MỤC LỤC
Giới thiệu môn học .3
1. Giới thiệu chung.3
2. Mục đích .4
3. Phương pháp nghiên cứu môn học.4
Chương I: Giới hạn của dãy số .7
1.1. Mục đích.7
1.2. Tóm tắt nội dung .8
Chương II: Hàm số một biến số. 28
2.1. Môc ®Ých. 28
2.2. Tóm tắt nội dung . 29
2.3. Câu hỏi ôn tập. 44
2.4. Bài tập chương II. 45
2.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương II . 49
Chương III: Phép tính vi phân hàm số một biến số. 53
3.1. Môc ®Ých. 53
3.2. Tóm tắt nội dung . 55
3.3. Câu hỏi ôn tập. 67
3.4. Bài tập chương III . 68
3.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương III. 76
Chương IV: Phép tính tích phân . 81
4.1. Môc ®Ých. 81
4.2. Tóm tắt nội dung . 82
4.3. Câu hỏi ôn tập. 97
4.4. Bài tập chương IV . 98
4.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương IV.106
Chương V: Lý thuyết chuỗi.116
5.1. Môc ®Ých.116
5.2. Tóm tắt nội dung .117
5.3. Câu hỏi ôn tập.128
5.4. Bài tập chương V.129
5.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương V.134
Tài liệu tham khảo.136
58 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 429 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Giáo trình Hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 (Phần 2), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
∫ − 94 2xdx n. ∫ ++ 544 2 xx dx
o. ∫ −+ dxxx 223 p. ∫ +− dxxx 133 2
q. ∫ ++ 344 2 xx
dx r. ∫ −+ 2968 xx
dx
Câu 2. Dùng phương pháp đổi biến để tính các tích phân sau:
a. ∫ − dxxx 52 b. ∫ + dxxx 1025 )21(
c. ∫ + 21 xx
dx d. ∫ −12xx
dx
e. ∫ − )1( xx dx f. ∫ )ln(ln.ln xxx dx
g. ∫ ++ 53)2( 22 xx
xdx h. ∫ − dxxx
x
49
6
Câu 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần:
a. ∫ dxxarctg b. ∫ dxx 2)(arcsin c. ∫ xshxdx
d. e. ∫ dxx 2)(ln dxxx∫ 2sin f. ∫ + dxxx1arcsin
99
Chương 4: Phép tính tích phân
g. h. ∫ dxx)cos(ln ∫ dxx x2ln i. ∫ dxxxx 3sincos
j. ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dxx
x 2ln k. ∫ −+ dxxxx 11ln l. ∫ − dxxarctg 12
m. ∫ +
++
2
2
1
)1ln(
x
dxxxx n. ∫ + dxxx 22
2
)1(
o. ∫ + 222 )( xa dx
p. ∫
+
dx
x
xearctgx
2
3
2 )1(
q. ∫ dxxx2sin )ln(sin r. ∫ − dxx
x
2
2
arcsin
Câu 4. Tính tích phân các phân thức hữu tỉ:
a. ∫ + dxax x 22
4
b. ∫ ++ ++ dxxx xx )1()1( 123 22
2
c. ∫ ++ 22 )22( xx xdx d. ∫ +− dxxx 114
2
e. ∫ ++ + dxxx x 224
2
)1(
1 f. ∫ + dxx dx 14
g. ∫ + 210 )1(xx dx h. ∫ ++ dxxx 116
4
Câu 5. Tích phân các hàm vô tỉ:
a. ∫ +12xx
dx b. ∫ >− 0 , )(4 3 axax
xdx
c. ∫ +++ 11 xxdx d. ∫ −+3 42 )1()1( xx
dx
e. ∫ ++ dxx xx 22
2
f. dx
x
x∫ +−11
Câu 6. Tích phân các hàm lượng giác:
a. ∫ 3 2sin.cos xx
dx b. ∫ dxxtgx2sin
c. ∫
2
cos
2
sin 3 xx
dx d. ∫ 3 tgxdx
100
Chương 4: Phép tính tích phân
e. ∫ + dxxx xcos2sin sin
2
f. ∫ + dxxx x 44 cossin 2cos
g. ∫ + 222 )cos2(sin xx dx h. ∫ ++ )sin()sin( bxax dx
i. ∫ − axdxsinsin j. ∫ + dxxx sxx cossin cossin
k. ∫ + xxdx2sin2sin
Câu 7. Tích phân các hàm Hyperbolic:
a. b. ∫ xdx2coth ∫ xdxshxshshx 3.2.
c. ∫ + dxchx 1 d. ∫ + dxxch shx221
Câu 8. Tính các tích phân sau:
a. ∫ dxxx b. ∫ dxxf )( biết ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
>+=
1 , 1
1 , 1
)(
3
xx
xx
xf
c. ( )∫ dxx,1max d. { }∫ −−+ dxxx 11
e. ∫ bxdxshax cos.
Câu 9. Tìm công thức truy toán các tích phân sau:
a. tính b. nn Ixdx =∫ ln 2I ∫ = nn Jxdxsin tính 5J
c. tính d nn Kxdx =∫cos 7K ∫ =− nn Lax dx )( 22
Câu 10. Tìm hàm nếu biết: )(xf
a. 23
1)1('
x
xf =+ b. ⎩⎨
⎧
+∞<<
≤<=
xx
x
xf
1 khi
10 khi 1
)(ln'
c. và xxf 42 cos)(sin' = 0)0( =f
Câu 11. Tính các tích phân sau bằng định nghĩa:
a. ∫ <<b
a
ba
x
dx )0( , 2 b. )1 , 0( , −≠<<∫ mbadxxb
a
m
101
Chương 4: Phép tính tích phân
c. ∫2
0
sin
π
xdx d. )0( ,
1
0
>∫ adxax
e. )0( , ln ba
x
xb
a
<<∫
Câu 12. Sử dụng công thức Newton-Leibniz tính các tích phân sau:
a. ∫
− +
2
3 4
dx
x
x b. ∫ −2
0
1 dxx
c. )0,(
sincos
2
0
2222 ≠+∫ baxbxa dx
π
d. ∫
−
<<+−
1
1
2 )0( , 1cos2
πα
xxx
dx
e. ∫
− −
2
1
2
1
21 x
dx f. ) , 0( ,
2
0
22
1
Nna
xa
dxx
n a
n
n
∈>−∫
−
Câu 13. Tính các tích phân sau bằng phép đổi biến:
a. ∫ +
π
0
2cos21
sin
x
xdxx b. ∫ −2ln
0
1dxex c. ∫ −
1
0 )1(
arcsin dx
xx
x
d. ∫
+
3
0 2
5
2 )3( x
dx e. ∫ ++
1
2
1
4
2
1
1 dx
x
x f. ∫ −+
a
xax
dx
0
22
g. ∫ ++
3
1
0
22 1)12( xx
dx h. ∫ −+
1
0
dx
ee
e
xx
x
i. ∫ +
3
0 1
arcsin dx
x
x
j. ∫ −
2
0
a
dx
xa
x k. ∫ ++
3
4
2
2
)1(
1
π
π
dx
tgx
xtg
Câu 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. ∫ ∫ >+=+
1
1
1
22 )0( , 11x
x
x
t
dt
t
dt b. ∫∫ =+++
gx
e
tgx
e
tt
dt
t
tdt cot
1
2
1
2 1)1(1
c.
4
arccosarcsin
22 cos
0
sin
0
π=+ ∫∫ xx dttdtt
102
Chương 4: Phép tính tích phân
Câu 15. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
a. ∫
2
1
)cos(ln
π
e
dxx b. ∫
e
e
dxx
1
ln
c. ∫3
0
2cos
sin
π
dx
x
xx d. ∫3
4
2sin
π
π x
xdx
Câu 16. Tính các tích phân sau:
a. )1( sincos
2
0
>= ∫ nnxdxxA nn
π
b. ∫ >= 2
0
)1( coscos
π
nnxdxxB nn
c. d. ∫ >= e nn nxdxC
1
)1( ln ∫ += π
0 cos
)12cos( dx
x
xnDn
e. f. ∫ += −π
0
1 )1cos(sin xdxnxE nn ∫= π
0
, cossin xdxxI
nm
nm
g. ∫ −= 1
0
, )1( dxxxJ
nm
nm
Câu 17. Chứng minh rằng:
a. *
2
0
, 0)2cos(cos Nnxdxnxn ∈=+∫
π
b. *
2
0
,
1
1)2sin(cos Nn
n
xdxnxn ∈+=+∫
π
Câu 18. Tính các tích phân sau bằng cách sử dụng hỗn hợp các phương pháp:
a. ∫ +
5 2
0
35
9
)1( x
dxx b. ∫
+
4 2
0 5
2
8
15
)1( x
dxx c. ∫ +3
0
25 1 dxxx
d. ∫4
0
3cos
sin
π
dx
x
xx e. ∫ +
2
0 3cos2
π
x
dx f. ∫ + −
5ln
0 3
1 dx
e
ee
x
xx
g. ∫ +++
2
0
3)1(1 xx
dx h. ∫ −16
1
1dxxarctg
i. ∫ +
2
0
2222 sincos
cossin
π
xbxa
xdxx j. ∫ ++
1
0
21
)1ln( dx
x
x
103
Chương 4: Phép tính tích phân
Câu 19. So sánh các tích phân sau:
a. và ∫ −= 1
0
1
2
dxeI x ∫ −= 1
0
2 dxeI
x
b. và ∫ −= π
0
2
1 cos
2
xdxeJ x ∫ −= π
π
2
2
2 cos
2
xdxeJ x
c. ∫ −=
1
0
21 1
sin dx
x
xK và ∫ −=
1
0
22 1
cos dx
x
xK
Câu 20. Chứng minh các bất đẳng thức:
a. ∫ ≥∈<−<
2
1
0
2
)1 , (
612
1 nNn
x
dx
n
π b. 93,0
1
78,0
1
0
4
<+< ∫ x
dx
c. )1 , (
)1(2
1
)1(2
1 4
0
>∈−<<+ ∫ nNnnxdxtgn n
π
d.
2
1sin
4
3 3
6
<< ∫
π
π
dx
x
x
Câu 21. Tìm các giới hạn sau:
a. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+++∞→ 222
1...21lim
n
n
nnn
b.
n
nn
n
!lim∞→
c. ∑
=∞→ −
n
kn kn1 224
1lim d. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+++++++∞→ )1(3...631
3lim
nn
n
n
n
n
n
nn
e. ( )n
nn
+++∞→ ...21
1lim
3
f. ∑
=∞→ +
n
kn
n
kn 1 cos2
1sinlim π
π
Câu 22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ toạ
độ Descartes vuông góc.
a. và 22 xxy −= 0=+ yx b. , xy 2= 2=y và 0=x
c. d. 0 , )( 2222 >−= axaxy
xa
xy −= 2
3
2 và 0 , 2 >= aax
e. xey x sin−= và f. 0 , 0 ≥= xy 0=x và )1(2 −= yyx
g. 12
2
2
2
=+
b
y
a
x và 12
2
2
2
=+
a
y
b
x
104
Chương 4: Phép tính tích phân
Câu 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cho bởi phương
trình tham số.
a. 32 3 , 3 ttytx −==
b. 2223
2
3
2
, sin , cos bact
b
cyt
a
cx −===
c. )2sinsin2( , )2coscos2( ttayttax −=−=
Câu 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trong toạ độ cực.
a. b. ϕ2cos22 ar = 122 =+ϕr
c. ϕ5cosar = d.
2
,
4
,
cos1
πϕπϕϕ ==−=
pr
Câu 25. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình.
a.
2
0 , cosln π<≤≤= axxy b.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
=
2223
2
3
2
, sin
cos
bact
b
cy
t
a
cx
c. d. ⎩⎨
⎧
≤≤−=
+=
π20 , )cos(sin
)sin(cos
ttttay
tttax
50 , ≤≤= rrϕ
e.
2
,
cos1
πϕϕ <+=
pr
Câu 26. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong.
a. 0cb,,a, , 0 , , 12
2
2
2
>===+ zx
a
cz
b
y
a
x
b. 0 , , 2222222 >=+=++ aayxazyx
c. 0, , , )( 222 >=+−= baaxyxxabz
Câu 27. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng
giới hạn bởi các đường sau đây xung quanh trục tương ứng.
a. ax
a
xby ≤≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 0 , 3
2
quanh trục Ox
b. π≤≤== xyxy 0 , 0 , sin quanh trục Oy
c. quanh trục Ox baabyx ≤<=−+ 0 , )( 222
105
Chương 4: Phép tính tích phân
d. quanh đường 4 , 2 == yxy 2=x
Câu 28. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay cung đường cong quanh trục
tương ứng.
a. quanh trục Ox axxy ≤≤=− 0 , 03 3
b.
4
0 , π≤≤= xtgxy quanh trục Ox
c. quanh trục Oy ⎩⎨
⎧
≤≤−=
−=
π20)cos1(
)sin(
ttay
ttax
,
Câu 29. Tính các tích phân suy rộng sau
a. ∫+∞ +2 21a xx
dx b. ∫+∞
+0 2
3
2 )1(
dx
x
arctgx c. ∫+∞ +0 31 x
dx
d. ∫+∞ −2 2 1xx
dx e. ∫+∞ −
0
dxe x f. ∫ +∞ −
0
3 2 dxex x
g. h. ∫+∞ −
0
dxex xn ∫+∞ −
0
dx
x
e x i. ∫ +∞ −
0
2 2 dxex x
j. ∫
+∞
0
2sin dx
x
x
Câu 30. Biết
202
2 π=∫+∞ − dxe x và 2sin0
π=∫+∞ dxx x
Xét sự hội tụ hay phân kì của các tích phân
a. ∫+∞ ∈≥+0 )., , 0( 1 Nnmndxx
x
n
m
b. ∫ +∞ − >
a
x adxex )0,,( βλβλ
c. ∫+∞ −0 2 1xe
xdx d. ∫+∞ −1 2 1
ln dx
xx
x e. ∫+∞ +−1 33
2sin41 dx
xx
x
Câu 31. Tính các tích phân suy rộng
a. ∫ −−
3
1
2 34 xx
dx b. ∫2
0
)ln(sin
π
dxx c. ∫1
0
arcsin dx
x
x
106
Chương 4: Phép tính tích phân
d. ∫2
0
cot
π
gxdxx e. ∫ −
1
0
21
ln dx
x
x f. ∫ −1
0
)1( dx
x
x n
g. ∫
−
0
1
3
1
dx
x
e x h. ∫
−
−1
1
3
3 )2ln( dx
x
x
Câu 32. Xét sự hội tụ hay phân kì của các tích phân sau
a. ∫ −
1
0 cos xe
dx
x b. ∫ −
1
0 1xe
dx c. ∫π
0 sin x
dx
k
d. ∫2
0 cossin
π
xx
dx
qp e. ∫1
0
1ln dx
x
x qp f. ∫ −
1
0
41
dx
x
x
4.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG IV
Câu 1. a. C
xa
ax +− 2
ln
b. Carctgxxx ++−3
3
1
c. C
ba
ba xx ++ lnln βα
βα
d. { } Cbxax
ab
+−−−−
33 )()(
)(3
1
e. Cxx +−+ 1ln
5
1 105 f. Cx ++ 3)ln1(
3
2
g. Cxx +−+ 122 3 h. Cxtg ++ )ln1(
i. Cxx +−−− 32 )(arcsin
3
212 j. Cxx ++− arcsin1 2
k. [ ] Cxxx +−−− 323 )1(
3
2 (Nhân cả tử và mẫu với 22 )1( −− xx )
l. { Cxx ++−− 32 )3(arccos91
9
1 } (Tương tự bài i)
m. C
x
x ++
−
32
32ln
12
1
n. Cxarctg ++
2
12
4
1
107
Chương 4: Phép tính tích phân
o. Cxxxx +−+−−−
2
23)1(
2
1arcsin2
2
p. Cxxxxxx +−++−++−− )12(
2
3133ln
38
1133)12(
4
1 22
q. Cxxx +−−++ )34412ln(
2
1 2
r. Cx +−
3
13arcsin
3
1
Câu 2. a. Cxx +−+− 2)52(
375
308 (Đặt tx =− 52
b. Cxxx ++⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ++−+ 1102102202 )21(
11
1)21(
6
1)21(
13
1
16
1 (Đặt ) 102 )21( xt +=
c. C
x
x +++−
211ln (Biến đổi
2
2 11
1
1
x
x
d
xx
dx
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=+ )
d. C
x
+− 1arcsin
e. Cx +arcsin2
f. Cx +)ln(lnln (Đặt tx =)ln(ln )
g. Cxarctg ++ 53 2 (Đặt 53 2 += xt )
h. Cxx
xx
++
−
− 23
23ln
)2ln3(ln2
1
Câu 3. a. Cxarctgxx +++− )1(
b. Cxxxxx +−−+ 2arcsin12)(arcsin 22
c. d. Cshxxchx +− { } Cxx ++− 1)1(ln 2
e. Cxgxx ++− sinlncot f. Cxxx +−++ 14arcsin12
g. Cxxx ++ )lnsinln(cos
2
h. C
x
x ++− 1ln
108
Chương 4: Phép tính tích phân
i. Cgx
x
x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− cot
sin2
1
2 j. Cxxx +++− )2ln2(ln
1 2
k. C
x
xxx +−
+−−
1
1ln
2
1 2 l. Cxxxarctg +−−−
2
1212
m. Cxxxx +−+++ )1ln(1 22 n. Carctgx
x
x +++− 2
1
)1(2 2
o. )0( ,
2
1
)(2 3222
≠+++ aCa
xarctg
axaa
x p. Ce
x
x arctgx ++
−
212
1
q. { Cxegxx }++− )sinln(cot r. Cxxx +−−+
2
arcsin2224
Câu 4. a. C
a
xarctgaxax ++− 22
3
3
b. C
x
arctgx
x
x ++−++
+
1
1
1
1ln
2
c. Cxarctg
xx
x +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ++++
+− )1(
22
2
2
1
2 (Phân tích ) 1)1(12 22 ++=++ xxx
d. C
xx
xx +++
+−
12
12ln
22
1
2
2
(Biến đổi
21
11
1
11
1
1
2
2
2
2
4
2
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
+
−
=+
−
x
x
x
d
dx
x
x
xdx
x
x )
e. C
xx
xx +++
+
)1(6
2
24
3
Phân tích )1)(1()1(1 2222224 +−++=−+=++ xxxxxxxx
f. Cxarctgxarctg
xx
xx +−++++−
++ )12()12(
22
1
12
12ln
24
1
2
2
Phân tích
)12(22
2
)12(22
2
1
1
224 +−
−−++
+=+ xx
x
xx
x
x
g. C
xx
x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+++ 1
1
1
ln
10
1
1010
10
Phân tích 210
9
10
9
210 )1(1
1
)1(
1
+−+−=+ x
x
x
x
xxx
h. Carctgxarctgx ++ 3
3
1
109
Chương 4: Phép tính tích phân
Phân tích
11
1
)1)(1(
)1(
1
1
6
2
2242
224
6
4
+++=+−+
++−=+
+
x
x
xxxx
xxx
x
x
Câu 5. a. C
x
x +++− 11ln
2
Đặt tgtx =
b. C
t
tarctga
tt
tta
t
at +−++−
++++− 2
1
2212
12ln
241
2
2
2
4
Với 4
xa
xt −= và xem kết quả bài 4.f.
c. Cxxxxxx ++−++++ 2
2
1
2
)1ln(
2
1 Đặt txx =++ 1
d. C
x
x +−
+− 3
1
1
2
3 Đặt t
x
x =+
−
3
1
1
e. C
x
xxx
xxxxx +++++−+++++++ )22(22ln2)221ln(22
2
22
Biến đổi
22
2
22
1
22
22
2
122
222
2
++++++++
+=++
xxxxxxx
x
x
xx
Tính ∫ +++++=++ Cx
xxx
xxx
dx )22(22ln2
22
2
2
bằng cách đặt
t
x 1=
f. Cxxx +−−− arcsin1)2(
Hai bước đổi biến :
u
utxu +
−==
1
1 ,
Câu 6. a. C
t
tarctg
ttt
ttt +−++−−
−++
222
22
1
3
2
3
)1()1(
)1()1(ln
4
1 Với 3 sin xt =
b. Ctgx + Đặt tgxt =
c. C
x
x
xarctg
x
+
−
+
−+
2
cos1
2
cos1
ln
2
cos2
2
cos
4 Đặt
2
cos2 xt =
110
Chương 4: Phép tính tích phân
d. Ctarctg
tt
t +−++−
+
3
12
2
3
1
)1(ln
4
1 2
24
22
Đặt 3 tgxt =
e. Carctgxtgxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++−
2
2
2
ln
55
4)cossin2(
5
1 Đặt txtg =
2
f. C
x
x +−
+
2sin2
2sin2ln
22
1 Đặt ttgx =
g. Ctarctg
t
t +++− 224
3
)2(4 2
với tgxt =
h. C
ax
bx
ab
++
+
− )sin(
)sin(ln
)sin(
1 Biểu diễn { })()(sin)sin( bxaxba +−+=−
i. Cax
ax
a
++
−
2
cos
2
sin
ln
cos
1 Biểu diễn ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−−=
22
coscos axaxa
j. Cxtgxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
22
ln
22
1)cos(sin
2
1 π
Biểu diễn
2
1)cos(sin
2
1cossin 2 −+= xxxx
k. Cxxxxx +−++++−
3
cossinarcsin
3
1)2sin2cosln(sin
2
1
Biểu diễn { })cos(sin)cos(sin
2
1sin xxxxx −++=
22 )cos(sin3)cos(sin12sin2 xxxxx −−=++=+
Câu 7. a. Sử dụng Cxx +− coth
xsh
x 2
2 11coth +=
b. Cxchxchxch +−− 2
8
14
16
16
24
1
c. Cchx +−12 Biểu diễn
1
11
2
−
−=+
chx
xchchx
d. C
chx
shx +− 2
Câu 8. 8. a. Cxx +
3
2
111
Chương 4: Phép tính tích phân
b.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+−
>+++
1 ,
2
1
1 , 1
4
1 3
xCxxx
xCxx
c.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−−
++
Cx
Cx
2
3
2
1
2
1
2
1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
1 ,
1 , 1
),1(
xx
x
xMax
d. Cxxxx +−−+++ 1)1(
2
11)1(
2
1
e. C
ba
bxbshaxsbxachax ++
+
22
sincos
Câu 9. a. [ ]21 )1(lnln −− −−−= nnnn InxxnxxI
[ ] Cnxnnxnnxnxx nnnnn +−+−−++−+−= −−− )1(ln2)...1()1(...ln)1(lnln 121
( )[ ] CxxI ++−= 11ln 22
b. [ ] CxxJn
n
J nnn +−−= −− 12 sincos)1(1
CxxxJ +−+−= 535 cos6
1cos
3
2cos
c. nnn Kn
n
xn
xK
1cos)1(
sin
12 +++= ++
CxxxxK +−+−= 7537 sin7
1sin
5
3sinsin
d. 121222 )1(2
32
)()1(2
1
−− −
−−−−= nnn Lan
n
axan
L
Câu 10. a. Cxxf +−= 3
5
)1(
5
3)( Đặt tx =+13
b. Đặt ⎩⎨
⎧
+
++=
Cx
Cx
xf
1ln
)( tx =ln
c. Cxxxxf ++−= 35
3
2
5
1)( Đặt tx =2sin
Câu 11. a. ab
ab −
Lấy 1+= iii xxξ b.
1
11
+
− ++
m
ab mm
112
Chương 4: Phép tính tích phân
c. 1 d.
a
a
ln
1− e.
2
lnln 22 ab −
Câu 12. a. b. 1 16ln4ln5 −−
c.
ab2
π d. α
π
sin2
e.
3
π f.
n6
π
Câu 13. a.
2
2
arctgπ
b. 2
2 π−
c. 4
2π
d.
24
3 e.
22
3
2
1 arctg (Đặt
x
xt 1−= )
f.
4
π g.
2
1arctg
h.
21
1ln
2
+
++ ee i. 3
3
4 −π
j.
4
)2( −πa (Đặt k. )sin2 tax =
2
31−
Câu 15. a.
2
12 −
π
e b. )1(2 1−− e
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
12
5ln
3
22 ππ tg d.
2
3ln
2
1
36
)349( +−π
Câu 16. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +== −
=
+ ∑ 1
1
1
12 2
2
1
nn
n
k
k
nn An
A
k
A
12 += nnB
π
[ ] !)1...(4.3...)1(1 nnnnnneCn −−++−++=
πnnD )1(−=
0=nE
113
Chương 4: Phép tính tích phân
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−−
++−++
−
++−++
−
=
ch½n nÕu
lÎ nÕu
lÎ nÕu
nm
nm
mn
m
nnnmnm
m
n
mmnmnm
n
I nm
,
2!)!(
!)!1(!)!1(
)1)(3)...(2)((
!)!1(
)1)(3)...(2)((
!)!1(
,
π
Công thức truy toán .
nmnmnm Inm
mI
nm
nI ,22,,
11
−− +
−=+
−=
)!1(
!!
, ++= nm
nmI nm Đặt tx 2sin=
Câu 18. a.
45
2 b. )575(
192
5 5 3+
c.
105
848 d.
2
1
4
−π
e.
5
1
5
2 arctg f. π−4
g.
6
π h. 32
3
16 −π
i.
b
a
ba
ln1 22 − j. 2ln8
π
Câu 19. a. b. 21 II > 21 JJ >
(Sử dụng định lí trung bình tổng quát)
c. 12 KK >
(Chứng minh
8
3 , 1 21
π>< KK )
Dùng bất đẳng thức )1,0( ,
2
1cos , sin
2
∈−≥≤ xxxxx
Câu 21. a.
2
1 b.
e
1 c.
6
π
d. 2 e.
3
2 f.
3
π
Câu 22. a.
2
9 b.
2ln
12 − c.
3
4 3a
114
Chương 4: Phép tính tích phân
d. e. 23 aπ
2
coth
2
1 π f.
12
1
g.
a
barctgab4
Câu 23. a.
5
372 b.
ab
c4
8
3π c. 26 aπ
Câu 24. a. b. 2a
3
2 c.
4
2aπ
d. )243(
6
2
+p
Câu 25. a. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
24
ln atg π b.
ab
ba )(4 33 − c. a22π
d.
3
19 e. [ ])21ln(2 ++p
Câu 26. a. abc
3
2 b. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
4
3
2 3 πa c. aba
15
16 2
Câu 27. a. 2
7
3 abπ b. 22π
c. d. ba222π π
3
128
Câu 28. a. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+ 1)1(
9
2
3
4aπ b. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++−
2
)15)(21(ln25π
c. 2216 aπ
Câu 29. a. 2
411ln
a
a++
b.
1
2
−π
c. 33
2π
d.
4
π e. 2 f.
2
1
g. h. !n π i.
4
π
j.
2
π
Câu 30. a. Hội tụ khi b. Hội tụ c. Hội tụ 1>−mn
d. Hội tụ e. Hội tụ
115
Chương 4: Phép tính tích phân
Câu 31. a. π b. 2ln
2
π− c. 2ln
2
π
d. 2ln
2
π e. 2ln
2
π− f.
!)!12(
!)!2(2 +n
n
(Đặt ) tx 2sin=
g.
e
2− h. 3ln
2
96 −
Câu 32. a. Phân kì b. Hội tụ
c. Hội tụ khi , phân kì khi 1<k 1≥k
d. Hội tụ khi 1 , 1 << qp
e. Hội tụ khi 1 , 1 −>−> qp
f. Hội tụ.
116
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
3.
4.
5. CHƯƠNG V: LÝ THUYẾT CHUỖI
5.1 MỤC ĐÍCH
Bài toán tính giá trị gần đúng của một hàm số tại điểm x1 gần với điểm x0
mà giá trị f(x0) đã biết rất hay gặp trong thực tế: bài toán lập biểu đồ, bài toán
nội suy,.... Việc tính toán trở nên đơn giản nhờ các phép tính cơ bản +, -, ., / và
luỹ thừa khi đã khai triển hàm số thành chuỗi Taylor. Việc biểu diễn một tín
hiệu phức tạp thành các tín hiệu đơn giản hoặc các sóng phức tạp thành các
sóng đơn giản chính là nhờ vào việc khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier.
Để có được cơ sở giải thích cho các bài toán dạng trên cần nắm vững các nội
dung của lý thuyết chuỗi.
Trong mục thứ nhất cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kì của chuỗi
số. Luôn luôn ghi nhớ điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết về khả năng phân
kì của chuỗi số. Khi xem xét các tính chất của chuỗi số hội tụ phải nghĩ ngay
xem các chuỗi phân kì có tính chất đó không. Điều này hoàn toàn giống như các
dãy số hội tụ, các hàm liên tục, các hàm khả vi,....Phải nhận biết số hạng tổng
quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số: chuỗi số dương,
chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kì để từ đó sử dụng các tiêu chuẩn thích
hợp để kết luận về sự hội tụ của nó. Đối với chuỗi số dương khi dùng tiêu chuẩn
so sánh phải luôn dùng đến chuỗi Riemann. Bên cạnh đó phải nắm vững các tiêu
chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn tích phân Cauchy-McLaurin
để xem xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương. Đối với chuỗi đan dấu, có định
lí Leibnitz, định lí cho ta điều kiện đủ để nhận biết sự hội tụ của nó. Định lí này
đóng vai trò rất quan trọng trong việc đánh giá sai số của nhiều bài toán tính gần
đúng. Trong định lí này, điều kiện dãy số (an) đơn điệu giảm là rất quan trọng,
nhiều sinh viên hay bỏ qua điều kiện này. Khi xem xét chuỗi số có số hạng mang
dấu bất kì trước hết nên xét sự hội tụ tuyệt đối của nó vì khi đó có thể lợi dụng
được các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương.
Trong mục thứ hai cần nắm vững khái niệm miền hội tụ của chuỗi hàm vì
bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm là một trong các bài toán cơ bản. Khái
niệm hội tụ đều của chuỗi hàm là khái niệm rất khó cũng như khái niệm liên tục
của hàm số. Chính vì thế phải đọc kĩ và hiểu chính xác khái niệm này. Nhờ vào
116
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà có thể thực hiện được các phép tính giống như
các phép tính về tổng hữu hạn. Điều kiện đủ để nhận biết chuỗi hàm hội tụ đều
hay sử dụng là tiêu chuẩn Weierstrass.
Trong mục thứ ba cần nắm vững tính chất đặc biệt về miền hội tụ của
chuỗi luỹ thừa thông qua định lí Abel. Chính vì thế phải thuộc qui tắc tìm bán
kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa. Cần lưu ý cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ
thừa cách. Biết cách áp dụng các tính chất của luỹ thừa: phép tính đạo hàm,
phép tính tích phân có thể tính được tổng của một số chuỗi hàm. Khai triển
Taylor tại lân cận x0 hoặc khai triển Maclaurin thực chất là cách biểu diễn hàm
số thành chuỗi luỹ thừa. Ý nghĩa thật rõ ràng: một hàm số được biểu diễn qua
một đa thức có bậc vô hạn, việc tính giá trị gần đúng của nó thông qua các phép
tính +, -, ., /, luỹ thừa. Tuy nhiên phải lưu ý đến điều kiện đủ để hàm số khai
triển thành chuỗi luỹ thừa. Cần nhớ khai triển các hàm số thông dụng thành
chuỗi McLaurin để từ đó nhờ vào phép đổi biến thích hợp có thể giải quyết các
bài toán khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận x0 mà không phải tính đạo
hàm. Chú ý rằng cũng nhờ vào khai triển Taylor mà có thể tính được tổng của
một số chuỗi số.
Trong mục thứ tư cần nắm vững công thức tính các hệ số Fourier của hàm
số f(x). Nắm vững các dạng chuỗi Fourier: dạng chuỗi lượng giác và dạng
phức. Nắm vững các dạng chuỗi Fourier khi hàm số có tính chất đặc biệt: hàm
chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Bên cạnh đó biết cách biểu diễn hàm
số đã cho theo các hàm sin hoặc cosin. Phải chú ý đến định lí Dirichlet - điều
kiện đủ khai triển hàm thành chuỗi Fourier và vận dụng định lí đó để tính tổng
của một chuỗi số.
5.2 TÓM TẮT NỘI DUNG
5.2.1 Chuỗi số
a. Các khái niệm chung
9 Định nghĩa chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số
1. Cho dãy số thực Raa nn ∈ , )( với mọi n
Gọi ......21 ++++ naaa là một chuỗi số thực
Kí hiệu chuỗi số trên là (1) ∑∞
=1k
ka
117
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
Số thực với xác định gọi là số hạng thứ của chuỗi, với
không xác định gọi là số hạng tổng quát của chuỗi .Sau đây là một vài
chuỗi số dạng đặc biệt :
ka k k k
...1)1(...
3
1
2
111)1( 1
1
1 +−+−+−=− −
∞
=
−∑ nn nn n có số hạng tổng quát là nn
1)1( 1−−
...)1(...1111)1( 1
1
1 +−++−+−=− −
∞
=
−∑ n
n
n
...
2
1...
8
1
4
1
2
11
2
1
0
++++++=∑∞
=
k
k
k gọi là chuỗi cấp số nhân có công bội là
2
1 .
...1...
2
111
1
++++=∑∞
= nnn
gọi là chuỗi điều hoà .
...1...
3
1
2
111
1
+++++=∑∞
=
αααα nnn
gọi là chuỗi Riemann với tham số α .
2. Cho chuỗi số (1). Gọi tổng riêng thứ n của chuỗi (1) là
∑
=
=
n
i
in aS
1
Nếu (hữu hạn) thì nói rằng chuỗi số (1) hội tụ và có tổng
là S, khi đó kí hiệu . Nếu không xảy ra điều trên nói rằng chuỗi
(1) phân kì .
SSnn =∞→lim
Sa
i
i =∑∞
=1
3. Nếu chuỗi (1) hội tụ về S thì gọi nn SSR −= là phần dư thứ n của chuỗi.
Theo trên suy ra: Để chuỗi (1) hội tụ về S thì cần và đủ là phần dư hội
tụ về 0.
nR
9 Điều kiện hội tụ của chuỗi số
Từ điều kiện Cauchy cho dãy số hội tụ suy ra.
Định lí 1: Để chuỗi số (1) hội tụ thì cần và đủ là
*00 , , , : , 0 Npnpnnn ∈∀>∀∃>∀ε
ε<+++⇒ ++ pnnn aaa ...1
118
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
Từ định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số suy ra:
Định lí 2: Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ là số hạng tổng quát
dần đến 0 khi
na
:∞→n 0lim =
∞→ nn
a
9 Tính chất của chuỗi số hội tụ
1. Tính chất hội tụ hay phân kì của chuỗi số vẫn giữ nguyên khi thay đổi
hữu hạn số hạng đầu tiên của chuỗi .
2. Nếu chuỗi (1) hội tụ về S thì chuỗi ∑ hội tụ về ∞
=1i
iaλ Sλ
Thật vậy nếu gọi tổng riêng thứ n của (5.1) là thì nS
n
n
i
i
n
i
i Saa λλλ == ∑∑
== 11
Sa
i
i λλ =∑∞
=1
3. Nếu các chuỗi và hội tụ tương ứng về A và B thì chuỗi ∑∞
=1i
ia ∑∞
=1i
ib
hội tụ về A+B. ∑∞
=
+
1
)(
i
ii ba
Thật vậy ∑ ∑∑
= ==
+=+
n
i
n
i
i
n
i
iii baba
1 11
)(
Qua giới hạn sẽ có BAba
i
ii +=+∑∞
=1
)(
b. Chuỗi số dương
Sau đây xét chuỗi số ∑ với các kết quả sẽ được chuyển sang
cho chuỗi số với
∞
=1i
ia
*
+∈ Rai
∑∞
=1i
ia −∈ *Rai
9 Điều kiện hội tụ của chuỗi số dương
Định lí: Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị
chặn trên. NnMSn ∈∀≤ ,
9 Các tiêu chuẩn về sự hội tụ :
1. Các định lí so sánh.
Cho 2 chuỗi số dương (a) và (b) ∑∞
=1i
ia ∑∞
=1i
ib
119
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
Định lí 1: Giả sử *00 , , Nnnnba nn ∈≥∀≤
Khi đó: Nếu chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ .
Nếu chuỗi (a) phân kì thì chuỗi (b) phân kì .
Định lí 2: Giả sử k
b
a
n
n
n
=
∞→
lim
Khi đó: Nếu hai chuỗi (a) và (b) cùng hội tụ hoặc cùng
phân kì
+∞<< k0
Nếu và chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ. 0=k
Nếu và chuỗi (b) phân kì thì chuỗi (a) phân kì . ∞=k
2. Các tiêu chuẩn hội tụ .
Tiêu chuẩn Đalămbe (D’Alembert).
Gọi ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= +
n
n
n a
aD 1)( là dãy D’Alembert
Nếu tồn tại số sao cho *+∈ Rq 1<≤ qDn thì chuỗi hội tụ
Nếu thì chuỗi phân kì 1≥nD
Định lí: Giả sử DDnn =∞→lim khi đó:
Nếu thì chuỗi phân kì 1>D
thì chuỗi hội tụ 1<D
thì chưa thể kết luận được. 1=D
Tiêu chuẩn Côsi (Cauchy).
Gọi ( )n nn aC =)( là dãy Cauchy
Nếu tồn tại số sao cho *+∈ Rq 1<≤ qCn thì chuỗi số hội tụ
Nếu thì chuỗi số phân kì . 1≥nC
Định lí: Giả sử CCnn =∞→lim khi đó
Nếu thì chuỗi phân kì 1>C
thì chuỗi hội tụ 1<C
thì chưa thể kết luận được. 1=C
120
Chương 5: Lý thuyết chuỗi
Tiêu chuẩn tích phân Cauchy-McLaurin.
Giả sử dương và liên tục trên )(xf [ )+∞,1 thoả mãn các điều kiện.
⎩⎨
⎧
=∀=
∞→
,
,...2,1)(
)(
nanf
xxf
n
khi0 vÒmgi¶
Khi đó chuỗi hội tụ hay phân kì cùng với sự hội tụ hay phân
kì của tích phân
∑∞
=1n
na
∫+∞
1
)( dxxf
c. Chuỗi đan dấu
9 Định nghĩa chuỗi đan dấu
Chuỗi số có dạng ∑ trong đó ∞
=
+−
1
1)1(
k
k
k a kak ∀> , 0 (2)
hoặc trong đó ∑∞
=
−
1
)1(
k
k
k a kak ∀> , 0 gọi là chuỗi đan dấu.
Chẳng hạn ∑ ∑∞
=
∞
=
−
+−0 1 2
)1(
1
1.)1(
n n
n
n
nn
, là các chuỗi đan dấu
9 Điều kiện hội tụ của chuỗi đan dấu
Định lí Leibnitz.
Cho chuỗi (2) nếu dãy thoả mãn các điều kiện : )( na
- Dãy đơn điệu giảm: )( na Nnaa nn ∈∀> + , 1
- 0lim =∞→ nn a
Thì chuỗi (2) hội tụ về tổng S và 1aS <
d. Chuỗi có số hạng mang dấu bất kì
9 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Cho chuỗi số bất kì (a) Raa i
i
i ∈∑∞
=
,
1
Lập
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- giao_trinh_huong_dan_hoc_tap_toan_cao_cap_a1_phan_2.pdf