Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chương 3, Bài 3: Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản - Nguyễn Xuân Thảo

• Quy tắc phân thức đơn giản • Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai

1. Mở đầu.

Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch

đảo của hàm hữu tỉ ( ) = ( )

( )

P s

R s

Q s

Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính L−1{R s ( )} được thuận lợi.

2. quy tắc phân thức đơn giản

a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính

Nếu Q s ( ) có ( ) s a − n thì R s ( ) có các số hạng sau

pdf5 trang | Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 763 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chương 3, Bài 3: Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản - Nguyễn Xuân Thảo, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 14 §3. Phép t nh ti n và phân th c n gi n • Quy t c phân th c n gi n • S c ng h ưng và nhân t tích l p b c hai 1. M u. Ph ư ng trình vi phân tuy n tính v i h s h ng có nghi m là bi n i Laplace ngh ch P( s ) o c a hàm h u t R( s ) = Q( s ) − Cn ưa ra k thu t cho phép tính L 1{R( s ) } ưc thu n l i. 2. quy t c phân th c n gi n a) Quy t c 1. Phân th c n gi n tuy n tính n Nu Q( s ) có ()s− a thì R( s ) có các s h ng sau A A A 1+ 2 ++...n ,A ∈=» , i 1, n 2 n i s− a ()sa−() sa − b) Quy t c 2. Phân th c n gi n b c hai n 2 Nu Q( s ) có (()s− a + b 2 ) thì R( s ) có d ng AsB+ AsB + AsB + 11+ 22 +... + n n 2 2 n 2 2 2 ()s− a + b sab−+2  sab −+ 2  () ()  ó ABi, i ∈» , i = 1, n nh lí 1. Bi n i trên tr c s Nu Fs()= L { ft () } t n t i v i s> c , thì t n t i L {eat f( t ) } v i s> a + c và có L {eftat ()} = Fs ( − a ) . − Hay t ư ng ư ng v i L 1{Fs(− a )} = eftat () Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ −() − − Fsa()− = ∫ es a t ftdt() = ∫ est eft at ()  dt =L {eftat ()}, sa − > c 0 0 T k t qu này và t b ng 4.1.2 có f( t ) F( t ) n! at n , s> a e t n+1 (2.1) ()s− a s− a at , s> a ecos( kt ) 2 (2.2) ()s− a + k 2 k at , s> a esin( kt ) 2 (2.3) ()s− a + k 2 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 1. Tìm phép bi n i Laplace ng ưc c a s2 + 1 a) R( s ) = s3−2 s 2 − 8 s s2 + 1 ABC • R() s = =++ ss()()+−24 s ss +− 24 s • s2 +=1 As ( + 2)( s −+ 4) Bss ( −+ 4) Css ( + 2) . • Thay s = 0, s = − 2, và s = 4 ta có 1 5 17 −8A = 1 , 12B = 5 , 24C = 17 ⇔ A = − ; B = , C = 8 12 24 11 5 1 17 1 • R() s =−. + . + ., 8s 12 s+ 224 s − 4 −1 5 − 17 • L 1{}Rs() =−+ e 2t + e 4 t . 8 12 24 s2 + 2 s 1 b) F() s = (ft() =()2cos tt −− sin 2cos2 t + 2sin2 t ) s4+5 s 2 + 4 3 s2 − 2 s c) F() s = (ft( ) =−2cos tt −+ sin 2cos 2 t + 2sin 2 t ) s4+3 s 2 + 2 Ví d 2. Gi i bài toán giá tr ban u y′′+4 y ′ + 4 yt = 2 ; y(0)= y ′ (0) = 0. 2 • Tác ng phép bi n i Laplace ta có sYs2 ()4+ sYs ()4() + Ys = . s3 2 ABC D E • Y( s ) = =+++ + 3232 2 ss(+ 2) ss s()s + 2 s + 2 1 13 1 3 • ng nh t các h s ta có Y( s ) =−+−2 28 4 − 8 3 2 2 s s s()s + 2 s + 2 1 131 3 • yt( ) = t2 −+− t te− 2t − e − 2 t . 4 284 8 1 Ví d 3. Xét m t h con l c lò xo v i m = , k = 17 , c = 3 n v (mét, kilôgam, giây). 2 x( t ) là kho ng d ch chuy n c a kh i l ưng m t v trí cân b ng c a nó. N u kh i l ưng ưc t v trí x(0)= 3 , x '(0)= 1 . Tìm x( t ) là hàm c a dao ng t do t t d n. Hình 4.3.1. H kh i l ưng-lò xo và v t c n c a Ví d 1 1 • Ta có ph ư ng trình vi phân t ư ng ng v i bài toán là: x′′+3 x ′ + 17 x = 0 2 vi iu kin ban u x(0)= 3; x′(0)= 1 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Tác ng phép bi n i Laplace vào hai v , chú ý L {0} = 0 ta có 2  sXs()3−−+ s 1  6[ sXs ()3 −+] 34()0 Xs = 319s+ s + 3 5 • X() s = = 3. + 2 2 2 2 s+6 s + 34 ()s++3 25() s ++ 3 25 • S d ng (2.2), (2.3) có xte( )=−3t ( 3cos5 t + 2sin5 t ) Hình 4.3.2. Hàm v trí x( t ) trong Ví d 1. T hình ta th y th c a dao ng t t d n. Ví d 4. a) Xét h con l c lò xo - gi m xóc nh ư trong Ví d 3, tuy nhiên v i iu ki n x(0)= x ′ (0) = 0 và v i m t l c tác ng bên ngoài F( t )= 15sin2 t . Tìm chuy n ng t c th i và n nh c a kh i l ưng ó. • Ta c n gi i bài toán v i giá tr ban u xxx"+ 6 ' + 34 = 30sin2 t ; x(0)= x '(0) = 0 . 60 • Tác ng phép bi n i Laplace vào ta có sXs2 ()+ 6 sXs () + 34 Xs () = s2 + 4 60 As+ B Cs + D • X() s = = + . 2 2  2+ 2 ()s+4 ( s + 3) + 25  s 4 ()s +3 + 25 10 50 10 • ng nh t ta có A = − , B = , C= D = . Vì v y, 29 29 29    1−+ 10ss 50 10 + 10 1 −+ 10 s 25.2 10( s +− 3) 4.5 • X() s = +  = +  . 2 2  2 2  29s+4()s++325  29 s + 4 () s ++ 325  5 2 • Do ó xt()=−++() 2cos2 tte 5sin2−3t () 5cos5 tt − 2sin5 . 29 29 ( ) b) xxxx3 +−=′′6 ′ 0,()()() 0 = 0, x ′ 0 = x ′′ 0 = 1 +) sXss3()()()−−+1  sXs 2 −− 16  sXs = 0 s + 2 15 1 6  +) X() s = = −− +  s3+ s 2 − 6 s 15s s+ 3 s − 2  1 − 1 − +) =−( 5L{} 1 − L{}{}e3t + 6 L e 2 t ) =L ()6e2t − e 3 t − 5 15 {15 } 1 +) xt() =()6 e2t − e − 3 t − 5 15 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 c) xxxx′′−+=6 ′ 8 2,0( ) == 0 x ′ ( 0 ) ( xt() =()1 − 2 ee2t + 4 t 4 1 d) x′′++=48 x ′ xex−t ,0()() = x ′ 00 = ( xt() =2 ee−t − − 2 t () 2cos2 t + sin2 t  ) 10 ( ) ( ) 1 e) xxx4 −=0,()()() 0 = 1, x′ 0 = x ′′ 0 = x 3 () 0 = 0 ( xt() =()cosh t + cos t ) 2 ( ) ( ) f) x4 ++=13 xxxx′′ 36 0,()()() 0 == ′′ 0 0, x ′ 0 = 2, x 3 () 0 =− 13 1 1 ( xt() =sin2 t + sin3 t ) 2 3 ( ) ( ) g) x4++=2 xxex′′ 2t ,00()()() = x ′ = x ′′ 0 = x 3 () 00 = 1 ( xt() =2 e2t +−()() 10 t 2cos tt −+ 5 14sin t  ) 50 h) xx′′++=6 ′ 18 x cos2, tx( 0) = 1, x ′ ( 0) =− 1 1 1 ( xte() =−3t ()489cos3 t ++ 307sin3 t() 7cos2 tt + 6sin2 ) 510 170 ( ) 1 5 1 i) xxxx3 +−=′′12 ′ 0,()()() 0 = 0, x ′ 0 = x ′′ 0 = 1 ( xt() =−+ e3t − e − 4 t ) 6 21 14 ( ) 1 1 1 k) xxxx3 +−=′′20 ′ 0,()()() 0 = 0, x ′ 0 = x ′′ 0 = 1 ( xt() =− + e4t − e − 5 t ) 10 6 15 3. S c ng h ưng và nhân t tích l p b c hai Hay dùng hai phép bi n i Laplace ng ưc c a hàm phân th c n gi n trong tr ưng h p phân tích l p b c hai (nh n ưc khi s d ng k thu t nh ư Ví d 5, Bài 2)     s  1 1  1 −1 = tsin kt ; −1 =(sinkt − kt cos kt ) L 2  L 2  3 s2+ k 2  2k s2+ k 2  2k ()  ()  Ví d 5. S d ng phép bi n i Laplace gi i bài toán v i giá tr ban u 2 x′′ +ω0 xF = 0 sin ω t ; x(0)= 0 = x ′ (0) 2 2 F0ω • Tác ng phép bi n i Laplace vào có sXs()+ω0 Xs () = s2+ ω 2 F ω F ω 1 1  • X( s ) = 0 =0  −  , ω≠ ω ⇒ tìm ưc x( t ) 2 2 2 2 ωω2− 22 + ω 22 + ω 2  0 ()()s+ω s + ω 0 0s 0 s  F ω F • N u ω= ω ta có X( s ) = 0 0 , khi ó xt( )=0 sinω tt − ω cos ω t 0 2 2 ()0 0 0 2 2 2ω0 ()s + ω0 PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 Hình 4.3.4. Nghi m c ng h ưng trong (18) v i ω = và F = 1, 0 2 0 cùng v i ưng bao c a nó x= ± C( t ) Ví d 6. Gi i bài toán v i giá tr ban u (4) y+2 y " + y = 4 te t ; y(0)= y '(0) = y "(0) = y (3) (0) = 0 . (4) 1 • Có yt′′ ()= sYs2 () , y() t= sYs4 () , te t = . L { } L { } L { } 2 ()s −1 4 • Tác ng phép bi n i Laplace vào có s4+2 s 2 + 1() Ys = . ( ) 2 ()s −1 4 A B CsD+ EsF + • Y( s ) = =++ + 222 2− 22 (sss−+− 1) ( 1) ( 1)s 1 ()s2 + 1 s + 1 • Dùng h s b t nh có 1 2 2s 21 s + Y() s = −+ + 2− 2 2 ()s −1 s 1 ()s2 + 1 s + 1 • Do ó yttet()=− ( 2)t ++( 1sin) t + 2cos t . HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfbai_giang_phuong_trinh_vi_phan_va_li_thuyet_chuoi_chuong_3_b.pdf
Tài liệu liên quan