Bài giảng Đại số Boole

Chương 6:Đại số Boole Mở đầu Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập {0, 1} Các phép toán thường dùng trong đại số Boole: Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và 1 = 0 Phép lấy tổng Boole, ký hiệu ‘+’: 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0 Phép lấy tích Boole, ký hiệu ‘.’: 1.1 = 1, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 0.0 = 0 Mở đầu (tt) Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic , , , trong đó 0 tương ứng với F (false, sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng). Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề và ngược lại. Hàm Boole Định nghĩa: Cho B = {0,1}. Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá trị từ B Một hàm đi từ Bn B được gọi là hàm Boole bậc n Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng các biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán Boole Ví dụ: F(x, y, z) = xy + z Có hàm Boole bậc n khác nhau ? Các hằng đẳng thức của đại số Boole Các hằng đẳng thức của đại số Boole (tt) Chứng minh các hằng đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh sự đúng đắn của luật phân phối x(y +z) = xy +xz Chứng minh các hằng đẳng thức(tt) Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các hằng đẳng thức khác Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole. Giải: x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ? = x + 0.y – luật ? = x + 0 – luật ? = x – luật? Tính đối ngẫu Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi chỗ cho nhau Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x. 1 + (y +z) là ? Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế của nó. Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole Định nghĩa: Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0 và 1 với hai phép toán hai ngôi  và , và một phép toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi x, y, z thuộc B. Luật đồng nhất Luật nuốt Luật kết hợp Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole (tt) Luật giao hoán Luật phân phối Biểu diễn các hàm Boole Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau: Biểu diễn các hàm Boole Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc) Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:  F(x, y, z) = xyz G(x, y, z) = xyz + xyz Biểu diễn các hàm Boole(tt) Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z Giải: Bảng giá trị của hàm F:  F(x, y, z) = ? Biểu diễn các hàm Boole(tt) Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối ngẫu từ khai triển tổng các tích. Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) ở ví dụ 1. Tính đầy đủ Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các phép toán Boole . , + , . Khi đó ta nói tập hợp {. , + , } là đầy đủ Ta có: Tập {., } là đầy đủ ? Tập {+, } là đầy đủ ? Tập {., +} không phải là đầy đủ ? Tập {|} là đầy đủ, tập {} là đầy đủ ? (phép | hay NAND và  hay NOR được định nghĩa: 1|1 = ? , 1|0 = ? ,0|1 = ? ,0|0 = ? . 11 = ? , 10 = ? , 01 =? ,0 0 = ? .) Tính đầy đủ (tt) Tập {., } là đầy đủ vì: x + y = x y Tập {+, } là đầy đủ vì: x.y = ? Tập {|} là đầy đủ vì: x = x|y xy = (x|y)|(y|x) Tập {} là đầy đủ vì: ? Các cổng logic Các loại cổng cơ bản: Cổng NOT hay bộ đảo: x x Cổng AND: Cổng OR xy x y x + y Các cổng logic (tt) Các cổng có n đầu vào: x1 + x2 +…+ xn Mạch tổ hợp Ví dụ 1: Dựng các mạch tạo các đầu ra sau: a) (x + y)x ; b) (x + y +z)( x y z ) Giải: a) b) ? x y z x + y x (x + y)x Mạch tổ hợp (tt) Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định các vấn đề của một tổ chức. Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra. Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành. Hãy thiết kế một mạch cho phép xác định được một đề nghị có được thông qua hay không. (Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch, được gọi là các mạch tổ hợp) Mạch tổ hợp (tt) Giải: Biểu diễn của hàm Boole có giá trị đầu ra là: xy + xz + yz  Mạch bỏ phiếu theo đa số: Bộ cộng Bộ nửa cộng: Cộng hai bit, không xét đến số nhớ từ phép cộng trước. Bảng giá trị của bộ nữa cộng: Bộ cộng (tt) Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước. Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ Bộ cộng (tt) Bộ cộng đầy đủ: Bộ cộng (tt) Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2) và (y0 y1 y2) Cực tiểu hóa các mạch Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz = 1.xz = xz Cực tiểu hóa các mạch Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0. Giải Cách 1: Cách 2: Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz . . Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz = 1.xz = xz Cực tiểu hóa các mạch (tt) Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích. Cực tiểu hóa các mạch (tt) Bản đồ Karnaugh hai biến: Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy ? ? Cực tiểu hóa các mạch (tt) Bản đồ Karnaugh hai biến: Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy ? ?  xy + xy = x , xy + xy = ? , xy + xy + xy =? Cực tiểu hóa các mạch (tt) Bảng đồ Karnaugh ba biến: Cực tiểu hóa các mạch (tt) Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng các tích sau: Cực tiểu hóa các mạch (tt) Giải: a) Cực tiểu hóa các mạch (tt) Giải: b) Cực tiểu hóa các mạch (tt) Bảng đồ Karnaugh bốn biến: Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaught rút gọn khai triển tổng các tích: ? ? ? ? ? ? ? ?