Chuyên đề Tích phân

2 64 0 6 3 π π π −=−      +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4 Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 22221 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= ðổi cận :     =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ Vậy : ( ) baab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22221 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 22221 =−== = + = ∫ ∫∫ ππ ππ b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒= ðổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 232cos2 cos t dt t dt dx x x I π ðặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= ðổi cận :       =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5 Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 2 0 1 5cos3sin4 1 π dx xx I b) ∫ ++ ++ = 2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin π dx xx xx I Bài làm : a) ðặt : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2 + =⇒      +=⇒= t dt dxdx x dt x t ðổi cận :     =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) 6 1 2 1 1 5 1 1 3 1 2 4 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 = + −= + = + + − + + += ∫∫ t t dt dt t t t t tI b)ðặt : 5cos3sin45cos3sin4 sin3cos4 5cos3sin4 6cos7sin ++ + ++ − += ++ ++ xx C xx xx BA xx xx Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA Vậy : ( ) 6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2 ++=++++=       ++ + ++ − += ++ ++ = ∫∫ ππ ππ Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bạn ñọc tự làm : a) ∫= 2 6 2 3 1 sin cos π π dx x x I b) ∫= 2 0 3 2 sin.cos π xdxxI c) ∫ += 2 0 3 2sin π x dx I Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6 c) ∫ += 2 0 3 3 1cos sin4 π dx x x I d) ∫ ++= 2 0 5 3cos2sin 1 π dx xx I d) ∫ ++ +− = 2 0 6 3cos2sin 1cossin π dx xx xx I Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ Dạng 1 : ( ) ( ) C axnax dx I nn + −− −= − = −∫ 1 1 . 1 1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có : Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx ax dx I += − = ∫ ln Dạng 2 : ( )∫ ++ + = dx cbxax x I n2 βα trong ñó :    <−=∆ ∈ 04 ,,,, 2 acb Rcbaβα * Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 , sai khác một số : ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++     −+ ++ + = ++ −++ = nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2 α βααα β α * Giai ñoạn 2 : Tính ( ) ( )∫∫ ∆− + = + ∆−       ∆− = ++ = bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 12 . 4 * Giai ñoạn 3 : Tính ( )∫ + = dt t I n 1 1 2 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φtan=t Dạng 3 : ( ) ( )∫= dxxQ xP I n m Ta có : ( ) ( ) 01 01 ...... ...... bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m +++ +++ = Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQ xR xA xQ xP n r nm n m += − trong ñó phân số ( ) ( )xQ xR n r có ( ) ( )QR degdeg < Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau : *Qt 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n xm ax A ax A ax A ax P − + − ++ − = − − − 1 11 ...... Vdụ 1a : ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ = = − = − n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Vdụ 1b : ( ) ( )22))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xPm − + − + − + − = −−− Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7 *Qt 2': ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP ++ + + ++ + ++ ++ + = ++ − −− 212 11 2 11 2 ...... với 0<∆ *Qt 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++ + + − = ++− m i n k i i i i nm t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2 αα Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax CBx x A cbxaxx xPt ++ + + − = ++− 22)( αα Vdụ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 11 22 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xPt ++ + + ++ + + − = ++− αα BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 1 0 21 23xx dx I b) ( )∫ ++ = 1 0 222 23xx dx I Bài làm : a) ( )( ) ∫∫∫      + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 1 0 21 2 1 1 1 2123 dx xxxx dx xx dx I b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx xxxx dx xx dx I ∫∫       ++ − + + + = ++ = 1 0 22 1 0 222 21 2 2 1 1 1 23 ( ) OKxx xx =    +−+− + − + −= 1 0 2ln1ln2 2 1 1 1 Tính các tích phân sau : a) ∫ ++= 1 0 241 33xx dx I b) ( )( )∫ ++ − = 1 0 22 21 24 dx xx x I Bài làm : a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca x aax dx I arctan 1 220 với 0>a ( )( ) dxxxxx dx xx dx I ∫ ∫∫      + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 2222 1 0 241 3 1 1 1 2 1 3133 ( )329 23 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0 −=      −= πx x [ ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8 b) ðặt : ( )( ) ( ) ( ) ( )( )12 22 1212 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do ñó ta có hệ :      = = −= ⇔      =+ =+ =+ 0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vậy : ( )( )∫ ∫      + + + −= ++ − = 1 0 1 0 222 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I [ ] 9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2 =−++−=+++−= xx Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ − + = 3 2 21 1 1 dx xx x I b) ∫ −+= 5 2 22 32xx dx I c) dx xx x I ∫ − − = 2 1 3 3 3 4 1 d) ∫ +−= 2 3 243 23 dx xx x I HD: a) ( ) 11 1 22 − ++= − + x C x B x A xx x b) 3132 1 2 + + − = −+ x B x A xx c) ( )( )       −+ − += − − 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 221123 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. BÀI TẬP Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxxdxxx mnnm Bài làm : Xét ( )∫ −= 1 0 1 dxxxI nm ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1 Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9 ðổi cận :    =→= =→= 01 10 tx tx Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−= 0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm) Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì : ( )∫ − == a a dxxfI 0 Bài làm : ( ) ( ) ( )1)( 0 0 ∫ ∫ ∫ − − +== a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét ( )∫ − 0 a dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx atax V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−= − a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫ − == a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ − = + α α α dxxfdx a xf x 01 Bài làm : Xét ( ) dx a xf x∫ − + 0 1α . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx tx αα Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=+ − = + −− α α α 0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ − − + + + = + α α α α0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 10 Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+++=+− − αα α α α 0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (ñpcm) Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫= π ππ 0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm : Xét ( )∫ π 0 sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π ðổi cận :    =→= =→= 0 0 tx tx π π Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−= π ππ πππ 0 00 sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx ( ) ( )∫ ∫−= π π π 0 0 sin.sin dttftdttf ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfx dxxfdxxfx ∫∫ ∫∫ =⇒ =⇒ ππ ππ π π 00 00 sin 2 sin. sinsin.2 Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : ( ) ( )∫ ∫ + = b a dxxf ba dxxfx π 02 . Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫ +++ ++=+= Ta T T a Ta T Ta a T a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 0 0 Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫ + = a Ta T dxxfdxxf 0 Xét ( )∫ a dxxf 0 . ðặt dxdtTxt =⇒+= Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 11 ðổi cận :    +=→= =→= Tatax Ttx 0 Vậy : ( ) ( )∫ ∫ + + =− Ta T Ta T dttfdtTtf Hay : ( ) ( )∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 (ñpcm) Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có : ( ) ( )∫ ∫ − = T T T dxxfdxxf 0 2 2 Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ −= 1 0 6 1 1 dxxxI b) ( )∫ − ++= 1 1 22 2 1lncos.sin dxxxxxI c) ∫ += π 0 23 cos49 sin. dx x xx I d) ∫ += π 0 24 cos1 sin. dx x xx I e) ∫ − + = 2 2 2 5 21 sin π π dx xx I x f) ∫ − + + = 1 1 2 2 6 1 sin dx x xx I g) ( )∫ ++=∗ π2 0 2 7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗ π2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có : [ ]∫ ∫−= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= . *ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc. BÀI TẬP Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 12 a) ∫= 1 0 1 . dxexI x b) ∫= 2 0 2 2 cos. π xdxxI c) ∫= e xdxI 1 3 ln Bài làm : a) ðặt :    =⇒= =⇒= xx evdxedv dxduxu Vậy : ( ) 11.. 1 0 1 0 1 0 1 0 1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx b) ðặt :    =⇒= =⇒= xvxdxdv xdxduxu sincos 22 Vậy : ( )1sin.2 4 sin.2cos.. 2 0 2 0 2 2 0 1 0 1 ∫∫∫ −=−−== ππ π π xdxxxdxxxxdxexI x Ta ñi tính tích phân ∫ 2 0 sin. π xdxx ðặt :    −=⇒= =⇒= xvxdxdv dxduxu cossin Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 =+−=+−= ∫∫ ππ π π π xxxdxxxxdxx Thế vào (1) ta ñược : 4 8 . 21 0 1 − == ∫ π dxexI x c) ðặt :     =⇒= =⇒= xvdxdv dx x duxu 1 ln Vậy : 1ln.ln.ln 01 1 1 1 3 =−=−== ∫∫ ee e e e xxxdxxxxdxI Tính các tích phân sau : a) ∫= π 0 1 sin. xdxeI x b) ∫= 4 0 22 cos π dx x x I c) ( )∫= πe dxxI 1 3 lncos Bài làm : a) ðặt :    −=⇒= =⇒= xvxdxdv dxedueu xx cossin Vậy : ( )∫∫ ++=+−== π ππ π 0 0 0 1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 13 ðặt :    =⇒= =⇒= xvxdxdv dxedueu xx sincos Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫ π π π 0 0 0 sin.sin.cos. Thế vào (1) ta ñược : 2 1 12 11 + =⇒+= π π eIeI b) ðặt :     =⇒= =⇒= xvdx x dv dxduxu tan cos 1 2 Vậy : ( ) 2 2 ln 4 cosln 4 tantan. cos 4 0 4 0 4 0 4 0 22 +=+=−== ∫∫ ππ π π π π xxdxxxdx x x I c) ðặt : ( ) ( )     =⇒= −=⇒= xvdxdv dxx x duxu lnsin 1 lncos Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI e e e ++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos 1 1 1 3 π π π π ðặt : ( ) ( )     =⇒= =⇒= xvdxdv dxx x duxu lncos 1 lnsin Vậy : ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI e e e −=−== ∫∫ π π π Thế vào (1) ta ñược : ( ) 2 1 12 33 + −=⇒+−= π π eIeI Bạn ñọc tự làm : a) ∫ −= 2ln 0 1 . dxexI x b) ( )∫ −= e dxxI 1 2 2 ln1 c) ∫      −= 2 23 ln 1 ln 1 e dx xx I d) ( )∫ ++= 1 0 2 4 1ln dxxxI e) ( )∫= 3 4 5 tanln.sin π π dxxxI f) ( )∫= e dxxI 1 2 6 lncos g) ∫=∗ 4 0 2 7 2cos π xxI h) ∫ + + =∗ 2 0 7 cos1 sin1 π dxe x x I x Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 14 Muốn tính ( )∫= b a dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối Muốn tính ( ) ( )[ ]∫= b a dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, Muốn tính ( ) ( )[ ]∫= b a dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba, Tính các tích phân sau : a) ∫ −= 4 1 1 2dxxI b) ∫ −+= 2 0 2 1 32 dxxxI Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + Vậy : ( ) ( ) 4 2 22 1 24 2 2 1 4 1 1 222 2222       −+      −=++−=−= ∫∫∫ x xx xdxxdxxdxxI ( ) ( ) ( )[ ] 2 5 4288 2 1 224 =−−−+            −−−= b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược ( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+= 2 1 2 1 0 2 2 0 2 1 323232 dxxxdxxxdxxxI . Tính ∫ −= 1 0 dxaxxI a với a là tham số : Bài làm : x ∞− a ∞+ x-a - 0 + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ). Nếu 0≤a . 4 3 3 3 3 2 1 3 2 1 0 3 2 1 =      ++−+      −−= x xx x xxI Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 15 ( )∫∫ −=      −=−=−= 1 0 1 0 23 2 1 0 23 1 23 aaxx dxaxxdxaxxIa Nếu 10 << a . ( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−= a a a dxaxxdxaxxdxaxxI 0 1 22 1 0 223 1 3232 32132 0 32 aaxaxxax a a +−=      +−+      −= Nếu 1≥a . ( )∫∫ +−=      −−=−−=−= 1 0 1 0 23 2 1 0 23 1 23 aaxx dxaxxdxaxxIa Tính : a) ( )∫= 2 0 2 1 ,1min dxxI ( )∫= 3 0 2 2 ,max dxxxI Bài làm : a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx Vậy : ( ) 3 4 3 ,1min 2 1 2 0 32 1 1 0 2 2 0 2 1 =+=+== ∫∫∫ x x dxdxxdxxI b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có . ( ) 6 55 32 ,max 3 1 31 0 23 1 2 1 0 3 0 2 2 =+=+== ∫∫∫ xx dxxxdxdxxxI Bạn ñọc tự làm : a) ( )∫ − −= 3 2 2 1 3,min dxxxI b) ( )∫= 2 0 2 cos,sinmax π dxxxI c) ∫ −= 4 3 0 3 cossin π dxxxI d) ( )∫ − −= 3 2 2 4 34,max dxxxI d) ∫     −−+−+=∗ 5 1 4 1212 dxxxxxI Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.               ∆− + + ∆− =++→    <∆ > 22 21 40 0 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆− + = +=++ 2 22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= . Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 16 Dạng 2:               ∆− + − ∆− =++→    <∆ < 22 21 40 0 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆− + = −=++ 2 22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= . Dạng 3:         −      ∆− +∆ =++→    >∆ > 1 2 40 0 2 2 bax a cbxax a ( ) ( )dtttSdxcbxaxxR bax t ∫∫ ∆ + = −=++ 2 22 1,, Tới ñây, ñặt u t sin 1 = . Dạng 4 (dạng ñặc biệt) : ( ) ∫∫ + = ++ = +++ βα ζµαβα x t tt dt cbxaxx dx 1 22 Một số cách ñặt thường gặp : ( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos. ( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22tan. ππ <<−= ttax ( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ ktt a x +≠= 2cos ( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )       >±±=++ =++−=++ >±=++ 0;. 0; 0; 2 000 2 2 atxacbxax cbxaxxxtcbxax ccxtcbxax ∫        + + m dcx bax xS , ñặt 0; ≠− + + = cbad dcx bax t m Tính : ( )∫ ++ = 32 74xx dx I Bài làm : ( ) ( )∫∫ += + = ++ 2 3232 374 xt t dt xx dx ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒= Ta có ( ) ( ) ∫∫ = + + = uu udu u duu I tan3tan3 32 2 cos 3 1 1tan.33 1tan3 C xx x C t t Cu + ++ + =+ + =+= 74 2 3 1 13 1 sin 3 1 22 Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 17 Tính : a) ∫ ++ = 12 xx xdx I b) ∫ −− = 122 xxx dx I Bài làm : a) ∫∫∫ + = + − = +      + = ++ 3 12 222 1 13 2 1 4 3 2 11 xt dt t t x xdx xx xdx ( ) Cxxxxx Ctttdt t t I x t +      +++++−++= +++−+= + − = ∫ + = 1 2 1 ln 2 1 1 1ln 2 1 1 2 3 1 13 2 1 22 22 3 12 2 b)ðặt : 2 1 t dt dx t x −=⇒= ( ) C t t dt xxx dx I t x + + −= +− −= −− = ∫∫ = 2 1 arcsin 1212 1 22 C x Cx + + −=+ + −= 2 1 arcsin 2 1 1 arcsin Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ +++ = 3 11 xx dx I b) ∫ +++ = 11 xx dx I Bài làm : a)ðặt : dxdttxtxt =⇒+=⇒+= 566 611 Vậy : ∫∫∫ +=+=       + −+−= + = +++ = 66 1 2 1 23 5 3 1 1 166 11 xtxt dt t tt tt dtt xx dx I Cxxxx Ctttt +++−+++−+= ++−+−= 11ln6161312 1ln6632 663 23 b) ∫ ∫∫∫ + −      += +−+ = +++ = − dx x x dxxdx x xx xx dx I 1 2 1 1 2 1 2 11 11 2 1 ( )11 2 1 2 1 dx x x xx ∫ + −+= Xét dx x x ∫ +1 ðặt : ( ) dt t t dx t x x x t 222 1 2 1 11 − −=⇒ − =⇒ + = Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 18 Vậy : ( ) OK t dtt dx x x x x t = − −= + ∫∫ + = 1 2 2 1 2 1 Tìm các nguyên hàm sau : a) ∫ += dxxxI 9. 22 b) ∫ += dxxxI 4.16 22 Bài làm : a)ðặt : dt t t dx t t xtxx 2 22 2 2 9 2 9 9 + =⇒ − =⇒−=+ Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxx xx C t t t dt tt t dt t t dt t t t t t t I +        +− −+−− +− −= +      −−−=      +−−= − −= −       −−       + = ∫ ∫∫ 4 2 2 4 2 4 4 5 3 5 24 2 222 2 2 1 94 6561 9ln162 4 9 16 1 4 6561 ln162 416 16561162 16 1 81 16 1 4 9 . 2 9 . 2 9 b)ðặt : dt t t dx t t xtxx 2 22 2 2 4 2 4 4 + =⇒ − =⇒−=+ ( ) ( ) ( ) ( ) C xx xx xx C t t t dt tt t dt t t dt t t t t t t I +        +− −+−+ +− −= +      −−−=      +−−= − −= −       −−       + = ∫ ∫∫ 4 2 2 4 2 4 4 5 3 5 24 2 222 2 2 4 64 4ln36 4 4 64 ln36 4 25636 16 4 4 . 2 4 . 2 4 16 Tính các tích phân sau : a) ∫ −= 1 2 1 2 1 dxxxI b) ∫ − − − = 8 3 2 1 dx xx dx I Bài làm : ( )∫∫ −−=−= 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1212 1 dxxdxxxI Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 19 ðặt : tdtdxtx cos 2 1 sin12 =⇒=− ðổi cận :       =→= =→= 2 1 0 2 1 π tx tx Vậy : ( ) 2 0 2 0 2 0 2 1 2sin2 1 1 8 1 2cos1 8 1 cos 4 1 πππ       +=+== ∫∫ tdtttdtI b) ðặt : dxtdtxt =−⇒−= 21 ðổi cận :    =→−= =→−= 38 23 tx tx Vậy : ( ) ∫∫∫ −=−=−= − − 3 2 2 3 2 2 8 3 2 1 2 1 2 1 t dt tt tdt dx xx dx I Bạn ñọc tự làm : a) ∫ + = 12 1 xx dx I b) dxxxI ∫ −= 22 4 c) ( )∫ + = 32 3 4x dx I d) ∫ += dxxI 24 1 d) ∫ −− −+ =∗ dx x x I 11 11 2 2 5 d) dx x I 11 1 2 6 ++ =∗ Bất ñẳng thức tích phân : Nếu ( ) [ ] ( ) 0,0 ≥⇒∈∀≥ ∫ dxxfbaxxf b a Nếu ( ) ( ) [ ] ( ) ( )dxxgdxxfbaxxgxf b a b a ∫∫ ≥⇒∈∀≥ , Nếu ( ) [ ] ( ) ( ) ( )abMdxxfabmbaxxfm b a −≤≤−⇒∈∀≤≤ ∫, Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP ( ) 16 000 28 1 ππ =      +−      −= 2ln1ln 2 1 ln 1 1 ln 3 2 =      −−= + − −= t t Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 20 Chứng minh các bất ñẳng thức sau : a) ( )∫ ≤− 1 0 4 1 1 dxxx b) 2 1 15 2 2 1 2 ≤ + ≤ ∫ dxx x c) ( )∫ ≤−++ 1 0 211 dxxx Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có : ( ) ( ) [ ]1,0 4 1 2 1 1 2 ∈∀=    −+≤− x xx xx Vậy : ( ) 4 1 4 1 1 1 0 1 0 =≤−∫ ∫dxdxxx (ñpcm) b) Xét hàm số : ( ) [ ]2,1 12 ∈∀ + = x x x xf ðạo hàm : ( ) ( ) ( )    −= = ⇔=′ + − =′ 1 1 0 1 1 22 2 x x xf x x xf Ta có : ( ) ( )      = = 5 2 2 2 1 1 f f Vậy : [ ] 2 1 15 2 2 1 15 2 2,1 2 1 15 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ≤ + ≤⇒ ≤ + ≤⇒ ∈∀≤ + ≤ ∫ ∫∫∫ dx x x dxdx x x dx x x x Áp dụng Bunhicopxki ta có : [ ]1,02111111 22 ∈∀=−+++≤−++ xxxxx Vậy : ( ) ( )01211 1 0 −≤−++∫ dxxx ( )∫ ≤−++ 1 0 211 dxxx (ñpcm) Chứng minh rằng : e dx x xe x 121 sin.3 1 2 π < +∫ − Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 21 Bài làm : [ ] e exx x 1 13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀ − ( )∫∫ +<+⇒ − 3 1 2 3 1 2 1 1 1 sin. dx xe dx x xe x Xét ( )∫ + 3 1 2 1 1 dx xe ðặt : ( )dttdxtx 1tantan 2 +=⇒= ðổi cận :       =→= =→= 3 3 4 1 π π tx tx Do ñó : ( )( ) 121tan 1tan 3 4 3 4 2 2 π π π π π == + + ∫∫ e dt te dtt Từ ñó ta ñược ñpcm. Bạn ñọc tự làm : Chứng minh rằng : a) 10cos3516 2 0 2 ππ π ≤ + ≤ ∫ x dx b) 2 1sin 4 3 3 6 << ∫ π π dx x x c) 8 2 46 3 6 32 ππ π π ≤ −− ≤ ∫ xx dx d*) Cho 2 hàm số liên tục : [ ] [ ] [ ] [ ]1,01,0:;1,01,0: →→ gf Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ≤      1 0 1 0 21 0 .. dxxgdxxfdxxgxf Một số ứng dụng của tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số ( ) ( )xfxf & liên tục trên ñoạn [ ]ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường là : ( ) ( )   = =    = = xgy bx xfy ax ; ðược tính như sau : ( ) ( )∫ −= b a dxxgxfS 2)Tính thể tích : ( )1 1 1 sin. 22 + < + ⇒ − xex xe x Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 22 Nếu diện tích ( )xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa ñộ , là hàm số liên tục trên ñoạn [ ]ba, thì thể tích vật thể ñược tính : ( )dxxfV b a ∫= Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các ñường: ( )      = == Ox xfy bxax , Khi (H) quay quanh Ox ta ñược 1 vật thể tròn xoay . Lúc ñó thể tích ñược tính : ( )[ ] dxxfV b a ∫= 2π Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn : ( ) ( )dxxfxf b a n i ii n ∫∑ =∆ = ∞→ 1 .lim ξ trong ñó    −=∆ ≤≤ − − 1 1 iix ii xx xx ξ Từ ñó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau : Viết dãy số thành dạng : ∑ =      = n i n n i f n S 1 1 sau ñó lập phân hoạch ñều trên [ ]1,0 , chọn n i xii ==ξ ta có ( )∫∑ =     = ∞→ 1 01 1 lim dxxf n i f n n i n 4)Tính ñộ dài cung ñường cong trơn: Nếu ñường cong trơn cho bởi phương trinh ( )xfy = thì ñộ dài ñường cung nó ñược tính như sau : ( ) dxyl b a ∫ ′+= 21 với ba, là hoành ñộ các ñiểm ñầu cung . 4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton. Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau ñó dùng ñồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân . Hình1a hình1b Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 23 hình1c hình1d BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R. Bài làm : (hình 1a) Phương trình ñường tròn có dạng : 22222 xRyRyx −±=⇔=+ Do tính ñối xứng của ñồ thị nên : dxxRS R ∫ −= 0 224 ðặt : tdtRdxtRx cossin =⇒= ðổi cận :     =→= =→= 2 00 π tRx tx     =→= =→= 2 00 π tRx tx Vậy : ( ) ( )dvdtRtxR dttRtdtRtRS 2 2 0 2 2 0 2 2 0 22 2sin 2 1 2 2cos12cossin4 π π ππ =      += +=−= ∫∫ Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy = , phía trên bởi ñường thẳng ñi qua ñiểm A(1,4) và hệ số góc là k . Xác ñịnh k ñể hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất . Bài làm (hình 1b) Phương trình ñường thẳng có dạng. ( ) 41 +−= xky Phương trình hoành ñộ giao ñiểm . ( ) 0441 22 =−+−⇔+−= kkxxxkx Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx < Thienthi4784@yahoo.com | - Thư viện sách trực tuyến Trang 24 Vậy diện tích là : ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*4 2 1 3 1 4 23 41 12 2 121 2 212 2 3 2 2 1 2 1     −+++++−−=       −++−=−+−= ∫ kxxkxxxxxx xkx kx dxxxkS x x x x Với : ( ) ( ) ( )   