Chuyên đề Phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp một I. Phương trình khuyết 1.1. Phương trình khuyết x, * Có dạng Giải: * Có dạng Giải: Đặt . Mặt khác * Phương trình tham số hóa: Giải: Đặt 1.2. Phương trình khuyết y, * Có dạng Giải: * Có dạng Giải: Đặt . Mặt khác II. Phương trình phân ly biến số, Giải: Lấy nguyên hàm cả hai vế ta được phương trình nghiệm cần tìm: III. Phương trình thuần nhất, Giải: Đặt . Mặt khác Chú ý: Phương trình là cùng dạng. IV. Phương trình tuyến tính, Giải: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng Ta có Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên của Lagrăng. Xem C là một hàm số biến x, ta có: , khi đó V. Phương trình Bernoulli, Giải: Chia cả hai vế cho ta có: Đặt . Phương trình trở thành: Giải giống phương trình tuyến tính. VI. Phương trình vi phân toàn phần Giải: *Trường hợp Khi đó với là nghiệm bất kì của phương trình ta có: *Trường hợp Tìm thỏa mãn ( được gọi là thừa số tích phân). Khi đó Nếu chỉ phụ thuộc x ta có: Nếu chỉ phụ thuộc y ta có: VII. Phương trình Clairaut, Giải: Đặt , khi đó: VIII. Phương trình Lagrange Giải: Đặt khi đó: (phương trình tuyến tính không thuần nhất đối với x(t)) Phương trình vi phân cấp hai I. Phương trình khuyết 1.1. Phương trình khuyết y, y’, * Có dạng Giải: Đặt . Đặt * Có dạng Giải: Đặt 1.2. Phương trình khuyết y, Giải: Đặt Giải phương trình vi phân cấp một đối với p(x) tìm được . Khi đó . 1.3. Phương trình khuyết x, Giải: Đặt . Khi đó ta có phương trình: (là phương trình vi phân cấp 1 đối với p(y)). II. Phương trình tuyến tính, Giải: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng: Định lý: Nếu là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình trên thì là nghiệm tổng quát của phương trình trên. Nếu là một nghiệm của phương trình trên thì cũng là nghiệm của phương trình trên. Sử dụng định lý trên ta tìm nghiệm của phương trình trên. Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên của Lagrange, xem là các hàm số biến x, ta có: Giải hệ phương trình sau tìm : Thay vào phương trình ta được phương trình nghiệm cần tìm. III. Phương trình thuần nhất có hệ số không đổi, Giải: Xét phương trình đặc trưng tương ứng , Nếu , phương trình có 2 nghiệm phân biệt , phương trình nghiệm cần tìm là . Nếu , phương trình có nghiệm kép , phương trình nghiệm cần tìm là . Nếu , phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp , phương trình nghiệm tổng quát là . ...................................