chứng tỏ U D fu1 D .1I 0I 1/; u2 D .1I 2I 1/; u3 D .0I 2I 1/g là cơ sở của R2: Chú ý. Trong Rn hệ các vector E D fe1 D .1I 0I 0I : : : I 0/; e2 D .0I 1I 0I : : : I 0/; : : : ; en D .0I 0I 0I : : : I 1/g là cơ sở chính tắc của Rn: Ví dụ 3.14. Hệ vector E D fe1 D .1I 0I 0/; e2 D .0I 1I 0/; e3 D .0I 0I 1/g là cơ sở chính tắc của R3: Định lý 3.11. Nếu U là cơ sở của V thì hU i D V: Khi đó mọi vector v 2 V đều viết được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của m vector trong U: Nhận xét. Tìm số chiều của không gian sinh bởi U W  Lập ma trận A có dòng i là vector ui : Trang 38 Chương 3. Không gian vector  dim hU i D r.A/: Ví dụ 3.15. Trong R4 cho hệ vector U D fu1 D .1I 2I 1I 2/; u2 D .2I 1I 2I 1/; u3 D .1I 3I 1I 1/; u4 D .3I 4I 3I 0/g tìm số chiều của hU i và tìm một cơ sở của hU i. Ví dụ 3.16. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm.8ˆ< :ˆ x1 C x2 2x3 D 0 x1 C 2x2 C 2x3 D 0 x1 C 3x2 C 6x3 D 0 3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 39 Nhận xét. Nếu gọi ma trận A có cột j là vector uj của U thì khi đó ŒxU chính là là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính A
ŒxU D x; 3.3.3 Tọa độ của vector theo cơ sở U Định nghĩa 3.12. Trong không gian vector V; Cho cơ sở U D fu1; u2; : : : ; umg Mọi x 2 V tồn tại duy nhất ˛i sao cho x D ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛mum ký hiệu ŒxU D .˛1I˛2I : : : I˛m/T ; được gọi là tọa độ của x theo cơ sở U: Ví dụ 3.17. Trong R3 cho cơ sở U D fu1 D .1I 2I 1/; u2 D .1I 1I 3/; u3 D .1I 5I 4/g và vector x D .9I 20I 17/: Tìm ŒxU ; Trang 40 Chương 3. Không gian vector Ví dụ 3.18. Trong R2 cho hai cơ sở U1 D fu1 D .1I 0/; u2 D .1I 1/g và U2 D fv1 D .1I 2/; v2 D .3I 1/g và ŒxU2 D  7 0  . Tìm ŒxU1: Nhận xét. Trong R2 cho hai cơ sở U1 D fu1; u2g và U2 D fv1; v2g : Giả sử ŒxU1 D  ˛1 ˛2  và ŒxU2 D  ˇ1 ˇ2  ta có ˛1u1 C ˛2u2 D ˇ1v1 C ˇ2v2 suy ra ŒxU1 D  ˛1 ˛2  D ˇ1Œv1U1 C ˇ2Œv2U1 D Œv1U1 Œv2U1
ˇ1 ˇ2  3.4 Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau Trang 41 3.4 Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau 3.4.1 Ma trận chuyển cơ sở Định nghĩa 3.13 (Ma trận chuyển cơ sở). Trong không gian vector n chiều, cho hai cơ sở U1 D fu1; u2; : : : ; ung và U2 D fv1; v2; : : : ; vng ma trận PU1!U2 D Œv1U1 Œv2U1


Œv1U1
là ma trận chuyển cơ sở từ U1 sang U2: Ví dụ 3.19. Trong R3 cho hai cơ sở U1 D fu1 D .1I 3I 2/; u2 D .0I 1I 1/; u3 D .1; 2; 4/g U2 D fv1 D .1I 2I 1/; v2 D .2; 3; 1/; v3 D .1; 5; 1/g a. Tìm PU1!U2: b. Tìm PE!U2: Trang 42 Chương 3. Không gian vector Tính chất 3.14. Trong không gian vector V cho ba cơ sở U1; U2; U3: i. PU1!U1 D I ; ii. PU1!U2 D .PU2!U1/1 iii. PU1!U3 D PU1!u2
PU2!U3I 3.4.2 Công thức đổi tọa độ Định lý 3.15 (Công thức đổi tọa độ). Trong không gian vector V cho hai cơ sở U1; U2 và vector x 2 V: Ta có công thức đổi tọa độ ŒxU1 D PU1!U2
ŒxU2 (3.5) Ví dụ 3.20. Trong R3 cho hai cơ sở U1 và U2 có PU2!U1 D 0 @1 1 10 3 1 0 5 1 1 A và ŒxU1 D 0 @12 3 1 A Tìm ŒxU2: 3.5 Không gian Euclide Định nghĩa 3.16 (Tích vô hướng). Xét không gian vector V trên R: Với mọi x; y 2 V và  2 R ta định nghĩa phép toán hxjyi thỏa mãn bốn tính chất i. hxjyi  0 và hxjxi D 0 khi và chỉ khi x D 0I ii. hxjyi D hyjxi I 3.5 Không gian Euclide Trang 43 iii. hx C yjzi D hxjzi C hyjzi I iv. hxjyi D  hxjyi : được gọi là tích vô hướng. Định nghĩa 3.17 (Không gian Euclide). Không gian vector V hữu hạn chiều với tích vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide. Ví dụ 3.21. Trong không gian vector Rn; xét tích vô hướng hxjyi D h.x1I : : : Ixn/j.y1I : : : Iyn/i D x1y1 C


C xnyn Khi đó, Rn với tích vô hướng như trên là một không gian Euclide. 3.5.1 Chuẩn của một vector Định nghĩa 3.18. Trong không gian Euclide V; số thực p hxjxi được gọi là chuẩn của vector x; ký hiệu jjxjj: Ví dụ 3.22. Trong không gian Euclide R3; cho vector x D .2I 3I 1/: Tính jjxjj: 3.5.2 Cơ sở trực chuẩn Cho V là không gian Euclide n chiều: Định nghĩa 3.19 (Trực giao). Hai vector x; y được gọi là trực giao nếu hxjyi D 0: Định nghĩa 3.20 (Cơ sở trực giao). Một cơ sở U của V được gọi là trực giao nếu các vector của U là trực giao với nhau từng đôi một. Ví dụ 3.23. Trong không gian Euclide R3 có U D fu1 D .1I 0I 0/; u2 D .0I 1I 1/; u3 D .0I 1I 1/g là cơ sở trực giao. Trang 44 Chương 3. Không gian vector Định nghĩa 3.21 (Cơ sở trực chuẩn). Một cơ sở U của V được gọi là trực chuẩn nếu U là trực giao và chuẩn của các vector trong cơ sở đó là 1. Ví dụ 3.24. Trong không gian Euclide R3 có U D  u1 D .1I 0I 0/; u2 D  0I 1p 2 I 1p 2  ; u3 D  0I 1p 2 I 1p 2  là cơ sở trực chuẩn. 3.5.3 Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Trong không gian Euclide n chiều V; xét một cơ sở U D fu1; u2; : : : ; ung tùy ý. Ta xây dựng cơ sở trực chuẩn như sau: Bước 1. Xây dựng cơ sở trực giao bằng cách đặt: v1 D u1 v2 D u2 hu2jv1i jjv1jj2 v1 v3 D u3 hu3jv1i jjv1jj2 v1 hu3jv2i jjv2jj2 v2


vn D un n1X iD1 hunjvii jjvi jj2 vi Bước 2. Xây dựng cơ sở trực chuẩn fw1; w2; : : : ; wng bằng cách chuẩn hóa các vector vi ở bước 1: w1 D v1 jjv1jj ; w2 D v2 jjv2jj ; : : : ; wn D vn jjvnjj 3.5 Không gian Euclide Trang 45 Ví dụ 3.25. Trong không gian Euclide R3; hãy trực chuẩn hóa cơ sở U D fu1 D .1I 1I 0/; u2 D .0I 1I 2/; u3 D .1I 0I 1/g Định lý 3.22. Nếu W D fw1; w2; : : : ; wng là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide n chiều V và v 2 V thì ŒuW D .hujw1i ; hujw2i ; : : : ; hujwni/T (3.6) Ví dụ 3.26. Trong không gian gian Euclide Rn cho cơ sở: U D fu1 D .0I 1I 1/; u2 D .1I 1I 2/; u3 D .1; 1; 1/g a. Trực chuẩn hóa U: b. Tìm tọa độ của x D .2I 1I 3/ theo cơ sở trực chuẩn ở câu trên. Trang 46 Chương 3. Không gian vector Chương 4 Ánh xạ tuyến tính 4.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.1 (Ánh xạ tuyến tính). Cho X và Y là hai không gian vector trên R: Ánh xạ f W X ! Y được gọi là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: i. f .˛x/ D f˛ .x/; 8x 2 X; ˛ 2 RI ii. f .x C y/ D f .x/C f .y/; 8x; y 2 X: Chú ý. Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát ánh xạ tuyến tính f W Rn ! Rm: Nếu m D n ta gọi f là toán tử tuyến tính. Ví dụ 4.1. Chứng tỏ f W R3 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .x1 x2 C x3Ix2 x3/ là ánh xạ tuyến tính. Trang 48 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.2. Chứng tỏ f W R2 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2/ D .x1 2I 2x1 C x2/ không là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 4.3. Các phép biển đổi sau là ánh xạ tuyến tính từ R2 vào R2  Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox;Oy W f .xIy/ D .xI 0/; f .xIy/ D .0Iy/  Phép đối xứng qua trục Ox;Oy W f .xIy/ D .xI y/; f .x; y/ D .xIy/ 4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.2. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W  Tập Ker.f / D fx 2 X W f .x/ D Y g (4.1) được gọi là nhân của f: 4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 49  Tập Im.f / D ff .x/ W x 2 Rg (4.2) được gọi là ảnh của f: Tính chất 4.3. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y; ta có các tính chất sau: i. Ker.f / là không gian vector con của X I ii. Im.f / là không gian vector con của Y I iii. f đơn ánh khi và chỉ khi Ker.f / D fXgI iv. f toàn ánh khi và chỉ khi Im.f / D Y I v. Nếu hU i D X thì hf .U /i D Im.f /: Ví dụ 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .x1 x2 C 2x3I 2x1 x3/ Tìm Ker.f / và Im.f /: Trang 50 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W  dimKer.f / được gọi là số khuyết của f; ký hiệu d.f /:  dim Im.f / được gọi là hạng của f; ký hiệu r.f /: Ví dụ 4.5. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .x1 C x2I x2 C x3Ix2 x3/ Tìm số khuyết và hạng của f: 4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 51 Định lý 4.5. Cho X và Y là hai không gian vector hữu hạn chiều. Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y thì dimKer.f /C dim Im.f / D dimX (4.3) Hệ quả 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y có dimX D dimY: Khi đó các điều sau là tương đương: i. f song ánh; ii. f đơn ánh; iii. f toàn ánh. Ví dụ 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .mx1 C x2 C x3Ix1 Cmx2 C x3Ix1 C x2 Cmx3/ Tìm m để f song ánh. Trang 52 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chú ý. Nếu f song ánh thì f có ánh xạ ngược f 1: 4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.7 (Ma trận của ánh xạ tuyến tính). Cho ánh xạ tuyến tính f W Rn ! Rm và hai cơ sở của Rn;Rm lần lượt là U1 D fu1; u2; : : : ; ung và U2 D fv1; v2; : : : ; vmg : Ma trận A D Œf .u1/U2 Œf .u2/U2


Œf .un/U2
(4.4) được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở B1; B2; ký hiệu Œf U2U1 : Ví dụ 4.7. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .x1Ix1 C x2/ hai cở sở của R3;R2 lần lượt được cho như sau: U1 D fu1 D .1I 1I 2/; u2 D .2I 2I 1/; u3 D .3; 1; 2/g U2 D fv1 D .2I 3/; v2 D .1I 1/g a. Tìm A D Œf U2U1 : b. Tìm A D Œf E2U1 : c. Tim B D Œf E2E3 : 4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 53 Tính chất 4.8. Nếu f W Rn ! Rm là ánh xạ tuyến tính và hai cơ sở của R n;Rm lần lượt là U1; U2 thì i. r.f / D r  Œf  U2 U1  I ii. Œf .x/U2 D Œf U2U1
ŒxU1; 8x 2 Rn: Ví dụ 4.8. Cho ánh xạ tuyến tính f W R3 ! R2 và 2 cơ sở U1; U2 tương Trang 54 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ứng, trong đó: U1 D fu1 D .1I 2I 0/; u2 D .1; 1; 1/Iu3 D .1I 5I 2/g Cho biết Œf U2U1 D  1 0 1 0 2 1  và x D .1I 2I 3/; tìm Œf .x/B2 : Ví dụ 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính f W R2 ! R3 và hai cơ sở tương ứng U1 D fu1 D .1I 1/; u2 D .1I 2/g U2 D fv1 D .1I 0I 1/; v2 D .1I 1I 1/; v3 D .1I 0I 0/g Cho biết Œf E3E2 D 0 @1 30 2 4 3 1 A tìm Œf U2U1 : 4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 55 Hệ quả 4.9. Nếu f W Rn ! Rn là toán tử tuyến tính và hai cơ sở của Rn là U1; U2: Nếu tồn tại f 1 thì i.  f 1 U2 U1 D  Œf  U2 U1 1 I ii.  f 1.x/  U1 D  Œf  U2 U1 1
ŒxU1; 8x 2 Rn: Ví dụ 4.10. Cho toán tử tuyến tính f W R2 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2/ D .x1 C 2x2I x1 3x2/ a. Chứng tỏ tồn tại hàm f 1: b. Tìm  f 1.x/  E2 và biểu thức của f 1.x1Ix2/: Trang 56 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Định lý 4.10 (Chuyển đổi ma trận của ánh xạ tuyến tính). Giả sử U1; U2 là hai cơ sở của Rn và U 0 1; U 0 2 là hai cơ sở của R m: Nếu f là ánh xạ tuyến tình từ Rn vào Rm thì Œf  U 0 2 U2 D PU 0 2 !U 0 1
Œf U 0 1 U1
PU1!U2 (4.5) Nhận xét. Nếu f W Rn ! Rn là toán tử tuyến tính và U là một cơ sở của R n thì Œf U D PU!E
Œf E
PE!U (4.6) Ví dụ 4.11. Cho toán tử tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa f .x1Ix2Ix3/ D .x1 C x2 C x3Ix1 x2 C x3Ix1 C x2 x3/ Tìm Œf U với U D fu1 D .2I 1I 0/; u2 D .1I 0I 1/; u3 D .1I 0I 1/g : 4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 57 4.4 Trị riêng, vector riêng 4.4.1 Ma trận đồng dạng Định nghĩa 4.11 (Ma trận đồng dạng). Hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B D P1
A
P: Định lý 4.12. Cho U1 và U2 là hai cơ sở khác nhau của V: Khi đó Œf U1 và Œf U2 là đồng dạng. 4.4.2 Đa thức đặc trưng Định nghĩa 4.13 (Đa thức đặc trưng của ma trận). Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A cấp n là đa thức bậc n của  2 R được định nghĩa PA D jA Inj (4.7) Ví dụ 4.12. Tìm đa thức đặc trưng của A D  2 1 1 2  Trang 58 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Định lý 4.14. Hai ma trận đồng dạng nhau thì có cùng đa thức đặc trưng. Định nghĩa 4.15 (Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính). Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn là đa thức bậc n của  2 R được định nghĩa Pf D jA Inj (4.8) trong đó A D Œf U với U là một cơ sở nào đó của Rn: Nhận xét. Đa thức đặc trưng của f không đổi khi ta thay đổi cơ sở U: Do đó để đơn giản khi tìm đa thức đặc trưng của f ta chọn A D Œf En : Ví dụ 4.13. Cho toán tử tuyến tính f W R3 ! R3 được định nghĩa f .xIyI z/ D .x C yIy zIx C y C z/ Tìm đa thức đặc trưng của f: 4.4.3 Trị riêng, vector riêng Định nghĩa 4.16 (Trị riêng, vector riêng của ma trận vuông A).  được gọi là trị riêng của ma trận vuông A nếu tồn tại x ¤  trong Rn sao cho A
x D 
x: (4.9) vector x ¤  trong ?? được gọi là vector riêng ứng với trị riêng . 4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 59 Định nghĩa 4.17 (Trị riêng, vector riêng của toán tử tuyến tính f ).  được gọi là trị riêng của toán tử tuyến tính f nếu tồn tại x ¤  trong Rn sao cho f .x/ D 
x: (4.10) vector x ¤  trong ?? được gọi là vector riêng ứng với trị riêng . Định lý 4.18. Cho toán tử tuyến tính f W Rn ! Rn và một cơ sở U của R n: Khi đó: i.  2 R là trị riêng của f khi và chỉ khi  là trị riêng của Œf U : ii. x là vector riêng của f khi và chỉ khi ŒxU là vector riêng của ma trận Œf U : Nhận xét. Đa thức đặc trưng của f và của ma trận Œf U là như nhau. Do đó thay vì tìm đa thức đặc trưng của f ta tìm đa thức đặc trưng của ma trận Œf U : Nhận xét. Để x ¤ 0 là vector riêng ứng với trị riêng  của A thì x là nghiệm không tầm thường của .A 
In/x D : Nghĩa là jA 
Inj D 0: Vậy  là nghiệm của phương trình đặc trưng PA./ D 0: Ví dụ 4.14. Cho toán tử tuyến tính f W R2 ! R2 được định nghĩa f .x1Ix2/ D .4x1 C x2I 2x1 C x2/ Tìm trị riêng, vector riêng của f: Trang 60 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.15. Cho ma trận A D 0 @0 0 10 1 0 1 0 0 1 A : Tìm trị riêng, vector riêng của A: 4.4.4