Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 2: Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Đ2.Vị trí t−ơng đối của một mặt cầu với mặt phẳng vμ đ−ờng thẳng • Mặt cầu (S) vμ mp(P) có một điểm chung duy nhất. • Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó. • mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. * Đ−ờng thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi vμ chỉ khi có một • Mặt cầu (S) vμ đ−ờng thẳng a có một điểm chung duy nhất. • Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đ−ờng thẳng a bằng bán • Đ−ờng thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: một trong các điều kiện sau: Kiểm tra kiến thức cũ P3. Các tính chất của tiếp tuyến Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến nμy đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. CM: ∀a ∋ A; a ⊥ OA ⇒ Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A ⇒ Các tiếp tuyến nμy nằm trên mp(P): mp(P) ∋ A, (P) ⊥ OA Đ2.Vị trí t−ơng đối của một mặt cầu với mặt phẳng vμ đ−ờng thẳng A O a ⇒ mp(P) lμ tiếp diện của (S) tại A. ⇒ a lμ tiếp tuyến của S(O;R) tại A * Đ−ờng thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi vμ chỉ khi có một • Mặt cầu (S) vμ đ−ờng thẳng a có một điểm chung duy nhất. • Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đ−ờng thẳng a bằng bán • Đ−ờng thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H. kính của mặt cầu. trong các điều kiện sau: • Đ−ờng thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) vμ đi qua điểm tiếp xúc. Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoμi mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dμi các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A. Xét AMO: AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2 22 RdAM −=⇒ Cm: Đặt OA = d ⇒ d > R Gọi (P) lμ mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P) ∩ S(O;R) = C(O;R). Vì A nằm ngoμi (S) nên A nằm ngoμi (C). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM vμ AM’ với (C), M’ M (C) P A 0 Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. đó lμ 2 tiếp tuyến của (S). Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) vμ một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B vμ cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C vμ D, biết CD a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đ−ờng thẳng CD. Giải: a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên AB⊥OB: 22 OBOAAB −= b) Gọi H lμ hình chiếu của O lên CD ta có: 2 3a 2 CDHC:raSuy == 2 a 2 3aaHCOCOH 2 222 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−=−= Vậy khoảng cách từ O đến CD lμ 2 a H B A O D C 22 aa4 −= 3a= OC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H lμ trung điểm của CD. 3a= AB M P I O Bμi 5 . Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M lμ một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A vμ B. Chứng minh rằng AIBAMB = Vì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI vμ BI lμ hai tiếp tuyến với mặt cầu. Giải: Vì AM vμ AI lμ hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên: AM = AI. AIBAMB =⇒ T−ơng tự ta có BM = BI. ⇒Hai tam giác AMB vμ AIB bằng nhau (c, c, c). (S) ∩ (P) = φ (S) ∩ (P) = {H} (S) ∩ (P) = C(H; r) P R H M 0 P H M 0R P M 0R H d > R d = R d < R Vị trí t−ơng đối của mặt cầu với mặt phẳng PH Δ 0 R (c) 0 Δ (c) H 0 (c) A B Δ H d > R d = R d < R ( S) ∩ Δ = ỉ ( S ) ∩ Δ = { H } ( S ) ∩ Δ = { A, B} Vị trí t−ơng đối của mặt cầu với đ−ờng thẳng OA O A O A P O A Vị trí điểm A Số l−ợng tiếp tuyến Hình ảnh Tiếp tuyến của đ−ờng tròn (C) 1A ∈(C) 2A ngoμi (C) Vô sốA ∈(S) Vô sốA ngoμi (S) Tiếp tuyến của mặt cầu (S)