Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 2: Phương trình vi phân cấp một (Tiếp theo) - Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 7 §2. Ph ươ ng trình vi phân cấp m ột (TT) 3. Ph ươ ng trình vi phân phân li bi ến s ố a) Định ngh ĩa. f(y) dy = g(x) dx b) Cách gi ải. ∫fydy() = ∫ gxd() x Fy() = ∫ gxd() x dy Ví d ụ 1. 1°/ 2x= 1 − y 2 dx dy dx dy dx +) = , |y| 0 +) ∫= ∫ 1 − y 2 2 x 1 − y 2 2 x +) sin −1y = x+ C +) y=sin ( x + C ) +) y = ± 1 là nghi m 2°/ y' = 1 + x + y + xy dy +) y' = (1 + x)(1 + y) +) =()1 +x() 1 + y dx dy x2 +) =()1 + x dx , y ≠ −1, ln 1 +y =+ x + C 1 + y 2 +) y = −1 là nghi m kì d 3°/ ( xy2+ xdx) +−( y xydy 2 ) = 0 (1+y2 = C( 1 − x 2 ) ) 4°/ tanx sin2 ydx+ cos 2 x cot ydy = 0 ( cot2y= tan 2 x + C ) Cx 5°/ y− xy′ − a(1 + x2 y ) = 0 ( y= a + ) 1 + ax 6°/ x++ xy y′ ( y + xy ) = 0 ( xy+=ln( Cx ( + 1)) ( y + 1) ) 7°/ y′ =( x + y ) 2 (arctan ( x+ y) = x + C ) 8°/ (2x− ydx ) +−+ (4 x 2 y 3) dy = 0 (5x+ 10 yC += 3ln10( xy −+ 5 6 )) 9°/ y′ =4 x + 2 y − 1 ( 4xy+−− 2 12ln( 4 xy −++=+ 2 12 ) xC ) c) M ột s ố ứng d ụng 1°°°/ Sinh tr ưởng t ự nhiên và thoái hoá dP • S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t dt dA 2°°°/ Lãi lu ỹ ti ến = rA dt A là l ưng ô la trong qu ti t ki m t i th i im t, tính theo n m r là t l lãi lu ti n tính theo n m. dN 3°°°/ Sự phân rã phóng x ạ = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x dt PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dA 4°°°/ Gi ải độ c = − λA , λ là h ng s gi i c c a thu c dt dx 5°°°/ Ph ươ ng trình t ăng tr ưởng t ự nhiên = kx dt dT 6°°°/ Quá trình ngu ội đi và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t dt ca môi tr ưng Ví d ụ 2. Mt mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ưc cho vào m t cái lò 375 0 F vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ưi ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)? dT • =k(375 − T ) , T(0)= 50 , T(75)= 125 dt dT • = kdt ⇒ 375 −T = Be −kt ∫375 − T ∫ • Thay T(0) = 50, T(75) = 125 ⇒ B = 325, k ≈ 0,0035 • t ≈ 105 phút t c vào lúc kho ng 6h45’ . dy 7°°°/ Quy lu ật Torricelli Ay() = − agy2 , ó v là th tích n ưc trong thùng, A(y) là dt di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c nưc thoát ra kh i l h ng Ví d ụ 3. Mt cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng bát là 4ft ưc ch a y n ưc vào th i im t = 0. Vào th i im này, ng ưi ta m m t l tròn ưng kính 1 inch áy bát. Hi sau bao lâu s không còn n ưc trong bát? 2 2 • A(y) = πr = π(8 y − y ), 2 dy 1  • π(8 y − y2) = −π   2.32 y ; dt 24  163 2 5 1 ••• y2− y 2 =− tC + . 3 5 72 448 • y(0) = 4 ⇒ C = . 15 Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu • t≈ 2150 ( s ); tc là kho ng 35 phút 50 giây. xy+ xy − 9 x Ví d ụ 4. y′ +sin = sin , y (π ) = π (C =2, ln tan = 2 − 2 sin ) 2 2 4 2 4. Ph ươ ng trình thu ần nh ất (đẳng c ấp) a) Đặt v ấn đề • Nhi u ng d ng d n n các ph ươ ng trình vi phân không phân li • Ch ng h n, mt máy bay xu t phát t im (a ; 0) t úng phía ông c a n ơi nó n, là m t sân bay t t i g c t a (0 ; 0) . Máy bay di chuy n v i v n t c không i v0 liên quan n gió, mà th i theo úng h ưng Nam v i v n t c không i w. Nh ư ã th hin trong Hình v, ta gi thit rng phi công luôn gi hưng bay v phía gc ta . PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Máy bay h
ng v  g c ưng bay y = f(x) ca máy bay th a mãn ph ươ ng trình vi phân dy 1 2 2 =(vy0 − wx + y ) dx v0 x dy y  b) Định ngh ĩa. = F   (1) dx x  c) Cách gi ải y dy dv • t v = ⇒ =v + x x dx dx dv • Bi n i (1) thành ph ương trình phân ly: x= Fv( ) − v . dx Ví d ụ 1 dy4 x2+ 3 y 2 1°/ Gi i ph ươ ng trình: = dx2 xy dy x  3  y  y 1 x dy dv • =2  +   • v = ⇒ = , y = vx ⇒ =v + x dx y  2  x  x v y dx dx dv 2 3 dv2 v v 2 + 4 • v+ x = + v • x = + = ; dx v 2 dxv2 2 v 2v 1 • dv= dx ⇒ ln(v2 + 4) = ln x + ln. C ∫v 2 + 4 ∫ x y 2 • v2 +4 = C x ⇒ +4 = C x ⇒ y2+4 x 2 = kx 3 . x2 2°/ Gi i: xy 2y' = x3 + y3 x2 y +) y = 0 không là nghi m +) y ≠ 0; y′ = + y 2 x y 1 +) u = ⇒ y = xu ⇒ y' = u + xu' +) u+ xu′ = u + x u2 3 3 3 +) u = 3 ln |x| + C ⇒ y = x (3 ln |x| + C) 3°/ (x + 2 y)dx − x dy = 0 (x + y = C x2) x 4°/ (x − y)y dx = x2 dy ( x= Ce y ) 5°/ 2xy3′ = y( 2 x 2 − y 2 ) ( x= ± yln Cx ) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x+ y 6°/ xy′ − y =( x + y )ln ( y= − xln ln Cx ) x x − 7°/ (3 y2 + 3 xy + x2)dx = ( x2 + 2 xy )dy ((x+ y ) 2 = Cx 3 e x+ y ) 1− 3x − 3 y 8°/ y′ = ((3xy++ 2ln xy +−= 10 ) 1 +x + y 9°/ (2xy−+ 4) dx +−+ ( x 2 y 5) dy = 0 ((xy+− 1)3 = Cxy ( −+ 3) ) 2 10 °/ y′ = y 2 − (1−=xy Cx3 (2 + xy ), xy =− 2 ) x2 y Ví d ụ 2. 1°/ xy′ − y = y(ln y − ln x ) , y(1) = e ( x = ln ) x x y 2°/ (x2− y 2 ) dy = 2 xydx ( y=0, x ′ = − , ng c p) 2y 2 x 3°/ ydx2=( xy − x 2 ) dy (ey/ x = Cyy, = 0, x = 0 ) −1 4°/ (x− yydx ) = xdy2 ( yx=()ln Cx , y = 0, x = 0 ) 5°/ xy′ −= y x2 + y 2 , y (1) = 0 ( y+ x2 += y 2 CxC 2 , = 1 ) 5. Ph ươ ng trình tuy ến tính a) Đặt v ấn đề • Ph ươ ng trình i s tuy n tính c p m t ax = b luôn gi i ưc • Li u có th xây d ng ưc cách gi i i v i ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p m t hay không? dy b) Định ngh ĩa. + p(x) y = q(x) ho c x′ + pyx() = qy () (1) dx c) Ph ươ ng pháp gi ải p( x ) dx ••• Tính th a s tích phân ρ(x )= e ∫ , • Nhân hai v c a ph ươ ng trình vi phân v i ρ(x) , • ư a v trái c a ph ươ ng trình ưc xét v d ng o hàm c a m t tích: Dx (ρ()() xyx) = ρ ()(). xqx • Tích phân ph ươ ng trình này ρ()()xyx=∫ ρ ()() xqxdx + C , ri gi i theo y nh n ưc nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân. dy 11 Ví d ụ 1. 1°/ Gi i bài toán giá tr ban u −=y e−x / 3 , y (0) =− 1. dx 8 11 (− 1) dx • Có p(x) = –1 và q(x) = e−x / 3 , th a s tích phân là ρ(x )= e∫ = e −x . 8 dy 11 • Nhân c hai v c a ph ươ ng trình ã cho v i e–x ưc e−x− ey − x = e − 4 x / 3 dx 8 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d 11 • (e−x y ) = e − 4 x / 3 dx 8 11 33 • ey−x= e −4/3 x dx =− e − 4/3 x + C , ∫ 8 32 33 • yx( )= Cex − e − x / 3 . 32 • Thay x = 0 và y = –1 vào ta có C = 1/32 , nghi m riêng c n tìm là 1 33 1 yx()=− ex e− x/3 = (33). e x − e − x /3 32 32 32 2°/ Gi i ph ươ ng trình y' + 3 y = 2 x.e −3x 3dx +) p = 3, q = 2 x.e−3x +) ρ = e∫ = e3x d +) e3x ( y' + 3 y) = 2 x +) (y. e3x ) = 2 x dx +) y.e 3x = x2 + C ⇒ y = ( x2 + C)e−3x dy 3°/ Gi i: (x+ y. e y ) = 1 dx dx − dy +) −x = y. e y +) ρ =e∫ = e −y dy d +) e−y(x' − x) = y +) ()xe−y = y dx 1 1  +) xe−y = y2 + C ⇒ x= y2 + Ce  y 2 2  4°/ yx′(2+ 1) = 4 xy + 2 ( y=(2 x + 1)( C + ln 2 x ++ 1 1 ) 5°/ y= xy(′ − x cos) x ( y= xC( + sin x ) ) 6°/ (x+ y2 ) dy = ydx ( x= y2 + Cy ) 1 7°/ ydx2 −(2 xy + 3) dy = 0 ( x= Cy 2 − ) y 8°/ (1+ydx2 ) =+( 1 y 2 sin y − xydy) ( x1+ y2 + cos yC = ) 9°/ (2x+ ydy ) = ydx + 4 ln ydy ( x=2 ln yy −++ 1 Cy 2 ) ĐỊNH LÝ 1. Ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp m ột Nu hàm p(x) và q(x) liên t c trên m t kho ng m I ch a im x0, thì bài toán giá tr ban u dy + p(x)y = q(x), y(x0) = y0 (2) dx có nghi m duy nh t y(x) trên I, cho b i công th c −∫pxdx() ∫ pxdx ()  yxe()= (() qxe ) dxC +  (3) ∫  vi m t giá tr C thích h p. PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chú ý: • nh lý 1 cho ta bi t m i nghi m c a ph ươ ng trình (1) u n m trong nghi m t ng quát cho b i (3). Nh ư v y ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c p m t không có các nghi m kì d . • Giá tr thích h p c a h ng s C–cn gi i bài toán giá tr ban u v i ph ươ ng trình (2) – có th ch n “m t cách t ng” b ng cách vi t x t  − ∫ptdt()x ∫ pudu ()  yxe()=x0 y + e x 0 .() qtdt  0 ∫  x0  Các c n x0 và x nêu trên t vào các tích phân b t nh trong (3) m b o tr ưc cho ρ(x 0) = 1 và vì th y(x 0) = y 0. Ví d ụ 2. Gi s h Erie có th tích 480 km 3 và v n t c c a dòng ch y vào (t h Huron) và c a dòng ch y ra (vào h Ontario) u là 350 km 3/n m. Gi s t i th i im t = 0 (n m), n ng ô nhi m c a h Erie – mà nguyên nhân là ô nhi m công nghi p và nay ã ưc gi m b t – b ng 5 l n so v i h Huron. N u dòng ch y ra ã ưc hoà tan hoàn toàn v i n ưc h , thì sau bao lâu n ng ô nhi m c a h Erie s g p 2 l n h Huron? dx r • Phươ ng trình vi phân c p 1: =rc − x dt V dx • Ta vi t l i nó theo d ng tuy n tính c p 1: +px = q dt vi h s h ng p= r/ V , q= rc và nhân t tích phân ρ = ept . • x() t= cV + 4 cVe −rt/ V . • xác nh khi nào x(t)=2cV , ta c n gi i ph ươ ng trình: V 480 cV+4 cVe−rt/ V = 2 cV ; t =ln4 = ln4 ≈ 1,901 (n m). r 350 Ví d ụ 3. M t bình dung tích 120 gallon (gal) lúc u ch a 90 lb (pao-kho ng 450g) mu i hoà tan trong 90 gal n ưc. N ưc m n có n ng mu i 2 lb/gal ch y vào bình v i v n tc 4 gal/phút và dung d ch ã ưc tr n u s ch y ra kh i bình v i v n t c 3 gal/phút. H i có bao nhiêu mu i trong bình khi bình y? dx 3 • Ph ươ ng trình vi phân : +x = 8 dt90 + t • Bình s y sau 30 phút, và khi t = 30 ta có l ưng mu i trong bình là : 90 4 x(30)= 2(90 +− 30) ≈ 202 (lb). 120 3 Ví d ụ 4. 1 a) 1°/ (2xy+ 3) dy − ydx2 = 0,(0) y = 1 ( x= y 2 − ) y y 2 2°/ 2ydx+− ( y2 6 xdy ) = 0, y (1) = 1 ( x=(1 + y ) ) 2 b) 1°/ ydx−( x + y2 sin y ) dy = 0 ( x=( C − cos y ) y , y = 0 ) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2°/ (1+ydx2 ) − (arctan y −= xdy ) 0 ( x=arctan y − 1 + Ce − arctan y ) y π  c) 1°/ y′ − = xcos xy ,   = π ( y= x + xsin x ) x 2  ex 2°/ yy′ − =, y (1) = e ( y=(1 + ln x ) e x ) x ex y ex + C 3°/ y′ = − ( y = ) x+1 x + 1 x + 1 y x 4°/ y′ =1 + ( y=( x + ln xC + ) ) x( x + 1) x + 1 y 2 d) 1°/ 2ydx−− (6 x y2 ) dy = 0, y (1) = 1 ( x=(1 + y ) ) 2 1  2°/ (y+ 2) dx +−+ ( y x 2) dy = 0, y (1) = 1 ( x=−ln y + 2(  y + 2) ) 3  ex − e + 1 e) 1°/ xy′ +−= y ex 0, y (1) = 1 ( y = ) x y x 2°/ xy′ − −= x0, y (1) = 0 ( y=() x −1 + ln x ) x + 1 x + 1 6. Ph ươ ng trình Bernoulli dy a) Định ngh ĩa. +pxy() = qxy () α , α ≠ 0, α ≠ 1 ho c x′ + pyx() = qyx (),α α ≠ 0 (2) dx b) Cách gi ải • Vi y ≠ 0 , t v= y 1−α ••• Bi n i ph ươ ng trình (2) thành ph ươ ng trình tuy n tính: dv +−(1α )pxv ( ) =− (1 α ) qx ( ). dx dy3 2 x Ví d ụ 1. 1°/ −y = dx2 x y • Là ph ươ ng trình Bernoulli v i p(x) = −3/(2 x), q(x) = 2 x, α = −1 và 1 − α = 2 3 ⇒ yy′ − y2 = 2 x 2x dv 3 • t: v= y 2 ta thu ưc ph ươ ng trình tuy n tính: −v = 4 x dx x (− 3/x ) dx +) Nhân t tích phân ρ =e∫ = x −3. −3 4 −3 4 −3 2 4 +) Dx ( x v ) = ⇒ x v= − + C ⇒ x y= − + C x2 x x • y2= −4 x 2 + Cx 3 . 2°/ y′ +2 y = ye2 x ( y( ex+ Ce2 x ) = 1; y = 0 ) 3°/ xy2y′ = x2 + y3 (y3 = Cx 3 − 3 x2) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ yy′ =4 cos xy + tan x ( y−3= Ccos 3 x − 3sin x cos 2 xy ; = 0 ) 5°/ (x+ 1)( yy′ +2 ) =− y ( yx(+ 1)(ln x ++= 1 C ) 1, y = 0 ) 6°/ 3xdy= 4(1 + x sin x − 3 y3 sin xdx ) ( y3(3+ ce cos x ) === xx , 0, y 0 ) 1 Ví d ụ 2 1°/ y′ +2 xy = 2 x3 y 3 ( y−2=( Ce 2x2 ++= 2 x 2 1), y 0 ) 2 y 2°/ y′ + + y 2 = 0 ( y−1 =+(1 x )(ln1 ++ xCy ), = 0 ) x + 1 3°/ xy2 y′ = x 3cos x + y 3 ( y=3 xx( sin x + cos xC + ) −1 4°/ (x+ 1)( yy′ +2 ) =− y ( yyx=0, =+() 1() ln x ++ 1 C  ) 7. Ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần a) Định ngh ĩa. Ph ươ ng trình P(x, y)d x + Q(x, y)d y = 0 (1) ưc g i là ph ươ ng trình vi phân toàn ph n n u các hàm P(x, y) và Q(x, y) liên t c cùng vi các o hàm riêng c p m t trên mi n ơn liên D và có ∂P ∂ Q = (2) ∂y ∂ x Ví d ụ 1. 1°/ Gii ph ươ ng trình vi phân (6 xy – y3)dx + (4 y + 3 x2 – 3 xy 2)dy = 0 • P(x, y ) = (6 xy – y3) ; Q(x, y ) = (4 y + 3 x2 – 3 xy 2) ∂P ∂Q • = 6 x – 3 y2 = ⇒ Ph ươ ng trình vi phân toàn ph n ∂y ∂x ∂F • = P() x, y ⇒ F(x, y) = (6xy− y3 ) dx = 3 x2y – xy 3 + g(y). ∂x ∫ ∂F ∂F • = Q() x, y ⇒ = 3 x2 – 3 xy 2 + g' (y) = 4 y + 3 x2 – 3 xy 2, ∂y ∂y 2 • g' (y) = 4y ⇒ g(y) = 2y + C1, 2 3 2 • F(x, y) = 3 x y – xy + 2 y + C1. • Tích phân tng quát 3x2y – xy 3 + 2 y2 = C 2°/ (2 x + 3 y)d x + (3 x + 2 y)d y = 0 ⇒ 2 +) P = 2 x + 3 y; Q = 3 x + 2 y Qx = Py = 3 +) F=∫ ()2 x + 3 ydx = x + 3 xy + g(y) 2 +) Fy(y) = 3 x + 2 y ⇒ 3 x + g' (y) = 3 x + 2 y ⇒ g(y) = y +) x2 + 3 xy + y2 = C y2  2 y 3°/ 4−  dx + dy = 0 ((4x2+ y 2 ) = Cx ) x2  x 4°/ e−y dx+(1 − xe − y ) dy = 0 ( y+ xe−y = C ) y 5°/ dx+( y3 + ln xdy ) = 0 ( 4y ln x+ y4 = C ) x 2x y2− 3 x 2 6°/ dx+ dy = 0 ( x2− y 2 = Cy 2 ) y3 y 4 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn xdy− ydx y 7°/ xdx+ ydy = ( x2+ y 2 −2 arctan = C ) x2+ y 2 x 8°/ 2cosx2 ydx+ (2 y − x 2 sin2) ydy = 0 ( x2cos 2 yy+ 2 = C ) x  ( x2 + 1)cos y 9°/ +2  dx + dy = 0 ( x2 +1 = 2( Cxy − 2 ) sin ) siny  cos 2 y − 1 b) Th ừa s ố tích phân Ph ươ ng trình vi phân Px(,) ydx+ Qx (,) ydy = 0 v i Qx′≠ P y ′ có th ưa v ph ươ ng trình vi phân toàn ph n khi tìm ưc µ(x ) ≠ 0 (ho c µ(y ) ≠ 0 ) sao cho ph ươ ng trình ∂ ∂ µPdx+ µ Qdy = 0 có ()µQ= () µ P . Khi ó hàm µ(x ) ( µ ( y )) ưc g i là th a s ∂x ∂ y tích phân, và ưc tính nh ư sau. Q′− P ′ • N u x y = ϕ(x ) ⇒ µ(x ) = e −∫ ϕ(x ) dx Q Q′− P ′ • N u x y = ψ (y ) ⇒ µ(y ) = e ∫ψ (y ) dy P Ví d ụ 2. 1 °/ (x+ y2 )2 dx − xydy = 0 (1) 2 Qx′− P y ′ −4y 2 −∫ dx 1 +) = = +) µ(x ) = e x = ϕ −2xy x x2 +) x = 0 là nghi m x+ y2 2 y +) x ≠ 0: (1) ⇔ dx− dy = 0 là ph ươ ng trình vi phân toàn ph n x2 x x y 1− 2 t y 2 +) dt+ dt = C +) ln x− = C là tích phân t ng quát ∫t ∫ x x 1 0 1 y 2°/ (x2 − ydx ) + xdy = 0 ( µ =,x += C , x = 0 ) x2 x 1 3°/ 2tanx ydx+ ( x2 − 2sin) ydy = 0 ( µ =cosyx ,2 sin y + cos2 yC = ) 2 4°/ (e2x − y 2 ) dx + ydy = 0 ( µ =e−2x, y 2 = ( C − 2) xe 2 x ) 1 x 5°/ (1+ 3x2 sin ydx ) − x cot ydy = 0 ( µ =, x3 + = C ) siny sin y Ví d ụ 3. a) 1°/ ex(22+− x ydx2 ) − 2 eydy x = 0 (2xex− ey x 2 = C ) 1 2°/ (2xy+ xy23 )( dx ++ x 2 xy 32 )0 dy = ( xy2+ xy 3 3 = C ) 3 3°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( x )[ ( y+ cos y ) dx +− (1 sin y ) dy ] = 0 x x (hKeey=1 , ( + cos y ) = C ) PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( y )[ (1− sin x ) dx + (cos x + x ) dy ] = 0 y y (hKeex=1 , ( + cos x ) = C ) b) 1°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i hx()([ y+ ln) xdx − xdy ] = 0 C1 1 y (h=, − ln x −−= C ) x2 x xx 2°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i hy( )[ y (1+ xydx ) − xdy ] = 0 C x x 2 (h=, + = C ) y2 y 2 2x y2− 3 x 2 x2 1 c) 1°/ dx+ dy = 0 ( − = C ) y3 y 4 y3 y y y 4 2°/ dx+( y3 + ln xdy ) = 0 ( +yln x = C ) x 4 y  y 4 3°/ sinx+  dx ++ ( y3 ln xdy ) = 0 ( −cosx ++ yxC ln = ) x  4 y2   y  y 2 4°/ sinx−  dx + cos y + 2  dy = 0 ( −cosx + sin y += C ) x2  x  x d) 1°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( y )[ (1− sin x ) dx + (cos x + x ) dy ] = 0 (hCeex=y, y ( + cos x ) = C ) 2°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( x )[ ( y+ cos y ) dx +− (1 sin y ) dy ] = 0 (hCeey=x, x ( + cos y ) = C HAVE A GOOD UNDERSTANDING!