Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009. Phương pháp 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3a b c 3 (1) a b a c b c b a c a c b 4 + + ≥+ + + + + + Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 3 3 a b ca b c(1) a b a c b c b a c a c b 4 + +⇔ + + ≥+ + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ( )( ) ( )( ) 3 3 3 a a a b a c 3a3 a b a c a b a c 8 88 a 4 b a c 8 ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + + + + ⎝ ⎠ Chứng minh tương tự ta cũng được: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 b b c b a b b c b a 3b3 b c b a 8 8 b c b a 8 8 4 c c a c b c c a c b 3c3 c a c b 8 8 c a c b 8 8 4 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠ Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3a b c a b c 3 a b a c b c b a c a c b 4 4 + ++ + ≥ =+ + + + + + (đpcm) Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 + + ≥+ + + + + + Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2a b c a b c a bc b ca c ab 4 + ++ + ≥+ + + Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 3 3 3a b c 1 (1) b 2c a c 2a b a 2b c + + ≥+ + + Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế ( ) ( ) ( ) 3 3 3a b c a b c(1) b 2c a c 2a b a 2b c 3 + +⇔ + + ≥+ + + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 a a3 3b 2c a 9a b 2c a b 9 2c a 3 a 9b 2c ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠+ + Chứng minh tương tự ta cũng được: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 b b3c 2a b 3 3c 2a b 9b c 2a b c 2a b c c3a 2b c 3 3a 2b c 9c a 2b c a 2b c 9 ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 a b c9 6 a b c 9 a b c b 2c a c 2a b a 2b c a b c a b c 1 b 2c a c 2a b a 2b c 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + + ≥ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ + +⇒ + + ≥ =+ + + Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = Chứng minh rằng: 3 3 3a b c 1 b 2c c 2a a 2b 3 + + ≥+ + + Bài giải: Sử dụng giả thiết 2 2 2a b c 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế ( ) 3 3 3 2 2 2a b c a b c1 b 2c c 2a a 2b 3 + +⇔ + + ≥+ + + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2a 9a2 .a b 2c 6a b 2c b a b 29 2 c c + ≥ + =+ ++ Chứng minh tương tự ta cũng được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 9 9 b 9bb c 2a 2 .b c 2a 6b c 2a c 2a c 9cc a 2b 2 .c a 2ab 6c a 2b a 2b + + ≥ + =+ + + + ≥ + =+ + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a b c9 3 ab bc ca 6 a b c b 2c c 2a a 2b a b c9 6 a b c 3 ab bc ca 3 a b c b 2c c 2a a 2b a b c a b c 1 b 2c c 2a a 2b 3 3 ⎛ ⎞⎟⎜ + + + + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜⇒ + + ≥ + + − + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠ + +⇒ + + ≥ =+ + + Đẳng thức xảy ra 3a b c 3 ⇔ = = = Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = Chứng minh rằng: 3 3 3a b c 1 a b b c c a 2 + + ≥+ + + Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 3 (1) 21 a 1 b 1 c + + ≤+ + + Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab bc ca 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 2 a a a a 1 a a. a b a c 2 a b a c1 a ab ca b ca ⎛ ⎞⎟⎜= = ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + + Chứng minh tương tự ta cũng được: 2 2 b 1 b b 2 b c b a1 b c 1 c c 2 c a a b1 c ⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++ ⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 2 2 2 a b c 1 a b b c c a 3 2 a b b c c a 21 a 1 b 1 c ⎛ ⎞+ + + ⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + ++ + + Đẳng thức xảy ra 3a b c 3 ⇔ = = = Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc acS 2c ab 2a bc 2b ac = + ++ + + Bài giải: Ta lần lượt có: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ab ab ab ab 1 1 2c ab 2 c a c bc ab c a c b bc bc bc bc 1 1 2a bc 2 a b a ca a b c bc a b a c ca ca ca ca 1 1 2b ac 2 b c b ab a b c ca b c b a bc ca bc ab cS 2 a b b 2 c a a c ⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ = = ≤ + ⎟⎜⎪ ⎟⎜⎝ ⎠+ + +⎪ + + +⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎨ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎪ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎩ + +⇒ ≤ + ++ + + + ( ) a ab a b c 1 2 c b 2 + + += =+ Đẳng thức xảy ra ⇔ 2a b c 3 = = = Vậy Max S 1= . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = Chứng minh rằng: ab bc ac 1 c ab a bc b ac 2 + + ≤+ + + Phương pháp 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ Dạng 1: 1) x, y 0∀ > ta luôn có: ( ) 1 1x y 4 x y ⎛ ⎞⎟⎜+ + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 2) x, y, y 0∀ > ta luôn có: ( ) 1 1 1x y x 9 x y y ⎛ ⎞⎟⎜+ + + + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= = Dạng 2: 1) x, y 0∀ > ta luôn có: 1 1 4 x y x y + ≥ + Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 2) x, y, z 0∀ > ta luôn có: 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= = Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a b c a b 2c b c 2a c a 2b 4 + ++ + ≤+ + + + + + Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ( ) ( ) ab 1 1 1 1ab. ab. a b 2c 4a c a c b cb c ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + Tương tự ta cũng được: ( ) ( ) ( ) ( ) bc 1 1 1 1bc. bc. b c 2a b a c a 4 b a c a ca 1 1 1 1ca. ca. c a 2b c b a b 4 c b a b ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 bc ca ca ab ab bc a b c a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4 ⎛ ⎞+ + + + +⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 + ++ + ≤+ + + + + + Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ( ) ( ) ab 1 1 1 1 1ab. ab. a 3b 2c 9 a c b c 2ba c b c 2b ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + + Tương tự ta cũng được: ( ) ( ) ( ) ( ) bc 1 1 1 1 1bc. bc. b 3c 2a b a c a 2c 9 b a c a 2c ca 1 1 1 1 1ca. ca. c 3a 2b c b a b 2a 9 c b a b 2a ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + ⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 9 2 a b b c a c 6 ⎛ ⎞+ + + + + + +⎟⎜+ + ≤ + + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 a b c + + = .Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2a b 2c a 2b c a b 2c + + ≤+ + + + + + Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2a b c 4 a b a c 16 a b c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 a 2b c a b b c 4 a b b c 16 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b 2c a c b c 4 a c b c 16 a a b a c b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + + + + + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 1 1 1 1 1 1 1 .4 1 2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4 ⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + = =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra 3a b 4 ⇔ = = Phương pháp 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: ( ) ( )( ) ( )( ) 32 2 2 23 3 3 3 a b a ab b a bab a b a b a b 2 2 6 2 a b + + + ++ ⎛ ⎞+ +⎟⎜≤ ≤ ≤ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ + (1) Dấu bằng xảy ra a b⇔ = Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 33 3 3 b c c a a b 2 a 4 b c b 4 c a c 4 a b + + ++ + ≤ + + + + + + Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 33 4 b c b c+ ≥ + Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 4 b c b c a 4 b c a b c 1 1 b c b c a b c a b ca 4 b c a 4 b c + ≥ + ⇒ + + ≥ + + + +⇒ ≤ ⇒ ≤+ + + ++ + + + Chứng minh tương tự ta cũng được: ( ) ( ) 3 33 3 33 c a c a a b cb 4 c a a b a b a b cc 4 a b + +≤ + ++ + + +≤ + ++ + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 33 3 3 2 a b cb c c a a b 2 a b ca 4 b c b 4 c a c 4 a b + ++ + ++ + ≤ =+ ++ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤+ + + + + + Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 3a b ab a b+ ≥ + Do đó: ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1a b abc ab a b c a b abc ab a b c + + ≥ + + ⇒ ≤+ + + + Chứng minh tương tự ta cũng được: ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 b c abc bc a b c 1 1 c a abc ca a b c ≤+ + + + ≤+ + + + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc ⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 a ab b b bc c c ca a + + ++ + ≥+ + + + + + Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2 2 2 a b a b a ab b 3 + +≥+ + Suy ra: ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a 2 2a b c 3. abc 2 a ab b b bc c c ca a 3 3 3 3 3 + + + + + ++ + ≥ + + = + + ≥ =+ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài toán tương tự: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1= . Chứng minh rằng: 9 9 9 9 9 9 6 3 3 9 6 3 3 6 6 3 3 6 x y y z z x 2 x x y y y y z z z z x x + + ++ + ≥+ + + + + + Bài 5: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 21 a b 1 b c 1 c a 3 3 ab bc ca + + + + + ++ + ≥ Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 3 3 331 a b 3 1.a .b 3ab+ + ≥ = Suy ra: 3 3 3 3 3 33 1 a b 31 a b 3 1.a .b 3ab ab ab + ++ + ≥ = ⇒ ≥ Chứng minh tương tự ta cũng được: 3 3 3 3 1 b c 3 bc bc 1 c a 3 ca ca + + ≥ + + ≥ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 2 2 2 2 2 3 1 a b 1 b c 1 c a 3 3 3 3 3 33 . . 3 3 ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + + + + ++ + ≥ + + ≥ = Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 a 2 b 2 c 1 1 1 a b b c c a a b c + + ≤ + ++ + + Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 2 3 2a b 2 a b 2ab b+ ≥ = Suy ra: 3 2 3 2 3 2 2 a 1a b 2 a b 2ab b a b ab + ≥ = ⇒ ≤+ Chứng minh tương tự ta cũng được: 3 2 3 2 2 b 1 b c bc 2 c 1 c a ca ≤+ ≤+ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1 a b b c c a ab bc ca a b c + + ≤ + + ≤ + ++ + + Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009. -------------------Hết------------------