Bài giảng Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 5: Các phân phối xác suất thông dụng - Chế Ngọc Hà

Chương 5 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 1 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Nội dung chính 2  Khái quát về biến ngẫu nhiên  Biến ngẫu nhiên rời rạc  Phân phối nhị thức  Biến ngẫu nhiên liên tục  Phân phối chuẩn C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Biến ngẫu nhiên là một biến X mà trong đó cơ may để X nhận các giá trị của nó không nhất thiết giống nhau. • Chúng ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y, Z, Khái quát về biến ngẫu nhiên 3 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 2: Tung một đồng xu cân đối đồng chất cho đến khi được mặt số thì dừng. Gọi X là số lần tung. Khi đó, X cũng là biến số ngẫu nhiên. 4 Ví dụ 1: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp. Gọi X là số bi trắng có trong 4 bi lấy ra. Khi đó, X là một biến số ngẫu nhiên. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Khái quát về biến ngẫu nhiên 13/6/2016 5 Ví dụ 3: Gọi X là chiều cao của con người. Khi đó, X cũng là biến số ngẫu nhiên. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Khái quát về biến ngẫu nhiên 13/6/2016 Ta chia các biến ngẫu nhiên thành 2 loại:  X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) nếu nó chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị.  X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable) nếu nó nhận bất kỳ giá trị nào trên một khoảng nào đó của trục số thực (nghĩa là, tập giá trị của X là vô hạn không đếm được). 6 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Khái quát về biến ngẫu nhiên 13/6/2016 X P    k kp P(X x ), k 1, 2,..., n. Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối (phân bố) xác suất của X: 1x 2x 3x nx 1p 2p 3p np Ta đặt: 7 Biến ngẫu nhiên rời rạc  1 2 nX {x ,x , ,x },Xét với   1 2 nx x ... x . C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 4: Một hộp chứa 5 quả cầu giống nhau, được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên 2 quả. Gọi X là tổng hai số ghi trên hai quả lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. 8 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 9 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng nếu có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng. Gọi X là số lần xạ thủ bắn. Lập bảng PPXS của X. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016    1 2 n1. p p ... p 1.       1 2 n2. x x ,x ,....,x P X x 0.         k k k: x D 3. P X D p , D . Cho BSNNRR X có bảng phân phối xác suất X P 1x 2x 3x nx 1p 2p 3p np Ta có một số tính chất sau: 10 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 11 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 6: Xét biến số ngẫu nhiên trong Ví dụ 5. Hãy tính          P 1 X 3 , P X 2 , P X 4 . C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 12 Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm phân phối tích lũy (cummulative distribution function) của X được xác định bởi    F(x) P(X x), x R. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung • Tính chất:     x x 2) lim F(x) 0, lim F(x) 1.    P(a X b) F3) (b) F(a). 1) F là hàm tăng, theo nghĩa:       a b F a F b . 13/6/2016 13 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Ví dụ 7: Tung 3 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi X là số mặt hình nhận được. Lập biểu thức hàm phân phối tích lũy của X. 4) Hàm F là liên tục phải tại mọi số thực a, nghĩa là         x a lim F x F a , a . 13/6/2016 14 Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm khối lượng xác suất (probability mass function-pmf) của X được xác định bởi        k k k p , x x , f x 0, x x , k. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 15 Biến ngẫu nhiên rời rạc • Giả sử BNNRR X có bảng phân phối xác suất X 1x 2x nx 1p 2p npP Kỳ vọng (Expectation) của X là n 1 1 n n k k k 1 E X x p ... x p x p . C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Phương sai (Variance) của X là          n 2 k k k 1 Var X x E X p . 16 Biến ngẫu nhiên rời rạc Độ lệch chuẩn (Standard deviation) của X là     X Var X . C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Mốt (Mode) của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà tại đó xác suất cao nhất. 17 Biến ngẫu nhiên rời rạc          1 2 nMod X a P X a max p ,p ,...,p . C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 18 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Ví dụ 8: Cho X có bảng phân phối xác suất P X 31 0 0,50,2 0,3 Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và mốt của X. 13/6/2016  Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến số ngẫu nhiên X.  Do X – E(X) là độ lệch giữa các giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của các bình phương độ lệch đó. Phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng E(X), nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán quanh kỳ vọng nhỏ nên độ tập trung lớn, và ngược lại. 19 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 9: Ông A tham gia chơi một trò đỏ, đen như sau: Trong một hộp kín có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Ông A chọn ngẫu nhiên 2 bi: nếu cả 2 bi đều đỏ thì ông A nhận được 100 nghìn; nếu chỉ có 1 bi đỏ thì ông A nhận được 20 nghìn; nếu cả 2 bi đều đen thì ông A thua 50 nghìn. Hỏi bình quân số tiền mà ông A nhận được khi chơi trò chơi này là bao nhiêu? 20 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 1. E(C) C, E(aX) aE(X) Tính chất của kỳ vọng: 21 Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung          1 n 1 nE X ... X E X ... E X . 2. E(X Y) E(X) E(Y)   13/6/2016 22 1.      2Var C 0, Var(aX) a Var X 3. Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì       Var(X Y) Var(X) Var(Y) Var(X Y) Var(X) Var(Y) Tính chất của phương sai: 2.     Var X a Var X Biến ngẫu nhiên rời rạc C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Một dãy gồm n phép thử ngẫu nhiên được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa 3 điều kiện:  Các phép thử độc lập với nhau.  Ở mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến một biến cố A nào đó. Nếu A xảy ra, ta nói phép thử là “thành công”. Nếu A không xảy ra, ta nói phép thử “thất bại”.  Xác suất “thành công”, p = P(A), là không đổi qua n phép thử. 23 Phân phối nhị thức C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 12: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và hình) cân đối, đồng chất 10 lần. Ở mỗi lần tung, ta xem biến cố A: “mặt số xuất hiện” có xảy ra hay không. Xác suất để A xảy ra ở mỗi lần tung là 0,5. Do đó, đây là dãy gồm 10 phép thử Bernoulli. 24 Phân phối nhị thức C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016  Bài toán: Thực hiện liên tiếp n phép thử Bernoulli với xác suất “thành công” là p. Gọi X là số lần “thành công” trong n lần thử. Lập bảng phân phối xác suất của X. Phân phối nhị thức 25 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Phân phối nhị thức 26 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức (binomial distribution) với hai tham số n và p nếu: X = {0,1,2,,n} và       k k n knP X k C p q , q 1 p . Ký hiệu: X ~ B(n; p). C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Cho X ~ B(n,p). Khi đó kỳ vọng, phương sai và mốt của X được cho bởi:             E X np, Var X npq, Mod X np q; np q 1 . Phân phối nhị thức 27 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 13: Một trường tiểu học có tỷ lệ học sinh bị cận thị là 17%. 1. Khám mắt ngẫu nhiên cho 50 học sinh. a) Tính xác suất để có 10 học sinh bị cận thị. b) Tìm giá trị tin chắc nhất của số học sinh bị cận thị. 2. Tìm số lượng học tối thiểu cần phải khám để xác suất có ít nhất một học sinh cận thị không dưới 95%. Phân phối nhị thức 28 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 14: Ở một vùng dân cư, qua thống kê người ta biết được có 65% gia đình có máy giặt. Khảo sát ngẫu nhiên 20 gia đình ở vùng này. Tính xác suất để gặp được nhiều nhất 3 gia đình có máy giặt. Phân phối nhị thức 29 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại một hàm số sao cho thì f được gọi là hàm mật độ xác suất của X.   f : 0,          b a P a X b f x dx, a b . 30 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016  Mệnh đề: Hàm là hàm mật độ xác suất của một b.n.n liên tục nào đó khi và chỉ khi: u :     a) u x 0, x ;     b) u x dx 1. 31 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 32 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Ví dụ 1: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất               2k 1 x , x 0;1 , f x 0, x 0;1 . a) Tìm giá trị của k. b) Tính   P 0,5 X 2 . 13/6/2016 33  Mệnh đề: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ . Khi đó, f     P X c 0, c . Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016  Hệ quả: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ . Khi đó, f P(a X b)   P(a X b). P(a X b)  P(a X b)     34 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 2: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ        xe , x 0, f x 0, x 0. Tính        P 0 X 1 , P 1 X 3 . 35 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân phối xác suất của X được định nghĩa bởi x F x P X x f t dt, x . 36 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 3: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ 2x2e , x 0, f x 0, x 0. Tìm hàm phân phối xác suất của X. 37 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016  Mệnh đề: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f. Khi đó, với mọi x là điểm liên tục của F, ta có F x f x . 38 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Cho BNN liên tục X có hàm mật độ f. Kỳ vọng của X được định nghĩa là E X xf x dx. 39 Biến ngẫu nhiên liên tục • Phương sai của X là đại lượng             2 Var X x E X f x dx. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Độ lệch chuẩn:     X Var X 40 Biến ngẫu nhiên liên tục • Mốt của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ f xác suất đạt giá trị lớn nhất. • Trung vị của X, ký hiệu là Med(X), là giá trị c mà tại đó F(c) = 0,5. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 4: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ            29 1x , khi x 0; 2 , 40 5f(x) 0, khi x 0;2 . Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt và trung vị của X. 41 Biến ngẫu nhiên liên tục C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung Chú ý: Mod(X) không nhất thiết duy nhất. 13/6/2016 Định nghĩa: B.n.n liên tục Z được gọi là có phân phối Gauss nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng       2x 2 1 f x e , x . 2 Ký hiệu: Z ~ N(0; 1). • Các số đặc trưng:        Mod Z E Z 0; Var Z 1. Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss 42 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss 43 O    2x 2 1 y e 2 x  1 2 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Hàm Laplace:             2x x t 2 0 0 1 x f t dt e dt, x R. 2 • Các tính chất của hàm Laplace: a) Hàm số tăng và là hàm lẻ. Các giá trị của hàm Laplace được cho ở bảng B.          b) 0,5; 0,5. c)          P a Z b b a . Phân phối Gauss 44 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 45 Phân phối Gauss Ví dụ 5: Cho Z ~ N(0;1). Tính:   a) P 1,24 Z 3,21    b) P 2,17 Z 2,48  c) P Z 1,34   d) P Z 1,27 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 46 Phân phối Gauss • Cho Giá trị được gọi là phân vị mức của biến Z ~ N(0;1) nếu   0 1. t        P t Z t 1 . • Công thức xác định của là: t       1 t . 2 Ví dụ 6: Cho Z ~ N(0;1). Tìm phân vị mức ĐS: 1,96.   0,05. C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Các số đặc trưng:          2E X Mod X ; Var X . Ký hiệu:  2X ~ N ; .  Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn 47 Định nghĩa: B.n.n liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng          2 2 x 2 1 f x e , x R. 2  , C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn 48 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 • Xác suất: Nếu thì                      b a P a X b .   2X ~ N ; Phân phối chuẩn 49 • Nếu thì      X Z ~ N 0,1 .  2X ~ N ; C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 7: Chiều cao nam giới ở nước ta được biết là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 165,14cm, độ lệch chuẩn là 5,61cm. Tính tỷ lệ nam giới có chiều cao: 1) trong khoảng từ 170cm đến 175cm; 2) trong khoảng từ 165cm đến 172cm. 3) trên 185cm. Phân phối chuẩn 50 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016 Ví dụ 8: Cho b.n.n X có phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng là 10 và P(10<X<20) = 0,3. Tính P(5<X<15). Đáp số: 0,3256. Phân phối chuẩn 51 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016