Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

22/09/2017 1 LOGO TOÁN CAO CẤPC1 GV. Phan Trung Hiếu 45 tiết 2 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1điểm.Chỉ được vắng 1 ngày có phép.-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):Tự luận, không được sử dụng tài liệu.-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):Tự luận, không được sử dụng tài liệu. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 3 -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì khôngtrừ điểm).Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 4 -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làmbài: -0,5 điểm/lần.Khi không có SV xung phong lên làm thì GVsẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từtrên xuống:-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5điểm/lần. Trang web môn học: 5 https://sites.google.com/site/sgupth SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàngtuần, điểm quá trình trên trang web sau: 6 Nội dung: Chương 1: Hàm số một biến số.Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàmmột biến.Chương 3: Tích phân.Chương 4: Hàm nhiều biến.Chương 5: Phương trình vi phân. 22/09/2017 2 7 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp.[2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giảitích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXBGiáo dục. 8 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. LOGO Chương 1:Hàm số một biến số GV. Phan Trung Hiếu §1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số §2. Giới hạn của hàm số §3. Hàm số liên tục 10 §1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số I. Biến số: 11 Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó mộtsố bất kì thuộc tập số cho trướcTập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) vàmỗi số thực được gọi là một giá trị của biếnsố đó. Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:x, y, z, X   ( ).X  0x X 12 Các biến số kinh tế: Kýhiệu Ý nghĩa Tiếng Anh Kýhiệu Ý nghĩa Tiếng Anh (pi) Lợinhuận Profit P Đơngiá Price C Chi phí Cost Q Sảnlượng Quantity D Cầu Demand QD Lượngcầu Quantity Demanded R Doanhthu Revenue QS Lượngcung Quantity SuppliedS Cung Supply T Thuế Tax X Xuấtkhẩu Export Y Thu nhập Income  22/09/2017 3 II. Hàm số: 13 Một hàm số f xác định trên một tập hợp làmột quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một sốthực y xác định duy nhất D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.x: biến độc lập (biến số).y: biến phụ thuộc (hàm).f(x): giá trị của hàm số f tại x. : ( )     f D x y f x  Dx D ( ) { ( ), }:    f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 14 Chú ý 2.1:-Nếu cho hàm số y=f(x) mà không nói gì vềTXĐ của hàm số thì TXĐ của nó là tập hợpnhững điểm x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.-TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trịy để pt y=f(x) có nghiệm Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số 2 1.y x  .x D III. Một số phương pháp cho hàm số: 15 3.1. Liệt kê tập hợp các cặp: Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuậncó quan hệ như thế nào với sản lượng nên lập bảngtheo dõi và có được kết quả sau Sản lượng Q(kg) 1000 1100 1200 1300 1400Lợi nhuận(triệu đồng) 25 27 28 31 27 Tính: (1100); (1400).  16 3.2. Hàm cho bằng biểu thức giải tích: Ví dụ 3.2: Cho hàm số Tính y(1).2 2 3.y x x   3.3. Hàm số xác định từng khúc: Ví dụ 3.3: Cho hàm số 2 neáu 1,( ) 2 1 neáu 1. x xf x x x     Tính f(-2); f(1); f(3). 17 Ví dụ 3.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thìngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trảthêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy vàC(x) là chi phí thuê xe.a) Viết hàm số C(x).b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạyđược 50km.c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạyđược 150km. IV. Đồ thị của hàm một biến số: 18 Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x,y)của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bấtkỳ lấy từ TXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tươngứng của hàm số tại điểm x.Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính làTXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT. TGT TXĐ 22/09/2017 4 V. Các hàm số cơ bản: 19 Hàm lũy thừa: ( ).y x   Hàm mũ: (0 1).xy a a   Hàm logarit: log (0 1).ay x a  Hàm lượng giác:sin , cos , tan , cot .   y x y x y x y xHàm lượng giác ngược:arcsin , arccos , arctan , arccot   y x y x y x y x Hàm hằng: .y C5.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: 20 5.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạothành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.Ví dụ 5.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp cácdạng hàm số sơ cấp sau 11 0... .n nn ny a x a x a    Hàm đa thức (hàm nguyên): Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):  ( ) ( ) P xy Q x P(x) và Q(x) là các đa thức. 21 5.3. Hàm hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số củabiến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biếnsố x. Khi đó y = f(u) = f(g(x))là hàm số hợp của biến số x thông qua biến sốtrung gian u. Ký hiệu là  ( )( ) ( ) .f g x f g xVí dụ 5.2: Cho Khi đó, hàm số hợp 2 ( ) sin , ( ) 4 5. y f u u u g x x x       2( )( ) ( ( )) sin( 4 5).y f g x f g x x x     22 5.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là Xvà TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị chỉ tồn tại duynhất một giá trị sao cho , nghĩa làpt chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệthức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thứctính được x theo y, ký hiệu là 0y Y 0x X 0 0( )f x y 0( )f x y 1( ).x f y Khi đó hàm số được gọi là hàmngược của hàm số 1( ),x f y y Y  ( ), .y f x x X  Ví dụ 5.3: a) Hàm số có hàm ngược làb) Hàm số không có hàm ngược.c) Tìm hàm ngược của hàm sốd) Tìm hàm ngược của hàm số 2y x  2.x y  2y x 2 , .y x x   2 , .y x x   23 5.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế: Hàm sản xuất: , Q: sản lượng, L: lao động. ( )Q f L Hàm doanh thu: ( ).R R Q Hàm chi phí: ( ).C C Q Hàm lợi nhuận: ( ).Q  Hàm cung: ( ).sQ S PHàm cầu: ( ).DQ D P 24 §2. Giới hạn của hàm số 22/09/2017 5 I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: 25 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tậpD và hoặc Ta nói hàm số f(x) cógiới hạn là L khi (L, x0 hữu hạn),ký hiệu là 0x D 0 .x D 0x x 0 lim ( )x x f x L  00, 0 : , 0 ( ) .x D x x f x L               26 lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .M x D x M f x L           lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .m x D x m f x L           0 lim ( )x x f x   00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M            0 lim ( )x x f x   00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M             Ngoài ra, ta còn có các định nghĩa giới hạn mở rộngsau 27 lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P         lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P          lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P          lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P           28 Định nghĩa 1.2▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nói f(x) cógiới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nói f(x) cógiới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu 0x x 0x x 0 lim ( ) .x x f x L    0x x 0x x 0 lim ( ) .x x f x L  29 Chú ý 1.1: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x xf x L f x f x L        và và  0 0.x x x x   0 0x x x x   0.x x 0 0x x x x   0.x x 0 0 0 1 2 1 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x L f x L L          không tồn tại. II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 30 2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nó được tính theo công thức 0x 0 0lim ( ) ( ). x x f x f xVí dụ 2.1: Tính các giới hạn sau 2 1 ) lim( 2). x a x x   0 sin 3) lim . cosx xb x  2 ) lim 2. x c x  22/09/2017 6 31 Ví dụ 2.2: Cho 2 5 2 khi 1( ) 3 khi 1 x xf x x x      Tìm 11 1lim ( ), lim ( ), lim ( ).xx xf x f x f x    Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi 2x  2 2 1 khi 2( ) .2 1 khi 2         x mx xf x x x x V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: 32 Xem Bảng 1. 2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản: III. Một số định lý về giới hạn hàm số: 33 0 lim ( ).x x k k k  ĐL 3.1:ĐL 3.2: Giả sửKhi đó: 0 0lim ( ) , lim ( ) .x x x xf x A g x B     0 ) lim ( ) ( ) .x xii f x g x A B     0 ) lim ( ). ( ) . .x xiii f x g x A B  0 ( )) lim ( 0).( )x x f x Aiv Bg x B         0 0 ) lim . ( ) . lim ( ) ( ).x x x xi k f x k f x k     0 ( )) lim ( ) (0 1).g x Bx xv f x A A    34 Nếu thì 0 0 ) lim ( ) 0 lim ( ) 0.x x x xi f x f x   )ii 0 0 0 0( ) ( ) ( ), ( , ),lim ( ) lim ( )x x x x g x f x h x x x x g x h x L             0 lim ( ) .x x f x L  ĐL 3.3: ĐL 3.4: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất. 35 Chú ý 3.1: Trong tính toán về giới hạn hàmsố, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạngvô định: Khi đó, ta không thể dùng định lý 3.2, mà phảidùng các phép biến đổi để khử các dạng vôđịnh đó. 0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .0       36 Chú ý 3.2: Một vài quy tắc với : ( ) ( ) ,a a      ( ) ( ) ,a a      , 0,.( ) ( ). , 0, aa a a         , 0,.( ) ( ). , 0. aa a a        22/09/2017 7 37 ( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) ,      ( ) ( ) ,    ( ).( ) ( ).( ) .        ta có*,n  ( ) ,n      neáu chaün,( ) neáu leû. n n n  0.a  38 :0 a   a > 0 và mẫu > 0a 0 và mẫu 0 ,,, .  IV. Vô cùng bé (VCB): 39 Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùngbé khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 0 lim ( ) 0.x x f x Ví dụ 4.1: 3) 3sin 2b x x 0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi0.x là VCB khi) cos , cotc x x .2x là VCB khi 2 1) 2 xd x  .x là VCB khi 40 Tính chất 4.31) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn làmột VCB.3) Thương của hai VCB chưa chắc là mộtVCB. Định lý 4.2. 0 lim ( ) ( ) ( )    x x f x L x f x L là một VCB khi 0.x x 41 -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k   -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tươngđương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 4.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x)là hai VCB khiXét 0.x x 0 ( )lim .( )x x f x kg x  1k ( ) ( ).f x g x Ví dụ 4.2: Một số vô cùng bé tương đương thường gặp(Xem Bảng 1).  ( ) ( ) .f x O g x V. Vô cùng lớn (VCL): 42 Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùnglớn khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 0 lim ( ) .x x f x  Ví dụ 5.1: 0.x 1 1) , , cotsina xx x là VCL khi 2) , 2 1b x x  .x là VCL khi 22/09/2017 8 43 -Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) f x-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k   -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tươngđương. Ký hiệu: 0,k k   Định nghĩa 5.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x)là hai VCL khiXét 0.x x 0 ( )lim .( )x x f x kg x  1k ( ) ( ).f x g x  ( ) ( ) .f x O g x 44 Tính chất 5.3: Quan hệ trong VII và VIII làquan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau 1) ( ) ( ).f x f x 2) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x ( ) ( )3) ( ) ( ).( ) ( )      f x g x f x h xg x h x ~ VI. Phương pháp tính 45 0 lim ( ) :x x f x Thế vào f(x)0x con số cụ thể biện luậnxem ? vô định khử 0 00, , 0. , ,0 , ,1 .0      46 6.1. Khử dạng và : 00Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây  00 ( ) ( )2) lim ( ) .lim ( )       x xx x f x g x f x Lg x L 1 11 11 1 ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )3) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )        f x g x f x g xf x f x f xf xg x g x g x g x 4) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x  nếu căn có nghĩa. 0 1) lim ( ) \{0} ( ) .x x f x L f x L     47 Chú ý 6.1:Ta không thể viết hayngay cả khi hay vì điềunày vô nghĩa. ( ) 0f x  ( )f x ( ) 0f x  ( )f x  1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x g x f x g x g x g x f x g x f x g x            48 Ví dụ 6.1: Cho và Tính: a) b) 2( ) 5f x x  2( ) 3.g x x   ( )lim .( )x f x g x  lim ( ) ( ) .x f x g x  Ví dụ 6.2: Tính các giới hạn sau 2 30 21) lim .3 x x xx x 2 2 ( 2)( 5 1)4) lim .( 2)   x x x xx x 2 3 2 33) lim 2 1x x x x x     2 22 42) lim .3 2  x xx x 22/09/2017 9 49 0 sin 26) lim .x xx 20 7arctan 49) lim .1 xx x e 30 ln(1 2 )11) lim .1  xx xe 0 1 2 110) lim .t an3   x x x 20 1 cos38) lim . x xx 2 07) lim .arcsin 3x x x 20 ln(cos )12) lim .x xx 22 3 55) lim .5 1  x x xx 50 Chú ý 6.2 (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCBkhi sao cho Khi đó: 0x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx          neáu ( ) ( ) neáu ( ) neáu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b Nếu thì ta không thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x 51 Ví dụ 6.3: 2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x     4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x      Ví dụ 6.4: Tính 2 3 3 80 3sin 4sin) lim .5x x x xa x x x    30 tan sin) lim . x x xc x 3 5 0) lim .  x x x e eb x 52 Chú ý 6.3. (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCLkhi sao cho Khi đó: x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx          neáu ( ) ( ) neáu ( ) neáu , 0 m n m ax m n f x g x bx m n a b x m n a b Nếu thì ta không thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x 53 Ví dụ 6.5: Tính 2 2 4 2 3lim .4x x x x x x      6.2. Khử dạng :   Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0 0 .Ví dụ 6.6: Tính các giới hạn sau 22 1 4) lim .2 4     xa x x  2) lim 1 .xb x x x    hoặc 54 6.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .biến đổi đưa về dạng 2 20 1 1) lim 1 .1xa x x     Ví dụ 6.7: Tính các giới hạn sau 3 2 1) lim ( 1) .2   x xb x x x 6.4. Dạng :   0 ( )lim ( ) g xx x f x0 00 , ,1 Giới hạn có dạng Đặt   0 ( )lim ( ) g xx xa f x  0 ( )ln lim ln ( )  g xx xa f x 0 ln lim ( )ln ( ) Tính x x a g x f x b      .ba e  Ví dụ 6.8: Tính 210lim(cos ) .xx x 22/09/2017 10 55 §3. Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm: 56 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác địnhtrong một khoảng chứa x0. Ta nói:(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu0 0lim ( ) ( ).x x f x f x  0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x  57 (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điềusau: f(x) xác định tại x0. tồn tại.  0 lim ( )x x f x 0 0 lim ( ) ( ).x x f x f x  58 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là giánđoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) không xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưng 0 lim ( )x x f x không tồn tạihoặc 0 lim ( )x x f x không tồn tạihoặc 0 0 lim ( ) lim ( ).x x x xf x f x   f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0lim ( )x x f x 0 0lim ( ) ( ).x x f x f x  59 Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì cũng liên tục tại x0., . , ( 0)ff g f g gg Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3 khi 0) ( ) 3 khi 0     x xa f x x x tại 0 0.x  2 2 1 khi 1) ( ) khi 12        x xb f x x x tại 0 1.x   2 2 3 khi 0 ) ( ) 1 khi 0 3 khi 0       x x c f x x x x tại 0 0.x 60 Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số 3 2 2 1 khi 0) ( ) ln(1 ) 1 khi 0       xe xa f x x m x liên tục tại 0 0.x khi 0) ( ) khi 0 xe xb f x x m x      liên tục tại 0 0.x  22/09/2017 11 II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 61 Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc(a,b).Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên [a,b]   f(x) liên tục trên (a,b) lim ( ) ( )x a f x f a  lim ( ) ( )x b f x f b  62 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồthị là một đường liền nét (không đứt khúc)trên đoạn đó. Liên tục Không liên tục a b a b 63 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phânthức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và cáchàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thìđạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Định lý 2.6: f(x) liên tục trên [a,b] ( ). ( ) 0f a f b  ( , ) : ( ) 0.c a b f c  