Chuyên đề Mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố bậc hai đầy đủ hay rút gọn

84 s2{b0} = 0,00066 + 3 2 . 0,000297 + 3 2 . 0,000297 = 0,000462. Tõ ®ã s{b0} = 0,0215; s{bi} = 0,00995; s{b12} = 0,0122; s{b ii} = 0,0173. Theo chuÈn t cã thÓ tÝnh ®•îc gi¸ trÞ c¸c hÖ sè cña ph•¬ng tr×nh: V = 0,2161 + 0,1124x1 - 0,2316x2 - 0,2330x1x2 + 0,4102 21x + 0,3698 22x , 8.23 víi : X1 = 0,034 + 0,002x1, X2 = 0,042 + 0,004x2. 8.24 Muèn vËy, ta tÝnh theo c«ng thøc ti = b i : s{bi} c¸c gi¸ trÞ: t0 = 0,2161 : 0,0215 = 10,05; t1 = 0,1124 : 0,00995 = 11,29; t2 = 0,2316 : 0,00995 = 23,28; t12 = 0,2330 : 0,0122 = 19,1; t11 = 0,4102 : 0,0173 = 23,7; t22 = 0,3698 : 0,0173 = 21,37. C¸c gi¸ trÞ tÝnh ®•îc lín h¬n t0,95(31) = 1,70 ë b¶ng. Nh• thÕ lµ tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu cã nghÜa. Chóng ta nhËn thÊy trong tr•êng hîp nµy kÕt luËn ph¶i rÊt thËn träng v× sù ph©n bè hÖ sè biÕn thiªn kh«ng ph¶i lµ b×nh th•êng. Nh•ng v× tÊt c¶ hÖ sè cña ph•¬ng tr×nh v•ît h¬n 10 lÇn ®é lÖch chuÈn cña c¸c hÖ sè t•¬ng øng, kÕt luËn vÒ ý nghÜa c¸c hÖ sè ph•¬ng tr×nh cã thÓ xem lµ x¸c ®¸ng kh«ng cÇn cã ®¸nh gi¸ thªm nµo n÷a. §Ó lµm râ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui b»ng c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, th•êng sö dông chuÈn F.ChØ sè chÝnh x¸c T = V 1 tháa m·n víi yªu cÇu nµy, chØ sè ®ã cã ph©n bè t gÇn víi ph©n bè chuÈn khi sè thÝ nghiÖm lÆp kho¶ng 30. Bëi vËy ®Ó ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui biÓu thÞ sù phô thuéc V vµo x1 vµ x2 cã thÓ sö dông ph•¬ng tr×nh:T = 1:(0,2161+ 0,1124x1- 0,2316x2- 0,2330x1x2+ 0,4102x 12+ 0,3698x 22) 8.25 Víi môc ®Ých nµy th•êng ng•êi ta tÝnh ®•îc c¸c gi¸ trÞ lý thuyÕt V ,  / T V1 , ®é lÖch T - T vµ b×nh ph•¬ng ®é lÖch (b¶ng 8.7). B¶ng 8.7. B¶ng tÝnh ph©n tÝch håi qui . ThÝ nghiÖm T V  / T V1 T T (T - T)2.108 V V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,126 1,138 0,637 1,593 1,318 1,943 2,654 1,225 5,131 0,8824 0,8852 1,5732 0,6440 0,7387 0,5139 0,3543 0,8175 0,2161 1,1446 1,1297 0,6357 1,5528 1,3537 1,9459 2,8225 1,2232 4,6275 0,0186 0,0083 0,0013 0,0402 0,0357 0,0029 0,1685 0,0018 0,5035 34 596 6 889 169 160 040 127 449 841 2 839 225 324 25 351 225 0,0056 0,0065 0,0042 0,0163 0,0203 0,0009 0,0225 0,0014 0,0212 Tæng 28 520 758 Tæng b×nh ph•¬ng ®é lÖch SR = (T - T )2 = 0,28520, b×nh ph•¬ng trung b×nh sR2 = 0,28520 : (9-6) = 0,09559. TÝnh ph•¬ng sai chØ sè chÝnh x¸c s2{T} theo c«ng thøc: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 85 s2{T} = f2 T n100 1 2 2   = 0,3125 . 10-5 + 5,1312 : 62 = 0,4246, 8.26 ë ®©y f = n - 1 = 31 - sè bËc tù do. F = sR 2 : s2{T} = 0,09559 : 0,4246 = 0,2228 nhá h¬n F0,05(3;31) = 2,92 tra b¶ng. Nh• thÕ lµ ph•¬ng tr×nh biÓu diÔn sù phô thuéc T vµo c¸c nh©n tè cã thÓ thõa nhËn lµ nh÷ng kÕt qu¶ phï hîp cña thÝ nghiÖm. Tõ ®ã cã thÓ coi ph•¬ng tr×nh biÓu thÞ sù phô thuéc V vµo c¸c nh©n tè X1 vµ X2 lµ ph•¬ng tr×nh phï hîp. - NhËn xÐt 1. Trong vÝ dô trªn cã thÓ kh«ng cÇn ph¶i ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh biÓu thÞ phô thuéc T vµo c¸c nh©n tè, bëi v× tÊt c¶ ®é lÖch Vi - Vi vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng v•ît qu¸ ®« lÖch chuÈn cña hÖ sè biÕn thiªn s{V} = 0,0244 (xem b¶ng 8.7). - NhËn xÐt 2. Cã thÓ x©y dùng ph•¬ng tr×nh bËc hai kh«ng ph¶i ®Ó cho hÖ sè biÕn thiªn mµ cho chØ sè chÝnh x¸c T. Lóc ®ã ta nhËn ®•îc ph•¬ng tr×nh: T = 3,938 - 0,110x1 + 0,400x2 + 0,236x1x2 - 1,711 21x - 1,402 22x 8.27 vµ ®èi víi hÖ sè biÕn thiªn - ph•¬ng tr×nh d•íi d¹ng ph©n sè h÷u tØ  :V T1 . Nh•ng ph•¬ng tr×nh nµy thÓ hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a V vµ c¸c nh©n tè kÐm h¬n so víi ph•¬ng tr×nh ®· lËp ë trªn d•íi d¹ng ®a thøc (sR2 ®èi víi phô thuéc V d•íi d¹ng ®a thøc bËc hai nhá h¬n 2 Rs ®èi víi  :V T1 ). Tõ gi¸ trÞ c¸c hÖ sè c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh ta suy ra r»ng t©m thÝ nghiÖm kh«ng trïng víi tèi •u lý thuyÕt, cßn gi¸ trÞ c¸c hÖ sè ë c¸c bËc cßn l¹i cña c¸c nh©n tè chøng minh tÝnh chÊt liªn kÕt phi tuyÕn gi÷a hÖ sè biÕn thiªn (sai sè t•¬ng ®èi) vµ c¸c nh©n tè. Cã thÓ ph©n tÝch tØ mØ h¬n sù liªn kÕt sau khi ®•a ph•¬ng tr×nh ®Õn d¹ng chÝnh t¾c vµ dùng c¸c ®•êng gi¸ trÞ b»ng nhau cña hÖ sè biÕn thiªn hoÆc cña sai sè t•¬ng ®èi. Nh©n hÖ sè biÕn thiªn V víi t0,95(7) = 2,36, chóng ta nhËn ®•îc ph•¬ng tr×nh sai sè t•¬ng ®èi y% phô thuéc vµo x1 vµ x2: y = 0,510 + 0,265x1 - 0,547x2 - 0,550x1x2 + 0,968 21x + 0,873 22x . 8.28 TÝnh chÝnh x¸c trong viÖc x¸c ®Þnh ph•¬ng sai ®Æc tr•ng cho sai sè t•¬ng ®èi y% t¹i c¸c ®iÓm cña ma trËn b»ng ph•¬ng ph¸p thùc nghiÖm (8 30 x¸c ®Þnh song song) lµ kh«ng cao l¾m. Bëi vËy cÇn ph¶i xem ph•¬ng tr×nh m« t¶ sù liªn hÖ gi÷a sai sè t•¬ng ®èi vµ nång ®é dung dÞch ph©n tÝch vµ dung dÞch kh«ng nh• lµ ph•¬ng tr×nh néi suy. §ång thêi ph•¬ng tr×nh cho phÐp ph¸t hiÖn c¸c ®Æc ®iÓm liªn kÕt trong giíi h¹n thÝ nghiÖm. VÝ dô 8.3: Kh¶o s¸t ph¶n øng âxy ho¸ hypophotphit dïng Fe xóc t¸c (x1), trong m«i tr•êng axit (x2) theo thêi gian (x3) ta cã: Ma trËn thùc nghiÖm ®•îc tr×nh bµy ë b¶ng 8.8. B¶ng 8.8- M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao Tªn C¸c nh©n tè C¸c hÖ sè håi qui cã nghÜa Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 86 X1 X2 X3 Møc gèc 0,032 1,0 15 b0' = 97,47 b3 = 0,64 Kho¶ng thay ®æi 0,005 0,5 5 b1 = 1,10 b2 = 0,87 B2 = -0,92 b22 = -1,21 B¶ng 8.9- Ma trËn ThÝ nghiÖm Ma trËn m· ho¸ Hµm môc tiªu (§é oxy hãa) x0 x1 x2 x3 yu uy ~ 1 +1 -1 -1 -1 96,18 94,19 2 +1 +1 -1 -1 97,88 97,65 3 +1 -1 +1 -1 92,96 93,61 4 +1 +1 +1 -1 98,34 97,55 5 +1 -1 -1 +1 97,36 98,47 6 +1 +1 -1 +1 98,18 98,93 7 +1 -1 +1 +1 95,24 94,89 8 +1 +1 +1 +1 99,32 98,83 9 +1 -1,215 0 0 98,30 97,02 10 +1 +1,215 0 0 98,40 99,69 11 +1 0 -1,215 0 99,78 97,68 12 +1 0 +1,215 0 94,53 95,45 13 +1 0 0 -1,215 97,34 97,57 14 +1 0 0 +1,215 99,24 99,13 15 +1 0 0 0 99,08 98,55 C¸c hÖ sè cña ph•¬ng tr×nh håi qui ®•îc tÝnh theo ch•¬ng tr×nh chuÈn IBM "Nairi". C¸c ma trËn (XTX)-1 vµ XTY cã cÊu tróc nh• sau ®©y: (XTX)-1 = 0,066 0 0,09 0,09 0,09 0,125 0,125 0,125 0,229 0,229 0 0,229                               8.29 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 87 XTY =                  94,6 05,7 12,10 01,12 13,1462 XTY =                     74,1 09,5 56,1 7,1 1,2 8.30 Cuèi cïng, cét c¸c hÖ sè håi qui -B cã d¹ng: B =                                 33 22 11 23 13 12 3 2 1 ' 0 b b b b b b b b b b =                                      44,0 21,1 40,0 22,0 27,0 87,0 64,0 92,0 10,1 47,97 vµ t ij =                                 33,1 66,3 20,1 99,0 09,1 06,4 06,3 40,4 41,5 35,573 8.31 TÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui ®•îc kiÓm tra theo ®iÒu kiÖn: tt > tb (tb = 3,18, f = 3, 2 0S = 0,485) t•¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ tÝnh ®•îc theo chuÈn t: TÊt c¶ c¸c hÖ sè b0', b1, b2, b12, b22 ®Òu cã nghÜa, c¸c hÖ sè cßn l¹i kh«ng cã nghÜa. HÖ sè b3 ë giíi h¹n tÝnh cã nghÜa: tb = 3,18, cßn t3 = 3,06. Cã thÓ ®•a yÕu tè X3 vµo ph•¬ng tr×nh håi qui vµ lóc ®ã ph•¬ng tr×nh cã d¹ng sau ®©y: );(21,187,064,092,010,147,97~ 22 2 221321 xxxxxxxy  8.32 hoÆc víi 22x = 0,73 th× ph•¬ng tr×nh håi qui thu ®•îc : .x21,1xx87,0x64,0x92,0x10,158,96y~ 2221321  8.33 Ph•¬ng sai phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui ®•îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc 8.14 - 8.15, khi l = 6, N = 15 vµ cét ~y u trong b¶ng 8.7. Cuèi cïng khi 04,12 phs ; (sph = 15,5985) Ft = 485,0 04,1 2 0 2  s s ph = 2,15 < FT =19,4; 8.34 Fph = 15 - 6 = 9; f0 = 3 - 1= 2; q = 0,05. Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 88 M« h×nh t×m ®•îc lµ phï hîp víi thùc nghiÖm. Cã thÓ sö dông nã ®Ó x©y dùng vïng tèi •u vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn tèi •u cña qu¸ tr×nh oxi hãa hipophotphit natri b»ng s¾t, tøc lµ qua c¸c nh©n tè x1, x 2, x3 t•¬ng øng lµ nång ®é s¾t, ®é axit vµ thêi gian oxi hãa t•¬ng øng cã ¶nh h•ëng ®Õn ph¶n øng oxi hãa hipophotphit natri. 8.2- M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay: M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay, ®•îc tiÕn hµnh trªn c¬ së x©y dùng ma trËn qui ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay, c¸c ma trËn cét bËc cao trong ma trËn thùc nghiÖm cã tÝnh chÊt nh• sau:    N 1u 2 2 iu .Nx víi i = 1 n 8.35    N 1u 4 2 ju 2 iu .N3xx 8.36 víi ®iÒu kiÖn: 2n n 2 4     8.37 suy ra o o o Nn NNn ).2( ).( 4   > 2n n ( 12  ) 8.38 -n = sè nh©n tè kh¶o s¸t. -N = sè thùc nghiÖm cña ma trËn bËc 2 t©m xoay = Ngèc + N * + No -N* = sè thùc nghiÖm ë ®iÓm sao -N0 = sè thùc nghiÖm ë t©m, sè thùc nghiÖm ë t©m: No > 1 - oN = sè thùc nghiÖm trªn mÆt môc tiªu= Ngèc + N* kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®iÓm sao ®•îc tÝnh theo c«ng thøc: d = 2 (n-q)/4 8.39 Tõ c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta cã b¶ng c¸c gi¸ trÞ tÝnh tr•íc: B¶ng 8.10- c¸c gi¸ trÞ d,®iÓm t©m tÝnh tr•íc khi biÕt lo¹i m« h×nh ho¸ n 2n-q Ngèc N* N0 D 2 22 4 4 5 1,414 3 23 8 6 6 1,682 4 24 16 8 7 2.000 5 25 32 10 10 2,378 5 25-1 16 10 6 2,000 Ph•¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m xoay cã d¹ng tæng qu¸t nh• sau: 2 iiijiijii00 xbxxbxbxby   8.40 Vµ c¸c hÖ sè håi qui ®•îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc sau ®©y: }yxC.2yx)2n(.2{ N A b n 1i N 1u u 2 iu4u N 1u 2 u0 2 40     8.41 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 89 u N 1u iui yxN C b    u N 1u juiu 4 2 ij yxx.N C b    8.42     N u uou N i N u uiuu N u uii yxCyxCyxnnCN A b 1 4 1 1 2 4 2 1 2 14 2 .2)1(])2[({  8.43 trong ®ã:    n 1u 2 iux N C vµ ]n).2n.[(.2 1 A 44   8.44 Do c¸c hÖ sè C vµ A cã thÓ tÝnh tr•íc ®•îc, nªn cã thÓ dïng c¸c c«ng thøc tÝnh c¸c hÖ sè b nh• sau:      N i N u uiuu N u yxCyCb 1 1 2 2 1 10 8.45 u N 1u iu3i yxCb    uiu N 1u iu4ij yxxC2b    8.46      N 1i N 1u u6 N 1u u 2 iu5u N 1u 2 iu4ii yCyxCyxCb 8.47 B¶ng 8.11- C¸c hÖ sè Ci ®•îc tÝnh tr•íc cho trong b¶ng sau: N C1 C2 C3 C4 C5 C6 2 0,2000 0,1000 0,1250 0,1250 0,0188 0,1438 3 0,1667 0,0569 0,0731 0,0625 0,0069 0,0695 4 0,1428 0,0357 0,0417 0,0312 0,0037 0,0350 §¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui t×m ®•îc theo c¸c bÊt ®¼ng thøc vµ c«ng thøc sau: ttÝnh > tb¶ng ( P,f0=N0 - 1) 8.48 trong ®ã ttÝnh = * * Sb b 8.49 Víi: N S)2n(.A.2 S 2 042 b 0   N S.C S 2 02 b i  8.50 N. S.C S 4 2 0 2 2 b ij   vµ N S.C)]1n().1n[(A S 2 0 2 42 b ii   8.51 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 90 1N )yy( S 0 N 1m 2 0m0 2 0 0      8.52 C¸c ph•¬ng sai cña c¸c hÖ sè håi qui còng cã thÓ ®•îc tÝnh theo c¸c hÖ sè Ci tÝnh tr•íc cho ë b¶ng trªn nh• sau: 2 01 2 b SCS 0  203 2 b SCS i  8.53 2 04 2 b S.C.2S ij  206 2 b SCS ii  §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña m« h×nh t×m ®•îc th«ng qua ph•¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m xoay theo chuÈn F : FtÝnh = 2 0 2 phuhop S S < Fb¶ng ( P,fph,f0) 8.54 Trong ®ã: S2 phï hîp =   fph f yy fsk yy N m m N u uu 0 1 2 00 1 2^ 0        8.55 -f0 = N0 - 1 = bËc tù do cña thùc nghiÖm lÆp ë t©m , -fsk = N - L bËc tù do cña sù sai kh¸c gi÷a lÝ thuyÕt vµ thùc nghiÖm. -L = sè hÖ sè cã nghÜa trong ph•¬ng tr×nh håi qui kh¶o s¸t tÝnh phï hîp. -  )1(][ 0NLNfofskfph bËc tù do cña ph•¬ng sai phï hîp. NÕu FtÝnh < Fb¶ng th× cho phÐp kÕt luËn, m« h×nh t×m ®•îc hoµn toµn m« t¶ ®óng víi thùc nghiÖm kh¶o s¸t. VÝ dô 8.4: C¾t gät lµ mét trong nh÷ng ph•¬ng ph¸p gia c«ng c¸c chi tiÕt m¸y b»ng chÊt dÎo. ViÖc chän tr¹ng th¸i gia c«ng thÝch hîp sÏ lµm cho bÒ mÆt chi tiÕt ®¹t ®•îc ®é nh½n cÇn thiÕt. Trong vÝ dô sau ®©y, chÊt dÎo ®•îc gia c«ng trªn m¸y tiÖn cao tèc. Hµm môc tiªu ®•îc chän lµ lµm cùc tiÓu ®é cao kh«ng ®ång ®Òu Rz. C¸c nh©n tè ®•îc xem cã ¶nh h•ëng ®Õn hµm môc tiªu lµ tèc ®é c¾t vm/phót+. §é dÞch chuyÓn smm/vßng vµ ®é s©u nh¸t c¾t tmm. M« h×nh to¸n cña qu¸ tr×nh ®•îc chän lµ: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x12 + b22x22 + b33x32 Ph•¬ng ¸n thùc nghiÖm lµ qui ho¹ch thùc nghiÖm t©m xoay bËc hai. Nh©n lµ ma trËn qui ho¹ch ho¸ ®Çy ®ñ 23, 6 thÝ nghiÖm ë 6 ®iÓm sao víi c¸nh tay ®ßn sao = 1,682, vµ 6 thÝ nghiÖm ë t©m. Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm ®•îc cho trong b¶ng sau : C¸c møc vµ kho¶ng biÕn thiªn cña c¸c nh©n tè: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 91 B¶ng 8.12- ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm YÕu tè C¸c møc Møc trªn +1 Møc c¬ së 0 Møc d•íi -1 Kho¶ng biÕn thiªn X1 lµ tèc ®é c¾t, m/phót 314 205 96 109 X2 dÞch chuyÓn, mm/vßng 0,7 0,5 0,3 0,2 X3 ®é s©u nh¸t c¾t, mm 0,75 0,5 0,25 0,25 C¸c hÖ sè trong ph•¬ng tr×nh håi quy ®•îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc (8.46)(8.47) Gi¸ trÞ c¸c hÖ sè tÝnh ®•îc lµ: b0 = 2,1956; b1 = 0,2882; b2 = 1,0039; b3 = 0,0646; b12 = 0,105; b13 = -0,055; b23 = 0,0875; b11 = 0,6409; b22 = 0,4466; b33 = 0,0807. Ph•¬ng sai c¸c hÖ sè ®•îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc : (8.53), ta cã: sb02 = 0,00258, sbj2 = 0,001131, sbj12 = 0,00193, sbjj2 = 0,00107 KiÓm ®Þnh tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui theo tiªu chuÈn Student: jb j j S b t  Ta tÝnh ®•îc: t0 = 43,912; t1 = 8,5773; t2 = 29,8779; t3 = 1,9226; t12 = 2,3917; t13 = 1,2528; t23 = 1,9931; t11 = 19,5993; t22 = 13,6574 t33 = 2,4679 Tra b¶ng tp (f); p = 0,05; f = 5 tra b¶ng : t0,05 (5) = 2,57 C¸c gi¸ trÞ t3; t12; t13; t23; t33 nhá h¬n tp (f) do ®ã c¸c hÖ sè b3, b12, b13, b23, b33 bÞ lo¹i ra khái ph•¬ng tr×nh håi quy. Ph•¬ng tr×nh håi quy cßn l¹i cã d¹ng: y = 2,1956 + 0,2882x1 + 1,003x2 + 0,6409x12 + 0,4466x22 8.56 B¶ng 8.13- Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm ph•¬ng ¸n quay bËc 2, ba yÕu tè : STT x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1 2 x2 2 x3 2 Y 1 + - - - + + + + + + 2,16 2 + + - - - - + + + + 2,65 3 + - + - - + - + + + 3,80 4 + + + - + - - + + + 4,70 5 + - - + + - - + + + 2,22 6 + + - + - + - + + + 2,48 7 + - + + - - + + + + 4,20 8 + + + + + + + + + + 4,89 9 + -1,682 0 0 0 0 0 2,828 0 0 3,55 10 + +1,682 0 0 0 0 0 2,828 0 0 4,50 11 + 0 -1,682 0 0 0 0 0 2,828 0 1,80 12 + 0 +1,682 0 0 0 0 0 2,828 0 5,15 13 + 0 0 -1,682 0 0 0 0 0 2,828 2,32 14 + 0 0 +1,682 0 0 0 0 0 2,828 2,56 15 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,31 16 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,08 17 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,12 18 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,32 19 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,36 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 92 20 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,12 V× r»ng trong c¸c hÖ sè kh«ng cã ý nghÜa cã hÖ sè b33 ë sè h¹ng bËc hai v× vËy ph¶i tÝnh l¹i c¸c hÖ sè cã ý nghÜa theo ph•¬ng ph¸p b×nh ph•¬ng nhá nhÊt : 20.b0 + 0.b1 + 0.b2 + 13,656b11 + 13,656b22 = 60,29 0.b0 + 13,656b1 + 0.b2 + 0.b11 + 0.b22 = 3,9379 0.b0 + 0.b1 + 13,656b2 + 0.b11 + 0.b22 = 13,7147 13,656b0 + 0.b1 + b2 + 24b11 + 8b22 = 49,8654 13,656b0 + 0.b1 + 0.b2 + 8b11 + 24b22 = 46,7546 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh trªn ta nhËn ®•îc: b0 = 2,28; b11 = 0,6321; b22 = 0,4373 Vµ ph•¬ng tr×nh håi qui nhËn ®•îc: y = 2,284 + 0,2882x1 + 1,0039x2 + 0,6321x1 2 + 0,4373x2 2 8.57 §Ó kiÓm ®Þnh sù phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui víi thùc nghiÖm ta t×m stt 2: )1( 0 22 2   nLN SSs oskph 8.58 trong ®ã : L- sè hÖ sè cã nghÜa trong ph•¬ng tr×nh håi qui. Tæng b×nh ph•¬ng ®é lÖch Sphh ®•îc tÝnh:    N i iisk yyS 1 22 3996,0)ˆ( vµ    0 1 2002 0 0770,0)( n n u yyS Do ®ã: 0322,0 10 0770,03996,0 s 2phh   Gi¸ trÞ tÝnh ®•îc cña chuÈn F b»ng: 091,22 0 2  s s F phh Tra b¶ng F1 - p (f1, f2), víi p = 0,05; f1=10; f2 = 5 ta ®•îc :F0,95(10;5) = 4,74. Ta cã F < F1 - p ; V× vËy ph•¬ng tr×nh håi qui t×m ®•îc m« t¶ ®óng thùc nghiÖm. §Ó dÔ dµng h×nh dung nh÷ng kÕt qu¶ t×m ®•îc, ta chuyÓn ph•¬ng tr×nh tõ d¹ng m· hãa (x1, x2, x3) sang d¹ng täa ®é thùc: (v,s, t) b»ng c¸c c«ng thøc t tt x; s ss x; v vv x 03 0 2 0 1       8.59 Trong ®ã v0, s0, t0 lµ nh÷ng gi¸ trÞ thùc cña c¸c nh©n tè ë møc gèc; v, s, t lµ gi¸ trÞ c¸c kho¶ng biÕn thiªn cña c¸c nh©n tè. Nh• vËy: x v x s x t 1 2 3 205 109 0 5 0 2 0 5 0 25      ; , , ; , , 8.60 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 93 Thay c¸c biÓu thøc cña x1, x2, x3 vµo ph•¬ng tr×nh ta nhËn ®•îc. Rz = 4,2019 - 0,0218v - 5,913s + 5,32 .10-5v2 + 10,932s2 8.61 VÝ dô 8.5: B¶ng 8.14. M« h×nh ho¸ thøc nghiÖm b©c hai t©m xoay vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm C¸c yÕu tèTªn X1 X2 C¸c hÖ sè cã nghÜa Møc gèc 9,20 4,89 Møc cao 10,00 6,89 b0 = 85,14 b13 = 3,00 Møc thÊp 8,40 2,89 b1 = 3,43 b11 = 2,60 Møc "+1,41" 10,33 7,71 b3 = -1,32 b33 = -1,19 Møc "-1,41" 8,07 2,07 B¶ng 8.15 Ma trËn thùc nghiÖm Hµm môc tiªuThÝ nghiÖm x0 x1 x3 x1 2 x3 2 x1x3 yu uy~ TÝnh to¸n (yu - uy ~ )2 1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 87,1 87,44 0,1156 2 +1 -1 +1 +1 +1 -1 79,0 78,80 0,0400 3 +1 +1 -1 +1 +1 -1 88,9 88,30 0,3600 4 +1 +1 +1 +1 +1 +1 92,8 91,66 1,2986 5 +1 -1,41 0 2,0 0 0 85,6 85,50 0,0100 6 +1 +1,41 0 2,0 0 0 94,0 95,18 1,3924 7 +1 0 -1,41 0 2,0 0 84,5 84,62 0,0144 8 +1 0 +1,41 0 2,0 0 80,0 80,90 0,8100 9 +1 0 0 0 0 0 83,7 85,14 2,0736 10 +1 0 0 0 0 0 86,0 85,14 0,7386 11 +1 0 0 0 0 0 85,8 85,14 0,4356 12 +1 0 0 0 0 0 83,9 85,14 1,5376 13 +1 0 0 0 0 0 86,3 85,14 1,3456 Sù t¨ng theo ®•êng dèc nhÊt dÉn ®Õn ®Ønh nµo ®ã cña kh«ng gian nh©n tè, ë ®©y chØ cã 2 nh©n tè cã nghÜa, cßn mÉu tuyÕn tÝnh kh«ng phï hîp. Gi¶ thiÕt t¹i vïng nµy, ta thùc hiÖn ma trËn bËc 2 t©m xoay - b¶ng 8.12. PhÐp tÝnh hÖ sè ph•¬ng tr×nh håi qui b¾t ®Çu tõ phÐp tÝnh c¸c tæng (0y), (iy), (ijy), (iiy): (0y) =  N 1u uy = 1117,60; (1y) =  N 1u u1 yx u = 27,444; 8.62 (3y) = u N 1u u3 yx  = 12,000 (13y) = uu3 N 1u u1 yxx  = -10,545; 8.63 (11y) =  N 1u u 2 u1 yx = 707,00; (33y) =  N u uu yx 1 2 3 = 676,00; 8.64 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 94   N 1u )iiy( = 707,00 + 676,00 = 1383,80. 8.65 Theo c¸c c«ng thøc tÝnh hÖ sè håi qui, chóng ta tÝnh ®•îc c¸c hÖ sè: b0 = 0,2 (0y) - 0,1(iiy) = 85,14; b1 = 0,125 (1y) = 3,43 b3 = 0,125 (3y) = - 1,32; b13 = 0,25 (13y) = 3,0; b11 = 0,125 (11y) + 0,0187 (iiy) - 01 (0y) = 2,60; b22 = 0,125 (33y) + 0,0187 (iiy) - 0,1 (0y) = - 1,19. Cã thÓ tÝnh c¸c hÖ sè c¶ ë d¹ng ma trËn theo ph•¬ng tr×nh B = (XTX)-1 XTY 8.66 Chóng ta t×m thÊy XTX XTX =                   1204008 040000 4012008 00098,700 000098,70 8080013 8.67 Chóng ta h•íng ma trËn: (XTX)-1 =                     144,00018,0001,0 025,00000 018,00144,000)9(09,0 000125,000 0000125,00 1,00)9(09,00019,0 8.68 Cuèi cïng cét B: B =                     191375179,1 99999976,2 56125032,2 32205820,1 43073611,3 14000225,85 8.69 Nh• vËy, ph•¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: y = 85,14 + 3,43x1 -1,32x3 +3,00x1x3 +2,60x1 2 -1,19x3 2 8.70 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 95 Chóng ta •íc l•îng ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè theo c¸c phÇn tö chÐo cña ma trËn nghÞch ®¶o nÕu sai sè thÝ nghiÖm b»ng: s0 2 = 4 13,6 )yy( 1N 1 5 1k 2 0k0 0   = 1,5325. Lóc ®ã: 2 b0 s = 0,199.1,53250,31; 0b s = 0,56; 2 b i s = 0,125.1,53250,193; ib s = 0,44; yˆ = 0,25.1,53250,385; ijbs = 0,62; 2 b ii s = 0,144.1,53250,222; iib s = 0,47; Chóng ta tÝnh c¸c g¸ trÞ chuÈn t ®èi víi nhãm hÖ sè: t0p = 56,0 14,85 = 152; t11p = 47,0 6,2 = 5,5; t1p = 44,0 43,3 = 7,8; t22p = 47,0 19,1 = 2,5; t3p = 44,0 32,1 = 3,0; t13p = 62,0 0,3 = 4,8; NÕu tÝnh r»ng tT = 2,78 (q = 0,05, f0 = 4), tÊt c¶ c¸c hÖ sã trõ b22 ®Òu cã ý nghÜa. Song v× b22 n»m ë giíi h¹n cã nghÜa vµ ®Ó t×m to¹ ®é tèi •u cña vïng cã thÓ ®Ó nã l¹i. Ta h·y ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph•¬ng tr×nh håi qui. TÝnh cét y~ (xem b¶ng 8.12) vµ hiÖu (sù sai kh¸c) b×nh ph•¬ng ®é lÖch. Tæng b×nh ph•¬ng ®é lÖch Ssai kh¸c = 9,361;fsai kh¸c = 13-6 = 7 Tæng b×nh ph•¬ng ®é lÖch cña c¸c thÝ nghiÖm gèc (sè 0) S0 = 6,13; f0 = 5 - 1 = 4. Lóc ®ã: Sphï hîp = 9,361 - 6,13 = 3,231;fphï hîp = 7 - 4 = 3. ChuÈn F tÝnh ®•îc sÏ lµ: Fp = 4/13,6 3/231,3 0/0 /  fS phfphS = 0,70277. 8.71 FT = 6,6 (fphï hîp = 3; f0 = 4; q = 0,05). V× Fp < FT cho nªn ph•¬ng tr×nh håi qui m« t¶ phï hîp c¸c sè liÖu thùc nghiÖm. VÝ dô 8.6: Khi ph©n tÝch vïng tèi •u dietylstylbestrola b»ng ph•¬ng ph¸p quang phæ vi sai. Tham sè tèi •u lµ sai sè t•¬ng ®èi y, cßn c¸c nh©n tè ®éc lËp lµ nång ®é dung dÞch kh«ng (X1, mg/ml), dung dÞch ®•îc ph©n tÝch (X2, mg/ml) vµ nång ®é ®•¬ng l•îng Natri hi®r«xit (X3). §Ó m« t¶ vïng gÇn, ng•êi ta cã ý ®Þnh sö dông ®¬n trÞ hîp thµnh trung t©m ®· m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm b»ng ph•¬ng ph¸p t©m xoay (b¶ng 8.13). Cã thÓ tÝnh c¸c hÖ sè ph•¬ng tr×nh bËc hai theo c«ng thøc (8.74) - (28.75) nh•ng ®¬n gi¶n h¬n nªn theo c¸c c«ng thøc riªng ®èi víi n = 3: Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 96 bi = 0,073224. u N 1u iu yx  ; bij = uju N 1u iu yxx8 1  , N = 20, (229) b0 = 0,166338 .     3 1i N 1u u 2 iu N 1u u yx056791,0y ; bii = 0,0625 .       3 1i N 1u N 1u uu 2 iu N 1u u 2 iu y056791,0yx006889,0yx , Chóng ta cã: x1y = -0,11272, x2y = -0,81, x3y = -0,94, y = 10,05, x1x2y = - 0,94, x1x2y = - 0,44, x1x3y = 0,10, x2x3y = 0,26, x12y=7,4405, x22y = 7,7233, x32y = 7,4405. B¶ng 8.16- Ma trËn bËc hai t©m xoay vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm X1 X2 X3 ai ci 28 4 40 4 0,2 0,1 ThÝ nghiÖm sè x1 x2 x3 Y 1 + + + 0,32 2 + - + 0,60 3 - + + 0,44 4 - - + 0,62 5 + + - 0,27 6 + - - 0,80 7 - + - 0,46 8 - - - 0,65 9 -1,682 0 0 0,56 10 1,682 0 0 0,60 11 0 -1,682 0 0,52 12 0 1,682 0 0,74 13 0 0 -1,682 0,80 14 0 0 1,682 0,36 15 0 0 0 0,31 16 0 0 0 0,45 17 0 0 0 0,33 18 0 0 0 0,39 19 0 0 0 0,52 20 0 0 0 0,31 Tõ ®ã, ta tÝnh ®•îc: b1 = 0,073224. (- 0,11272) = - 0,008, t•¬ng tù tÝnh ®•îc b2 = - 0,059; b3 = - 0,069; b12 = - 0,44: 8 = - 0,055; b13 = - 0,10: 8 = 0,012; b23 = 0,26 : 8 = 0,0325; b0 = 0,166338 . 10,05 - 0,056791 . (7,4405 + 7,7233 + 7,4405) = 0,388; b11 = 0,0625 . 7,4405 + 0,006889 . (7,4405 + 7,7233 + 7,4405) - 0,056791 . 10,05 = 0,46503 + 0,155721 - 0,57075 = 0,050. T•¬ng tù ta tÝnh ®•îc b22 = 0,06768, b33 = 0,05000. Ph•¬ng tr×nh håi qui thu ®•îc: yˆ = 0,388 - 0,008x1 - 0,059x2 - 0,069x3 - 0,055x1x2 - 0,012x1x3 + 0,032x2x3 + 0,050x1 2 + 0,068x22 + 0,050x32. 8.72 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 97 Ph•¬ng sai tÝnh lÆp l¹i tÝnh theo c¸c thùc nghiÖm ë t©m : s2{y}= 0,01631. Theo c«ng thøc (8.74 vµ 8.75) cã thÓ tÝnh ph•¬ng sai cña c¸c hÖ sè: s2{b0}= 0,00271430, s2{bi} = 0,00119436; s2{bij} =0,00204; s 2{bii} = 0,001132, s{b0}= 0,0521; s{bi} =0,0345; s{bij} = 0,0452; s{bii}= 0,0336. Theo chuÈn student chØ cã c¸c hÖ sè 0,388: -0,059; -0,069; 0,068 lµ cã gi¸ trÞ (cã tÝnh ®Õn nhËn xÐt ë 2). V× ta biÕt r»ng sai sè t•¬ng ®èi phô thuéc vµo X1 vµ X2, cho nªn cã thÓ ¸p dông phÐp ph©n tÝch håi qui nhãm c¸c hÖ sè, trong tr•êng hîp nµy nã trë nªn ®¬n gi¶n v× nhãm c¸c hÖ sè sè h¹ng tuyÕn tÝnh kh«ng phô thuéc vµo c¸c hÖ sè cßn l¹i. Khi ®ã phÐp ph©n tÝch håi qui ®•îc thùc hiÖn nh• sau: Tæng b×nh ph•¬ng quan tr¾c ®•îc   N 1u 2 uy = 5,5650 cã thÓ tr×nh bµy d•íi d¹ng hai tæng b×nh ph•¬ng - Tæng b×nh ph•¬ng S012 = 5,3350 liªn quan tíi ph•¬ng tr×nh håi qui (c¸c hÖ sè) vµ tæng b×nh ph•¬ng d• SR = 0,2300. VÒ phÇn m×nh cã thÓ tr×nh bµy tæng ®Çu tiªn trong chóng d•íi d¹ng 3 tæng b×nh ph•¬ng: S012 = S0 + S1,0 + S2,10 , S0 = ,y N 1 N 1u 2 u  f0 = 1 8.73 ë ®©y S0 lµ yÕu tè hiÖu chØnh (tæng b×nh ph•¬ng liªn quan tíi sè h¹ng tù do b0) S1,0 = ,yxb u N 1u iu k 1i i  f1,0 = k 8.74 lµ tæng b×nh ph•¬ng liªn quan tíi c¸c sè h¹ng bËc mét vµ S2,10 = b0 0uju N 1u iu k 1j,i iju Syxxby    8.75 ),1k(k 2 1 f 10,2  8.76 tæng ph•¬ng tr×nh liªn quan tíi c¸c sè h¹ng bËc hai. Theo c¸c tæng b×nh ph•¬ng ®· cã ta tÝnh ®•îc b×nh ph•¬ng trung b×nh tøc lµ tÝnh ®•îc ph•¬ng sai t•¬ng øng víi 1 bËc tù do: s0 2 = S0: f0; s1,0 2 = S1,0: f1,0; s 2 2,10 = S 2 2,10: f2,10. 8.77 Ph•¬ng sai ®•îc so s¸nh víi ph•¬ng sai tÝnh s2{y}, ®Æc tr•ng cho sai sè thÝ nghiÖm, th«ng th•êng lµ cã ®•îc hiÖu suÊt gi¸ trÞ t•¬ng ®èi cña nhãm hÖ sè nµo ®ã. VÝ dô nh• trong vÝ dô ®•îc kh¶o s¸t: S0 = 10,052: 20 = 5,0501, f0= 1; S1,0 = (-0,008) . (-0,1127) + (-0,059) . (- 0,81) + (-0,069). (-0,94) = 0,11355, f1,0 = 3; S2,10 = 0,338 . 10,05 + (-0,055).(-0,044) + (- 0,0125) . (-0,10) + 0,0325 . 0,26 + 0,05 . 7,4405 + 0,068 . 7,7233 + 0,05 . 7,4405 - 5,0501 = 0,15243, f2,10 = 0,5.3,4 = 6; s0 2= 5,05; s1,0 2 = 0,11355: 3 = 0,03785, s2,10 2 = 0,1524:6 = 0,025404. Tõ ®ã khi tÝnh s2{y} = 0,01631, chóng ta nhËn ®•îc: F0 = 5,05:0,01631 = 309, F0,