Chuyên đề Khảo sát hàm số

thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8 . 2) Định m để đồ thị  mC cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Câu 43 Cho hàm số  4 22 1 2 1y x m x m     có đồ thị là  mC . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0m . 2) Định m để đồ thị  mC cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu 44 Cho hàm số y x m x m4 2– (3 2) 3   có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đường thẳng y 1  cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Câu 45 Cho hàm số  4 22 1 2 1y x m x m     có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. Câu 46 Cho hàm số 4 2 2 42 2y x m x m m    (1), với m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m  .. 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi 0m  . Câu 47 Cho hàm số xy x 2 1 2    có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y x m   luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu 48 Cho hàm số 3 1 x y x    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Câu 49 Cho hàm số 2 4 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho 3 10MN  . WWW.VIETMATHS.COM 11 Câu 50 : Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (d): y x m2  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5AB . Câu 51 : Cho hàm số xy x m 1   (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 . 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2  cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2 . Câu 52 : Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O. Câu 53 : Cho hàm số: xy x 2 2    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa A A B B x y m x y m 0 0         . 3.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D  R) vaø x0  D. a) x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f. b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b)  D vaø x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), vôùi x  (a; b) \ {x0}. Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f. c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f. II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f (x0) = 0. Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. WWW.VIETMATHS.COM 12 III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0} a) Neáu f (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. b) Neáu f (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. 2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f (x0) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0. a) Neáu f (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu f (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.  Tìm f (x).  Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.  Xeùt daáu f (x). Neáu f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi. Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.  Tính f (x).  Giaûi phöông trình f (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).  Tính f (x) vaø f (xi) (i = 1, 2, …). Neáu f (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi. Neáu f (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi. VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù:  Haøm soá baäc ba 3 2y ax bx cx d    coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: + 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d    + 0 0( )y x Ax B  , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y.  Haøm soá 2 ' ' ax bx cy a x b     = ( ) ( ) P x Q x (aa 0) coù cöïc trò  Phöông trình y = 0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc ' ' b a  . WWW.VIETMATHS.COM 13 Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: 00 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x  hoaëc 00 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x   Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi lai.  Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et. VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 1) Haøm soá baäc ba 3 2( )y f x ax bx cx d     .  Chia f(x) cho f (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.  Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B          Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B. 2) Haøm soá phaân thöùc 2( )( ) ( ) P x ax bx cy f x Q x dx e       .  Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì 00 0 '( ) '( ) P x y Q x  .  Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò aáy laø: '( ) 2 '( ) P x ax by Q x d    . Câu 54 : Cho hàm số y x x mx m3 23 – 2    (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Câu 55 : Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4        (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Câu 56 : Cho hàm số 3 21 (2 1) 3 3 y x mx m x     (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Câu 57 : Cho hàm số 3 23 2y x x mx    (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1  . WWW.VIETMATHS.COM 14 Câu 58 : Cho hàm số y x mx m3 2 33 4   (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Câu 59 : Cho hàm số y x mx m3 23 3 1     . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y8 74 0   . Câu 60 : Cho hàm số y x x mx3 23   (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y– 2 – 5 0 . Câu 61 Cho hàm số y x m x x m3 23( 1) 9 2      (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y x1 2  . Câu 62 Cho hàm số mxxmxy  9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1m . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 221  xx . Câu 63 Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2       , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1m . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 2 1 3   . Câu 64 Cho hàm số y x m x m x3 21 1( 1) 3( 2) 3 3       , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1  . Câu 65 Cho hàm số y x mx x3 24 – 3  . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1 2, thỏa x x1 24  . Câu 66 Cho hàm số y m x x mx3 2( 2) 3 5     , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. Câu 67 Cho hàm số y x x3 2– 3 2  (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y x3 2  sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Câu 68 Cho hàm số y x m x m x m3 2(1– 2 ) (2 – ) 2     (m là tham số) (1). WWW.VIETMATHS.COM 15 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Câu 69 Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m      (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Câu 70 : Cho hàm số y x mx m x m m3 2 2 3 23 3(1 )       (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu 71 Cho hàm số 3 23 2y x x mx    có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y x4 3   . Câu 72 Cho hàm số 3 23 2y x x mx    có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x y4 – 5 0  một góc 045 . Câu 73 Cho hàm số y x x m3 23   (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 4  . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho · AOB 0120 . Câu 74 Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 3– 3 3( –1) –  (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2  . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. Câu 75 Cho hàm số y x mx4 21 3 2 2    (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 3 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. Câu 76 Cho hàm số 4 2 2( ) 2( 2) 5 5      y f x x m x m m mC( ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị mC( ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. Câu 77 Cho hàm số  mCmmxmxy 55)2(2 224  1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Câu 78 Cho hàm số y x mx m m4 2 22    có đồ thị (Cm) . WWW.VIETMATHS.COM 16 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 0120 . Câu 79 Cho hàm số y x mx m4 22 1    có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . Câu 80 : Cho hàm số y x mx m m4 2 42 2    có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. 4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG. TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG CONG. 1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm  0 0 0; ( )M x f x . Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm  0 0 0; ( )M x f x laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x     (*) Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình 2ax bx c px q    coù nghieäm keùp.  VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x) Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán  cuûa (C): y =f(x) taïi ñieåm  0 0 0;M x y :  Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0.  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán  cuûa (C): y =f(x), bieát  coù heä soá goùc k cho tröôùc. Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.  Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f (x0).   coù heä soá goùc k  f (x0) = k (1) WWW.VIETMATHS.COM 17  Giaûi phöông trình (1), tìm ñöôïc x0 vaø tính y0 = f(x0). Töø ñoù vieát phöông trình cuûa . Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc.  Phöông trình ñöôøng thaúng  coù daïng: y = kx + m.   tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) '( ) f x kx m f x k      (*)  Giaûi heä (*), tìm ñöôïc m. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa . Chuù yù: Heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán  coù theå ñöôïc cho giaùn tieáp nhö sau: +  taïo vôùi chieàu döông truïc hoaønh goùc  thì k = tan +  song song vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b thì k = a +  vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1 a  +  taïo vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b moät goùc  thì tan 1 k a ka     Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán  cuûa (C): y = f(x), bieát  ñi qua ñieåm ( ; )A AA x y . Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.  Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Khi ñoù: y0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phöông trình tieáp tuyeán  taïi M: y – y0 = f (x0).(x – x0)   ñi qua ( ; )A AA x y neân: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (2)  Giaûi phöông trình (2), tìm ñöôïc x0. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa . Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc.  Phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua ( ; )A AA x y vaø coù heä soá goùc k: y – yA = k(x – xA)   tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) A Af x k x x y f x k       (*)  Giaûi heä (*), tìm ñöôïc x (suy ra k). Töø ñoù vieát phöông trình tieáp tuyeán . VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x     (*) Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình 2ax bx c px q    coù nghieäm keùp. VAÁN ÑEÀ 3: Laäp phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x) WWW.VIETMATHS.COM 18 1. Goïi : y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2). u laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa  vaø (C1), v laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa  vaø (C2).   tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: ( ) (1) '( ) (2) ( ) (3) '( ) (4) f u au b f u a g v av b g v a           Töø (2) vaø (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)  Theá a töø (2) vaøo (1)  b = (u) (6)  Theá (2), (5), (6) vaøo (3)  v  a  u  b. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa . 2. Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0 thì moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) cuõng laø tieáp tuyeán cuûa (C1) (vaø (C2)) taïi ñieåm ñoù. Câu 81 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò: a) 2 21 2( ) : 5 6; ( ) : 5 11C y x x C y x x       b) 2 21 2( ) : 5 6; ( ) : 14C y x x C y x x       c) 2 31 2( ) : 5 6; ( ) : 3 10C y x x C y x x      VAÁN ÑEÀ 4: Tìm nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) sao cho taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (C) song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng d cho tröôùc  Goïi M(x0; y0)  (C).  laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. Tính f (x0).  Vì  // d neân f (x0) = kd (1) hoaëc   d neân f (x0) = 1 dk  (2)  Giaûi phöông trình (1) hoaëc (2) tìm ñöôïc x0. Töø ñoù tìm ñöôïc M(x0; y0)  (C). Câu 82 : Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho tröôùc: a) (C): 2 3 6 1 x xy x     ; d: 1 3 y x b) (C): 2 1 1 x xy x     ; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) c) (C): 2 1 1 x xy x     ; d laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). d) (C): 2 1x xy x    ; d: y = x Câu 83 : Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng d cho WWW.VIETMATHS.COM 19 tröôùc: a) (C): 3 2 10y x x x    ; d: 2y x b) (C): 2 1x xy x    ; d: y = –x VAÁN ÑEÀ 5: Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 1, 2, 3, … tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) Giaû söû d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.  Phöông trình ñöôøng thaúng  qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM   tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ( ) ( ) (1) '( ) (2) M Mf x k x x y f x k        Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Soá tieáp tuyeán cuûa (C) veõ töø M = Soá nghieäm x cuûa (3) Câu 84 : Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): a) 3 2( ) : 3 2C y x x    b) 3( ) : 3 1C y x x   câu 85 : Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): a) 1( ) : 1 xC y x    ; d laø truïc tung b) 2 2( ) : 1 x xC y x     ; d laø truïc hoaønh c) 22( ) : 1 x xC y x    ; d: y = 1 d) 2 3 3( ) : 2 x xC y x     ; d: x = 1 e) 3( ) : 1 xC y x    ; d: y = 2x + 1 VAÁN ÑEÀ 6: Tìm nhöõng ñieåm maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau Goïi M(xM; yM).  Phöông trình ñöôøng thaúng  qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM   tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ( ) ( ) (1) '( ) (2) M Mf x k x x y f x k        Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C)  (3) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2.  Hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau  f (x1).f (x2) = –1 Töø ñoù tìm ñöôïc M. Chuù yù: Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai phía vôùi truïc hoaønh thì 1 2 (3) 2 ( ). ( ) 0 coù nghieäm phaân bieät f x f x    Câu 86 : Chöùng minh raèng töø ñieåm A luoân keû ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau. WWW.VIETMATHS.COM 20 Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán ñoù: a) 2 1( ) : 2 3 1; 0; 4 C y x x A          b) 2 1( ) : ; (1; 1) 1 x xC y A x      Câu 87 Cho hàm số 2)2()21( 23  mxmxmxy (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2. 2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 07  yx góc  , biết 26 1 cos  . Câu 88 Cho hàm số y x x3 23 1   có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Câu 89 Cho hàm số y x x33  (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): y x  các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Câu 90 Cho hàm số y x x3 23 2    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Câu 91 Cho hàm số y f x mx m x m x3 21( ) ( 1) (4 3 ) 1 3        có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x y2 3 0   . Câu 92 Cho hàm số    y x x 2 2 1 . 1   1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho điểm A a( ;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Câu 93 Cho hàm số y f x x x4 2( ) 2   . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Câu 94 Cho hàm số 2 2 x y x   (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Câu 95 Cho hàm số xy x 2 2 3    (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục WWW.VIETMATHS.COM 21 tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Câu 96 Cho hàm số y = 1 12   x x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB. Câu 97 Cho hàm số xy x 2 3 2    có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Câu 98 Cho hàm số xy x 2 3 2    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Câu 99 Cho hàm số 1 12    x x y có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a b a b2 2   nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Thật vậy: P = a b a b2 2    ab ab ab S2 2 (2 2) (2 2)     . Dấu "=" xảy ra  a = b. Câu 100 Cho hàm số: xy x 2 1    (C). 1) Khảo sát sự biến