Luận văn Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm green đa cực

)E z v z Mệnh đề 1.3.6. Cho là tập con mở liên thông của n . Giả sử jj E E , trong đó j E với 1,2,...j . Nếu * , 0 jE u với mỗi j , thì * , 0 E u . Mệnh đề 1.3.7. Cho là tập con siêu lồi của n và K là một tập con compact của . Giả thiết rằng { } j là một dãy tăng những tập con mở của sao cho 1 j j và 1K . Khi đó , ,lim ( ) ( ),jK Kj u z u z z . Chứng minh. Lấy điểm 0 z . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng 0 1 { }K z . Giả sử 0 là một hàm vét cạn đối với sao cho 1 trên K . Lấy (0,1) sao cho 0 ( )z . Khi đó tồn tại 0 j sao cho tập mở 1(( , )) là tập compact tương đối trong 0j . Lấy 0 ( ) j u PSH sao cho 0u trên 0j và 1u trên K . Khi đó max{ ( ) , ( )}, ( ) ( ), \ u z z z v z z z xác định một hàm đa điều hòa dưới; hơn nữa 1 K v và 0v . Như vậy 0 , 0 ( ) ( ) K v z u z . Vì u là một phần tử tùy ý của họ 0 , jK u , nên ta có 7 0 , 0 , 0 ( ) ( ) jK K u z u z Do đó, ta có , 0 , 0 , 0 ( ) ( ) ( ) j j K K K u z u z u z với mọi 0 j j và nhỏ tùy ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Cho là một miền trong n và ( )u PSH . Giả sử 2( )u C khi đó 2 , 1 2 n c j k j k j k u dd u i dz dz z z , trong đó d , ( )cd i , 2cdd i . Toán tử: 2 1 , ( ) : ( ) ... ( ) 4 !detc n c c n j kn j k n u dd u dd u dd u n dV z z , với dV là yếu tố thể tích trong n được gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0 ( )C trên 0 ( ) ( )c nC dd u . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên thì tồn tại dãy 1 { } ( ) m m u PSH C sao cho m u u và {( ) }c n m dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: 0 lim ( ) , ( )c n mm dd u d C . Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy { } m u như trên, ta ký hiệu: 8 ( )c ndd u và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Mệnh đề 1.4.1. Giả sử ,p p C là ( , )p p dạng lớp C trên tập mở n và T là ( , )q q dòng với 1p q n . Khi đó ( ) ( )c n c c cdd T dd T d d T d T . Mệnh đề 1.4.2. Giả sử { } j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó )a Nếu G là tập mở thì ( ) lim inf ( ) jj G G . )b Nếu K là tập compact thì ( ) lim sup ( ) jj K K . )c Nếu E compact tương đối trong sao cho ( ) 0E thì ( ) lim ( ) jj E E . Mệnh đề 1.4.3. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( ) loc u v PSH L sao cho , 0u v trên và lim ( ) 0 z u z . Giả sử T là ( 1, 1)n n dòng dương, đóng trên . Khi đó c cvdd u T udd v T . Đặc biệt, nếu lim ( ) 0 z v z thì c cvdd u T udd v T . 9 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Khi đó ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . (1.1) Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z , nghĩa là với mọi 0 tồn tại K sao cho \z K thì ( ) ( )u z v z . Hơn nữa khi thay u bởi , >0u , thì { } { }u v u v khi 0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên { }u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên { }u v . Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Vậy { }u v . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó { }u v là tập mở, ,u v liên tục trên và u v trên . Với 0 , đặt max{ , }u u v . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z suy ra ( ) ( )u z v z hay ( ) ( ) ( )u z v z v z với z gần biên . Vậy ( )u u z gần biên và u v trên . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u , hay ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u . Vì u v nên ( ) ( )c n c ndd u dd v . Vậy ta có 10 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . )b Giả sử ,u v tùy ý và là miền sao cho / 2u v . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u và v sao cho j k u v trên với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v . Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho ( , ) n C G , ,u v là các hàm liên tục trên \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho v trên \F G . Ta có ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v . Nhưng { } { } j j u v u G và vì { } j u là tập mở nên ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v , vì ( , ) n C G và ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ { } { } j j u u v G và { } { } j j k u v u v suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u . 11 Do đó ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u . Hơn nữa ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u và do { }u v F là tập compact và { } { } j u v u v nên ta có lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u . Do 0 tùy ý nên ta được ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . Từ đó với mọi 0 ta có ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . Nhưng { } { }u v u v và { } { }u v u v khi 0 . Do đó ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . 12 Hệ quả 1.5.2. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z , ( ) ( )c n c ndd u dd v trên . Khi đó u v trên . Hệ quả 1.5.3. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z và ( ) 0c n u v dd u . Khi đó u v trên . 1.6. Hàm Green đa phức Định nghĩa 1.6.1. Giả sử n là một miền và a . Hàm Green đa phức của với cực tại a được xác định bởi , ( ) ( , ) sup{ ( ) : ( ), ( ) log || || ( ) } a g z g z a u z u PSH u z z a C u khi z a Mệnh đề 1.6.2. Nếu ( , )a R thì || || ( , ) log . z a g z a R Chứng minh. Có thể coi 0, 1.a R Từ định nghĩa, rõ ràng ta có ( ,0) log || ||g a z . Giả sử (0,1)\{0}. Xét hàm 1 ( ) ( ,0) log | ||| ||, (0, ). || || v t g t t t Hàm ( )v t là hàm điều hòa dưới trên 1 (0, )\ {0} || || và với mỗi 1 (0, ) || || ta có limsup ( ) 0 t v t . Từ định nghĩa hàm Green đa phức 13 có thể thấy v bị chặn trong lân cận của 0t . Do đó, dùng định lí khử kì dị suy ra v điều hòa dưới trên 1 (0, ) || || . Ta được ( ,0) log || || .g Vậy ( ,0) log || || .g z Mệnh đề 1.6.3. Giả sử và là các miền trong n và a . Khi đó 1) Nếu thì ( , ) ( , ).g z a g z a 2) Nếu và \ là tập cực thì ( , ) ( , ), .g z a g z a z 3) Nếu 0R r và ( , ) ( , )a r a R thì || || || || log ( , ) log , . z a z a g z a z R r 4) Nếu bị chặn thì ( , )z g z a là hàm điều hòa dưới âm có cực logarit tại a . 5) Nếu :f là một ánh xạ chỉnh hình thì ( ( ), ( )) ( , ), .g f z f a g z a z 6) Nếu là bị chặn thì ( , )z g z a là cực đại trong \{ }a , nghĩa là ( ( , )) 0, \{ }c ndd g z a z a Chứng minh. 1) Suy từ định nghĩa. 2) Dùng định nghĩa và định lí khử kì dị đối với hàm đa điều hòa dưới. 14 3) Từ Mệnh đề 1.6.2 và tính chất 1) ta có ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) a R a r g z a g z a g z a và được điều phải chứng minh. 4) Do là bị chặn và từ tính chất 3) suy ra hàm ( (, ))g a là hàm đa điều hòa dưới âm, có cực logarit tại a . Vậy ( (, )) (, )g a g a . Từ đó hàm (, )g a là hàm đa điều hòa dưới âm có cực logarit tại a . 5) Giả sử a và u là hàm đa điều hòa dưới âm trên có cực logarit tại ( )f a . Khi đó ( ,[ ,0))u f PSH và ( ( )) log || ||u f z z a log || ( ) ( ) || ( ( )) log ( ) ( ) log (1) || || f z f a u f z f z f a o z a , khi z a . Vậy u f có cực logarit tại a . Do đó ( ) ( , ).u f z g z a Từ đó ( ( ), ( )) ( , ), .g f z f a g z a z 6) Giả sử , \{ }a G a và ( \{ })v PSH a sao cho (, )v g a trên G . Đặt ax( ( ), ( , )), ( ) ( , ), \ m v z g z a z G u z g z a z G Hàm u thuộc lớp xác định (, )g a . Do đó (, )v g a trên G . Vậy hàm ( , )z g z a là cực đại trên \{ }a . 15 Mệnh đề 1.6.4. Nếu { } nj j là dãy tăng và 1 j j thì . j g g Chứng minh. Lấy a và có thể coi 1a . Ta chứng minh ( , ) ( , ) j g z a g z a với mọi z . Nếu có j mà (, ) j g a thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử (, ) ( ) j j g a PSH với mọi j . Từ Mệnh đề 1.6.3 1) dãy { (, )} j j g a giảm và g( )=lim ( , ) ( , ) jj z g z a g z a với mọi .z Mặt khác 0g và do tính chất 3) của Mệnh đề 1.6.3, g có cực logarit tại a . Vậy ( ) ( , )g z g z a với mọi z . Mệnh đề 1.6.5. Giả sử , 0r R sao cho ( , ) ( , )r R . Khi đó ( , ), ( , ), log ( ) ( , ) log ( ) R r u z g z u z với mọi 0 r và \ ( , )z . Kí hiệu: ( ; ) ( ) ( \{ }) loc PSH a PSH L a và 0 0 ( ; ) { : sup ( ) \{ }}C a C p d a ; ta có Bổ đề 1.6.6. Không gian 0 ( ; )C a là trù mật trong 0( )C . Chứng minh. Giả sử 0a và 0( ), 0.C Do liên tục đều trên nên có 0 sao cho với mọi , , || ||z z thì | ( ) ( ) |z . Giả sử và có thể coi 0 (supp , )d . Đặt 1 (0), (0, ) ( ) ((1 || || ) ), \ (0, ) z z z z z 16 Khi đó 0 ( ),C là hằng số trong một lân cận của 0 và || || . Như vậy tập 0 { ( ) :C là hằng số trong một lân cận của 0} là trù mật trong 0 ( )C . Nhưng dùng tích chập, có thể xấp xỉ mỗi hàm thuộc bởi những hàm thuộc 0 ( ;0)C . Do đó bổ đề được chứng minh. Mệnh đề 1.6.7. Giả sử n là tập mở và ( ; )u PSH a . Khi đó tồn tại độ đo Borel dương trên sao cho với mỗi dãy giảm { } ( ) ( ) j j loc u PSH L hội tụ điểm tới u trên , dãy độ đo Borel dương {( ) }c n j j dd u hội tụ yếu tới . Khi đó đặt ( )c ndd u . Chứng minh. Nếu 0 ( ; )C a thì supp \{ }cdd a . Vậy 1 1( ) ( ) ( )c n c n c c n c j j dd u u dd u dd u dd u dd khi j . Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg và định lí Banach- Alaoglu, tập 1 {( ) }c n j j dd u là compact tương đối trong tôpô yếu. Bởi vậy nó hội tụ yếu trên 0 ( ; )C a . Nhưng theo Bổ đề 1.6.6, 0 ( ; )C a trù mật trong 0 ( )C nên nó hội tụ yếu trong 0 ( )C tới độ đo . Mệnh đề 1.6.8. Giả sử na và 0R . Nếu || || ( ) log z a u z R với nz thì ( ) (2 )c n n add u , ở đây a là độ đo Dirac tại a . Chứng minh. Hàm u thuộc ( ; )nPSH a và theo Mệnh đề 1.6.7, tồn tại ( )c ndd u . Mặt khác ( ) log || || log || 1 / || logu z z a z R , nên u L . Do đó 17 ( ) (2 ) n nc ndd u . Nhưng trên mọi hình cầu ( , ), 0a t t , hàm u cực đại trên ( , )\{ }.a t a Do đó ( , ) { } ( ) ( )c n c n a t a dd u dd u . Từ đó { } (2 ) ( ) ( ) . n n c n c n a dd u dd u Vậy ( ) (2 )c n n add u . Định lí 1.6.9. Giả sử n là miền bị chặn và a . Giả sử , ( ) ( ,[ , ))u v PSH C sao cho 1 1( ) ( ) { }u v a và u v trong \{ }a , ( ) lim sup 1 ( )z a v z u z (1.2) Khi đó ( ) ({ }) ( ) ({ }).c n c ndd u a dd v a Chứng minh. Thay bằng một lân cận nhỏ hơn của a , có thể giả sử , u v liên tục đến biên của và 0u v trên . Lấy 0 sao cho 1 || || 1 inf { ( ) - ( )}. 1 z u v z u z Khi đó với (0, ), / (1 )u v trên . Do giả thiết (1.2), với mỗi (0, ) , 0 sao cho ( , )a và / 1u v trên ( , )\{ }.a a Đặt 18 { : ( )/ (1 ) ( )} { }.z u z v z a Tập là một lân cận compact tương ứng với mỗi a trong . Dễ thấy (0, ) { }a . Vậy do nguyên lí so sánh ta có 1 ( ) ({ }) 1(1 ) n n c n c c n u dd u a dd dd v . Cho 0 ta được kết quả cần chứng minh. Hệ quả 1.6.10. Giả sử n là miền bị chặn, a . Khi đó ( ) (2 )c n n a dd g . 19 CHƢƠNG 2 XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC 2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1. [6] Một tập mở nD gọi là siêu lồi mạnh nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục trên một lân cận V của D và { 0}D . Hàm được gọi là hàm vét cạn. Một hàm âm u trên D có giá trị biên bằng 0 nếu lim inf ( ) 0 z D u z . Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho 1 { ,..., } m W w w là một tập hữu hạn trong D . Ta nói rằng một hàm đa điều hòa dưới u là cực đại ngoài W và có các cực logarit tại các điểm của W nếu với mỗi j w W đều có một số 0 j a , gọi là trọng của u tại j w , và một số c sao cho log | | ( ) log | | j j j j a z w c u z a z w c gần j w , u là bị chặn địa phương trên \D W và ( ) 0c ndd u trên \D W . Đối với các hàm như thế toán tử Monge-Ampère vẫn có thể được định nghĩa hợp lý. Chẳng hạn, nguyên lý so sánh vẫn xảy ra (xem [4, Ch.6]). Ta có 1 ( ) (2 ) j m c n n n j w j dd u a , và nếu các giá trị biên của u là lớn hơn c , thì 1 ( max{ , }) (2 ) m c n n n j jD dd u c a . (2.1) 20 Ví dụ: Lấy các hàm chỉnh hình 1 ,..., n f f trên D sao cho 1 ... 0 n f f có các không điểm đơn tại các điểm của W . Khi đó hàm 1 logmax | |,...,| | n v f f là cực đại ngoài W và có cực logarit có trọng bằng 1 tại mỗi điểm của W . Định nghĩa 2.1.3. [6] Cho D là miền siêu lồi mạnh. Nếu với mỗi cách chọn các trọng j a , đều có một hàm đa điều hòa dưới ( , ) D g z W liên tục và cực đại ngoài W , có cực logarit với trọng j a tại các điểm của W và có giá trị biên bằng 0, thì ( , ) D g z W được gọi là hàm Green đa cực (hay gọi là hàm Green). Định nghĩa 2.1.4. [6] Một condenser đa chính qui 1 1 ( ,..., , ,..., ) m m K K K là một hệ các tập compact đa chính qui 1 1 0 ... m m K K K D D K và các số 1 1 0 ... 0 m m : ( ) ( , , ) ( )z z K D PSH D liên tục với giá trị biên bằng 0, { } i i K và là cực đại trên 1 int \ i i K K với mọi 1 i m . Hàm ( , , )z K D được gọi là hàm cực trị tương đối của condenser K trong D . Chú ý rằng, không phải mỗi cách chọn các tập i K và các số i đều có thể nhận được một condenser. Tuy nhiên, nếu u là một hàm đa điều hòa dưới liên tục trên D và các tập { } i i K u là đa chính qui thì K có hàm cực trị tương đối liên tục. Hình cầu bán kính r tâm z được kí hiệu là ( , )B z r , ( , ) ( , )S z r B z r , ( )m A là độ đo Lebesgue của A . 21 Cho 1 1 ( ,..., , ,..., ) m m K K K là một condenser đa chính qui trong một tập mở siêu lồi mạnh D với một hàm vét cạn xác định trên một lân cận V của D . Giả sử các tập compact { 1/ }jD j thuộc V , với mọi 1,2,....j Lấy ( ) ( , , )z z K D và { : ( ) } r D z D z r . Giả sử 1 ,..., N f f là các hàm chỉnh hình trên jD , p là một số nguyên dương và 1 1 ( ) sup log ( ) k k N v z f z p . (2.2) Ta nói rằng các hàm 1 ,..., N f f và số nguyên p xấp xỉ K đối với 0 nếu với mọi 1 i m đều tồn tại các số , 0 i i , sao cho: (1) 2 1 , 1 ; i i ii i m (2) ( ) ( ), 1 , ;v z z k N z D (3) Nếu , 1 i F i m , là hợp của tất cả các thành phần liên thông của tập hợp { } ii i v K , thì 2 i i i i F D . Đặt int i i G F . Vì v trên D , nên i i K G . Khi đó ta có i i G F . Tập { } i i v là nửa giải tích nên có một số hữu hạn các tập compact có giao với các thành phần liên thông giao nhau trong jD và đặc biệt là trong D . Vì i F D , nên nó có một lân cận U mà không có mặt một thành phần nào của { } i i v . Điều đó có nghĩa là i G là một đa diện giải tích. Bổ đề 2.1.5. [6] Giả sử p là số nguyên và các hàm 1 ,..., N f f chỉnh hình trên jD xấp xỉ K đối với 0 . Khi đó tồn tại 0 sao cho đối với các hàm 22 1 ,..., N h h chỉnh hình trên jD với chuẩn k D h , các hàm k k k g f h , 1 k N , xấp xỉ K đối với và p . Chứng minh. Trước hết, | | p K f e a trên D với 0a nào đó và mỗi 1 k N . Nếu a thì | | p k g e . Lấy đủ bé sao cho ( )1 i iip b pe e , trong đó 0 ii b , với mọi 1 i m . Nếu i z G thì ( )( ) iip k f z e với k nào đó. Bây giờ ta có ) ) )( ( (( ) 1i i ii i ip p p k g z e e e , trong đó i i i b và 0 i i với 1 i m . Từ đó ta có 1 1 ( ) sup log ( ) k i i k N v z g z p . Cho i G là phần trong của hợp i F các thành phần liên thông của { : ( ) } i j i z D v z giao với i K . Nếu F là một trong những thành phần liên thông của i F thì nó chứa một điểm của i K và do đó giao với thành phần liên thông G của i G . Vì i i v trên i G , nên G phải chứa F . Như vậy i i i F G F . Tương tự ta có i i G G . Khi đó tồn tại i i sao cho 2 i i i i F D . Chọn đủ bé sao cho i i với mọi 1 i m . Khi đó 2 i ii i F D , và bổ đề được chứng minh. Bổ đề sau đây chỉ ra sự tồn tại của các xấp xỉ chỉnh hình. Bổ đề 2.1.6. [6] Với 0 đủ bé và số nguyên j bất kì luôn p nguyên dương và các hàm chỉnh hình 1 ,..., N f f trên jD xấp xỉ K trên D đối với . 23 Chứng minh. Giả sử 2 i với 1 i m . Lấy số thỏa mãn 2 1 0 min{ 2, }/ và 0a đủ lớn sao cho a trên D . Khi đó max{ , } \j a trên D a trên D D là hàm đa điều hòa dưới trên jD . Theo Định lý xấp xỉ Bremermann ([7]) tồn tại một số nguyên dương p và các hàm chỉnh hình 1 ,..., N f f trên jD sao cho 1 1 ( ) ( ) sup log ( ) ( ) k k N z v z f z z p trên 2 jD . Nhưng trên D . Do đó v trên D . Vì 0v trên D và v trên D , nên v trên \D D . Từ v trên \D D , nên 2( ) ( ) ( )z v z z trên D . Do bất đẳng thức thứ hai, ta có 2 { } i i DA v . Từ đó, với 1 i m , hợp i F tất cả thành phần liên thông của A có giao với i K cũng nằm trong 2 i D . Suy ra p và 1 ,..., N f f xấp xỉ K đối với . Định lý sau đây xấp xỉ một condenser bất kỳ bởi n hàm chỉnh hình. Định lý 2.1.7. [6] Với 0 đủ bé và số nguyên j đủ lớn tùy ý luôn tồn tại một số nguyên p và n hàm chỉnh hình 1 ,..., n f f trên jD xấp xỉ một condenser đa chính qui K đối với và hệ phương trình 1 ... 0 n f f chỉ có một nghiệm đơn trong D . 24 Chứng minh. Giả sử N n là số nhỏ nhất các hàm chỉnh hình 1 ,..., N f f trên jD xấp xỉ K đối với với p nào đó. Lấy một xấp xỉ tùy ý như vậy. Theo Bổ đề 2.1.5 xấp xỉ đó là ổn định đối với 0 nào đó. Lưu ý rằng không một hàm nào trong các hàm đã chọn đồng nhất bằng 0. Như trong chứng minh Bổ đề 4 trong [3], ta có thể tìm các hàm chỉnh hình 2 ,..., N h h trên 1jD sao cho 2 jk D h và ánh xạ 1 1 2 1 2 1 ( ,..., ) N N f f h f f h là tầm thường, nghĩa là, nó có các nghịch ảnh không chiều của các giá trị của mỗi điểm trên 2 jD . Vì 1 | | 1f trên D , nên theo Bổ đề 2.1.5 các hàm 1k k k g f h f với 2,...,k N và 1 1 g f xấp xỉ K đối với và p . Thay các hàm i f bởi các hàm i g , nghĩa là : i i f g . Ta sẽ chứng minh rằng với số nguyên q đủ lớn tồn tại một sốp sao cho p và các hàm 1 q q k f f , 2 k N xấp xỉ K đối với . Phép chứng minh suy ra từ các bước của Định lí 2 trong [3]. Thật vậy, lấy 1a và 1 j j sao cho | | k f a trên 1jD với mọi 1 k N . Từ đó, 1 1q q k f f trên 1jD khi q lớn hơn 0 q nào đó. Trên i K , ta có ( ln2/ ) 1 2 i i i ipq pq pq q k f f e e e , trong đó p pq và là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn ln2 / i với mọi 1 i m . Lưu ý rằng 0 . Giả sử 1 0 q q q , sao cho 0p với mọi i . Khi đó 1 q q p k f f e trên D khi 1 q q . 25 Ta sẽ chỉ ra rằng i i i D G . Vì 1ii i , nên i i D nằm trong phần trong 1i V của 1i K . Vì 2 1i ii i , nên 2 1 i i i ii D VG . Mặt khác i i G K nên đạt cực đại trên 1 \ i i V G . Biên của 1 \ i i V G gồm biên của 1i V , trong đó 1i , và biên của i G , trong đó i i v . Do tính cực đại của trên 1 \ i i V G , nên ta có i i trên 1 \ i i V G . Do đó i i i D G . Nhưng i i trên i G nên suy ra i i i D G . Từ đó ta có thể tìm được 0 sao cho 2 ii i ii i i i D G G F D với mọi 1 i m . Lấy tập mở 2 i i i i U D sao cho i G là đa diện giải tích với hệ 1 ( , ,..., ) i i Ni U g g , trong đó )( iip ki k g e f , nghĩa là, { : ( ) 1, 1 } i i ki G z U g z k N (xem [3]). Ta cũng lấy tập mở i i U U chứa i G . Đặt \ i ii i V U D . i V là một lân cận của i G . Lân cận này là tập compact tương đối trong i U . Vì i i trên iii i V G D và | | p k f e , nên ta có )(1| | 1i ip ki i g r e trên i i V G , với mọi 1 k N . Theo Định lý 2 của [3], tồn tại 2 1 q q đủ lớn sao cho với mọi 2 q q và mọi 1 i m , hợp i q R của i i D và mọi thành phần liên thông của tập { : 1, 2 }q q q i i ki Ni z V r g g k N 26 giao với i i D là một đa diện với hệ 2 1 1 ( \ , ( ),..., ( )) ii q q q q q q i i i i i Ni i U D r g g r g g . Nhắc lại rằng , 0p pq , và 1 2 1 sup log q q k k N v f f p trên D . Từ đó suy ra ) ( )( ) ( ) ( )( iii i i pp pq ( ( ) ( ) ) i i i ip pp khi ( ) i i i i p . Lấy 3 2 q q và i sao cho 2 ii i i U D với mọi 3 q q và mọi i . Cho F là thành phần liên thông của { } i ii F v có giao với i K . Ta chỉ ra rằng i F G . Nếu 0 i z F K thì ( ( 0 1 0 0 1 ) 0 )( ) ( ) ( ) ( ) 1i i iiipq pq pq q q q ki k g z g z e f z f z e e . Do đó 0 z thuộc một trong các thành phần R của tập i q R . Nếu 1 z R thì 1 1 1 ( ) ( ) 1q q ki g z g z với số k nào đó. Từ đó ta có ( ) ( ( 1 1 1 1 ) 1 1 )( ) ( ) [ ( ) ( )]i i i ii ipq pq pq q q q k ki f z f z e g z g z e e , 27 hoặc 1 ( ) i i v z . Do đó i q F R R . Vì 2 ii i i q i R U D , nên các hàm 1 , 2q q k f f k N , xấp xỉ K đối với . Do đó N n . Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm mới có thể được điều chỉnh sao cho hệ phương trình 1 ... 0 n f f chỉ có các không điểm đơn. Giả sử rằng hệ phương trình 1 ... 0 n f f không có các không điểm đơn. Ma trận Jacobian 1 ( ,..., ) n f f f không đồng nhất 0, vì nếu không thì mọi điểm của D sẽ nằm ngoài đường cong phức, ở đó v là hằng số. Nhưng 1 v trên 1 K và 1 1 v trên 1 G . Xấp xỉ của ta là ổn định với một 0 nào đó. Theo Định lý Sard, tồn tại một điểm 1 ( ,..., ) n n c c sao cho f là không suy biến tại tất cả các nghịch ảnh của điểm đó và | | k c với mọi k . Đặt i i i g f c . Khi đó hệ phương trình 1 ... 0 n g g chỉ có các không điểm đơn trong D , và xấp xỉ K đối với và p . 2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green Bổ đề sau đây sử dụng sự tồn tại xấp xỉ chỉnh hình của các hàm cực trị tương đối của các condenser đa chính qui để đạt được xấp xỉ một vài loại hàm cực trị bởi các hàm Green với độ đo Monge-Ampère được điều chỉnh. Bổ đề 2.2.1. [6] Cho 1 1 ( ,..., , ,..., ) m m K K K là condenser đa chính qui trong một miền siêu lồi chặt nD . Khi đó tồn tại dãy số dương 0 j , hàm Green j g trên D , và với mỗi 1 i m , các số ij i hội tụ đến i và các tập mở , ( 0) ij ij mj V W W sao cho ij i ijij ij D W D V D , 28 j i g trên ij V , j ij g trên ij W , các cực của j g nằm trong hợp của các tập \ Wi j i j i j Z V , 1 i m , và ( ) ( ) ( ) i j i j i j c n c n c n j j j Z Z Z dd dd g dd . Chứng minh. Với mỗi 1 i m , ta chọn một dãy tăng các số ij sao cho 1i ij i và ij i . Đặt 2 1,i j i K K , 2 , iji j K D . Lấy 2 1,i j i và 2 ,i j ij . Bây giờ ta sẽ xây dựng một condenser đa chính qui jK được tạo thành bởi một họ các tập compact ij K và các số ij . Chú ý rằng ( , , ) ( , , )jz K D z K D với mọi j . Với mỗi j ta chọn một dãy các hệ các hàm chỉnh hình 1 ,..., j nj f f và các số nguyên j p xấp xỉ jK đối với 1/ j j . Giả sử rằng các hệ 1 ... 0 j nj f f chỉ có các nghiệm đơn và các số j đủ nhỏ sao cho 1, , 2 1 1 1ij i j j i j ji jj j a j với mọi 1 2i m . Đặt 1 1 sup log j kj k n j v f p . Ta thêm chỉ số j vào tất cả các tham số của xấp xỉ sao cho 2 1,ij ij i jij , 2 ij ijij ij ij ij K G G D và j ij ij v trên ij G . Lấy các hàm phụ 29 2)( )(1 ij j ii jj i i j và ij i jj j i v v . Khi đó trên ij G ta có 0 ij v và 0 ij . Vì ij trên ij K và j v trên D , nên trên đó ta có 2)( )(1 ij j ii jj i i j 2 2( ) ( ) ij ij ij ij ij ij ij 2( ) ij ij ij ijij ij v . Do đó tập { } G ij ij ij ij F v chứa ij K và compact trong ij G . Theo nguyên lý so sánh, ta có ( ) ( ) ( ) ij ij ij c n c n c n j ij ij G F F dd v dd v dd . Do tính cực đại của ij trên \ ij ij G K nên ta nhận được ( ) ( ) (1 ) ( ) ij ij ij c n c n c n j ij G G j G dd v dd dd . (2.3) Bây giờ ta lấy tập ij P các cực của ij v nằm trong ij G và lập hàm Green ij g trên 1,i j D với các cực trong ij P với trọng là 1/ j p . Các hàm ij g có các cực với trọng tương tự j v trong ij P , và 0 ij g trên 1,i j D . Vì vậy 1,ij j i j g v trên 1,i j D . Lấy 1, 1, ( ) i j ij j i j D a và 1, max{ , } ij ij ij i j ij v g . Khi đó 0 ij ij v trên 1,i j D và ij ij v trên ij G , vì ở đó 1,ij i i jj ij . Vì 1,ij ij i j ij g trên ij G và đạt cực đại trên 1, \ i j ij D G , nên ta có ij ij v trên 1,i j D . Theo nguyên lý so sánh, ta có 30 1, 1, ( ) ( ) i j i j c n c n ij j D D dd v a dd . Theo (2.3), ta có 1, 1, ( ) ( g ) i j i j c n c n ij ij D D dd v dd , Do tính cực đại của ij g và trên 1, \ i j ij D G , nên ta nhận được ( ) ( ) ( ) ij ij ij c n c n c n j ij j G G G dd v dd g a dd . (2.4)