Chuyên đề Dạy học định lí hình học

Chuyên đề dạy học định lí A/Báo cáo chuyên đề : I/ĐẶT VẤN ĐỀ : Việc tổ chức HS hoạt động học tập để từ đod HS lĩnh hội và vận dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm trong các nhà trường phổ thông.Đối với trường THCS của chúng ta nói riêng đã trải qua nhiều năm,nhiều lượt tập huấn bồi dưỡng phương pháp giảng dạy cho giáo viên,mỗi một giáo viên đã có nhiều trăn trỡ,nghiên cứu tìm tòi phát hiện phương pháp giảng dạy phù hợp với bộ môn đặc trưng của bản thân mình,nhằm làm thế nào đó để HS lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái nhất và vận dụng tốt nhất vào việc giải các bài toán. Con đường hình thành định lí cho HS và để HS vận dụng định lí vào việc chứng minh hình học là một vấn đề rất quan trọng,những định lí là những công cụ không thể thiếu được trong lao động chứng minh giải toán hình học.Đối với HS nói chung việc lĩnh hội kiến thức định lí còn nhiều khó khăn,HS thường bị thụ động,ít say mê học hình học,hạn chế nữa là HS thường không nhớ lâu và vận dụng vào việc chứng minh giải toán hình học thiếu sự linh hoạt.Ở trường THCS hiện nay “Định lí” được hình thành cho HS dưới 2 dạng : Dạng 1 : Những định lí được hình thành cho HS trên cơ sở HS phải thừa nhận mà không yêu cầu chứng minh và đi vào vận dụng. Dạng 2 : Những định lí được hình thành trên cơ sở chứng minh hoàn chỉnh và đi đến vận dụng. Hơn nữa mỗi cấp học việc hình thành định lí có những mức độ khác nhau.Chính vì thế trong chuyên đề này tôi xin đưa ra chuyên đề dạy học “định lí hình học” để từ đó các đồng chí tham khảo,trao đổi,góp ý xây dựng phương pháp dạy học “Định lí hình học” thế nào là phù hợp nhất,có hiệu quả cao nhất. II/NỘI DUNG : Như các đồng chí đã biết,dạy học định lí dược phân thành 2 dạng như đã nêu ở trên. Dạng 1 : Định lí được hình thành cho HS trên cơ sở HS thông qua các hoạt động thao tác trực quan như : Đo đạc,gấp hình...rồi nhận xét và đI đến công nhận định lí mà không chứng minh.Ví dụ như :(Định lí PYTAGO;Định lí về cạnh đối diện với góc lớn hơn;Định lí về tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác;Định lí về tính chất 3 đường cao của tam giác;Định lí về đường tròn ngoại tiếp,đường tròn nội tiếp-HH9 ...).Dạng này chủ yếu ở lớp 7. Dạng 2 : Định lí được hình thành cho HS trên cơ sở HS hoạt động,xây dựng định lí và được chứng minh định lí hoàn chỉnh và được phân thành 2 loại : +Loại 1 :Định lí được hình thành từ :Phát biểu định lí
Phát triển dưới dạng bàI toán
C/m bài toán
Vận dụng định lí. VD :(Định lí quan hệ giữa góc đối diện với cangh lớn hơn;Định lí quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên;Định lí quan hệ giữa 3 cạnh của một tam giác;Định lí về tính chất của 3 đường trung trực trong tam giác ...).Dạng này phần lớn ở lớp 8;9. +Loại 2 : Định lí được hình thành : Phát biểu bài toán
c/m bài toán
phát biểu định lí
Vận dụng định lí. VD : Định lí về quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông;Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây(HH9)... Nhưng dù định lí diễn đạt dưới dạng nào thì người GV cần phải linh hoạt,áp dụng phù hợp với từng mức độ yêu cầu của chương trình,phù hợp với lứa tuổi HS.Để từ đó HS không bị thụ động,thoải mái và hứng thú lĩnh hội kiến thức.Tránh sự chán nản trong hoạt đọng học của HS (Đặc biệt là những định lí buộc HS phải thừa nhận mà không được chứng minh ). Theo bản thân khi dạy học định lí phải làm được những việc cơ bản sau : 1.Làm cho HS hiểu thế nào là định lí,định lí khác tiên đề ở chỗ nào.(Chủ yếu áp dụng cho HS đầu lớp 7). 2.Làm cho HS thấy rõ sự cần thiết của định lí sắp học.(Bước này gây hứng thú và tạo động cơ học tập cho HS). 3.Tập cho HS phát biểu được định lí,liệt kê được GT-KL của định lí (Dưới dạng phát biểu bài toán nếu có thể). 4.Tập cho HS hình thành đường lối chứng minh,trình bày chứng minh định lí.Phần này tuỳ theo mức độ yêu cầu và khả năng tiếp cận của HS và được chia làm 3 mức độ sau : Mức độ 1 :HS hiểu chứng minh(HS mới bắt đầu làm quen định lí). Mức độ 2 :HS trình bày lại chứng minh(HS tập dượt chứng minh định lí). Mức độ 3 :HS độc lập tiến hành chứng minh định lí (HS đã làm quen với chứng minh định lí.Nhưng được sự hướng dẫn của GV). 5.Củng cố : *Tập cho HS xét mệnh đề đảo,phát biểu và tìm cách chứng minh,xết xem mệnh đề đảo có chứng minh được hay không. *Biết nhận dạng và thể hiện định lí,vận dụng định lí linh hoạt vào các bài toán cụ thể. Từ những yêu cầu trên,khi dạy học “Định lí hình học” bản thân xin chia thành các hoạt động cơ bản sau : HĐ1 : Làm cho HS thấy được sự cần thiết của định lí sắp học,gây hứng thú và tạo động cơ học tập (Áp dụng cho cả 2 dạng hình thành định lí) Ví dụ1:Trong định lí “Tổng 3 góc của một tam giác” có thể đặt câu hỏi như sau: ?1 Tổng số đo 3 góc của những tam giác khác nhau có chung đặc điểm gì ?2 Tổng số đo 3 góc của tam giác nào có số đo lớn hơn(Như hình vẽ) A E B C D F Ví dụ 2: Trong định lí “Bất đẳng thức tam giác” có thể đặt câu hỏi như sau: ?1 Có 3 điểm A,B,C không thẳng hàng(Như hình vẽ).Người ta thường đI từ A->C nhưng sao không đI từ A->B->C . ?2 Tại sao đoạn đường từ A đến C là ngắn nhất ? Cơ sở toán học ở đây là gì. B A C HĐ2 : Những hoạt động thao tác bằng trực quan như :Đo đạc,gấp hình...rồi rút ra nhận xét.(Áp dụng cho cả 2 dạng định lí). Đối với HS lớp 7 mới tiếp cận với định lí cần chú trọng có hoạt động này,ở lớp 8;9 trình bày được nếu có thể. Thực hiện tốt các hoạt động này giúp cho HS say mê tìm tòi hơn,có hứng thú học tập hơn,không bỡ ngỡ đột ngột khi đi vào tiếp thu một nội dung định lí.Ngoài ra còn giúp cho HS phát triển được trí tuệ theo lối suy diễn từ một nội dung nhận xét được phát triển thành 1 mệnh đề tóan học “Định lí” (Đối với những định lí đơn giản có thể phát biểu được). Ví dụ 1 : Định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn”.Từ hoạt động cắt hình,gấp hình bằng so sánh trực quan giữa cạnh và góc đối diện. Từ đó HS rút ra nhận xét về mối quan hệ “Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” và có thể phát biểu thành một nội dung định lí. Ví dụ 2 : Định lí “Bất đẳng thức tam giác” Qua hoạt động vẽ hình tam giác với 3 cạnh là 3 độ dài1cm,2cm và 4cm.HS không vẽ được từ đó HS có suy nghĩ rằng : Vậy thì với 3 độ dàI thoả mãn yếu tố gì mới vẽ được tam giác? Qua so sánh ttổng độ dàI 2 cạnh bằng đo đạc với độ dàI cạnh còn lại HS dễ dàng rút ra được nhận xét “Tổng độ dàI 2 cạnh bao giườ cũng lớn hơn độ dàI cạnh còn lại” (Hình vẽ). B Sđ Aˆ + SđCˆ > Sđ Bˆ C ................................................................ ................................................................ A C HĐ3: Tập cho HS phát biểu định líđược phát triển từ nhận xét trên (áp dụng cho 2 dạng định lí). Ví dụ 1 : Từ nhận xét “Tổng độ dàI 2 cạnh thì lớn hơn độ dàI 1 cạnh trong một tam giác” ở trên,GV luyện cho HS phát biểu hành định lí “Trong một tam giác,tổng độ dàI hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dàI cạnh còn lại” hoặc phát biểu dưới dạng khác.GV thống nhất lại định lí. Ví dụ 2 : Từ thao tác gấp hình rồi đến nhận xét:Khoảng cách từ đIểm M thuộc tia phân giác góc O đến 2 cạnh Ox và Oy là bằng nhau.Thì HS dễ hình dung và phát biểu thành một định lí “ĐIểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 2 cạnh của góc đó”.(Hình vẽ) x A O M B y Hoạt động này tập HS phát biểu một cách thoải mái,tránh gò ép.Nếu không đúng thì GV cần thống nhất lại. HĐ 4:Liệt kê phần GT,KL của định lí từ hình vẽ. Để thực hiện được hoạt động này có thể dễ với HS tuỳ vào mức độ của từng định lí.Nhưng nhìn chung HS khó thực hiện được.Đối với những định lí phát biểu dưới dạng “Nếu...........thì........” HS dễ liệt kê hơn.Các định lí khác,có định lí phải phát biểu dưới dạng bài toán cụ thể rồi HS mới liệt kê được GT-KL. Ví dụ : Định lí “Bất đẳng thức tam giác”. Nhìn vào định lí thì HS không dễ liệt kê được,cần phát biểu thành bài toán như sau : (Hình vẽ) B Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau: AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB A C Lúc này HS dễ dàng liệt kê được GT,KL của định lí. HĐ 5: Tập cho HS hình thành ý tưởng kẻ đường phụ,đường lối phương pháp chứng minh và trình bày chứng minh định lí (Phần này rất quan trọng đối với HS). *ý tưởng phát hiện hoạt động các thao tác phụ(Kẻ đường phụ).Đây là một hoạt đọng nhằm giúp cho HS hình dung ra được những thao tác này.Nhờ có các hoạt động thao tác ở HĐ2 mà HS dễ hình dung ra những thao tác phụ đó. Ví dụ 1: ở định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác”. Qua thao tác gấp hình,đo đạc HS hình dung được khi chứng minh cần tạo ra được tia phân giác AM của góc A,và dựng B’ thuộc AC sao cho AB’ = AB.Từ đó phân tích và thực hiện trình bày chứng minh(Như hình vẽ). A B’ B M C Ví dụ 2 :ở định lí “Bất đẳng thức tam giác”. Khi thao tác hoạt động dời cạnh AC đặt thẳng hàng nối với cạnh AB để so sánh BD (= AB + AC) với cạnh BC ta tạo ra tam giác mới là tam giác BDC.Vậy phảI biết xác định đIểm D trên tia đối của tia AB và hình thành tam giác mới BDC ta dễ so sánh được BD > BC.(Hình vẽ). D A B C *ý tưởng tìm đường lối phương pháp chứng minh và trình bày chứng minh. Trước khi chứng minh thông thường cần phảI phân tích tìm đường lối theo 3 phương pháp sau :  Phương pháp phân tích đi lên .  Phương pháp phân tích tổng hợp.  Phương pháp phân tích phản chứng. Tuỳ vào từng dạng định lí GV nên hướng dẫn HS phân tích phù hợp với từng định lí Nhưng nên hướng dẫn HS phân tích theo phương pháp phân tích đI lên(Nếu có thể) phương pháp này HS dễ hình dung đường lối và trình bày chứng minh hơn.Trường hợp định lí không thể phân tích được theo dạng đó thì buộc phảI phân tích theo các phương pháp khác(Trường hợp này HS thường khó hình dung đường lối và phương pháp chứng minh). Ví dụ 1 : ở định lí “Bất đẳng thức tam giác” Khi phát triển đựoc tam giác BDC thì cần hướng cho HS phân tích theo phương pháp “phân tích đI lên” để chứng minh theo sơ đồ sau : AB + AC > BD (1) D BD > BC (BD = AB + AC) (2) A BCD > ADC (3) BCD > ACD (ACD = ADC) (4) B C ? Qua phân tích như trên HS dễ biết được cần phảI sử dụng kiến thức hay định lí nào từ GT để suy ra bước(4),từ đó HS dễ suy ra các phép chứng minh tiếp theo (Nêu rõ căn cứ),tức là HS đã trình bày được chứng minh định lí. Ví dụ 2 : ở định lí “Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn trong 1 tam giác” Định lí này không thể phân tích được theo phương pháp trên,trong chương trình không yêu cầu HS chứng minh,nhưng GV cần hướng dẫn để đối tượng HS khá giỏi tham khảo và thực hiện chứng minh ở nhà bằng phương pháp “Phân tích phản chứng” như sau (Hình vẽ) A Để c/m AC > AB từ Bˆ > Cˆ . Giả sử AC Dẫn đến đIều vô lí (Theo định lí 1) AC = AB Vậy AC > AB (áp dụng tính chất 2 số thực bất kì). B C HĐ 6 : Hoạt động củng cố kiến thức và vận dụng định lí để giảI bàI tập hoặc chứng minh định lí khác. B1: HS nắm lại được cấu trúc định lí với các yếu tố ở phần GT,KL.Vận dụng linh hoạt vào một số bàI tập cơ bản dể HS củng cố định lí.Ví dụ như ở định lí “Bất đẳng thức tam giác”(HH7) cần đưa ra BT15 để củng cố định lí,rồi dần dần cho HS vận dụng giảI các bàI toán với yêu cầu cao hơn,có tính thực tiễn hơn.Ví dụ như BT21,22(HH7). B2: Phát hiện diễn đạt định lí theo những cách khác nhau nhưng nội dung vẫn không thay đổi (Nếu định lí có cách phát biểu khác).Ví dụ như ở định lí “Bất đẳng thức tam giác” có thể phát biểu “trong một tam giác độ dàI một cạnh bao giờ cũng bé hơn tổng độ dàI hai cạnh còn lại”... B3: Từ định lí vừa học có thể tập cho HS kháI quát hoá,đặc biệt hoá,hay xét mệnh đề tương tự,mệnh đề đảo và tìm cách chứng minh mệnh đề đảo(Đối với những định lí không đưa định lí đảo vào chương trình tiết dạy).Phần này chỉ mở rộng cho HS vận dụng vào tiết luyện tập hay hướng dẫn học ở nhà. Ví du : ở định lí thuận với tứ giác nội tiếp,việc phát hiện mệnh đề đảo và chứng minh mệnh đề đảo là không khó khăn đối với HS lớp 9,vì thế GV nên hướng dẫn HS tự phát hiện và tìm cách chứng minh “Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp đựoc một đường tròn”. B4: Rèn luyện HS cách chuyển từ phát biểu một định lí thành một bàI toán và ngược lại.(Có định lí được hình thành thông qua bài toán cụ thể,nhưng thường thì định lí được phát biểu sau đó mới phát biểu thành bài toán rồi chứng minh định lí). HĐ 7 : Tổ chức HS hoạt đọng tìm phương pháp chứng minh khác của định lí(Nếu có). Phần này chủ yếu hướng dẫn gợi ý cho HS tìm tòi phương pháp chứng minh khác ở nhà hay ở tiết luyện tập,trong tiết dạy GV nên gợi mở phát hiệ cho HS tìm tòi.Từ đó HS có ý thức tìm tòi,sáng tạo,hứng thú hơn,tin tưởng hơn về tính thuyết phục của định lí và HS thấy được rằng việc học chứng minh định lí thật là phong phú. Ví dụ 1 : ở định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”. Cần hướng dẫn cho HS chứng minh theo phương pháp khác (Như hình vẽ). Cần xác định B’ thuộc AC sao cho A AB’ = AB.Do đó Từ cạnh AC > AB Ta cần c/m : Bˆ > Cˆ B’ Ta quy về c/m 'ˆB = Bˆ > Cˆ . B C Ví dụ 2 : ở định lí : “ Bất đẳng tam giác” cần hướng cho HS chứng minh theo phương pháp khác như sau (Như hình vẽ) : Từ A kẻ AH vuông góc với BC(Giả sử BC là cạnh lớn nhất).Sử dụng cạnh đối diện với góc lớn hơn trong tam giác vuông. A Ta cần c/m AB > BH + AC > HC _______________________ AB + AC > BH + HC = BC B H C Nếu ở hoạt động này mà GV không chủ động hướng dẫn cho HS tìm tòi phát hiện phương pháp chứng minh khác thì chắc chắn rằng HS không phát huy được tính sáng tạo,HS bị đơn độc trong phương pháp chứng minh định lí. III/Thể hiện tiết dạy chuyên đề :BàI “ Tính chất ba đường trung trực của tam giác” 1.Phân tích sư phạm bàI dạy :  Nội dung kiến thức : Trong bàI dạy này có 2 nội dung kiến thức cơ bản đó là : +Một là :KháI niệm về đường trung trực của tam giác. Phần này gồm những kiến thức sau : - KháI niệm đường trung trực của tam giác. - Vẽ đường trung trực của tam giác. - Nhận biết tam giác có 3 đường trung trực. - Nhận xét : .Trong tam giác bất kì không nhất thiết đường trung trực phảI đI qua đỉnh đối diện với cạnh ấy. .Trong tam giác cân,đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh ấy.(T/c này yêu cầu HS c/m) +Hai là :Tính chất 3 đường trung trực của tam giác. Phần này gồm những kiến thức sau: - Hoạt động trực quan
nhận xét
Hình thành nội dung định lí. - Phát biểu định lí
phát triển thành bàI toán
Liệt kê phần GT,KL của định lí từ hình vẽ của bàI toán. - Hình thành đường lối chứng minh(Phân tích
Tìm hướng c/m theo phương pháp phân tích đI lên). - Trình bày chứng minh(Trên cơ sở đã phân tích hình thành đường lối chứng minh,GV hướng dẫn HS trình bày lại ở nhà,hơn nữa phần c/m đã có ở SGK). - Vận dụng định lí : .Đưa BT53-SGK để củng cố định lí. .Đưa BT52-SGK,bàI tập này là xét mệnh đề đảo của T/c về đường trung trực trong tam giác cân,từ nhận xét ở mục 1. Hướng dẫn HS chứng minh mệnh đề đảo này.Sau khi c/m xong,hình thành cho HS phát biểu dưới dạng: Tam giácABC cân Đường trung trực thuộc cạnh đáy cũng là đường trung tuyến ứng vơia cạnh ấy. .Đưa BT57-SGK để củng cố định lí đồng thời vận dụng định lí vào thực tiễn(Tìm bán kính của một chi tiết máy bị gãy,như hình vẽ bên). -HS nhận biết được đường tròn ngoại tiếp đI qua 3 đỉnh của một tam giác có tâm là giao đIểm của 3 đường trung trực.Biết được giao đIểm 3 đường trung trực của tam giác có thể (Nằm trong tam giác;nằm ngoàI tam giác;nằm trên một cạnh của tam giác) thông qua BT54-SGK.  Kiến thức liên quan bổ trợ : - Nội dung định lí 1,2 ở Bài 7 chương III. - Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng bằng thước và compa. - Tính chất của tam giác cân. - Chứng minh hai tam giác bằng nhau. 2.Thiết kế bàI dạy : Tính chất ba đường trung trực của tam giác