Phân phối nhị thức
Ví dụ 12: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và
hình) cân đối, đồng chất 10 lần.
Ở mỗi lần tung, ta xem biến cố A: “mặt số xuất
hiện” có xảy ra hay không.
Xác suất để A xảy ra ở mỗi lần tung là 0,5.
Do đó, đây là dãy gồm 10 phép thử Bernoulli.
Bài toán: Thực hiện liên tiếp n phép thử Bernoulli
với xác suất “thành công” là p.
Gọi X là số lần “thành công” trong n lần thử.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
51 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 521 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Thống kê trong kinh doanh và kinh tế - Chương 5: Các phân phối xác suất thông dụng - Chế Ngọc Hà, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 5
CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
1 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Nội dung chính
2
Khái quát về biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối nhị thức
Biến ngẫu nhiên liên tục
Phân phối chuẩn
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Biến ngẫu nhiên là một biến X mà trong đó cơ may
để X nhận các giá trị của nó không nhất thiết giống
nhau.
• Chúng ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bằng các
chữ cái in hoa X, Y, Z,
Khái quát về biến ngẫu nhiên
3 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 2: Tung một đồng xu cân đối đồng chất cho
đến khi được mặt số thì dừng. Gọi X là số lần tung.
Khi đó, X cũng là biến số ngẫu nhiên.
4
Ví dụ 1: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy
ngẫu nhiên 4 bi từ hộp. Gọi X là số bi trắng có trong
4 bi lấy ra. Khi đó, X là một biến số ngẫu nhiên.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Khái quát về biến ngẫu nhiên
13/6/2016
5
Ví dụ 3: Gọi X là chiều cao của con người. Khi đó,
X cũng là biến số ngẫu nhiên.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Khái quát về biến ngẫu nhiên
13/6/2016
Ta chia các biến ngẫu nhiên thành 2 loại:
X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete
random variable) nếu nó chỉ nhận hữu hạn hoặc
vô hạn đếm được các giá trị.
X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục
(continuous random variable) nếu nó nhận bất kỳ
giá trị nào trên một khoảng nào đó của trục số
thực (nghĩa là, tập giá trị của X là vô hạn không
đếm được).
6 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Khái quát về biến ngẫu nhiên
13/6/2016
X
P
k kp P(X x ), k 1, 2,..., n.
Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối (phân
bố) xác suất của X:
1x 2x 3x nx
1p 2p 3p np
Ta đặt:
7
Biến ngẫu nhiên rời rạc
1 2 nX {x ,x , ,x },Xét với 1 2 nx x ... x .
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 4: Một hộp chứa 5 quả cầu giống nhau, được
đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên 2
quả. Gọi X là tổng hai số ghi trên hai quả lấy ra.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
8
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
9
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng
viên vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất
trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8. Biết rằng nếu
có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng.
Gọi X là số lần xạ thủ bắn. Lập bảng PPXS của X.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
1 2 n1. p p ... p 1.
1 2 n2. x x ,x ,....,x P X x 0.
k
k
k: x D
3. P X D p , D .
Cho BSNNRR X có bảng phân phối xác suất
X
P
1x 2x 3x nx
1p 2p 3p np
Ta có một số tính chất sau:
10
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
11
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ 6: Xét biến số ngẫu nhiên trong Ví dụ 5. Hãy
tính P 1 X 3 , P X 2 , P X 4 .
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
12
Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm phân
phối tích lũy (cummulative distribution function) của X
được xác định bởi
F(x) P(X x), x R.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
• Tính chất:
x x
2) lim F(x) 0, lim F(x) 1.
P(a X b) F3) (b) F(a).
1) F là hàm tăng, theo nghĩa: a b F a F b .
13/6/2016
13
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Ví dụ 7: Tung 3 đồng xu cân đối đồng chất. Gọi X là
số mặt hình nhận được. Lập biểu thức hàm phân
phối tích lũy của X.
4) Hàm F là liên tục phải tại mọi số thực a, nghĩa là
x a
lim F x F a , a .
13/6/2016
14
Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm khối
lượng xác suất (probability mass function-pmf) của X
được xác định bởi
k k
k
p , x x ,
f x
0, x x , k.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
15
Biến ngẫu nhiên rời rạc
• Giả sử BNNRR X có bảng phân phối xác suất
X 1x 2x nx
1p 2p npP
Kỳ vọng (Expectation) của X là
n
1 1 n n k k
k 1
E X x p ... x p x p .
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Phương sai (Variance) của X là
n
2
k k
k 1
Var X x E X p .
16
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Độ lệch chuẩn (Standard deviation) của X là
X Var X .
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Mốt (Mode) của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị
của X mà tại đó xác suất cao nhất.
17
Biến ngẫu nhiên rời rạc
1 2 nMod X a P X a max p ,p ,...,p .
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
18
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Ví dụ 8: Cho X có bảng phân phối xác suất
P
X 31 0
0,50,2 0,3
Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và mốt của
X.
13/6/2016
Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của
biến số ngẫu nhiên X.
Do X – E(X) là độ lệch giữa các giá trị của X so
với trung bình của nó nên phương sai là trung bình
của các bình phương độ lệch đó. Phương sai đặc
trưng cho mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng
E(X), nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán quanh
kỳ vọng nhỏ nên độ tập trung lớn, và ngược lại.
19
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 9: Ông A tham gia chơi một trò đỏ, đen như
sau: Trong một hộp kín có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Ông A
chọn ngẫu nhiên 2 bi: nếu cả 2 bi đều đỏ thì ông A
nhận được 100 nghìn; nếu chỉ có 1 bi đỏ thì ông A
nhận được 20 nghìn; nếu cả 2 bi đều đen thì ông A
thua 50 nghìn. Hỏi bình quân số tiền mà ông A nhận
được khi chơi trò chơi này là bao nhiêu?
20
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
1. E(C) C, E(aX) aE(X)
Tính chất của kỳ vọng:
21
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
1 n 1 nE X ... X E X ... E X .
2. E(X Y) E(X) E(Y)
13/6/2016
22
1. 2Var C 0, Var(aX) a Var X
3. Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
Var(X Y) Var(X) Var(Y)
Var(X Y) Var(X) Var(Y)
Tính chất của phương sai:
2. Var X a Var X
Biến ngẫu nhiên rời rạc
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Một dãy gồm n phép thử ngẫu nhiên được gọi là
dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa 3 điều kiện:
Các phép thử độc lập với nhau.
Ở mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến một biến
cố A nào đó. Nếu A xảy ra, ta nói phép thử là
“thành công”. Nếu A không xảy ra, ta nói phép
thử “thất bại”.
Xác suất “thành công”, p = P(A), là không đổi
qua n phép thử.
23
Phân phối nhị thức
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 12: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và
hình) cân đối, đồng chất 10 lần.
Ở mỗi lần tung, ta xem biến cố A: “mặt số xuất
hiện” có xảy ra hay không.
Xác suất để A xảy ra ở mỗi lần tung là 0,5.
Do đó, đây là dãy gồm 10 phép thử Bernoulli.
24
Phân phối nhị thức
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Bài toán: Thực hiện liên tiếp n phép thử Bernoulli
với xác suất “thành công” là p.
Gọi X là số lần “thành công” trong n lần thử.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
Phân phối nhị thức
25 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Phân phối nhị thức
26
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là
có phân phối nhị thức (binomial distribution) với hai
tham số n và p nếu: X = {0,1,2,,n} và
k k n knP X k C p q , q 1 p .
Ký hiệu: X ~ B(n; p).
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Cho X ~ B(n,p). Khi đó kỳ vọng, phương sai và mốt
của X được cho bởi:
E X np, Var X npq, Mod X np q; np q 1 .
Phân phối nhị thức
27 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 13: Một trường tiểu học có tỷ lệ học sinh bị cận
thị là 17%.
1. Khám mắt ngẫu nhiên cho 50 học sinh.
a) Tính xác suất để có 10 học sinh bị cận thị.
b) Tìm giá trị tin chắc nhất của số học sinh bị cận
thị.
2. Tìm số lượng học tối thiểu cần phải khám để xác
suất có ít nhất một học sinh cận thị không dưới
95%.
Phân phối nhị thức
28 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 14: Ở một vùng dân cư, qua thống kê người ta
biết được có 65% gia đình có máy giặt. Khảo sát
ngẫu nhiên 20 gia đình ở vùng này. Tính xác suất để
gặp được nhiều nhất 3 gia đình có máy giặt.
Phân phối nhị thức
29 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại
một hàm số sao cho
thì f được gọi là hàm mật độ xác suất của X.
f : 0,
b
a
P a X b f x dx, a b .
30
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Mệnh đề: Hàm là hàm mật độ xác
suất của một b.n.n liên tục nào đó khi và chỉ khi:
u :
a) u x 0, x ;
b) u x dx 1.
31
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
32
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Ví dụ 1: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ xác suất
2k 1 x , x 0;1 ,
f x
0, x 0;1 .
a) Tìm giá trị của k.
b) Tính P 0,5 X 2 .
13/6/2016
33
Mệnh đề: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên
tục có hàm mật độ . Khi đó, f
P X c 0, c .
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Hệ quả: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục
có hàm mật độ . Khi đó, f
P(a X b)
P(a X b).
P(a X b)
P(a X b)
34
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 2: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ
xe , x 0,
f x
0, x 0.
Tính P 0 X 1 , P 1 X 3 .
35
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục. Hàm phân phối
xác suất của X được định nghĩa bởi
x
F x P X x f t dt, x .
36
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 3: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ
2x2e , x 0,
f x
0, x 0.
Tìm hàm phân phối xác suất của X.
37
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Mệnh đề: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có
hàm mật độ f. Khi đó, với mọi x là điểm liên tục
của F, ta có
F x f x .
38
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Cho BNN liên tục X có hàm mật độ f. Kỳ vọng của
X được định nghĩa là
E X xf x dx.
39
Biến ngẫu nhiên liên tục
• Phương sai của X là đại lượng
2
Var X x E X f x dx.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Độ lệch chuẩn: X Var X
40
Biến ngẫu nhiên liên tục
• Mốt của X, ký hiệu bởi Mod(X), là giá trị của X mà
tại đó hàm mật độ f xác suất đạt giá trị lớn nhất.
• Trung vị của X, ký hiệu là Med(X), là giá trị c mà tại
đó F(c) = 0,5.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 4: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ
29 1x , khi x 0; 2 ,
40 5f(x)
0, khi x 0;2 .
Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt và
trung vị của X.
41
Biến ngẫu nhiên liên tục
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung
Chú ý: Mod(X) không nhất thiết duy nhất.
13/6/2016
Định nghĩa: B.n.n liên tục Z được gọi là có phân
phối Gauss nếu hàm mật độ xác suất của nó có
dạng
2x
2
1
f x e , x .
2
Ký hiệu: Z ~ N(0; 1).
• Các số đặc trưng: Mod Z E Z 0; Var Z 1.
Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss
42 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Phân phối chuẩn tắc Phân phối Gauss
43
O
2x
2
1
y e
2
x
1
2
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Hàm Laplace:
2x x t
2
0 0
1
x f t dt e dt, x R.
2
• Các tính chất của hàm Laplace:
a) Hàm số tăng và là hàm lẻ.
Các giá trị của hàm Laplace được cho ở bảng B.
b) 0,5; 0,5.
c) P a Z b b a .
Phân phối Gauss
44 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
45
Phân phối Gauss
Ví dụ 5: Cho Z ~ N(0;1). Tính:
a) P 1,24 Z 3,21
b) P 2,17 Z 2,48
c) P Z 1,34
d) P Z 1,27
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
46
Phân phối Gauss
• Cho Giá trị được gọi là phân vị mức
của biến Z ~ N(0;1) nếu
0 1. t
P t Z t 1 .
• Công thức xác định của là: t
1
t .
2
Ví dụ 6: Cho Z ~ N(0;1). Tìm phân vị mức
ĐS: 1,96.
0,05.
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Các số đặc trưng: 2E X Mod X ; Var X .
Ký hiệu: 2X ~ N ; .
Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn
47
Định nghĩa: B.n.n liên tục X được gọi là có phân
phối chuẩn với hai tham số nếu hàm mật độ
xác suất của nó có dạng
2
2
x
2
1
f x e , x R.
2
,
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn
48 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
• Xác suất: Nếu thì
b a
P a X b .
2X ~ N ;
Phân phối chuẩn
49
• Nếu thì
X
Z ~ N 0,1 . 2X ~ N ;
C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 7: Chiều cao nam giới ở nước ta được biết là
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao
trung bình là 165,14cm, độ lệch chuẩn là 5,61cm.
Tính tỷ lệ nam giới có chiều cao:
1) trong khoảng từ 170cm đến 175cm;
2) trong khoảng từ 165cm đến 172cm.
3) trên 185cm.
Phân phối chuẩn
50 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Ví dụ 8: Cho b.n.n X có phân phối chuẩn với giá trị
kỳ vọng là 10 và P(10<X<20) = 0,3. Tính P(5<X<15).
Đáp số: 0,3256.
Phân phối chuẩn
51 C01136 - Chuong 5 - Cac phan phoi xac suat thong dung 13/6/2016
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_thong_ke_trong_kinh_doanh_va_kinh_te_chuong_5_cac.pdf