Chủ đề: Ứng dụng đạo hàm

x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = x quay quanh Ox. Trang 6 Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số 1 1 − += x xy và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −=− + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2(2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. Bài tập: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x xy x= + − và đường thẳng (T): 13 1( ) 12 2 y m x− = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số 3 4 1 xy x += − . KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số Yêu cầu đối với học sinh: ) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình: " Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị. " Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị. " Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị. Bài tập: Định tham số m để: 1). Hàm số y = 3 21 ( 6) 1 3 x mx m x+ + + − có cực đại và cực tiểu. Trang 7 Kết quả: m 3 2). Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1 3). Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2( )( 1) y y x x x x − − − = 2. Kết quả : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Bài tập về pttt của đồ thị: Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 6) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 7) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 8) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. Trang 8 Chủ đề HÀM SỐ. 1. Cho hàm số : Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Phương trình đường thẳng Phương trình hoành độ giao điểm của và là : Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt khác 3 2. Cho hàm số (1), có đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình . Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt dương. Đặt Ta có : 3. Cho hàm số (C) Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng : y = 2x + 3. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : (1) Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B. Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet : và Vậy Trang 9 4. Cho hàm số Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt? Phương trình có 3 nghiệm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt (Các bạn tự vẽ hình) 5. Cho hàm số , a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm . Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phương trình . Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị có một điểm chung duy nhất. Ta có : x -∞ 0 1 +∞ y' + || + 0 - y -∞ +∞ || || || || -∞ - 3 -∞ Trang 10 Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là 6. Cho hàm số Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. TXĐ: R Hàm số đạt cực đại tại Hàm số đạt cực tiểu tại Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành Vậy với thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 7. Cho hàm số ( m là tham số ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4. b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. a) Đồ thị hàm số khi m=4. Trang 11 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành y = 0 là : Đặt Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có 3 nghiệm phân biệt, tức là phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác -1 8. Cho hàm số (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) . b. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : a. Khảo sát hàm số * Tập xác định : D = R * Chiều biến thiên : Hàm số đồng biến trên và Hàm số nghịch biến trên ( - 1 ; 0) + + * Tính lồi lõm, điểm uốn : - Bảng biến thiên : x -∞ -1 0 +∞ y' + - 0 + y -∞ 0 - 1 +∞ Trang 12 * Đồ thị : qua các điểm ( - 1; 0 ) , b. Biện luận số nghiệm của phương trình Phương trình (*) suy ra số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và . * , hoặc thì (*) có 1 nghiệm . * hoặc thì (*) có 2 nghiệm ( trong đó có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép ) * thì (*) có 3 nghiệm phân biệt . 9. Cho hàm số a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tity đi qua điểm A (-2 ; 0 ). c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : với m là tham số dương. a. Khảo sát * TXĐ : | R * Sự biến thiên : Dấu y' : + / Hàm số đồng biến : , Hàm số nghịch biến : Trang 13 +/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0) +/ Điểm uốn : Đồ thị có điểm tồn uốn tại (0 ; - 2) +/ Bảng biến thiên : x -∞ -1 1 +∞ y' - + 0 - y +∞ 4 0 -∞ * Đồ thị : +/ +/ b. Đường thẳng (d) đi qua điểm A ( - 2; 0) với hệ số góc k có phương trình là : + (d) là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm Thế (2) vào (1) ta được : Trang 14 + Với Vậy có 2 tiếp tuyến với (C) đi qua A. c. Biện luận nghiệm Ta có : (*) Nhận xét : Vế trái là hàm số có đồ thị (C) vừa khảo sát . Vế phải là đường thẳng song song với trục Ox số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) với đường thẳng . Từ đồ thị (C) ta thấy : + Với phương trình (*) có 1 nghiệm . + Với phương trình (*) có 2 nghiệm . + Với phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt . 10. Cho hàm số (m là tham số ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6 b. Với những giá trị nào của m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị -. TXĐ : R -. Sự biến thiên : Xét dấu y' hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Hàm số có cực đại tại x = - 3, Hàm số có cực tiểu tại x = 1, Trang 15 đồ thị hàm số lõm đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn U (- 1; 17) Bảng biến thiên x -∞ 1 3 +∞ y' + - 0 + y -∞ 1 33 +∞ Đồ thị b. Tìm m Phương trình : có 3 nghiệm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt Trang 16 Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C) y = 6 - m có đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox Để (*) có 3 nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 11. Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) c. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số -. TXĐ : -. Chiều biến thiên : Xét dấu y' : y' > 0 trong khoảng hàm số đồng biến trong khoảng đó y' < 0 hàm số nghịch biến trong khoảng đó. CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2) y'' đổi dấu qua nghiệm x = - 1 và U(- 1; 4) Bảng biến thiên : x -∞ -2 0 +∞ y' + - 0 + y -∞ 2 6 +∞ Đồ thị : Trang 17 b. Viết phương trình tiếp tuyến Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1 Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm : Với có phương trình tiếp tuyến Với có phương trình tiếp tuyến c. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt Phương trình (*) Đặt có đồ thị (C) y = m có đồ thị là đường thẳng song song với Oy. Nhìn vào đồ thị (C) ta có : Nếu thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt . 12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình có ba nghiệm phân biệt . Trang 18 a. TXĐ : . Bảng biến thiên x -∞ 0 2 +∞ y' - + 0 - y +∞ 4 0 -∞ Đồ thị b. Cách 1 : Ta có Đặt . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt Trang 19 . Cách 2 : Ta có có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác k 13. Cho hàm số: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm giá trị của để phương trình có 6 nghiệm phân 14. Cho hàm số (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*). 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau : 15. Cho hàm số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . b. Với giá trị nào của m phương trình có 3 nghiệm phân biệt . Trang 20 MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1 : Cho hàm số 1 3 + += x xy gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 2: Cho hàm số )4()1( 2 xxy −−= a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 3 26 9 4 0x x x m− + − − = Bài 3: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞) Bài 4 : Cho hàm số 3 2 5- 2 3 = + +y x x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0. c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. Trang 21 HÀM SỐ BẬC BA Y=AX3+BX2+CX+D Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x3-3x2+4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Trang 22 Bài 2. Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2-4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Trang 23 Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Trang 24 Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Trang 25 HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG DCX BAX Y + += Bài 5. Cho hàm số 2x 43x f(x)y + +== . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi. Trang 26 Bài 6. Cho hàm số 1-x 1x f(x)y +== . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi. Trang 27 Bài 7. Cho hàm số 1x 2 f(x)y +== . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi. Trang 28 Bài 8. Cho hàm số 2x f(x)y +== x . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi. Trang 29 Bài 9. Cho hàm số 3-x 42x f(x)y −== . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ thị tại M. e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi. Trang 30 Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Giải phương trình : . (1) Đặt Khi đó (1) trở thành : ( Vì t > 0). Vậy . Do đó nghiệm của phương trình là 2. Giải phương trình : Chia 2 vế của phương trình cho Ta có: (1) Đặt , với (1) trở thành => => (Thoả mãn )=> => 3. Giải phương trình : Phương trình đã cho tương đương với : Đáp số : . 4. Giải phương trình: Đặt pt Trang 31 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 & x = -1 5. Giải phương trình: 6. Giải phương trình : ( chia hai vế cho ). Đặt ( điều kiện y > 0) 7. Giải phương trình: . Phương trình đã cho tương đương với : Giải phương trình Đặt Khi đó phương trình trở thành: (vì ) Giải phương trình Đặt ,phương trình đã cho trở thành Giải phương trình : Đặt ta có : Giải khác TXD: D=R (1) Trang 32 Giải phương trình : Đặt Giải phương trình sau: Nhận xét: là nghiệm Nhận xét: là nghịch biến trên Do đó cũng là hàm nghịch biến trên là nghiệm duy nhất của (*) Giải phương trình : Đặt Giải phương trình : Chia hai vế của phương trình trên cho ta được: Đặt 8. Giải phương trình Trang 33 ( do ). 9. Giải phương trình sau : Vậy nghiệm của phương trình là 10. Giải phương trình sau : Vậy phương trình có nghiệm . 11. Giải phương trình : 12. Giải phương trình Đặt thì phương trình tương đương với : 13. Giải phương trình : 14. Giải phương trình : Đặt thì phương trình . Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Giải phương trình . Tập xác định Phương trình Đặt Phương trình Trang 34 Ta có hệ Đáp số: . 2. Giải phương trình Điều kiện PT Đáp số: 3. Giải phương trình: Điều kiện: (*) So với điều kiện (*) thì chính là nghiệm . 4. Giải phương trình: Điều kiện tồn tại của Khi đó hay hay 5. Giải phương trình : Đk: và x # -2 6. Giải phương trình : Trang 35 ( vì và ) 7. Giải phương trình sau: Điều kiện: Áp dụng: 8. Giải phương trình sau: Điều kiện: +) Trường hợp 1: Loại +) Trường hợp 2: Loại x= -8 Kết luận (*) có 2 nghiệm 9. Giải phương trình : ĐKXĐ: pt Trang 36 ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 4 Khác ĐK: . Phương trình đã cho tương đương với: (TMĐK ) 10. Giải phương trình : Điều kiện Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là 11. Giải phương trình : Tập xác định : Phương trình : Vậy x=8 là nghiệm của phương trình Trang 37 Chủ đề: TÍCH PHÂN. * Phương pháp trực tiếp. Bài 1. Tính các tích phân sau: a. ( )∫ += π 0 dxSinxxI . ( ) 2 2 πCosxx 2 1 SinxdxxdxdxSinxxI 2 π 0 π 0 2 π 0 π 0 π 0 +=−= +=++= ∫ ∫∫ b. ( )∫ += 2 1 2 dx3-2xxI . ( ) 3 73xxx 3 1dx3-2xxI 2 1 23 2 1 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=+= ∫ * Phương pháp đổi biến số. Bài 2. Tính các tích phân sau: a. ( )∫ −= 2 1 5 dx12I x Đặt t=2x-1⇒dt=2dx dt 2 1dx =⇒ . ( ) 55 t12x =− . Đổi cận: x 1 2 t 1 3 ( ) 3 182t 12 1dt 2 1.tdx12xI 3 1 6 3 1 5 2 1 5 ===−= ∫∫ b. ∫= 6 0 os3xdxI π C . Đặt t=3x⇒dt=3dx dt 3 1dx =⇒ . Cos3x=Cost. Đổi cận: Trang 38 x 0 6 π t 0 2 π 3 1Sint 3 1.dt 3 1Cost.Cos3xdxI 2 π 0 2 π 0 6 π 0 ==== ∫∫ c. ∫∫ == 4 π 0 4 π 0 dx Cosx SinxtanxdxI . Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx -dtSinxdx =⇒ . t 1 Cosx 1 = Đổi cận: x 0 4 π t Cos0=1 2 2 4 πCos =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ( )2lntlndt t 1dx Cosx SinxI 2 2 1 2 2 1 4 π 0 =−=−== ∫∫ d. dx Sinx CosxCotxdxI 4 π 6 π 4 π 6 π ∫∫ == . Đặt t=Sinx⇒dt=Cosxdx dtCosxdx =⇒ . t 1 Sinx 1 = Đổi cận: x 6 π 4 π t 2 1 6 πSin =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 2 4 πSin =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ( )2lntlndt t 1dx Sinx CosxI 2 2 2 1 2 2 2 1 6 π 4 ==== ∫∫ π Trang 39 e. ∫ += 2 0 dx 3Cosx1 SinxI π . Đặt t=1+3Cosx⇒dt=-3Sinxdx dt 3 1Sinxdx −=⇒ . t 1 3Cosx1 1 =+ Đổi cận: x 0 2 π t 43Cos01 =+ 1 2 π3Cos1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ln4 3 1tln 3 1dt 3 1 t 1dx 3Cosx1 SinxI 1 4 1 4 2 π 0 =−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=+= ∫∫ f. ∫= 2 0 Sinx .Cosx.dxeI π . Đặt t=1+Sinx⇒dt=Cosxdx dtCosxdx =⇒ . tSinx ee = Đổi cận: x 0 2 π t 0Sin0 = 1 2 πSin =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1edte.Cosx.dxeI 1 0 t 2 π 0 Sinx −=== ∫∫ Bài 3. Tính các tích phân sau: a. ∫= 2 0 2xdxSinI π . J 4 πCos2x.dx 2 1dx 2 1dx 2 Cos2x1xdxSinI 2 π 0 2 π 0 2 π 0 2 π 0 2 −=−=−== ∫∫∫∫ . Với ∫= 2 π 0 Cos2xdx 2 1J . Trang 40 Đặt t=2x⇒dt=2dx dt 2 1dx =⇒ . CostCos2x = Đổi cận: x 0 2 π t 0 π 0Sint 4 1Costdt 4 1J π 0 π 0 === ∫ . Vậy 4 πI = b. ∫= 2 0 3xdxSinI π . ( )∫∫∫ −=== 2 π 0 2 2 π 0 2 2 π 0 3 .SinxdxxCos1x.SinxdxSinxdxSinI Đặt t=Cosx⇒dt=-Sinxdx -dtSinxdx =⇒ . 22 t1xCos-1 −= Đổi cận: x 0 2 π t Cos(0)=1 0 2 Cos =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛π ( ) ( ) 3 2tt 3 11)dt(t1.SinxdxxCos1I 0 1 3 0 1 2 2 π 0 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=−−=−= ∫∫ Bài 4. Tính các tích phân sau: a. 0a ,dxxaI a a 22 >−= ∫ − . Đặt x=a.Sint a.Costdtdx =⇒ . Costaxa 22 =− Đổi cận x -a a Trang 41 t 2 π− 2 π J 2 a 4 πaCos2t.dt 2 adx 2 adt 2 Cos2t1attdCosadxxaI 222 π 2 π- 22 π 2 π- 22 π 2 π 2 2 π 2 π- 22 a a 22 +=+=+==−= ∫∫∫∫∫ −− V ới 0Cos2tdtJ 2 π 2 π == ∫ − . Vậy 4 πaI 2 = b. 0a ,dx xa 1I a a 22 >−= ∫− . Đặt x=a.Sint a.Costdtdx =⇒ . Costaxa 22 =− Đổi cận x -a a t 2 π− 2 π ∫∫ ==−= − 2 π 2 π- a a 22 πdtdx xa 1I c. 0a ,dx ax 1I a 0 22 >+= ∫ . Đặt dt tCos 1a.dxa.tantx 2=⇒= . ( ) tCos 1.attan1aax 2 22222 =+=+ Đổi cận x 0 a t 0 4 π Trang 42 4a πdt a 1dx ax 1I 4 π 0 a 0 22 ==+= ∫∫ d. 0a ,dx ax 1I a a- 22 >+= ∫ . Đặt dt tCos 1a.dxa.tantx 2=⇒= . ( ) tCos 1.attan1aax 2 22222 =+=+ Đổi cận x -a a t 4 π− 4 π 2a πdt a 1dx ax 1I 4 π 4 - a a- 22 ==+= ∫∫ π * Phương pháp đồng nhất thức. Bài 5. Tính các tích phân sau: a. ∫ ++= 1 0 2 dx 23xx 1I . Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2x1x B2AxBA 2x B 1x A 2x1x 1 23xx 1 2 ++ +++=+++=++=++ Suy ra ⎩⎨ ⎧ −= =⇒⎩⎨ ⎧ =+ =+ 1B 1A 1B2A 0BA ( ) ( )2x 1 1x 1 23xx 1 2 +−+=++⇒ Vậy ( ) ( )∫∫∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+−+=++= 1 0 1 0 1 0 2 3 4lndx 2x 1dx 1x 1dx 23xx 1I b. ∫ ++= 1 0 2 dx 23xx xI . Ta có x2+3x+2=(x+1)(x+2) nên suy ra ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2x1x B2AxBA 2x B 1x A 2x1x x 23xx x 2 ++ +++=+++=++=++ Suy ra ⎩⎨ ⎧ = −=⇒⎩⎨ ⎧ =+ =+ 2B 1A 0B2A 1BA ( ) ( )2x 2 1x 1 23xx x 2 +++−=++⇒ Trang 43 Vậy ( ) ( )∫∫∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+++=++= 1 0 1 0 1 0 2 8 9lndx 2x 2dx 1x 1-dx 23xx xI c. ( )∫ += 1 0 2 dx1 xI x . -Cách 1. Đặt t=x+1 ⇒x=t-1; dx=dt Đổi cận: x 0 1 t 1 2 ( ) ∫∫∫∫ +−=−= −=+= 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 11ln2dt t 1dt t 1dt t 1tdx 1x xI . -Cách 2. ( ) ( ) ( )222 1x BABx 1x B 1x A 1x x + ++=+++=+ Suy ra ⎩⎨ ⎧ = −=⇒⎩⎨ ⎧ =+ = 1B 1A 0BA 1b ( ) ( ) ( )1x 1 1x 1 1x x 22 +++−=+⇒ ( ) ( ) 2 11ln2dx 1x 1 dx1x 1dx 1x xI 1 0 2 1 0 2 +−=+++−=+= ∫ ∫∫ * Phương pháp tích phân từng phần. Bài 6. Tính các tích phân sau: a. ∫= 1 0 x .dxx.eI . Đặt ⎩⎨ ⎧ = =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = xx ev dxdu dxedv xu 1dxex.evduu.v.dxx.eI 1 0 x1 0 x b a b a 1 0 x =−=−== ∫∫∫ b. ∫= e 1 lnx.dxI . Đặt ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =⇒⎩⎨ ⎧ = = xv dx x 1du dxdv lnxu Trang 44 1dxx.lnxvduu.vlnx.dxI e 1 e 1 b a b a e 1 =−=−== ∫∫∫ c. ∫= π 0 x.Sinx.dxI . Đặt ⎩⎨ ⎧ −= =⇒⎩⎨ ⎧ = = Cosxv dxdu Sinxdxdv xu πCosxdxx.Cosx-vduu.vx.SinxdxI π 0 π 0 b a b a π 0 =+=−== ∫∫∫ d. ∫= π 0 x .Sinx.dxeI . Đặt ⎩⎨ ⎧ = =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = xx ev Cosxdxdu dxedv Sinxu ∫∫∫∫ −=−=−== π 0 x π 0 xπ 0 x b a b a π 0 x CosxdxeCosxdxe.Sinxevduu.v.SinxdxeI Đặt ⎩⎨ ⎧ = −=⇒ ⎩⎨ ⎧ = = xx ev Sinxdxdu dxedv Cosxu I1e.SinxdxeCosxeCosxdxeI π π 0 xπ 0 x π 0 x −+=−−=−= ∫∫ Vậy ( )1e 2 1I π += e. ..dx xCos xI 4 0 2∫= π Đặt ⎩⎨ ⎧ = =⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = tanxv dxdu dx xCos 1dv xu 2 J 4 πtanxdxx.tanxvduu.v.dx xCos xI 4 π 0 4 π 0 b a b a 4 π 0 2 −=−=−== ∫∫∫ Trang 45 Tính 2lntanxdxJ 4 π 0 == ∫ . Vậy I= ( )2ln 4 π − f. ..dxxSin xI 2 3 2∫= π π Đặt ⎩⎨ ⎧ −= =⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = Cotxv dxdu dx xSin 1dv xu 2 J 9 3πCotxdxx.Cotxvduu.v.dx xSin xI 2 π 3 2 π 3 b a b a 2 π 3 2 +=+−=−== ∫∫∫ πππ Tính 2 3lnCotxdxJ 2 π 3 −== ∫ π . Vậy I= 2 3ln 9 3π − Bài 7. Tính các tích phân sau: a. ( )∫= 2 0 .Cosx.dx1-2xI π . Đặt ⎩⎨ ⎧ = =⇒⎩⎨ ⎧ = = Sinxv 2dxdu Cosxdxdv 1-2xu ( ) 3 2 πSinxdx21).Sinx-(2xvduu.v.Cosx.dx1-2xI 2 π 0 2 π 0 b a b a 2 π 0 −=+=−== ∫∫∫ b. ∫= π 0 3.Sinx.dxxI . Đặt ⎩⎨ ⎧ −= =⇒ ⎩⎨ ⎧ = = Cosxv dx3xdu Sinxdxdv xu 23 Tr