Chuyên đề Đạo hàm và hàm số

Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 1 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Phaàn I. ÑAÏO HAØM 1. Ñònh nghóa ñaïo haøm : Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân (a;b) vaø x0∈(a;b). a) f’(x0) = x )x(f)xx(flim x ylim 00 0x0x ∆ −∆+ = ∆ ∆ →∆→∆ laø ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x0. b) f’(x0+) = x ylim 0x ∆ ∆ +→∆ laø ñaïo haøm beân phaûi cuûa f(x) taïi x0. c) f’(x0−) = x ylim 0x ∆ ∆ −→∆ laø ñaïo haøm beân traùi cuûa f(x) taïi x0. Söï coù ñaïo haøm: f’(x0+) = f’(x0−) = A ⇔ f’(x0) = A d) f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⇔ f(x) coù ñaïo haøm taïi ∀x0∈(a;b). e) f(x) coù ñaïo haøm treân [a;b] ⇔    ∃ ∃ − + )(bf' )(af' b)(a; treân haømñaïo coù )x(f 2. Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi x ∈ (a;b) ⊂ D (Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá): • Cho x soá gia ∆x, tìm ∆y = f(x+∆x) − f(x). • Laäp tyû soá x y ∆ ∆ . • Tìm )x('fx ylim 0x = ∆ ∆ →∆ , neáu giôùi haïn toàn taïi. 3. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong phaúng (C): y = f(x): A. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán cuûa (C): y = f (x) taïi tieáp ñieåm M0(x0;y0) laø k = f’(x0). B. Phöông trình tieáp tuyeán: Cuûa (C): y = f(x) taïi M0(x0;y0) coù daïng: y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1). Vieát ñöôïc (1) laø phaûi tìm x0; y0 vaø f’(x0). 4. Baûng quy taéc tính ñaïo haøm: Cho u,v,w...laø caùc haøm soá coù bieán soá x, laàn löôït coù ñaïo haøm theo x laø u’,v’,w’....Ta coù: 1) (u ± v)’ = u’ ± v’. Môû roäng :(u ± v ± w)’ = u’ ± v’± w’. 2) (u.v)’ = u’v+u v’. Heä quaû : (ku)’ = k.u’ , k: haèng soá. 3) ( v u )’ = 2v v' uvu' − . Heä quaû : ( v k )’ = 2v kv' − , v≠0, k: haèng soá. 4) (y[u(x)])’ = y’u.u’x ( ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp ) Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 2 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät 5. Baûøng caùc ñaïo haøm : Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá hôïp (C)’ = 0 vôùi C laø haèng soá (x)’ = 1 (x α )’ = αxα − 1 ( x 1 )’ = 2x 1 − (x≠0) ( x )’ = x2 1 (x>0) (u α )’ = αuα − 1.u’ ( u 1 )’ = − 2u 'u ( u )’ = u2 'u (sinx)’ = cosx (cosx)’ = − sinx xcos 1)'tgx( 2 = = 1+tg2x (x ≠ Z k,k 2 ∈pi+ pi ) xsin 1)'gx(cot 2 −= = − (1+cotg2x) (x ≠ Z k,k ∈pi ) (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = − u’.sinu )utg1('u ucos 'u)'tgu( 2 2 +== )ugcot1('u usin 'u)'gu(cot 2 2 +−=−= (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna (0<a ≠1) (eu)’ = u’.eu (au)’ = u’.au.lna (ln|x|)’ = x 1 ( x≠0) (loga|x|)’ = alnx 1 (0<a ≠1, x≠0) (ln|u|)’ = u 'u (loga|u|)’ = alnu 'u 6. Ñaïo haøm caáp cao – vi phaân : a) Ñaïo haøm cuûa ñaïo haøm caáp n − 1 cuûa haøm soá f(x), neáu coù, laø ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá f(x). Kyù hieäu : [f (n − 1)(x)]’ = f (n)(x) = y(n)(x) b) Giaû thieát y = f(x) coù ñaïo haøm trong khoaûng (a;b). Vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x baát kyø thuoäc khoaûng (a;b) laø : dy = f’(x).dx. c) Tính gaàn ñuùng: f(x0+∆x) ≈ f(x0) + f ’(x0).∆x Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 3 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Phaàn II. ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM I.SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN VAØ NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ 1) Kieán thöùc lôùp 10 : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x1 < x2 vôùi x1,x2∈(a;b) a) Neáu f(x1) < f(x2) thì f(x) ñoàng bieán treân khoaûng (a;b). b) Neáu f(x1) > f(x2) thì f(x) nghòch bieán treân khoaûng (a;b). 2) Ñònh lyù LaGraêng: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) thì toàn taïi moät ñieåm c∈(a;b) sao cho : f(b) − f(a) = f’(c)(b − a) hay ab )a(f)b(f)c('f − − = 3) Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu : a) Ñònh lyù 2 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) . 1. Neáu f’(x) > 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân khoaûng ñoù. 2. Neáu f’(x) < 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân khoaûng ñoù. b) Ñònh lyù 3 (Môû roäng ñònh lyù 2) : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) . Neáu f’(x) ≥ 0 (hoaëc f’(x) ≤ 0) vôùi ∀x∈(a;b) vaø f’(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm treân khoaûng (a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán ( hoaëc nghòch bieán ) treân khoaûng ñoù. Toùm taét: Baûng bieán thieân Haøm soá ñoàng bieán treân (a;b) Haøm soá nghòch bieán treân (a;b) 4) Ñieåm tôùi haïn : a) Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b). Ñieåm x0 ñöôïc goïi laø 1 ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá y = f(x) neáu taïi x 0 ñaïo haøm f’(x) khoâng xaùc ñònh hoaëc baèng 0. b) Tính chaát : Ñoái vôùi caùc haøm soá sô caáp (Toång, hieäu, tích, thöông, haøm soá hôïp cuûa moät soá caùc haøm soá sô caáp cô baûn): Neáu f’(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø x1; x2 (x1<x2) laø hai ñieåm tôùi haïn keà nhau thuoäc khoaûng (a;b) thì treân khoaûng (x1; x2) ñaïo haøm f’(x) giöõ nguyeân daáu. 5) Caùch tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x): a) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá y = f(x). b) Tìm f’(x) vaø tìm caùc ñieåm xi∈ D (i = 1,…,n) (caùc ñieåm tôùi haïn cuûa f(x)). Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 4 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät c) Laäp baûng bieán thieân, xeùt daáu cuûa f’(x) treân töøng khoaûng xaùc ñònh bôûi caùc ñieåm tôùi haïn vaø döïa vaøo ñònh lyù 2, 3 ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x) treân khoaûng xaùc ñònh D cuûa noù. II.CÖÏC DAÏI VAØ CÖÏC TIEÅU 1. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a; b) vaø ñieåm x0∈(a; b); coù ñoà thò (C). a) V(δ) = (x0−δ; x0+δ) vôùi δ>0 laø moät laân caän cuûa ñieåm x0. b) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) < f(x0) thì x0 laø 1 moät ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), coøn ñieåm M0(x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C). c) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) > f(x0) thì x0 laø 1 moät ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), coøn ñieåm M0 (x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C): y = f(x) Ñieåm cöïc tieåu cuûa (C) : y = f(x) d) Caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñöôïc goïi chung laø caùc ñieåm cöïc trò. Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò goïi laø cöïc trò cuûa haøm soá ñaõ cho. 2.Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò : a) Ñònh lyù Fermat : Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f’(x0) = 0. YÙ nghóa hình hoïc : Taïi ñieåm cöïc trò x0 , neáu f(x) coù ñaïo haøm thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò laø song song hoaëc truøng (cuøng phöông) vôùi Ox. b) Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn cuûa noù. 3. Caùc daáu hieäu ( ñieàu kieän ñuû ) ñeå haøm soá coù cöïc trò : a) Daáu hieäu 1: Neáu ñi qua ñieåm x0 maø f’(x) ñoåi daáu thì x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y=f(x). Cuï theå : Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 5 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät b) Daáu hieäu 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp 2 taïi x0 vaø f’(x0)=0 vaø f’’(x0)≠0 thì x0 laø moät ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x). Cuï theå :   > = 0)x(''f 0)(x' f 0 0 ⇒ x0 laø ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x)   < = 0)x(''f 0)(x' f 0 0 ⇒ x0 laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x) 4. Caùc quy taéc tìm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) : Quy taéc I Quy taéc II Phöông phaùp: • Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá • Tìm f’(x) vaø tìm caùc ñieåm tôùi haïn x0∈ D. • Xeùt daáu cuûa f’(x) treân baûng bieán thieân. • Döïa vaøo daáu hieäu I suy ra caùc ñieåm cöïc trò. Phöông phaùp: • Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá • Tính f’(x) vaø giaûi phöông trình f’(x)= 0 ñeå tìm caùc nghieäm x i (i=1,2….) • Tính f’’(x) • Töø daáu cuûa f’’(xi), döïa vaøo daáu hieäu II, suy ra tính chaát cöïc trò cuûa f(x). 5. Moät soá vaán ñeà coù lieân quan ñeán cöïc trò : • Ñöôøng thaúng ñi qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0 vaø b2−3ac>0) ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc : o Tìm y’. Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò ⇔ a≠0 vaø ∆’ = b2−3ac>0 o Chia y cho y’ ta ñöôïc dö laø αx+β . o Khi ñoù haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d = (Ax+B)y’ +αx+β o Goïi x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x). Theo ñònh lyù Fermat: ⇒ y’(x0) = 0 ⇒ y(x0) = (Ax0+B)y’(x0) +αx0+β = αx0+β Vaäy ñöôøng thaúng qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0 vaø b2−3ac>0) laø d: y = αx+β  Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm baäc 3 treân laø : a9 bcdx) a3 bc( 3 2y 2 −+−=  Ñöôøng thaúng ñi qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (neáu coù) cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = 'bx'a cbxax 2 + ++ coù phöông trình : 'a bax2 )''bx'a( )'cbxax(y 2 + = + ++ = Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 6 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 1.Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D. Ñònh nghóa:   =∈∃ ≤∈∀ ⇔= M)x(f:Dx M)x(f:Dx M)x(fMax 00 D   =∈∃ ≥∈∀ ⇔= m)x(f:Dx m)x(f:Dx m)x(fMin 00 D Haún nhieân laø : Neáu D=[a;b] thì M vaø m ñoàng thôøi toàn taïi vaø m ≤ f(x) ≤ M vôùi ∀x∈[a;b] 2. Caùch tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: • Xaùc ñònh taäp D • Tìm caùc ñieåm tôùi haïn xi∈D (i = 1,2,…) (neáu coù) • Tìm: o Giaù trò f(xi) töông öùng (neáu coù); o Giaù trò ôû caùc muùt (neáu D = [a;b] thì tìm f(a) vaø f(b) ); o Tìm caùc giôùi haïn 1 beân (neáu D=(a;b) thì tìm +→ axlim f(x) vaø −→ bxlim f(x) ); o Tìm caùc giôùi haïn ôû voâ taän (neáu D = (−∞ ; a] thì tìm − ∞→x lim f(x) coøn neáu D = [a;+∞) thì tìm + ∞→xlim f(x) ). o Laäp baûng bieán thieân (hoaëc so saùnh caùc giaù trò cuûa haøm soá treân moät ñoaïn), döïa vaøo ñoù maø keát luaän. IV. TÍNH LOÀI LOÕM VAØ ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ 1)Khaùi nieäm veà tính loài, loõm vaø ñieåm uoán : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (a;b), coù ñoà thò (C). Giaû thieát taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng (a;b) ñoà thò (C) ñeàu coù tieáp tuyeán. Xeùt cung ACB vôùi A(a;f(a)); B(b;f(b)) vaø C(c;f(c)).  Cung laø moät cung loài cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu naèm phía treân (C). Khoaûng (a;c) goïi laø khoaûng loài cuûa ñoà thò.  Cung laø moät cung loõm cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu naèm phía döôùi (C). Khoaûng (c;b) goïi laø khoaûng loõm cuûa ñoà thò. Ñieåm C phaân caùch giöõa cung loài vaø cung loõm ñöôïc goïi laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò. Taïi ñieåm uoán tieáp tuyeán xuyeân qua ñoà thò. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 7 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät 2) Daáu hieäu loài, loõm vaø ñieåm uoán : 1) Ñònh lyù 1 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai treân khoaûng (a;b). a. Neáu f”(x) < 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loài treân khoaûng ñoù. b. Neáu f”(x) > 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loõm treân khoaûng ñoù. 2) Ñònh lyù 2 : Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân moät laân caän naøo ñoù cuûa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm tôùi caáp hai trong laân caän ñoù. Neáu ñaïo haøm caáp hai ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ñieåm M0(x0;f(x0)) laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá ñaõ cho. 3) Toùm taét : a) Tính loài, loõm cuûa ñoà thò: x a b X a b y” − y” + Ñoà thò cuûa haøm soá loài Ñoà thò cuûa haøm soá loõm b) Ñieåm uoán cuûa ñoà thò: x x0 y” + − (−) (+) Ñoà thò cuûa haøm soá Ñieåm uoán M0(x0;f(x0)) V. TIEÄM CAÄN 1) Ñònh nghóa : a) Giaû söû M(x;y)∈(C):y = f(x). Ta noùi (C) coù moät nhaùnh voâ cöïc neáu ít nhaát moät trong hai toïa ñoä x, y cuûa ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞. Khi ñoù ta cuõng noùi ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞ (vì OM= + ∞→+ 22 yx ). Kyù hieäu M→ ∞. b) Giaû söû ñoà thò (C) coù nhaùnh voâ cöïc. Cho ñöôøng thaúng d. Kí hieäu MH laø khoaûng caùch töø ñieåm M(x;y)∈(C) ñeán ñöôøng thaúng d. d laø tieäm caän cuûa (C)⇔ 0MHlim ))C(M( M = ∈ ∞→ 2) Caùch xaùc ñònh tieäm caän cuûa (C): y = f(x) : 1.Tieäm caän ñöùng : Ñònh lyù : Neáu ∞=→ )x(flim0xx thì d: x = x0 laø moät tieäm caän ñöùng cuûa (C) Môû roäng : Neáu ∞=+→ )x(flim 0xx (hoaëc ∞=−→ )x(flim 0xx ) thì d: x = x 0 laø moät tieäm caän ñöùng beân traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x) Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 8 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät 2.Tieäm caän ngang : Ñònh lyù : Neáu 0x y)x(flim =∞→ thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang cuûa (C) Môû roäng : Neáu 0x y)x(flim =− ∞→ (hoaëc 0x y)x(flim =+ ∞→ ) thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang beân traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x). 3.Tieäm caän xieân : Ñònh lyù : Ñieàu kieän aét coù vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng d:y = ax+b (a≠0) laø moät tieäm caän xieân cuûa ñoà thò (C) laø : 0)]bax()x(f[lim x =+− + ∞→ hoaëc 0)]bax()x(f[limx =+−− ∞→ hoaëc 0)]bax()x(f[limx =+−∞→ Môû roäng : • Neáu 0)]bax()x(f[limx =+−+ ∞→ thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi cuûa (C):y=f(x). • Neáu 0)]bax()x(f[limx =+−− ∞→ thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi cuûa (C):y=f(x). • Neáu 0)]bax()x(f[limx =+−∞→ thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân hai beân cuûa (C):y=f(x). Caùch tìm caùc heä soá a vaø b cuûa ñöôøng tieäm caän xieân y = ax+b: Tìm caùc giôùi haïn : a= x )x(flim x ∞→ vaø b= ]ax)x(f[limx −∞→ Chuù yù : • Neáu a= x )x(flim x − ∞→ vaø b= ]ax)x(f[limx −− ∞→ thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi cuûa (C):y = f(x). • Neáu a= x )x(flim x + ∞→ vaø b = ]ax)x(f[limx −+ ∞→ thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi cuûa (C):y = f(x). VI. KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ A.Ñöôøng loái chung : 1.Taäp xaùc ñònh. Tính chaün, leû, tuaàn hoaøn ( neáu coù) cuûa haøm soá. 2.Ñaïo haøm y’: Ñeå khaûo saùt tính ñôn ñieäu, cöïc trò cuûa haøm soá. 3.Ñaïo haøm y’’ : Ñeå tìm caùc khoaûng loài, loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò. 4.Caùc giôùi haïn, tieäm caän cuûa ñoà thò ( neáu coù ) haøm soá. 5.Baûng bieán thieân: Ghi chieàu bieán thieân vaø caùc keát quaû cuûa y’, y. 6.Giaù trò ñaëc bieät : Thöôøng cho x = 0 ñeå tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi Oy (neáu coù). Cho Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 9 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät y=0 ñeå tìm caùc giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc Ox (neáu coù). ta coù theå tìm theâm moät vaøi ñieåm khaùc nöõa. 7.Veõ ñoà thò vaø nhaän xeùt ñoà thò : Neùt veõ maûnh, ñeïp vaø ñuùng, ñuû. Theå hieän ñuùng cöïc trò, ñieåm uoán , loài, loõm, tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. Nhaän xeùt tính chaát ñaëc tröng cuûa ñoà thò. B.Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò : I.Haøm soá y = f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (a ≠ 0) : Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Stt Tính chaát Daïng 1 2 a>0 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 y’> 0 ( hoaëc y’≥ 0) 3 4 a<0 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 y’< 0 ( hoaëc y’≤ 0) II. Haøm soá y = f(x) = ax 4 +bx 2 +c (a ≠ 0) : Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) = ax4+bx2+c (a≠0) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng vaø coù 1 trong 4 daïng : Stt Heä soá Tính chaát Daïng 1 2 a>0 b<0 3 cöïc trò, 2 ñieåm uoán b>0 1 cöïc trò, 0 ñieåm uoán 3 a<0 b>0 3 cöïc trò, 2 ñieåm uoán b<0 1 cöïc trò, 0 ñieåm uoán III.Haøm soá y = f(x) = dcx bax + + (Ñieàu kieän: ad-bc≠0 vaø c≠0) : Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Ñoà thò cuûa haøm soá höõu tæ 1/1 nhaän giao ñieåm I cuûa hai tieäm caän c dx −= vaø c ay = laøm taâm ñoái xöùng vaø coù moät trong hai daïng: Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 10- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Stt Heä soá Tính chaát Daïng 1 ad-bc > 0 2 ad-bc < 0 Tieäm caän ñöùng c dx −= Tieäm caän ngang c ay = IV. Haøm soá y = f(x) = 'bx'a cbxax 2 + ++ (Ñieàu kieän: 0cbxax 0 2 0 ≠++ vôùi x0= 'a 'b − vaø a’ ≠ 0) Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Ñoà thò cuûa haøm soá höõu tæ 2/1 nhaän giao ñieåm I cuûa hai tieäm caän 'a 'bx −= vaø y= px'a a + laøm taâm ñoái xöùng vaø coù moät trong boán daïng: Stt Tính chaát Daïng 1 2 aa’>0 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 y’> 0 3 4 aa’<0 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 y’< 0 Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 11- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät VII.CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN HEÄ ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 1) Baøi toaùn 1:BIEÄN LUAÄN SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA 2 ÑÖÔØNG. Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò laø (C), haøm soá y=g(x) coù ñoà thò laø (C 1). Tìm soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1)  Phöông phaùp: • Vieát phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1): f(x)=g(x) (1) • Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) laø soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1). • Bieän luaän soá nghieäm phöông trình (1) suy ra soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1). 2) Baøi toaùn 2: VIEÁT PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN CUÛA (C) : y=f(x) A. Phöông trình tieáp tuyeán: Cuûa (C): y = f(x) taïi M0(x0;y0) coù daïng: y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1). Vieát ñöôïc (1) laø phaûi tìm x0; y0 vaø f’(x0). Coù 2 daïng tieáp tuyeán taïi ñieåm: Daïng 1: Cho hoaønh ñoä x0 (hoaëc tung ñoä y 0) cuûa tieáp ñieåm, töø phöông trình y 0 = f(x0) tìm y0 ( hoaëc x0). Tìm f’(x) ⇒ f’(x0) roài thay vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán. Daïng 2: Cho heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø f’(x0) = k, töø ñoù tìm hoaønh ñoä x0 cuûa tieáp ñieåm töø phöông trình f’(x0) = k ⇒ y0 = f(x0) roài thay vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán. Moät soá kieán thöùc caàn nhôù: • Neáu cho k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán thì f’(x0) = k. • Neáu tieáp tuyeán song song (d): y = ax+b thì f’(x0) = k= a. • Neáu tieáp tuyeán vuoâng goùc (d): y = ax+b thì f’(x0) = k = a 1 − , a≠0 • Neáu tieáp tuyeán taïo vôùi Ox goùc α ≠ 2 pi thì f ’(x0) = k = ± tgα. B. Tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f(x) di qua ñieåm M1(x1; y1 ) : 1) Vôùi (C): y = f(x) = ax 2 +bx+c (a ≠ 0) coù ñoà thò laø 1 parabol : Phöông phaùp : • Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua M1(x1; y1 ) vaø coù heä soá goùc k, phöông trình d : y = k(x − x1)+ y1 (1). • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa d vaø (C) : ax2+bx+c = k(x − x1)+ y1 Ta bieán ñoåi phöông trình naøy veà phöông trình baäc 2 aån x daïng : a1x2+b1x+c1 = 0 (2). • d tieáp xuùc (C) ⇔ phöông trình (2) coù nghieäm soá keùp : ⇔   =−=∆ ≠ 0ca4b 0a 11 2 1 1 . • Töø heä ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc k. • Thay k tìm ñöôïc vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 12- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät 2) Vôùi (C) : y = f(x) baát kyø: Phöông phaùp : • Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua M1(x1; y1 ) vaø coù heä soá goùc k, phöông trình d : y = k(x − x1)+ y1 (1). • d tieáp xuùc (C) khi heä sau coù nghieäm :   = += k(x)f' y )x-k(xf(x) 11 Töø ñaây khöû k ⇒ f(x) = f’(x)(x-x1)+y1 ( phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm) ⇒ caùc nghieäm x = x0 (neáu coù) vaø tính ñöôïc k theo x0. • Thay k tìm ñöôïc vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán töông öùng. Chuù yù raèng : Soá tieáp tuyeán phuï thuoäc vaøo k ( chöù khoâng phuï thuoäc vaøo x0) 3) Baøi toaùn 3: HOÏ ÑÖÔØNG CONG. BIEÄN LUAÄN SOÁ ÑÖÔØNG CONG ÑI QUA MOÄT ÑIEÅM COÁ ÑÒNH. a) Khaùi nieäm : Cho haøm soá y=f(x) trong ñoù ngoaøi bieán x, coù theâm chöõ m ôû caùc heä soá. Kyù hieäu (Cm):y=f(x,m) vôùi m laø tham soá. Khi m thay ñoåi ta coù voâ soá ñoà thò (C m) vaø goïi chung laø hoï (Cm). b) Coù bao nhieâu ñoà thò (Cm) ñi qua M0(x0;y0) cho tröôùc ?  Phöông phaùp: Ta thöïc hieän caùc böôùc : 1) Thay toïa ñoä cuûa M0(x0;y0) vaøo haøm soá y=f(x,m) ñöa ñeán moät phöông trình g(m)=0 (1). 2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa (1) : soá nghieäm cuûa (1) chính laø soá ñoà thò (Cm) ñi qua M0(x0;y0). 3) Neáu (1) coù voâ soá nghieäm ñoái vôùi m thì M0(x0;y0) trôû thaønh moät ñieåm coá ñònh trong caùc ñieåm coá ñònh ( neáu coù) maø (Cm) ñi qua. c) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (C m):y=f(x,m):  Phöông phaùp: 1) Goïi M0(x0;y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm):y=f(x,m) ñi qua vôùi moïi m . 2) Ta coù M0(x0;y0)∈(Cm) ⇔ y0=f(x0,m) ⇒ g(m)=0 (1). 3) Ñònh caùc heä soá cuûa (1) ñoàng thôøi baèng 0 ñeå (1) coù voâ soá nghieäm. Töø ñoù giaûi heä phöông trình tìm ñöôïc x0 vaø y0 vaø keát luaän veà ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). 4) Baøi toaùn 4: TÌM TAÄP HÔÏP ÑIEÅM M(x;y) ( quyõ tích ñaïi soá ) , trong ñoù x hoaëc y coù chöùa tham soá m.  Phöông phaùp : 1) Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå ñieåm M toàn taïi. 2) Töø giaû thieát baøi toaùn, ta tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M(x;y) töø heä phöông trình:   = = )m(hy )m(gx (1) • Töø ñieàu kieän toàn taïi ñieåm M vaø khöû tham soá m töø heä (1) ta tìm ñöôïc taäp hôïp (C) chöùa M töø ñoù ñi ñeán keát luaän quyõ tích cuûa M.