Chuyên đề Tích phân và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2009 – 2010 Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] · ; · ( k là hằng số) · · ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: * sin2a = * cos2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * * * 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * và * ; * a0 = 1; a1 = a ; a-n = * ; * ; * 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * * * B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân I1 = I2 = I3 = Giải: a) I1 = = Vậy: I1 = b) I2 = == – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 Vậy: I2 = e2 –1 c) I3 = = = Vậy: I3 = Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 = Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1 suy ra J1 = = = = Vậy: J1 = b) Ta có : suy ra J2 = = = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J2 = 7ln2 – 2 c) suy ra J3 = = = = 25,25 Vậy: J3 = Ví dụ 3: Tính các tích phân K1 = K2 = K3 = Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = suy ra K1 = = Vậy: K1 = b) K2 = Ta có: cos22x = suy ra K2 = = = Vậy: K2 = c) K3 = Ta có : e2x–1 – 1 = 0 e2x–1 = 1 = e0 2x – 1 = 0 x = Suy ra K3 = = = + = + Vậy K3 = Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L = KQ: L = 2) I = KQ: I = 3) J = KQ: J = 4) K = KQ: K = – 2 5) M = KQ: M = 6) N = KQ: N = 7) P = KQ: P = 8) Q = KQ: 9) R = KQ: II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân a) I1 = b) I2 = Giải: a) I1 = + Đặt x = 2sint , t (u(t) = 2sint) dx = 2costdt + Cận mới: x= 0 2sint = 0 sint = 0 t = 0 x = 2 2sint = 2 sint = 1 t = + I1 = = = 4= 4=4 I1 = 2 = 2= Vậy I1 = Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số là 3,141592654. + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính , đặt x = asint , t (u(t) = asint) dx = acostdt rồi thực hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. b) I2 = + Đặt x = 3tant, t dx = 3(1 +tan2t)dt + Cận mới: x = 0 3tant = 0 tant = 0 t = 0 x = 3 3tant = 3 tant = 1 t = + I2 = = = = = = . Vậy I2 = Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính , đặt x = atant , t dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự. Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân J1 = J2 = J3 = J4 = J5 = Giải: J1 = + Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = du + Đổi cận: x = 1 u = 12 = 1; x = 2 u = 22 = 4 (= 1, = 4) + J1 = = = = ( e4 – e1) = ( e4 – e) + Vậy J1 = ( e4 – e) J2 = + Đặt u = u2 = 1 + lnx 2udu = dx + Đổi cận: x = 1 u = = 1; x = e u = = + J2 = == = ) = + Vậy J2 = Ghi nhớ: Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnxdu = dx ln1 = 0 và lne = 1 J3 = + Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx = du + Đổi cận: x = 0 u = 0 – 1 = –1; x = 1 u = 14 – 1 = 0 + J3 = = = = + Vậy J3 = J4 = + Đặt u = u2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 u = = 2; x = 2 u = = 0 + J4 = == = = + Vậy J4 = J5 = + Đặt u = 1 + sinx du = cosxdx + Đổi cận: x = 0 u = 1 +sin0 = 1; x = u = 1 + sin = 2 + J5 = == = = + Vậy J5 = Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I = KQ: I = b) J = KQ: J = –4 c) K = KQ: K = d) L = KQ: L = e) M = KQ: M = g) N = KQ: N = ln h) P = KQ: P = (Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10-7) 2) Tính các tích phân: a) I1 = KQ: 4 b) J1 = KQ: c) P = KQ: 2ln3 d) Q= KQ: 16/3 e) L1 = KQ: 116/135 g) N1 = KQ: ln(e+1) III) Phương pháp tích phân từng phần: Công thức: Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Q(x):hay Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân I1 = I2 = I3 = Giải: I1 = Đặt: u = 2x du = 2dx; dv = cos2xdx v = sin2x · I1 = = – = = = Vậy: I1 = I2 = Đặt: u = x +1 du = dx; dv = e2xdx v = e2x · I2 = = – = = = Vậy: I2 = I3 = Đặt: u = ln(x – 1) du = dx; dv = 2xdx v = x2 · I3 = = – = 9ln2 – 0 – = 9ln2 – = 8ln2 – Vậy: I3 = 8ln2 – Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu Đặt: u = ln(x – 1) du = dx; dv = 2xdx v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1) Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết , trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn. Ví dụ 7: Tính các tích phân J1 = J2 = Giải: J1 = Đặt: u = x du = dx; dv = v = tanx · J1 = = – = = = Vậy: J1 = Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm thì có thể biến đổi tanx = rồi đặt u = cosx (đổi biến loại 2). J2 = Đặt: u = lnx du = dx dv = dx v = (HD: nên có 1 nguyên hàm là ) · J2 = = + = = = Vậy: J2 = Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I 1= KQ: I = b) I2 = KQ: c) I3 = KQ: M = – ln d) I4 = KQ: N = 2(1 – ) 2) Tính các tích phân: a) K1= KQ: b) K2 = KQ: c) K3 = KQ: J = 2 d) K4 = KQ: IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1). · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2). Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S = Phương trình: x2 -1= 0 x = 1 , nghiệm x = 1 [0;2] Vậy S = + = + = 2 (đvdt) Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x. Giải: · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = thì S = Vậy S = = = = (đvdt) * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]. 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3) Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải: · Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 · Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = Ta có V = = = (đvtt) b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải: · Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 · Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 == · Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 == Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt) Các bài tập tự luyện: 1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh. KQ: S = ñvdt 2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø y = – x – 2 . KQ: S = ñvdt 3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox: a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 KQ: 16 ñvtt b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y2 = 2x +1 vaø y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = 2.Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= vaø truïc hoaønh Ox. (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho haøm soá y = x3 – x2 (C). Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) vaø caùc ñöôøng y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Bài 4: Tính tích phaân: I = (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá : y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1. b. Tính tích phaân: I = (TNTHPT năm 2005– 2006) Bài 6: Tính tích phân J = . (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I (TNTHPT năm 2007– 2008) Bài 8: Tính tích phân I = (TNTHPT năm 2008– 2009)