Luận án Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM - Nguyễn Ngọc Huyên

  ( ) ( 0) ( 0);N e N e N e    ( 0) ( 0);Q e Q e   (2.55) ( 0) ( 0) ( )M e M e M e    , trong đó , ,N Q M lần lƣợt là các nội lực dọc trục, lực cắt và mô men uốn tại vị trí mặt cắt x 11 22 33; ; ( )x x xN A U M A Q A W       . (2.56) Thế các phƣơng trình (2.56) vào (2.55) ta đƣợc 1( 0) ( 0) ( );xU e U e U e     2( 0) ( 0) ( )xe e e       ; ( 0) ( 0)W e W e   ; ( 0) ( 0);x xU e U e    (2.57) ( 0) ( 0);x xe e     2( 0) ( 0) ( )x x xW e W e e       1 11 2 22/ ; /A T A R   . (2.58) Độ lớn vết nứt 1 2,  đƣợc đƣa ra trong công thức (2.58) là hàm của các tham số vật liệu nhƣ mô đun đàn hồi và các thông số này tƣơng ứng với trƣờng hợp dầm đồng nhất khi 0t b E E E  . Mặt khác, sử dụng các biểu thức (2.6), biểu thức độ lớn vết nứt (2.58) có thể viết lại dƣới dạng 1 1 2 2( , ); ( , )a E b ER n R n       , (2.59) trong đó 0 0 0/ ; / ;a bE A T E I R   0 ( ) / 2;b tE E E  2 1 2 2( ) 3 224 ; ( 1)(1 ) ( 1) 3(3 ) (2 ) (1 ) e e e e e e R n R n R n R n R n R n n n                      . (2.60) T R x = 0 x = e x = L 28 Trong trƣờng hợp dầm đồng nhất khi Re = 1 độ lớn vết nứt sẽ là 10, 20 đƣợc xác định là độ sâu vết nứt a tƣơng ứng đối với dao động dọc trục [12] và dao động uốn [11] nhƣ sau 2 10 0 0 0 1/ 2 (1 ) ( ), /E A T hf z z a h      ; (2.61) 2 2 3 4 1 5 6 7 8 ( ) (0.6272 0.17248 5.92134 10.7054 31.5685 67.47 139.123 146.682 92.3552 ); f z z z z z z z z z z           2 20 0 0 0 2/ 6 (1 ) ( )E I R hf z     ; (2.62) 2 2 3 4 2 5 6 7 8 ( ) (0.6272 1.04533 4.5948 9.9736 20.2948 33.0351 47.1063 40.7556 19.6 ). f z z z z z z z z z z           Trong phân tích dạng dao động của dầm FGM có vết nứt, ở đây độ lớn vết nứt đƣợc tính gần đúng sử dụng các công thức (2.61-2.62) với 10 20,a b     , tức là 1 1 2 2( ); ( )F a F a   ; (2.63) 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2( ) 2 (1 ) ( ); ( ) 6 (1 ) ( ).F a h f a F a h f a         (2.64) Các phƣơng trình này có thể đƣợc sử dụng trong tính toán độ lớn vết nứt 1 2,  từ chiều sâu vết nứt đã cho. 2.3.2. Phương trình đặc trưng Trƣớc hết, ta tìm nghiệm của (2.12) ký hiệu là 1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( )) Tx S x S x S xS thoả mãn các điều kiện 0 0 0 1 2 3(0) ( , ,0) ; (0) (0,0, )S S T TS S S  . (2.65) Áp điều kiện đầu (2.65) vào nghiệm (2.19) và đƣợc viết lại ở dạng ( , ) ( , )x x S Φ d (2.66) ta đƣợc hệ phƣơng trình để tìm véc tơ hằng số d      0( )  G d S , (2.67) trong đó      1 0 0 00 1 2 3 2 (0, ) ( ) ; , ,0,0,0, (0, ) T S S S          Φ G S Φ . Giải (2.67) ta đƣợc       1 0( )  d G S 29 sau đó thay vào (2.66) ta nhận đƣợc 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) cosh cosh coshS x k x k x k x      ; 2 1 1 2 2 3 3( ) cosh cosh coshS x k x k x k x    ; (2.68) 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) sinh sinh sinhS x k x k x k x      . trong đó 0 0 0 1 11 1 12 2 13 3( ) / ;S S S       0 0 0 2 21 1 22 2 23 3( ) / ;S S S       0 0 0 3 31 1 32 2 33 3( ) /S S S       ; 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2( ) ( ) ( )k k k               ; (2.69) 11 3 3 2 2 12 3 2 2 2 3 3 13 2 3; ;k k k k                ; 21 1 1 3 3 22 1 3 3 3 1 1 23 3 1( )k k k k                  ; 31 2 2 1 1 32 2 1 1 1 2 2 33 1 2; ; ( )k k k k                . Với các ký hiệu trong (2.69), nghiệm (2.68) có thể đƣợc viết lại dƣới dạng 0ˆ( ) [ ( )]{ }x xS Φ S , (2.70) trong đó 0 0 0 01 2 3{ , , }S TS S S và ma trận 1 1 2 2 3 3 11 12 13 1 2 3 21 22 23 1 1 2 2 3 3 31 32 33 cosh cosh cosh 1ˆ[ ( )] cosh cosh cosh sinh sinh sinh k x k x k x x k x k x k x k x k x k x                                    Φ . (2.71) Giả sử rằng 0 0 0 1 1 2 3 2( ), ( )x xS U e S S e      hay 0 0[ ]{ ( )}S Σ z e với 1 2 2 0 0 0 0 0 0 Σ             , (2.72) nghiệm riêng ( )zc x thoả mãn các điều kiện tại 0x  1 2 2(0) { ( ), ( ),0} ; (0) (0,0, ( ))z z T T c x x c xU e e e         , (2.73) đƣợc xác định bằng 0 0( ) [ ( )][ ]{ ( )} [ ( )]{ ( )}z Φ Σ z G zc cx x e x e   . (2.74) Sử dụng các ký hiệu hàm ma trận 30 ( ) : 0; ( ) : 0; ( ) ( ) 0 : 0; 0 : 0; G G K K c cx x x x x x x x          (2.75) có thể chứng minh rằng hàm số 0 0( ) ( ) ( ) ( )z z K zx x x e e   (2.76) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.12) thoả mãn các điều kiện (2.57) ở vị trí vết nứt. Hơn nữa, giả thiết các điều kiện biên đối với dầm đƣợc biểu diễn bởi    0 0 L0 ; 0B z B zx x L   , (2.77) trong đó B0, BL là các ma trận toán tử vi phân cỡ (3x3). Cụ thể là  Đối với dầm tựa đơn hai đầu ( (0, ) (0, ) (0, ) ( , ) ( , ) ( , ) 0)u t w t M t u L t w L t M L t      0 22 1 0 0 0 0 0 0 1 B xA           ; L 22 1 0 0 0 0 0 0 1 B xA           ; (2.78)  Đối với dầm công xôn ( (0, ) (0, ) (0, ) ( , ) ( , ) ( , ) 0)u t w t t N L t M L t Q L t      : 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B          ; 11 L 22 33 33 0 0 0 0 0 B x x x A A A A            ; (2.79)  Dầm ngàm hai đầu ( (0, ) (0, ) (0, ) ( , ) ( , ) ( , ) 0)u t w t t u L t w L t L t       : 0 L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B B I            . (2.80) Vì số hạng thứ hai trong (2.76) thoả mãn mọi điều kiện tầm thƣờng ở vị trí x = 0, áp dụng điều kiện đầu tiên của (2.77) cho nghiệm (2.76) dẫn đến 01 1 02 2 0B C B C  , (2.81) với 1 1 2 3 2 4 5 6{ , , } ; { , , }C C T TC C C C C C  và    01 0 1 0 02 0 2 0( ) ( , ) ; ( ) ( , )B B Φ B B Φx xx x      . (2.82) Rõ ràng, phƣơng trình (2.81) cho phép giản lƣợc bớt một trong các véc tơ 1 2,C C và khi đó nghiệm 0( )z x có thể đƣợc biểu diễn lại dƣới dạng 0 0( , ) ( , )x x z Φ D , (2.83) 31 0( , )x Φ là hàm ma trận kích thƣớc (3x3) và 1 2 3{ , , }D TD D D là véc tơ hằng số. Thay (2.83) vào phƣơng trình (2.76) ta đƣợc 0 0 L( ) [ ( , ) ( ) ( , )]{ } [ ( , )]{ }z Φ K Φ D G Dx x x e e x      . (2.84) Áp dụng điều kiện biên thứ hai trong (2.77) đối với nghiệm (2.84) thu đƣợc LL[ )]{ } 0B D  , (2.85)  LL L L( ) ( , )B B G x Lx   . (2.86) Khi đó phƣơng trình đặc trƣng hay còn gọi là phƣơng trình tần số của dầm FGM bị nứt đƣợc xác định nhƣ sau LL( ) det[ ( )] 0B    . (2.87) Mỗi nghiệm j của phƣơng trình này là một tần số riêng của dầm tƣơng ứng với một dạng dao động riêng L( ) ( , )G Dj j j jx C x  , (2.88) trong đó jC là hằng số tuỳ ý và D j là nghiệm đƣợc chuẩn hoá của phƣơng trình (2.85) tƣơng ứng với mỗi tần số riêng j . Trong trƣờng hợp dầm nguyên vẹn, phƣơng trình tần số (2.86) đƣợc giản lƣợc thành 0 0( ) det[ ( )] 0LB    . (2.89)  L0 L( ) ( , )0B B Φ x Lx   . (2.90) Do đó, bài toán đặt ra ở đây bao gồm tính các tần số và dạng riêng của dầm phụ thuộc vào các tham số vết nứt có thể tìm đƣợc bằng cách sử dụng các phƣơng trình (2.85) và (2.87). Các phƣơng trình này sẽ đƣợc áp dụng để tính toán số trong các chƣơng sau. 2.3.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM Trong phần này, chúng ta đặt bài toán ngƣợc: xác định vị trí và chiều sâu vết nứt khi biết các tần số riêng. Trƣớc tiên, ta tìm đƣợc biểu thức giải tích của phƣơng trình tần số (2.85), từ biểu thức tính ma trận )(LL B cho trong (2.86). Sử dụng các ký hiệu đƣợc đƣa ra trong (2.84) và (2.90) ta tính đƣợc  LL L L L0 LC 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )B B G B B Φx Lx e         , (2.91) trong đó 32  LC L C( ) ( , )B B G x Lx   . Ký hiệu các phần tử của ma trận ( )Φ x là ( ); , 1, 2, 3jk x j k  ta đƣợc 1 11 2 12 13 C 1 21 2 22 23 1 31 2 32 33 ( ) 0 ( , ) ( ) 0 ( ) 0 G x                           (2.92) do đó   1 11 2 12 LC L C 1 21 2 22 1 31 2 32 ( ) ( ) 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 B B G x L h h x h h h h                          . (2.93) Ta đƣợc, LL L0 LC 0( ) ( ) ( ) ( , ) [ , , 1,2,3]B B B G L jke b j k       , (2.94) trong đó 0 11 11 1 11 11 2 21 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 12 12 1 12 11 2 22 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 13 13 1 13 11 2 23 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 21 21 1 11 21 2 21 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 22 22 1 12 21 2 22 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        (2.95) 0 23 23 1 13 21 2 23 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 31 31 1 11 31 2 21 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 32 32 1 12 31 2 22 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Lb b g e h g e h        0 33 33 1 13 31 2 23 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lb b g e h g e h        . Tính định thức của ma trận LL ( )B  cho ta LL 0 1 1 2 2 1 2 12( ) det[ ( )] ( ) ( , ) ( , ) ( , )B d d e d e d e               , (2.96) trong đó 0 L0det[ ( )]Bd  ; 1 11 11 12 12 13 13d H g H g H g     ; 2 21 21 22 22 23 23d H g H g H g     ; (2.97) 12 31 11 22 21 12 32 11 23 21 13 33 12 23 13 22( ) ( ) ( )d H g g g g H g g g g H g g g g                 . 33 Các ký hiệu , , 1, 2, 3jkH j k  trong (2.97) đƣợc xác định là 0 0 11 12 13 0 0 11 21 22 23 0 0 31 32 33 det h b b H h b b h b b            ; 0 0 11 11 13 0 0 12 21 21 23 0 0 31 31 33 det b h b H b h b b h b            ; 0 0 11 12 11 0 0 13 21 22 21 0 0 31 32 31 det b b h H b b h b b h            ; 0 0 12 12 13 0 0 21 22 22 23 0 0 32 32 33 det h b b H h b b h b b            ; (2.98) 0 0 11 12 13 0 0 12 21 22 23 0 0 31 32 33 det b h b H b h b b h b            ; 0 0 11 12 12 0 0 13 21 22 22 0 0 31 32 32 det b b h H b b h b b h            ; 0 11 12 13 0 31 21 22 23 0 31 32 33 det h h b H h h b h h b            ; 0 12 12 11 0 32 22 22 21 0 32 32 31 det h b h H h b h h b h            ; 0 11 11 12 0 33 21 21 22 0 31 31 32 det b h h H b h h b h h            . Tiếp theo, giả sử rằng có ba tần số riêng 1 2 3, ,      (là các giá trị xác định dƣơng khác nhau), thay chúng vào (2.96) thu đƣợc ba phƣơng trình 0 1 1 2 2 1 2 12( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 1,2,3k k k kd d e d e d e k                . (2.99) Ký hiệu 3 1 2   , phƣơng trình (2.99) có thể viết lại dƣới dạng 1 1 2 2 3 3 0( ) ( ) ( ) , 1,2,3k k k ka e a e a e b k      ; (2.100) 0 0 1 1 2 2 3 12( ); ( , ); ( , ); ( , ); 1,2,3k k k k k k k kb d a d e a d e a d e k             . (2.101) Hệ phƣơng trình tuyến tính (2.100) có thể dễ dàng giải đƣợc nghiệm theo 1 2 3, ,   và các kết quả có dạng 1 1 1 2 2 2 3 3 3/ ( ); / ( ); / ( )e e e                 , (2.102) trong đó 1 2 3, , ,    là các định thức của các ma trận (2.98) 01 12 13 1 02 22 23 03 32 33 det b a a b a a b a a           ; 11 01 13 2 21 02 23 31 03 33 det a b a a b a a b a           ; 34 11 12 01 3 21 22 02 31 32 03 det a a b a a b a a b           ; 11 12 13 21 22 23 31 32 33 det a a a a a a a a a           . (2.103) Chú ý rằng 3 1 2   , ta đƣợc 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0e e e e      , (2.104) (2.104) cho ta phƣơng trình xác định vị trí vết nứt e. Thay nghiệm ê của phƣơng trình (2.104) vào (2.102), độ lớn vết nứt có thể đƣợc xác định 1 1 2 2 ˆ ˆˆ ˆ( ); ( )e e     , (2.105) khi đó chiều sâu vết nứt a tìm đƣợc từ phƣơng trình 1 1 2 2 ˆ ˆ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0F a e F a e     hay 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] min a F a e F a e     . (2.106) Trong trƣờng hợp cụ thể, nếu vết nứt đƣợc mô hình hoá bởi chỉ một lò xo xoắn, tức là 1 0  , phƣơng trình đặc trƣng (2.96) tối giản thành 0 2 2( ) ( , ) 0d d e    . (2.107) Trong trƣờng hợp này, để nhận dạng vết nứt đơn, ta cần đo đƣợc hai tần số 1 2,    từ đó cho hai phƣơng trình 0 1 2 2 1 0 2 2 2 2( ) ( , ) 0, ( ) ( , ) 0d d e d d e             . (2.108) Thực vậy, từ các phƣơng trình này ta đƣợc 2 0 1 2 1 0 2 2 2 2 ˆ( ) / ( , ) ( ) / ( , ) ( )d d e d d e e             (2.109) dẫn đến 0 1 2 2 0 2 2 1( ) ( , ) ( ) ( , ) 0d d e d d e         . (2.110) Giải phƣơng trình (2.110) cho nghiệm e tại vị trí vết nứt eˆ và từ đó tính đƣợc độ lớn vết nứt 2 2 ˆ ˆ ˆ( )e  . (2.111) Cuối cùng, độ sâu vết nứt đƣợc xác định là nghiệm của phƣơng trình 2 2 ˆ( ) 0F a   . (2.112) Nhƣ vậy, bài toán xác định vết nứt trong dầm FGM Timoshenko đƣợc giải hoàn toàn. 35 Kết luận Chƣơng 2 Trong chƣơng này, tác giả đã xây dựng đƣợc các phƣơng trình cơ bản để tính toán dao động của dầm FGM tính đến vị trí thực của trục trung hòa. Ở đây, bài toán dao động riêng đã đƣợc giải quyết khá trọn vẹn: phƣơng trình tần số và dạng dao động riêng đã đƣợc xây dựng ở dạng hiển. Đồng thời đã thiết lập đƣợc các công thức để nghiên cứu hàm đáp ứng tần số hay còn gọi là hàm truyền là chìa khóa để nghiên cứu dao động cƣỡng bức cũng nhƣ nghiên cứu thực nghiệm đối với dầm FGM. Đặc biệt, đã xây dựng đƣợc ma trận độ cứng động lực cho dầm FGM là công cụ để phát triển phƣơng pháp độ cứng động cho các kết cấu khung làm từ vật liệu FGM. Quan trọng hơn cả là trong chƣơng này, đã xây dựng đƣợc mô hình dầm FGM có vết nứt, đƣợc mô tả đồng thời bằng hai lò xo dọc trục và lò xo xoắn tƣơng ứng với hai dạng dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM. Mô hình này cho phép ta nghiên cứu chi tiết ảnh hƣởng của vết nứt cùng với các tham số vật liệu FGM đến tần số và dạng riêng của dầm ở chƣơng sau. Đồng thời, ở đây cũng đã đề xuất một phƣơng pháp xác định vị trí và độ sâu của một vết nứt trong dầm FGM bằng 3 tần số. Kết quả này cũng đƣợc minh họa bằng số ở các Chƣơng tiếp theo sau. Tóm lại, kết quả chủ yếu của chƣơng này là xây dựng cơ sở lý thuyết để giải bài toán dao động của dầm FGM có vết nứt trong miền tần số. 36 CHƢƠNG 3. SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG UỐN TRONG DẦM FGM Trong Chƣơng này, trƣớc hết chúng ta xây dựng công thức xác định vị trí chính xác của trục trung hòa cho dầm FGM có thiết diện là hình chữ nhật, tức có một trục đối xứng là trục giữa dầm. Trên cơ sở đó, chúng ta nhận đƣợc điều kiện để dao động đọc trục tách rời khỏi dao động uốn của dầm FGM. Những dầm FGM trong đó dao động dọc trục và dao động uốn không tƣơng tác với nhau gọi là dầm FGM tỷ lệ. Dựa trên các công thức chung cơ bản nhận đƣợc, chúng ta nghiên cứu chi tiết các tham số của dầm FGM, trong đó có các đặc trƣng sóng và hệ số tƣơng tác giữa các thành phần dao động nói trên phụ thuộc vào các tham số vật liệu. Cuối cùng trong Chƣơng này, nghiên cứu chi tiết dao động uốn tự do của dầm FGM tỷ lệ. 3.1. Điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn Theo định nghĩa, mặt trung hoà của dầm là mặt mà trên đó ứng suất pháp bằng không, xx = 0, nó chia dầm thành hai phần chỉ chịu kéo hoặc nén. Trục trung hoà đối với các dầm phẳng theo lý thuyết cổ điển luôn đƣợc giả thiết nằm ở mặt giữa dầm, tuy nhiên đối với các trƣờng hợp dầm khác vị trí của nó có thể thay đổi tới vị trí bên trên hoặc dƣới so với vị trí mặt giữa. Giả sử, đối với dầm FGM, vị trí của trục trung hoà kể từ mặt giữa là h0, và đƣợc xác định từ điều kiện: /2 0 /2 ( )( ) 0 h h b E z z h dz    , (3.1) cụ thể là /2 /2 0 /2 /2 ( ) / ( ) h h h h h E z zdz E z dz      . (3.2) Trong trƣờng hợp vật liệu FGM tuân theo luật lũy thừa ta tính đƣợc 0 ( 1) , / 2( 2)( ) e e t b e n R h h R E E n n R      . (3.3) Nếu t bE E E  , tức là 1eR  dẫn đến 0 0h  , tức là trục trung hoà trùng với trục giữa của dầm khi dầm là đồng nhất. Đại lƣợng không thứ nguyên 0 0 /h h h phụ thuộc vào các tham số vật liệu n và tỷ số mô đun đàn hồi đƣợc minh hoạ trong hình 3.1 - 3.2. 37 Hình 3.1. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị tỷ số mô đun đàn hồi khác nhau. Hình 3.2. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với các số mũ n khác nhau. Dễ dàng nhận thấy, đối với tỉ số mô đun đàn hồi bất kỳ, có thể thấy rằng sự thay đổi trục trung hoà đạt cực đại khi tham số 2 en R và sự thay đổi tăng nhanh với số mũ nhỏ hơn 1 và sau đó tăng chậm với sự tăng lên của tham số. Sự thay đổi vị trí của trục trung hoà phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi trên thực tế là đều và sẽ tăng khi tỷ số này tăng lên. Hơn nữa, có thể thấy rằng sự thay đổi vị trí trục trung hoà tăng chậm 0 1 2 3 4 5 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 r=E1/E2rr=E1/E2 h0 /h n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10r=Etop/Ebottom 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 n ho /h The shift of central axes Et/Eb=2 Et/Eb=1 5 4 6 7 8 9 10 Et/Eb=3 r = Et/Eb 38 khi tỉ số mô đun đàn hồi lớn hơn 1 với số mũ n bằng 1 và 2 so với số mũ cao hơn. Trong trƣờng hợp tỷ số nhỏ hơn 1, nói chung dễ dàng nhận thấy vị trí trục trung hoà tăng nhanh với n = 1, 2. Nói chung, vị trí trục trung hoà sẽ dịch chuyển lên trên hoặc xuống dƣới phụ thuộc vào mô đun đàn hồi nào (Et hoặc Eb) là lớn hơn. Với vị trí trục trung hòa h0 tìm đƣợc trong công thức (3.3) thì hệ số A12 = 0 và do đó phƣơng trình dao động tự do của dầm FGM đƣợc viết lại thành 11 11 12 0I u A u I    ; 12 22 22 33( ) ( ) 0I u I A A w        ; (3.4) 11 33( ) 0I w A w     , trong đó 11 1 11 1 33 1( , ); ( , ); ( , )e gA EAF n R I AF n R A GAF n R   ; 12 2( , );I AhF n R 22 3( , );I IF n R 22 3( , );eA EIF n R (3.5) ( ) / 2;t bE E E  ( ) / 2;t b    ( ) / 2;t bG G G  / ; / ;e t b t bR E E R    / ;g t bR G G 0 0 01/ 2 ; /h h h h    . 1 2( ) ( , ) ; ( 1)(1 ) n R F n R n R     2 1 (2 ) ( ) ( , ) ( 1) ( 2) ( 1)( 1) R n R n F n R R n n R            ; (3.5) 2 3 24 ( 3 ) ( 2 ) ( ) ( , ) 1 3( 3) ( 2) ( 1) n R n R n R F n R R n n n               . Dễ dàng nhận thấy nếu 12 0I  , thì phƣơng trình (3.4) có thể đƣợc rút gọn hơn nữa thành  11 11 22 22 33 11 33 0; ( ) ( ) 0; ( ) 0. I u A u I A A w I w A w                  (3.6) Rõ ràng, phƣơng trình đầu tiên trong (3.6) là phƣơng trình dao động dọc trục thuần túy đã đƣợc nghiên cứu đầy đủ trong Động lực học công trình. Hai phƣơng trình sau có dạng hoàn toàn tƣơng tự phƣơng trình dao động uốn của dầm Timoshenko (tuy nhiên các hệ số của phƣơng trình này phụ thuộc vào các tham số vật liệu FGM). Nhƣ vậy, trong trƣờng hợp này dao động dọc trục và dao động uốn của dầm FGM đã tách rời hoàn toàn. Do đó điều kiện tách rời hay không tƣơng tác của dao động dọc trục và dao 39 động uốn trong dầm FGM là 12 0I  cùng với 12 0A  đã thoả mãn khi tính đến vị trí thực của trục trung hòa. Sử dụng công thức (3.3) cho vị trí trục trung hòa, ta ta có thể biểu diễn 12I trong (3.5) ở dạng 12 ( ) ; 2(2 )( ) b e e Ah R R n I n R n      . (3.7) Dễ dàng nhận thấy 12 0I  khi 0n  hoặc eR R  . Trƣờng hợp 0n  , khi vật liệu là đồng nhất thì sự độc lập giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm đồng nhất đã đƣợc biết đến và sử dụng từ rất sớm. Trƣờng hợp thứ hai, điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn là eR R . (3.8) Nhƣ vậy, dầm FGM thỏa mãn điều kiện (3.8) có thể gọi là dầm FGM tỷ lệ (Proportionally Functionally Graded Beam - PFG Beam) và tỷ số RRr e / gọi là hệ số tỷ lệ của vật liệu. Hình 3.3. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với n = 4 và các tỷ số mật độ khối khác nhau. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Neutral axis dislocation C o u p lin g c o e ff ic ie n t ro =1 0.5 1/3 32 10 0.1 n=4 Vị trí trục trung hoà H ệ s ố t ư ơ n g t á c 40 Hình 3.4. Hệ số tƣơng tác I12 là hàm của vị trí trục trung hoà với r = 10 và các chỉ số mũ n khác nhau. Để nghiên cứu kỹ hơn điều kiện không tƣơng tác (3.8) chúng ta sẽ khảo sát hệ số tƣơng tác [27] 12 12 I I Ah  (3.9) và chú ý đến (3.8) ta đƣợc 0 12 ( 1) 2 ( 2)( 1)( ) ( 1) n R h I n n R n h n          . (3.10) Xét hệ số (3.10) là hàm của vị trí trục trung hòa ứng với các giá trị ro = R khác nhau với n cố định và n khác nhau với ro = R cố định. Hình vẽ 3.3 – 3.4 trình bày sự phụ thuộc của hệ số tƣơng tác vào vị trí trục trung hòa ứng với các giá trị khác nhau của tỷ số khối lƣợng riêng và chỉ số số mũ n. Từ các hình vẽ cho thấy hệ số tƣơng tác phụ thuộc tuyến tính vào độ lệch vị trí trục trung hoà, tuy nhiên, độ dốc của đƣờng đồ thị phụ thuộc chủ yếu vào các tham số vật liệu và /t bR   . Đối với mọi n, độ dốc hầu nhƣ là không đổi nhƣng đối với tỷ số không đổi R hệ số giảm khi n tăng lên. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Neutral axis dislocation C o u p lin g c o e ff ic ie n t 1/3 1/2 1/4 0.1 2 ro=10 3 n=1 n=10 H ệ s ố t ư ơ n g t á c Vị trí trục trung hoà 41 3.2. Dao động uốn thuần túy của dầm FGM Do lý thuyết dao động dọc trục đƣợc mô tả bởi phƣơng trình thứ nhất trong (3.6) đối với dầm đồng nhất đã đƣợc phát triển nhiều, trong nghiên cứu này chỉ tập trung nghiên cứu dao động uốn độc lập cho bởi các phƣơng trình cuối trong (3.6). Lƣu ý rằng các phƣơng trình này đã đƣợc Li nghiên cứu chi tiết trong [40], nhƣ tác giả đã giả thiết rằng chuyển vị dọc trục có thể bỏ qua và khi đó hệ số tỷ lệ 03.1R . Tức dầm có thể coi gần đúng là dầm FGM tỷ lệ. Ở đây chúng ta sẽ khảo sát dao động uốn của dầm FGM tỷ lệ chính xác đƣợc mô tả bằng hai phƣơng trình cuối trong (3.6). Nghiệm của các phƣơng trình cuối trong (3.6) đƣợc tìm dƣới dạng ( , ) ( ) ; ( , ) ( )i t i tx t x e w x t W x e    . (3.11) Do đó ta thu đƣợc 2 22 22 33 2 11 33 ( ) ( ) 0 ( ) 0 I A A W I W A W             ; (3.12) Sử dụng ký hiệu véc tơ { , }z TW  và ma trận 22 2 33 0 0 A A A        ; 33 1 33 0 0 A A A       ; 2 22 33 0 2 11 ( ) 0 0 A I A I          ; (3.13) Phƣơng trình (3.12) có thể đƣợc viết lại dƣới dạng ma trận nhƣ sau 2 1 0 0A z A z A z    . (3.14) Nghiệm của phƣơng trình (3.14) có thể tìm ở dạng 0z d xe , khi đó phƣơng trình này đƣa đến hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 2 2 1 0[ ] 0A A A d    . (3.15) Phƣơng trình (3.15) cho ta nghiệm không tầm thƣờng nếu thỏa mãn điều kiện 2 2 1 0det[ ] 0A A A    , (3.16) Khai triển phƣơng trình đặc trƣng và biểu diễn dƣới dạng 4 2 0a b    , (3.17) trong đó 2 11 33 22 22( / / )a I A I A  ; 2 2 11 33 22 22 33 22( / )( / / )b I A I A A A   . (3.18) Nói chung, phƣơng trình (3.17) có nghiệm dƣới dạng 2 2 1,2 1,2( 4 ) / 2a a b      . (3.19) 42 Chú ý rằng phƣơng trình đầu tiên của (3.17) có thể cho nghiệm tầm thƣờng (λ = 0) với điều kiện 2 22 330 0b I A    hay 33 22 2/c A I    , (3.20) đƣợc gọi là tần số cắt của dầm. Mặt khác, phƣơng trình (3.17) có bốn nghiệm ảo với c  và có hai nghiệm thực nếu c  . Do đó, bốn nghiệm của phƣơng trình này là 1,3 1 2,4 2; ; , 1,2j jk k k j        (3.21) và nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.14) có thể biểu diễn dƣới dạng 1 2 1 2 1 2 1 2 11 12 13 14 21 22 23 24 z k x k x k x k x k x k x k x k x d e d e d e d e W d e d e d e d e                      . (3.22) Chú ý tới phƣơng trình thứ hai trong (3.14) ta có 21 1 11 22 2 12 23 1 13 24 2 14, , ,d d d d d d d d         , (3.23) trong đó 2 2 2 2 1 1 33 11 1 33 2 2 33 11 2 33/ ( ), / ( )k A I k A k A I k A       . (3.24) Vì thế, biểu thức (3.22) có thể đƣợc viết lại dƣới dạng ( , ) ( , )z G dx x  , (3.25) với 1 4 11 14( ,..., ) ( ,..., )d T Td d d d  và 1 2( , ) [ ( , ) ( , )]G G Gx x x   ; 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ; ( , )G G k x k x k x k x k x k x k x k x e e e e x x e e e e                         . (3.26) Nghiệm (3.25) phải thoả mãn các điều kiện biên tại các đầu của dầm có thể biểu diễn dƣới dạng    0 0 L0 ; 0B z B zx x L   , (3.27) Trong đó B0, BL là các toán tử vi phân kích thƣớc 2x2. Cụ thể, các toán tử B0,