Chuyên đề Bất phương trình logarit, mũ và hệ bất phương trình logarit, mũ

< ( ) 3x 1x310 ++−+ ⇔ 0 3x 1x 1x 3x 3x 1x 1x 3x <+ ++− −⇔+ +−<− − ⇔ 0)5x)(1x)(3x)(5x(0 )3x)(1x( 1x9x 22 <−−++⇔<+− −+− ⇔ ⎢⎣ ⎡ −<<− << 5x3 5x1 143 Bài 32 Giải bất phương trình : )1x2(log)322.124( 2 xx −+− ≤ 0 (Đề Học Viện Quan Hệ Quốc Tế ) Giải )1x2(log)322.124( 2 xx −+− ≤ 0 ⇔ )82)(42( xx −− )1x2(log2 − ≤ 0 ⇔ )1x2(log)22)(22( 23x2x −−− ≤ 0 • (x – 2)(x – 3)(2x – 1 – 20 ) ≤ 0 • (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≤ 0 ⎢⎣ ⎡ ≤≤≤ 3x2 1x Bài 33 Giải bất phương trình : 2lgxlg )2x3xlg( 2 + +− > 2 (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải 2lgxlg )2x3xlg( 2 + +− > 2 ⇔ 2 x2lg )2x3xlg( 2 >+− (1) Điều kiện : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >≠ ⎢⎣ ⎡ 0x, 2 1x 1x 2x Với điều kiện đó (1) ⇔ (2) ⎩⎨ ⎧ >+− > 22 x42x3x 1x2 hoặc (3) ⎩⎨ ⎧ <+− < 22 x42x3x 1x2 (1) vô nghiệm (không thoả điều kiện ); (2) cho ta 3 111x 2 1 +−<< KL: nghiệm bất phương trình đã cho .là: 3 111x 2 1 +−<< 144 Bài 34 Cho phương trình : 3)2x(4log )2x(2)2x( 2 −=− α− . 1. Giải phương trình với α = 2 . 2. Xác định α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn : 1x 2 5 1 ≤≤ và 1x2 5 2 ≤≤ (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải 3)2x(4log )2x(2)2x( 2 −=− α− . (1) 1. Khi α = 2 : (1) ⇔ )2x(4log2)2x( −− = 4(x – 2)3 x – 2 = 1 hay x = 3 không phải là nghiệm nên lấy log2 hai vế được: (1) ⇔ 2)2x(log3)2x(log).2x(4log 222 +−=−− Điều kiện : x – 2 > 0 hay x > 2. Lúc đó (1) ⇔ [ ] 2)2x(log3)2x(log.)2x(log 2222 +−=−− ⇔ [ ]22 )2x(log − 02)2x(log2 =−−− ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ =+= =+=⇔⎢⎣ ⎡ =− −=− − 622x 2 522x 2)2x(log 1)2x(log 2 1 2 2 (thoả điều kiện ) 2. Vì x > 2 và không thể có duy nhất x = 3 là nghiệm nên 0 < x – 2 + 1 Lúc đó : (1) ⇔ [ ] )2x(log3)2x(log.)2x(log 222 −+α=−+− ⇔ [ ] 0)2x(log)2x(log 222 =α−−−− 2 5 ≤ x ≤ 4 ⇔ )2x(log1 2 −≤− ≤ 1 Như vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 mà 2 5 ≤ x1 ≤ 4 và 2 5 ≤ x2 ≤ 4 ⇔ phương trình f(t) = t2 – t α− = 0 (2) có 2 nghiệm phân biệt trong [ 1− , 1 ]. 145 ⇔ 0 4 1 4 1 0 041 0 02 1 2 11 0 0)1(f 0)1(f ≤α<−⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −>α ≤α ⇔⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >α+ ≥α− ≥α−⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤−−≤− >∆ ≥ ≥− Bài 35 Cho bất phương trình : xlog)mx(m3x)m3(x 2 1 2 −≤++− 1. Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm . 2. Giải và biện luận bất phương trình theo m . (Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải 1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng : xlog)2x(6x5x 2 1 2 −<+− ⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) xlog 2 1 ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0 * Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô nghiệm . * Nếu x > 2 ⇒ x – 2 > 0 ; x + log2x – 3 > 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm ) * Nếu 0 < x < 2 ⇒ x – 2 < 0 ; x + log2x – 3 < 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm ) Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm . 2-\ Ta có (1) ⇔ ⎩⎨ ⎧ > <−+− 0x 0)3xlogx)(mx( 2 Với x > 2 ⇒ x + xlog2 3− > 2 + 1 – 3 = 0 0 < x < 2 ⇒ x + xlog2 3− < 2 + 1 – 3 = 0 Do đó : * Nếu m ≥ 0 : bất phương trình (1) có nghiệm : 0 < x < 2 * Nếu 0 < x < 2 : (1) có nghiệm m < x < 2 * Nếu m = 2 (1) vô nghiệm (theo phần I ) * Nếu m > 2 (1 ) có nghiệm : 2 < x < m . 146 Bài 35 Giải bất phương trình : )1x(log 1 1x3x2log 1 3 12 3 1 +>+− (Đề Đại Học Kinh Tế TP HCM) Giải Điều kiện : ⎩⎨ ⎧ ≠+< ≠+−< 11x0 11x3x20 2 ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −> ⎢⎢⎣ ⎡ < > ≠ ≠ 1x 2 1x 1x 2 3x 0x ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≠ ≠< <<− 2 3x 0x x1 2 1x1 Lúc đó : )1x(log 1 1x3x2log 1 3 12 3 1 +>+− ⇔ )1x(log 1 1x3x2log 1 323 +−>+−− ⇔ )1x(log 1 1x3x2log 1 323 +<+− * 0x1 <<− : 1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0 x + 1 < 1 ⇒ log3(x + 1) < 0 Vậy (1) vô nghiệm . * 0 < x < 2 1 : 1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0 x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 Vậy (1) nghiệm dúng với 0 < x < 2 1 147 * 1 < x < 2 3 : 1x3x2 2 +− < 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0 x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 Vậy (1) nghiệm đúng với 1 < x < 2 3 * :x 2 3 +∞<< 1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0 x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0 1x3x2log 23 +− > log3(x + 1) ⇔ 1x3x2 2 +− > x + 1 1x3x2 2 +− > x2 + 2x +1 ⇔ x2 – 5x > 0 ⇔ x > 5 Kết luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x < 2 1 ; 1 < x < 2 3 ; x > 5 Bài 36 Cho bất phuơng trình : 2t 1t 2 + − ≥ t – m (1) 1. Giải bất phuơng trình khi m = 1. 2. Tìm m để bất phuơng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0. (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải 1. Bất phuơng trình có dạng : 2t 1t 2 + − ≥ t – 1 ⇔ ( t – 1 ) ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ + 1 2t 1t ≥ 0 ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −− 2t 1)1t( ≥ 0 ⇔ 2− < t ≤ 1 2. Xét bất phuơng trình : 2t 1t 2 + − t− ≥ – m (1) ⇔ 2t 1t2 + + ≤ m Đặt f (t) = 2t 1t2 + + ; t ∈ [0 ;+ ∞] ⇒ f’(t) = 2)2t( 3 + > 0 Vậy (1) đúng ∀ t ≥ 0 ⇔ m ≥ 2. 148 Bài 37 Cho bất phương trình : )mx4mx(log)1x(log1 25 2 5 ++≥++ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bát phương trình được nghiệm đúng với mọi x . (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải Ta có )mx4mx(log)1x(log1 25 2 5 ++≥++ ; Rx∈∀ ⇔ )mx4mx(log)1x(log 2525 ++≥+ ; Rx∈∀ ⇔ ⎩⎨ ⎧ >++ ++≥+ 0mx4mx mx4mx)1x(5 2 22 Rx∈∀ ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈<+ − ≥+ +− Rx,m 1x x4 m 1x 5x4x5 2 2 (*) Xét hàm số f(x) = 1x 5x4x5 2 2 + +− và g(x) = 1x x4 2 + − Ta có: f’(x) = 22 2 )1x( 4x4 + − ; g’(x) = 22 2 )1x( 4x4 + − Từ bảng biến thiên của f(x) và g(x) : Hệ (*) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 2 < m ≤ 3 * Cách giải khác : )mx4mx(log)1x(log1 25 2 5 ++≥++ ; Rx∈∀ ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈>++ ≥++ + Rx,0mx4mx 0 mx4mx )1x(5log 2 2 2 5 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈ ≥++ + Rx;0m4' 0m 1 mx4mx )1x(5 2 2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≥++ −+−− 2m 0 mx4mx )m5(x4x)m5( 2 2 Rx∈∀ ⇔ ⎩⎨ ⎧ > ≥−+−− 2m 0)m5(x4x)m5( 2 Rx∈∀ 149 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤<⇔⎢⎣ ⎡ ≥≤ < ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤−− >− 2m 3m27m 3m 5m 0m 0)m5(4 0m5 2 Bài 38 Giải bất phương trình : xlog)x(log 5 2 5 x5 + ≤ 10 (Đề Đại Học Mỏ Địa Chất ) Giải Điều kiện : x > 0 Đặt y = xlog5x ⇒ log5y = xlog25 ⇒ y = xlog255 Vậy bất phương trình có dạng : xlog 2 55 + 5 xlog25 ≤ 10 ⇔ xlog255 ≤ 5 ⇔ xlog25 ≤ 1 ⇔ 1− ≤ xlog5 ≤ 1 ⇔ 5 1 ≤ x≤ 5. Bài 39 Giải bất phương trình : 132 2 x x +< (Đề Đại Học Ngoại Thương) Giải 132 2 x x +< ⇔ 1 < xx 2 1 2 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ (1) Đặt f(x) = xx 2 1 2 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ thì f(x) nghịch biến trên R . Mà f(2) = 1 nên (1) ⇔ f(2) < f(x) ⇔ x < 2 . Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2 . 150 Bài 40 Tìm tất cả các số x thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau : )x3(logx5log 3 1 3 1 −<− (Đề Đại Học Sư Phạm Hà Nội ) Giải )x3(logx5log 3 1 3 1 −<− ⇔ 0 < 3 – x < x5 − ⇔ ⎩⎨ ⎧ <<<⇔⎩⎨ ⎧ −<− < 4x1 3x x5)x3( 3x 2 ⇔ 1 < x < 3 Như vậy : 3 1x; 3 13 3 1x 3 4 ++<+< nguyên ⇔ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇔ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ 3 8x 3 5x 3 3 1x 2 3 1x Tóm lại : x = 3 5 hoặc x = 3 8 . Bài 41 Giải bất phương trình : )x3(log )8x9x(log 2 2 2 − +− < 2 (Đề Đại Học Tổng Hợp (KHTN) TP HCM ) Giải Điều kiện : ⎩⎨ ⎧ >+− >−≠ 08x9x 0)x3(1 2 ⇔ x < 1 Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0 Phương trình đã cho ⇔ 8x9x(log 22 +− ) < 2log2 (3 – x) ⇔ x2 –9x +8 3 1− . Đáp số : 3 1− . < x < 1 . 151 Bài 42 Cho bất phương trình 1xax)2a( +≥−+ (1) 1. Giải bất phương trình (1) khi a = 1 2. Tìm tất cả giá trị a để (1) có nghiệm x thoả điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 . (Đề Đại Học Kỹ Thuật TP HCM ) Giải 1. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= ≤⇔−= x3sin3x3sin321x3cos 3 3x3sinx3sin31x3cos 22 ⇔ 0x3sin 0x3sin32x3sin4 3 3x3sin 2 =⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− ≤ ⇔ 3x = k )Zk( 3 kx ∈π=⇔π 2. Phương trình : )x3(log )x9(log 2 3 2 − − = 3 (1) điều kiện : ⎩⎨ ⎧ ≠ < 2x 9x 3 (1) ⇒ 23 )x3(x9 −=− ⇔ 9x2 –27x + 18 = 0 ⇒ ⎢⎣ ⎡ == )loai(2x 1x ⇔ x = 1 Vậy m cần tìm là nghiệm của : ( ) ( ) 22m212 mm =−++ ⇔ 22 y 1y =+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ >+= 0)12(y 2 m ⇔ 01y22y2 =+− ⇔ ⎢⎣ ⎡ −==⇔⎢⎣ ⎡ −= += 2m 2m 12y 12y 152 Bài 43 a) Giải bất phương trình : xxxx 993.8 1 44 ≥+ ++ (1) b) Tìm các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình trên cũng là nghiệm của bất phương trình sau : 1 + log5(x2 + 1) + 5 1log (x 2 + 4x + 2m) > 0 (2) (Đại học tài chính kế toán Hà Nội , năm 1998 – 1999) Giải a) Điều kiện x ≥ 0 Ta có : (1) ⇔ xxxx 222 333.8 44 ≥+ ++ ⇔ 13.93.8 )(2 44 ≥+ −− xxxx ⇔ ( ) 013.839 44 2 ≥−+ −− xxxx Đặt t = ( )xx−43 .Thay vào bất phương trình trên ta được 9t2 + 8t –1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 9 1 (do t > 0) Do đó ta có : ( )xx−43 ≥ 9 1 = 3-2 ⇔ xx −4 ≥ -2 ⇔ ( )( ) 021 44 ≤−+ xx ⇔ 4 x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 0 ≤ x ≤ 16 b) Giải bất phương trình (2) Điều kiện : ⎩⎨ ⎧ ≠< >+ 10 043 x x ⇔ 0 < x ≠ 1 (1) ⇔ 1 log 1.43log 5 5 >+ xx Ta xét các trường hợp sau : • 0 < x < 1 : Lúc đó log5x < 0 (2) ⇔ xx 55 log43log <+ ⇔ xx <+ 43 ⇔ 3x + 4 0 vô nghiệm (do 0 < x < 1) • x > 1 :Lúc đó 0log5 >x (2) ⇔ xx 55 log43log >+ ⇔ xx >+ 43 ⇔ 3x + 4 > x2 153 ⇔ x2 – 3x – 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4 Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 < x < 4 Bài 44 Tìm m để mọi nghiệm của (2) là nghiệm của bất phương trình : ( ) ( ) 024log1log1 2 5 1 2 5 >+++++ mxxx (3) Giải (3) ⇔ ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ −>++−+ >++ 124log1log 024 2 5 2 5 2 mxxx mxx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++ + >++ 5 1log 24 1log 024 52 2 5 2 mxx x mxx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++ + >++ 5 1 24 1 024 2 2 2 mxx x mxx ⇔ ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ >−+− >++ 02544 024 2 2 mxx mxx Do đó ta có : Mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3) ⇔ ( ) 2 2 4 2 0 4 4 5 2 0 x x m x x m ⎧ + + >⎪⎨ − + − >⎪⎩ ∀x ∈ (1 ; 4) (4) Vì f(x) = x2 + 4x + 2m cò f’(x) = 2x + 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] Và g(x) = 4x2 – 4x + (5 – 2m) có g’(x) = 8x – 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] Nên f(x) và g(x) tăng ngặt trên [1 , 4] ⇒ (4) ⇔ ( )( )⎩⎨ ⎧ ≥−= ≥+= 0251 0251 mg mf ⇔ 2 5 2 5 ≤≤− m Vậy với m ∈ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2 5; 2 5 , mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3). 154 Bài 45 Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0 a) Giải bất phương trình trên khi m = 2 b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ? (Đại học Văn Lang , năm 1998) Giải Với m = 2 thì bất phương trình ⇔ 9x – 10.6x + 6.4x > 0 ⇔ 06 2 310 2 3 2 >+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ xx Đặt t = x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 3 > 0 ⇒ t2 – 10t + 6 > 0 ⇒ t1 = 195 − và t2 = 195 + ⇒ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +>⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −<⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 195 2 3 195 2 3 x x ⇒ ( ) ( )⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +> −< 195log 195log 2 3 2 3 x x Vậy : x < ( ) 195log 2 3 − hay x > ( )195log 2 3 + b) Đặt t = x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 3 > 0 và thay vào bất phương trình ta được : f(t) = t2 – 5mt + 3m > 0 ∀t > 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤ ≥⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤=− ≥ <<⇔<−=∆ 0 05 03 0 2 5 2 00 : 25 12001225: 2 m m m m a b f II mmmI Hợp (1) và (2) ta có : 0 < m < 25 12 155 Bài 45 Giải bất phương trình ( ) ( ) 3113 310310 ++−− −<+ xxxx (Đại học Giao thông vận tải , năm 1998) Giải Bất phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) 3113 310310 ++−− −<+ xxxx Điều kiện : ⎩⎨ ⎧ ≠+ ≠− 03 01 x x ⇔ ⎩⎨ ⎧ −≠ ≠ 3 1 x x Vì ( )( ) 1310310 =−+ nên 310 − = ( ) 1310 −+ Do đó : (2) ⇔ ( ) ( ) 3113 310310 ++−−− +<+ xxxx ⇔ 3 1 1 3 + +−<− − x x x x (vì 310 + > 1) ⇔ 0 3 1 1 3 <+ ++− − x x x x ⇔ ( )( ) 031 102 2 <+− − xx x ⇔ -3 < x < 5− hay 1 < x < 5 Bài 46 Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m là tham số thực .Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng ∀x (Đại học Mỏ – Địa chất , năm 1998) Giải 9x – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x)2 – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x + 1)(3x – 2m – 3) > 0 ⇔ 3x – 2m – 3 > 0 ⇔ 3x > 2m + 3 Do đó bất phương trình (1) luôn luôn đúng với mọi số x khi và chỉ khi 2m + 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 3− Vậy m ≤ 2 3− là các giá trị cần tìm của m. 156 Bài 47 Giải bất phương trình : 1 2x 2x3logx >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + Giải 1 2x 2x3logx >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + ĐK : ⎩⎨ ⎧ ≠ > 1x 0x • Nếu x > 1 , BPT ⇔ x 2x 2x3 >+ + ⇔ 3x + 2 > x2 + 2x ⇔ x2 – x – 2 < 0 ⇔ 2x1 1x 2x1 <<⇔⎭⎬ ⎫ > <<− • Nếu 0 < x < 1 , BPT ⇔ x 2x 2x3 <+ + Do x > 0 ⇔ 3x + 2 0 ⇔ ⎢⎣ ⎡ > −< )loai(2x )loai(1x Đáp số : 1 < x < 2 Chú thích : có thể giải bằng cách dẫn tới : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ +− > 0x 2x 2x3)1x( 0x Bài 48 Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 : 0)53()53)(1a2(2a xx1x <++−+++ Giải Đặt t = x 2 53 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + , do x ≤ 0 ⇒ 0 < t ≤ 1 . ta có : 157 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 53 2 53 = 1 . Vậy ta có BPT : t2 + 2at + 2a + 1 < 0. Vậy ta có f(t) = t2 + 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t ( ]1;0∈ ⇔ ⎩⎨ ⎧ < ≤ 0)1(f 0)0(f ⇔ a < 2 1− . Bài 49 Giải bất phương trình : 06xlog)5x2(xlog)1x( 2 1 2 2 1 ≥++++ Giải TXĐ : x > 0 06xlog)5x2(xlog)1x( 2 1 2 2 1 ≥++++ ⇔ 06xlog)5x2(xlog)1x( 222 ≥++−+ (3) Coi (3) là bậc hai đối với t = log 2x ∆ = (2x + 5)2 – 4.6(x + 1) = 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2 t1 , t2 = )1x(2 )1x2(5x2 + −±+ ⇒ t1 = 2 , t2 = 1x 3 + Để biết vị trí của t1 và t2 ta cần biết dấu của hiệu số của chúng . Do đó ⇒ • Xét hiệu t1 – t2 = 1x 1x2 1x 32 + −=+− (x > 0) Nếu 0 < x ≤ 2 1 thì t1 ≤ t2 và BPT (3) dẫn tới ⎢⎢⎣ ⎡ +≥ ≤ ⇔⎢⎣ ⎡ ≥= ≤= 1x 3xlog 2xlog txlogt txlogt 2 2 22 12 )5( )4( Khi 0 < x ≤ 2 1 thì (4) thoả , (5) vô nghiệm . Suy ra 0 < x ≤ 2 1 là nghiệm của (3) . 158 Nếu x > 2 1 thì t1 > t2 và BPT (3) dẫn tới : ⎢⎢⎣ ⎡ ≥ ≤<⇔⎢⎢⎣ ⎡ ≥ +≤⇔⎢⎣ ⎡ ≥= ≤= 4x 2x 2 1 2xlog 1x 3xlog txlogt txlogt 2 2 12 22 Kết luận : toàn bộ nghiệm của (3) là : Bài 50 Giải và biện luận bất phương trình : 2log 2 1xloglogxloglog aaaaa 22 ≥+ Giải a phải thoả điều kiện 0 < a ≠ 1. Ta có : 2log 2 1xloglogxloglog aaaaa 22 ≥+ ⇔ 2log 2 1xloglog 2 1xlog 2 1log aaaaa ≥+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⇔ 2log 2 1xloglog 2 1xloglog 2 1log aaaaaa ≥++ ⇔ 2logxloglog2log 2 3xloglog 2 3 aaaaaa ≥⇔≥ (1) Nếu 0 < a < 1 : (1) ⇔ 0 < logax < 2 ⇔ a2 ≤ x < 1 Nếu a > 1 : (1) ⇔ logax ≥ 2 ⇔ x ≥ a2 Bài 51 Tìm tất cả các giá trị x thoả mãn x > 1 nghiệm đúng các bất phương trình sau : 1)1mx(log m )xx(2 2 <−++ với mọi giá trị của m : 0 < m ≤4 Giải Do x > 1 và 0 < m ≤ 4 nên 1 m )xx(2 2 >+ . Vậy : 159 1)1mx(log m )xx(2 2 <−++ ⇔ (x + m – 1) < m )xx(2 2 + ⇔ f(m) = m2 + m(x – 1) – 2(x2+ x) < 0 (1) Để (1) thoả mãn với mọi m ( ]4;0∈ đồ thị của f(m) có 1 trường hợp (hình vẽ) và điều kiện là : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <−−−= >⇔≤+−= > 0)6xx(2)4(f.1 3x0)xx(2)0(f.1 1x 2 2 Bài 52 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : a.9x + (a – 1).3x+2 + a – 1 > 0 nghiệm đúng vơí mọi x . Giải Đặt 3x = t > 0 , bất phương trình đã cho tương đương với : f(t) = at2 + 9(a – 1)t + a – 1 > 0 (2) BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x khi bpt (2) phải nghiệm đúng với mọi t > 0 Với a = 0 : (2) ⇔ -9t – 1 > 0 ⇔ t < 9 1− ⇒ a = 0 loại Với a ≠ 0 : Đồ thị vế trái của (2) có 2 dạng chấp nhận được TH1: điều kiện : ⎩⎨ ⎧ <−−−=∆ > 0)1a(a4)1a(81 0a 2 ⇔ 1 < a < 77 81 TH2 : điều kiện : ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤−−= ≥−= ≥−−=∆ > 0 a2 )1a(9 2 S 0)1a(a)0(f.a 0)81a77)(1a( 0a ⇔ a = 1 hoặc a ≥ 77 81 Kết luận : a ≥ 1. 160 Bài 53 Giải bất phương trình : 1 x x 2 2x 1 0 2 1 − − + ≤− Giải Điều kiện tồn tại phương trình là x2 1 x 0 ≠ ⇔ ≠ Đặt f(x) 1 x x 2 2x 1. 2 1 − − += − Vậy f xác định và liên tục trên R \ {0} 1 xf (x) 0 2 2x 1 0 (x 0) 2x 1 (x 0) (1)1-x 2 −= ⇔ − + = ≠ ⇔ = − ≠ Đặt u 1 x x 1 u (u 1) = − ⇔ = − ≠ (1) u2 2(1 u) 1 2u 1⇔ = − − = − + Phương trình này có nghiệm duy nhất là u = 0 hay x = 1 1 2f ( ) 0 2 2 1 = >− f ( 1) 14 0− = − < 5f (2) 0 6 = − < x -∞ -1 0 ½ 1 2 +∞ f(x) - || + 0 - Vậy : Tập nghiệm của BPT f (x) 0≤ là [ )( ; 0) 1; −∞ ∪ ∞ 161 C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Cho bất phương trình : log2 (7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m) , Với những giá trị của m thì phương trình trên luôn đúng ∀x. (Đại Học An Ninh Hà Nội khối C) 2. Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau : loga(26 – x2) ≥ 2 loga (4 – x) ,trong đó a > 0 , ≠ 1 (Học viện Kỹ Thuật Mật Mã ) 3. 1) Tìm miền xác định của hàm số : y = ( ) ;x42x3xlog 23 −++− 2) Cho : f1(x) = x2 - (2m + 1)x + m2 + m ; f2(x) = x2 – mx – 3m –1 Tìm nghiệm của phương trình f1(x) = 0 .Xác định m để cả hai nghiệm ấy đều là nghiệm của phương trình f2(x) ≥ 0 . (Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội) 4. Giải bất phương trình : 2 1x 4x24x ≤− −+ 162 BÀI TẬP THAM KHẢO TỪ DỄ ĐẾN KHÓ CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG – MŨ 1. 1) x5 3125;> 2) 4x2 16;< 3) x(1/ 0,125) 128;≤ 4) x(1/ 64) 1/ 8;> 5) x 645 625;≥ 6) 4 x512 16 / 2 0;− ≥ 3(x 7) / 0,2 x 1/ 217) 4 (0,25.81) ; 2 − −⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠ 8) 4 x 1 x 3(2,56) (125 / 512) ;− −< 9) 2 x 5 5 x 1(3, 24) (5 / 9) ;− +≥ 10) 54(x 1) x 1004 16 0;+ +− ≤ 59049≥x511) 9 12) x74 16384;< x 40,015625.4 ;+≥13) 2 x+4 14) x x 3 x3 (0, (3)) (1/ 27) ;− ≤ 15) x 0,5 x(0, 2) / 5 5(0,04) ;+ > 16) x 392(1/ 8, (3)) 0,00020736;− > 17) x3 5(0, (6)) 1,5.< 2. 1) x7 343;> 2) x 5 23 3 3; − ≥ 3) 2 2x x 2(3 / 2) (8 / 27) ;− −≤ 4) 42 / 3 3x 127 9 ;− −< 5) 2x 35 515 ; 2 8 −⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠ 6) x 1 6x 5(0,04) 625 ;− −≤ 7) ( ) x2x 30,125.4 0,25 / 2 ;−− > 8) ( )x1/ 6561 27;≥ 9) 3x7 343;≤ 10) 3x15 3375;> 11) ( )( )x4 23 3;≥ 12) ( ) x 33/ 90,25 x 170,6 4 ;27 −− ⎛ ⎞> ⎜ ⎟⎝ ⎠ 13) ( ) ( )x 1 4 x 12,56 5 / 8 ;− +≥ 14) ( )( )2x 50,1 6 0,25 324;− ≤ 15) ( ) ( ) ( ) 15 / 4 x 10 2 x 22 0,5 16 ;−+ +≥ 16) 0,00(5)x11 1/1331;− > 163 17) 6 x27 (0, (3)) .−> 3. 1) 6 2x x 1 13 0; 3 243 ⎛ ⎞ − <⎜ ⎟⎝ ⎠ 2) 20,5x 5,5x 12,875 84 4;− − > 3) 2x 17x 63,53 27 3;− + ≤ 4) 12x 6x 35 335 625 25; − − ≥ 5) 210 x 14,5x2 1/ 8;− < 6) 2x 15 15 12 12x6 / 2 3 / 6 ;− − −≤ 7) 2x x 12 3(0,6) (25 / 9) (27 /125) 0;− − 9) x 1 x 1/ x3 6 12 4 (0,125) 4 ; 2 − > 10) x /(x x ) ( x 1) / x5 25 0;− −− ≤ 11) x 1 5 x / 42 16 (0,25) 0;+ −− ≥ 12) x 8 (x 8) / x 864.3 6 0;− − −− ≥ 13) x 3 1/(2 x ) 1/( x 1)2(2 ) 16 0;+ −− > 14) 3 (3x 1) /(x 1) (x 3) /(3x 7)3 27 0;− − − −− ≤ 15) 2x 2x 10 x2 ( 33 128 1) .+ − ≥ + − 4. 1) 2x x2 / 4 8; 3) 2x 6x 0,5 12 (16 2) ;− + −≤ 4) 2x 16x 37,5(0, 2) 5 5;− + ≤ 5) 5 x 1/ x x 4(5 ) 5 0;−− ≥ 6) (2x 1) / x 2x 127 9 0;− −− ≤ 7) 2 2x 3 x 3 x 1 32 5 0,01(10 ) 0;− − −− 9) 2x 4 4x12 /144 1/1728 0;+ − < 10) (x 2) / x 2 472 64(0, (3)) 0;+ + − ≥ 11) 2 5x 1 5x 1(0, 25) 4.2 0;− + +− ≤ 12) 5x ( 5x 1) /( 5x 1)10 1000 10 0;− + − − > 13) 3 5x 1/ x 92 2 16 8 0;− − ≥ 14) 1/(8x) x 7 / 2 1/ x516 (0,5) 4 0;−− ≤ 15) 2x 6x 4 x3( 2) ( 3 8 1) 0.− − − + − ≥ 164 5. 1) x 3 3 x5 7 ;− −≥ 2) x 7 7 x11 17 ;− −< 3) 2x 4 3x 4x 415 3 5 0;+ −− ≤ 4) 2(2x 5) 2(3x 1) 5x 63 5 15 0;+ + +− > 5) x x /(x 1)5 8 100 0;+ − ≥ 6) x 2 x3 3 72 0;+ − − > 7) x x 42 2 15 0;−− − < 8) x 2 x 32 5.2 27648;+ −− ≥ 9) 2 x 2 x 1 2 x 23 3 3 11;− −+ − ≤ 10) x 10 x 9 x 11 x 123 2 3 2 0;− − − −− − − > 11) 3 x 2(x 1) 19 3 738. ; 81 + ++ ≥ 12) 5x 1 5x 2 5x 32 2 2 896 0;− − −+ + − < 13) 2x 1 x 2x 2x 25 2 5 2 0;− ++ − + > 14) 2x x 2x x5 7 35.5 35.7 0;− − + ≤ 15) 2x 6 x 2 x 5 1 0,5x7 49 2 2(0,25) 0;+ + + − +− − + > 16) 3x 3x 1 3x 2 3(x 1)2 2 2 2 120 0;− − −+ + + − < 17) x x 1 x 2 x 1 x 33 2 2 3 2 0.− + − −+ − − + ≥ 6. 1) 3x 2 x 2 / 32 5 ;− −≥ 2) x 3 2x 68 3 ;− −< 3) 3x 2x 3x1 6 2 3 0; 8 − ≤ 4) 2x 4 3x x 86 3 2 0;+ +− > 5) x (x 1) / x5 8 500 0;− − ≤ 6) x 3 x2 2 112 0;+ − − > 7) 2x 3 2x3 3 30 0;+ + − < 8) x x 27.5 5 450;+− ≥ − 9) x 4x 2x 22.16 2 4 15;−− − ≤ 10) x x 0,5 2x 1 x 0,54 3 2 3 0;− − +− + − > 11) x x 15.2 3.2 56;−− ≤ 12) 4x 3 4x 1 4x 15 4.5 85 24505 0;− − +− + − < 13) x 3 x 4 x 5 x 35 5 16.5 2 0;− − − −− − − > 14) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 9 0; 3 2 + + ++ − + ≤ 15) 1 x 1 x 2x 3 2x 31 1 11 13 0; 121 169 − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 16) 12x 1 6x 1 4x 1 3x 12 4 8 16 1280 0;− + − −− + − − < 17) x 2 x 1 x 2 x 3 x 45 5 5.5 5.5 5.5 18645.+ + − − −+ − + − ≥ 165 7. 1) x 1 x3 18.3 29;+ −+ > 2) x (x 3) / 22 2 15.2 ;−− < 3) 2x 1 x 15 5 250;− ++ ≥ 4) x 1 x2 4 80;+ + ≤ 5) x 2 x 13 9 810 0;+ ++ − > 6) log 7.log 5x x 5 74 9.2 8 0;− + < 7) 2 log 5x 0,5(x 3) 32 3.2 3 19;+−− ≥ − 8) 3x 3x x x 12 8 / 2 6(2 1/ 2 ) 1;−− − − ≤ 9) 2(x 2) 2(4 x)9.5 4.5 325 0;− −+ − > 10) 3x x x x32 8 3.2 15 3.2 0; 8 − −+ + − + < 11) log 9 log 162x 1 x 125 255 5 125 5 0,2;− −− ≥ 12) log 322 / x (3x 3) / x lg 7 24358 2 100 .81 ; 16 +− + > − 13) 2 2 log 3 log 4log 4 log 21 x 1 x 7 49144 125 5 (12 )(7 );+++ −− < 14) 2 log 2764x 2x x 18 3 252 2(0,5) (0,5) (log 625)64 0;− − − ≤ 15) x 3x x x27 8(0, (3)) 6.3 12.3 343/ 27;−− − + ≥ 16) 2x 1 x 2x 12 5.6 3 0;+ +− + ≤ 17) x x x / 22.7 3.2 43 / 7.14 ;− > 18) x x x3.16 2.81 5.36 0.+ − < 8. 1) 2x 3 x 25 2.5 3;− −− > 2) 2x 4 8 2x9.5 4.5 325;− −+ < 3) x 1 x 22.3 5.9 81;+ −− ≥ 4) x x5.3 3456 / 3 7;− ≤ 5) 4x x2 50.4 896 0;− − > 6) x x49 6.7 5 0;− + < 7) x x5 125 / 5 30 0;+ − ≤ 8) x x / 43.( 2) 7.2 20 0;− − ≥ 9) xx 0,52 5.2 24;− < 10) x 1 x 0,5 lg 0,375 101/164 10(log 1/ 4) 9.10 ;− −− ≥ 11) 0,(6) 0,(3) log 7;x x 105 10 2( 3) ( 3) 3(0,125)− −−+ > 12) 3 3 3 3x 17 x 16 x 17 x 163.4 7.2 2 0;+ − + + − +− + ≥ 13) 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6;+ − − + −− < 14) 2 2 2 log 27 log 2 log 3x 1 x 3 9 3 279 36.3 3 3 3;− +− −− + ≥ 166 15) x 1 x 1 x 2 x 23 15 / 3 3 23/ 3 0;− − − −− + − ≤ 16) 1/ x 1/ x 1/ x4 6 9 ;− − −+ > 17) x x x3.4 2.9 5.6 0;+ − < 18) x x x2.25 5.10 2.4 0.− + ≥ 9. 1) x 149(0,13) 0,002197 0;− − > 2) 6 x27 (0, (3)) 0;−− ≥ 3) 20,01x 0,06x 2,53 81 3;− − ≤ 4) x 3x 55 125 0;− − − < 5) x 3 1/(2 x ) 2 /( x 1) 10(3.(3 ) ) 3 / 3;+ − ≤ 6) x 1/(68 x)1152 (0,5) 2 0;− −− < 7) 1/(2(1 x)(2,5x 9,5)) 1/((6 2x)(x 1)3.3 9 0;− + − −− ≥ 8) 9(x 2) 2x 1 3x12 (17 / 25) 36 216 (25 /17) 0;+ − −− > 9) 3x 7 7x 33 1 0; 7 3 − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10) x 3 2 x (4 x) / 23 (0, (3)) (0, (1)) 99 0;− − −+ − − < 11) 520 0,5x x 355 (0, (1)) 2 3 21 0;− −+ − ≤ 12) 4x 1 4x 2 4x 33 3 3 9620 0;+ + ++ + − < 13) 1 x 2x 4x 3 5 181 7.9 5.3 8 0; 27 243 −− ⎛ ⎞− + − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 14) x x 1 x 2 x x 1 x 23 3 3 7 7 7 0;+ + + ++ + − − − ≥ 15) x x 3 3x27 12.3 48.3 64(0, (3)) 125 / 27 0;−− + − − > 16) 1/ x 1/ x 1/ x9 6 4 0.+ − ≥ 10. 1) 3 23 55 x / x 2,6 4 0;2 2 8+ >− 2) 2x 22x 1183 0, (1) 0;− + − ≤ 3) x /( x 1) (2 x x) /(2(1 x ))3 (1/ 3) 27 3 0;+ + + + − < 4) 3(x 3) /(3x 7) (3x 1) /(x 1)125 (0,04) 1 0;− − − − − ≥ 5) x /( x 2) 4 /( x 2) x 4 x 25 (0,2) 125 (0, 4) 0;+ + − −− > 6) 61/ x 1/ x x 1/(12x) x 1/(3x)(3 2) 4 (16.3 ) (6 2 ) 0;− ≥ 7) 2x 3 1 x5 11 0;− −− ≤ 167 8) x 2 0,(3)x 1 0,5x 22 8 4 10 0;− − −+ − − > 9) 2x 3 x 1 0,(6)x3 9 27 675 0;− −− + − ≥ 10) x x 1 x 29.16 64.16 256.16 384 0;− −+ − − > 11) 2 2 2 2x 1 x x 1 x 22 3 3 2 0;− − +− − + ≥ 12) 4x 4x 1 4x 2 4x 4x 1 4x 22 2 2 5 5 5 0;− − − −+ + − − − ≤ 13) x x x x8 9.2 27.2 27.8 6859 / 64 0;− −+ + + − < 14) 2x 4 x x 2x 29 45.6 45.6 9.2 0;+ ++ + − ≤ 15) x x x4 6 9 0;+ − ≤ 16) 2 / x 1/ x 1/ x10 25 4,25.50 .+ ≥ 11. 1. 1) (2x