Dạy học các phương trình và bất phương trình vô tỉ lớp 10

 ptτ Èn : Đặt ẩn phụ + Nếu 0,,;)()( 2 ≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft + Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc 2 theo biến t : at2 - t + m = 0 + Giải phương trình tìm nghiệm t + Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x ptθÈn : Định nghĩa căn số học Ẩn phụ ( )t f x= được dùng trong trường hợp này vì nếu bình phương lên sẽ làm tăng đáng kể bậc của phương trình (bậc 4) và học sinh khó có thể giải được. Kĩ thuật ptτ Èn tỏ ra khá hiệu quả thế nhưng nó không được trình bày rõ ràng trong GK10, ngay cả khi đến chương 4, §8 học sinh được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vô tỉ. Đến chương 4 học sinh lại làm việc với Tptcb và thêm một kĩ thuật nữa được giới thiệu, cụ thể Ví dụ 6 : [GK10, ví dụ 2/ tr 148] Giải phương trình 23 24 22 2 1x x x+ + = + Phân tích. Điều kiện xác định của phương trình đã cho là 23 24 22 0x x+ + ≥ (1) Dễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thỏa mãn điều kiện 2 1 0x + ≥ (2) 30 Với các điều kiện (1) và (2), phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 23 24 22 (2 1)x x x+ + = + (3) Hiển nhiên (3) kéo theo (1). Do đó nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn bất phương trình (2). Nói một cách khác, phương trình đã cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (2) và phương trình (3). Sau đây là bài giải ví dụ 2 Giải. Phương trình đã cho tương đương với hệ 2 2 2 1 0 ( ) 3 24 22 (2 1) x I x x x + ≥  + + = + Ta có 2 1 1 ( ) 2 2 1 x = 2120 21 0 x x I xx x  ≥ − ≥ − ⇔ ⇔    = −− − =  hoÆc 21x⇔ = Nghiệm của phương trình đã cho là x = 21 Ví dụ này cho phép xác định kĩ thuật là ptltτ :  pt ltτ : Nâng lũy thừa +    = ≥ ⇔= 2)()( 0)( )()( xgxf xg xgxf + Giải hệ tìm được nghiệm x ptltθ : Chú ý (về phép biến đổi tương đương khi bình phương hai vế của phương trình) [GK10, tr 70] Thông qua một bài toán cụ thể, GK10 hướng dẫn phân tích và thành lập nên kĩ thuật giải. Kĩ thuật được lập dựa trên quy tắc là chỉ bình phương hai vế của phương trình khi hai vế không âm. Điều kiện của nghiệm là vấn đề mà học sinh cần lưu ý trong kĩ thuật ptltτ và phải có hiểu biết về tính chất của căn bậc 2 là ( ) 0f x ≥ . Chúng ta thấy rằng kiểu nhiệm vụ Tptcb là sự tiến triển của kiểu nhiệm vụ Tpt ở lớp 9. Biểu thức chứa biến dưới dấu căn không còn được đảm bảo không âm và 31 hằng số a cũng được thay bằng một biểu thức chứa biến mà giá trị âm, dương là chưa xác định. Ở lớp 10, để giải quyết Tptcb , theo một trình tự về thời gian các kĩ thuật pt hqτ , ptτ Èn , pt ltτ lần lượt được giới thiệu trong GK10. Song GV10, tr 192 chỉ nhắc đến 2 kĩ thuật ptτ Èn , pt ltτ khi hướng dẫn các lưu ý trong dạy học phương trình vô tỉ. Tại sao kĩ thuật pthqτ lại không được ưu tiên sử dụng ? Trên cơ sở học sinh đã thao tác tốt với kiểu nhiệm vụ Tptcb, GK10 đưa vào một số tổ chức toán học khác liên quan đến phương trình vô tỉ mà Tptcb được thực hiện như một nhiệm vụ con.  ptTntc (ntc: nhân tử chung) :Giải phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) = h(x).g(x)  ânptnhτ : Nhân vào 2 vế của phương trình cho cùng một biểu thức 1 ( )h x + Giải phương trình h(x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,... + Thế các giá trị x1, x2, ... vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm của phương trình + Với 1 2, ,...x x x≠ nhân 2 vế của phương trình ban đầu cho 1 ( )h x được phương trình tương đương f(x) = g(x) + Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb. ân pt nhθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (nhân cùng một biểu thức chứa ẩn vào hai vế của phương trình) [GK10, tr 68]  ptntcτ : Đặt nhân tử chung (ntc) + Chuyển vế, đặt h(x) làm nhân tử chung được phương trình tích ( )( ) f(x) - g(x) = 0h x + Giải phương trình h(x) = 0 + Giải phương trình f(x) = g(x) - kiểu nhiệm vụ Tptcb 32 ptntcθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (cộng cùng một biểu thức vào hai vế của phương trình) [GK10, tr 68] Ví dụ 7 : [BT10, bài 4.72/ tr 114] Giải phương trình : ( 1) 16 17 ( 1)(8 23)x x x x+ + = + − (1) Giải  Kĩ thuật ânptnhτ : Ta có: x = -1 là nghiệm của (1) Với 1 1 0x x≠ − ⇒ + ≠ , khi đó ( )2 2 23 238 23 0 (1) 16 17 8 23 8 8 16 17 8 23 2 x = 46 8 0 x x x x x x x xx x  − ≥ ≥ ≥  ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔   + = −   =− + =  hoÆc 4x⇔ = Vậy { }1;4S = −  Kĩ thuật ptntcτ ( )(1) ( 1) 16 7 (8 23) 0 1 0 16 7 8 23 1 4 x x x x x x x x ⇔ + + − − = ⇔ + = + = − ⇔ = − = hoÆc hoÆc Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ trên bằng kĩ thuật ânptnhτ , ta đã thực hiện việc đơn giản thừa số giống nhau ở hai vế bằng cách nhân biểu thức 1 , ( ) 0 ( ) h x h x ≠ vào hai vế của phương trình. Điều cần lưu ý ở đây là phải có điều kiện ( ) 0h x ≠ để phép chia có nghĩa. Một kĩ thuật khác được BT10 đề nghị là ptntcτ để giúp học sinh tránh việc đặt điều kiện ( ) 0h x ≠ . Đối với kĩ thuật này học sinh chỉ thực hiện bước chuyển vế và sau đó là đặt nhân tử chung đưa về dạng phương trình tích mà học sinh đã biết cách giải ở lớp 8 là ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0h x f x g x h x f x g x− = ⇔ = − = hoÆc 33 Một tổ chức toán học khác được BT10 đưa vào qua bài tập mà chúng tôi xem xét ngay sau đây Ví dụ 8: [BT10, bài 4.76a/ tr 115] Giải bất phương trình : 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − = Giải Điều kiện : 1x ≥ Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau 1 2 1 3 1 (1)x x− − + − − = Với 1 5x≤ < , ta có 10 2 0x − − < và 10 3 0x − − < . Khi đó (1) 2 1 3 1 1 1 2 5 x x x x ⇔ − − + − − = ⇔ − = ⇔ = Với 5 10x≤ < , ta có 10 2 0x − − ≥ và 10 3 0x − − < . Khi đó (1) 1 2 3 1 1 1 1: ôn úng x x lu ⇔ − − + − − = ⇔ = ® Với 10x ≥ , ta có 10 2 0x − − > và 10 3 0x − − ≥ . Khi đó (1) 2 1 1 3 1 1 3 10 x x x x ⇔ − − + − − = ⇔ − = ⇔ = Vậy tập nghiệm của phương trình là [ ]5;10S =  ptTh®t : Giải phương trình vô tỉ dạng ( ) ( ) 2 2f(x) + a + f(x) + b = c với ( , ,a b c R∈ ) 34  τ pth®t : + Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )f x a f x b c+ + + = + Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. + Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb. θ pth®t : Hằng đẳng thức 2A A= và tính chất của trị tuyệt đối. Kiểu nhiệm vụ ptTh®t đã gặp ở lớp 9. Quyển BT10 đã cho với mức độ khó hơn, trong căn thức lại có căn thức. Việc khai căn dẫn đến giải phương trình có hai dấu giá trị tuyệt đối nên có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc biện luận để giải phương trình chứa trị tuyệt đối.  pttíchT : Giải phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) = 0 (Từ “tích” được dùng với ý nghĩa chỉ phương trình trên là phương trình tích) Chúng tôi xác định kiểu nhiệm vụ này trong ví dụ dưới đây: Ví dụ 9 : [GK10, bài 3/ tr 71] Giải phương trình: 2( 3 2) 3 0x x x− + − = Giải Điều kiện 3x ≥ 2 2( 3 2) 3 0 3 2 0 3 0x x x x x x− + − = ⇔ − + = − = hoÆc Phương trình 2 3 2 0x x− + = có 2 nghiệm là x =1, x = 2. Cả 2 nghiệm bị loại do điều kiện 3x ≥ . Phương trình 3 0 3 0 3x x x− = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. Lời giải cho thấy kĩ thuật sử dụng ở đây là  tíchptτ : + Điều kiện : ( ) 0f x ≥ + Phương trình h(x) f(x) = 0 f(x) = 0 h(x) = 0⇔ hoÆc + Giải phương trình f(x) = 0 - kiểu nhiệm vụ Tptcb + Giải phương trình h(x) = 0. 35 tích ptθ : Tính chất vắng mặt ước của không trên trường số thực Định nghĩa căn bậc hai số học Với mỗi tổ chức toán học liên quan đến phương trình vô tỉ, tương ứng cũng có những tổ chức toán học liên quan đến bất phương trình vô tỉ mà chúng tôi dẫn ra trong phần tiếp theo của luận văn.  bptcbbéT (bptcb: bất phương trình cơ bản) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng f(x) < g(x) Ví dụ 10: [GK10, ví dụ 3/ tr 149] Phân tích. Điều kiện xác định của phương trình đã cho là 2 3 10 0 (1)x x− − ≥ Dễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thỏa mãn điều kiện 2 0 (2)x − > Với hai điều kiện (1) và (2), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 2 23 10 ( 2) (3)x x x− − < − Như vậy, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trình (1), (2) và (3). Sau đây là bài giải ví dụ 3 Giải. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ 2 2 2 3 10 0 ( ) 2 0 3 10 ( 2) x x I x x x x  − − ≥  − >  − − < − Ta có 2 5 ( ) 2 5 14 14 x x I x x x ≤ − ≥ ⇔ > ⇔ ≤ <  < hoÆc Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [5 ;14) Từ ví dụ trên xác định được kĩ thuật giải là  bptltτ : Nâng lũy thừa 36      < > ≥ ⇔< 2)()( 0)( 0)( )()( xgxf xg xf xgxf bptltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa bậc hai trong bất phương trình) Kĩ thuật bptltτ được GK10 trình bày rõ ràng thông qua một ví dụ cụ thể. Quá trình phân tích để dẫn đến lời giải tuân thủ những điều cần lưu ý mà GK10 đã nêu ra đối với phương trình và bất phương trình vô tỉ mà chúng tôi đã đề cập trong phần đầu của mục: nêu điều kiện của bất phương trình, nêu điều kiện của nghiệm, chỉ bình phương 2 vế của bất phương trình khi chúng không âm. Cũng tương tự trong phương trình, một kĩ thuật khác được sử dụng để giải quyết bptcbbéT là :  bptτ Èn : Đặt ẩn phụ + Nếu 0,,;)()( 2 ≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft + Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2 - t + m < 0 + Giải bất phương trình tìm nghiệm t + Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x bptθÈn : Định nghĩa căn số học Ví dụ 11 : [GK10, bài 72c, tr 154] Giải bất phương trình: 26 ( 2)( 32) 34 48x x x x− − < − + Hướng dẫn. Đặt 2( 2)( 32) 34 48y x x x x= − − = − + Với bất phương trình trên đây thì học sinh đặt ẩn phụ như hướng dẫn và sau đó là giải bất phương trình bậc hai theo biến y. Kĩ thuật bptτ Èn không được trình bày tường minh như bpt ltτ mà chỉ được hướng dẫn trong đề bài ở phần bài tập. Trước đó học sinh đã làm việc với kĩ thuật ptτ Èn trong kiểu nhiệm vụ Tptcb, do vậy có thể lí giải 37 rằng kĩ thuật bptτ Èn được suy ra tương tự, thay dấu “=” trong phương trình bởi dấu “<” của bất phương trình.  bptcbbé-knnT (knn: không nghiêm ngặt) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≤f(x) g(x) Ví dụ 12 : [GK10, bài 67b, tr 151] Giải bất phương trình: 2 1 2 3x x− ≤ − Kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong GK10 mà suy luận từ é bptcb bT . Cụ thể có 2 kĩ thuật để thực hiện é - bptcb b knnT  - bptlt knnτ : Biến đổi tương đương 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x  ≥ ≤ ⇔ ≥  ≤ - knn bpt ltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc bình phương hai vế của bất phương trình).  - bpt knnτ Èn : + Nếu 0,,;)()( 2 ≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft + Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2 - t + m ≤ 0 + Giải bất phương trình tìm nghiệm t + Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x bptθÈn- knn : Định nghĩa căn số học Chúng ta thấy rằng viết dấu “ ” thành dấu “ ,≤ ≥ ” là điều cần làm để có kĩ thuật giải dạng ( ) ( )f x g x≤ từ dạng ( ) ( )f x g x< .  bptcbTlín : Giải bất phương trình vô tỉ dạng f(x) > g(x) Một cách tương tự với kiểu nhiệm vụ bptcbbéT , GK10 cũng đưa ra 2 kĩ thuật giải đối với bptcblínT như sau: 38  bptltτ : Nâng lũy thừa    ≥ < ⇔> 0)( 0)( )()( xf xg xgxf hoặc    > ≥ 2)()( 0)( xgxf xg bptltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa hai vế của bất phương trình) Ví dụ 13 : [GK10, ví dụ 4, tr 150] Giải bất phương trình 2 4 3x x x− > − Ví dụ này được GK10 trình bày rất rõ ràng, phân tích chi tiết các trường hợp có thể xảy ra từ đó cho phép xác định kĩ thuật như vừa chỉ rõ trên đây. Với bptltτ để làm mất dấu căn bậc 2 bằng cách bình phương hai vế của bất phương trình phải xét hai trường hợp có thể của g(x) là g(x) < 0 hoặc ( ) 0g x ≥ . Học sinh cần phải lưu ý điều này.  bptτ Èn : Đặt ẩn phụ + Nếu 0,,;)()( 2 ≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft + Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2 - t + m > 0 + Giải bất phương trình tìm nghiệm t + Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x bptθÈn : Định nghĩa căn số học Ví dụ 14 : [BT10, bài 4.80/ tr 116] Giải bất phương trình 6253)1)(4( 2 <++−++ xxxx Với kĩ thuật dùng ẩn phụ thì học sinh có thể thao tác khá dễ dàng vì điều cần làm là giải bất phương trình bậc theo biến t sau khi đã đặt ( ) 0t f x= ≥ . Cách làm này đã khá quen thuộc. 39 Dạng bất phương trình không nghiêm ngặt tương ứng với ( ) ( )f x g x> là ( ) ( )f x g x≥ liên quan đến tổ chức toán học được chỉ ra dưới đây.  bptcbTlín - knn : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≥f(x) g(x) Ví dụ 15 : [GK10, bài 85c, tr156] Giải bất phương trình: 2 8 2( 1)x x x− ≥ + Cũng có hai kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:  - bptlt knnτ : Nâng lũy thừa ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 g x f x g x f x < ≥ ⇔  ≥ hoặc 2 ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x ≥  ≥ - knnbptltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa hai vế của bất phương trình)  bptτ Èn - knn : Đặt ẩn phụ + Nếu 0,,;)()( 2 ≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft + Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2 - t + m > 0 + Giải bất phương trình tìm nghiệm t + Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x bptθÈn - knn : Định nghĩa căn số học Giống như bất phương trình ( ) ( )f x g x≤ học sinh cũng phải suy luận từ kĩ thuật giải ( ) ( )f x g x> để thành lập kĩ thuật giải dạng ( ) ( )f x g x≥ . Chúng ta cùng nhìn lại các phương trình và bất phương trình vô tỉ cơ bản đã xem xét : 40 Bảng 2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm cơ bản Tptcb ( )( ) ( )f x g x= bptcb béT ( )( ) ( )f x g x< bptcb bé -knnT ( )( ) ( )f x g x≤ bptcbTlín ( )( ) ( )f x g x> bptcbTlín -knn ( )( ) ( )f x g x≥ τ pthq : Bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả 2)()( xgxf = ptτ Èn : Đặt ẩn phụ ( )t f x= bptτ Èn : Đặt ẩn phụ ( )t f x= bptτ Èn-knn :Đặt ẩn phụ ( )t f x= bptτ Èn : Đặt ẩn phụ ( )t f x= bptτ Èn-knn :Đặt ẩn phụ ( )t f x= pt ltτ :bình phương hai vế không âm của phương trình 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x g x g x f x g x = ≥ ⇔  = bpt ltτ :bình phương hai vế không âm của bất phương trình 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x <  ≥ ⇔ >  < - knn bpt ltτ :bình phương hai vế không âm của bất phương trình 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x ≤  ≥ ⇔ ≥  ≤ bpt ltτ : bình phương hai vế không âm của bất phương trình ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 f x g x g x f x > < ⇔  ≥ hoặc    > ≥ 2)()( 0)( xgxf xg - bpt lt knnτ : bình phương hai vế không âm của bất phương trình ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 f x g x g x f x ≥ < ⇔  ≥ hoặc 2 ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x ≥  ≥ Ngoại trừ khác nhau ở dấu “” với “ ,≤ ≥ ” thì chúng tôi không nhận thấy điểm khác biệt nào trong kĩ thuật giải bất phương trình nghiêm ngặt và bất phương trình không nghiêm ngặt đang xét trên đây. Kĩ thuật pthqτ không được ưu tiên sử dụng để giải quyết T ptcb là do tác động của việc dạy học các kiểu nhiệm vụ bptcbbéT và bptcb línT , bptcb bé - knnT và bptcb lín - knnT . Nếu học sinh 41 chuyển cách làm được phép trong pthqτ : bình phương hai vế để bỏ dấu căn bậc hai mà không quan tâm đến điều kiện hai vế không âm sang cho bất phương trình thì việc kiểm tra loại bỏ nghiệm ngoại lai là không thể thực hiện được. Như vậy các kĩ thuật giải bất phương trình vô tỉ đã tác động vào làm hạn chế hoặc ưu tiên các kĩ thuật giải của phương trình vô tỉ. Nhìn vào bảng thì ta có thể thấy kĩ thuật giải các kiểu nhiệm vụ có thể phân thành hai nhóm, một là “nâng lũy thừa”, hai là “đặt ẩn phụ”. GK10 đã trình bày khá rõ nhóm kĩ thuật “nâng lũy thừa” trong giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ cơ bản. Việc giải chúng yêu cầu học sinh phải tuân thủ qui tắc “chỉ bình phương hai vế của phương trình (bất phương trình) khi cả hai vế không âm”. Nhưng trong phương trình vô tỉ học sinh được phép sử dụng phép biến đổi hệ quả, như thế liệu học sinh có chuyển cách làm từ trong phương trình sang bất phương trình vô tỉ không? Bởi vì, GK10 lựa chọn giới thiệu đến học sinh những lý thuyết về bất phương trình bằng sự thừa hưởng từ phương trình và như thế kĩ thuật giải bất phương trình cũng thừa hưởng từ kĩ thuật giải phương trình. Để trả lời câu hỏi này cần đặt học sinh vào tình huống phải giải quyết nhiệm vụ cụ thể mà chúng tôi sẽ trình bày trong chương sau. Thực hiện việc khảo sát các phương trình cụ thể đã cho đối với 5 kiểu nhiệm vụ trong bảng trên thì thấy: - Khi g(x) có bậc là 1 thì học sinh sử dụng nhóm kĩ thuật nâng lũy thừa để giải tìm nghiệm. - Khi g(x) có bậc là 2 thì học sinh sử dụng nhóm kĩ thuật đặt ẩn phụ để giải tìm nghiệm và đặt )(xft = Hay nói khác đi, bậc của đa thức g(x) là tín hiệu để học sinh nhận biết khi nào dùng kĩ thuật “nâng lũy thừa” khi nào dùng “ẩn phụ”. 42 Với bất phương trình vô tỉ GK10 cũng đưa vào một số dạng nâng cao mà để giải chúng học sinh phải thực hiện phép biến đổi tương đương đưa về bất phương trình về dạng cơ bản vừa xét ở trên.  bptTmÉu : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ∈ g(x) < a ,a R f(x) (hoặc g(x) > a f(x) ) (Chúng tôi dùng từ “mẫu” để chỉ mẫu thức là biểu thức có chứa ẩn dưới dấu căn)  ânbptnhτ : Nhân 2 vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức ( )f x + Bất phương trình đã cho tương đương với hệ ( ) 0 ( ) ( ) f x a f x g x >  > + Giải phương trình ( ) ( )a f x g x> : Kiểu nhiệm vụ ébptcbbT hoặc bptcbTlín . ân bpt nhθ : Định lí về phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất phương trình cùng một biểu thức), [GK10, tr 115] Ví dụ 16: [GK10, bài 72b, tr154] Giải bất phương trình 2 2 4 1 3 10 x x x − > − − Giải Bất phương trình đã cho tương đương với hệ 2 2 3 10 0 3 10 2 4 x x x x x  − − >  − − < − 2 2 2 2 3 10 0 2 5 2 4 0 2 5 3 10 (2 4) 3 13 26 0 x x x x x x x x x x x x  − − >  ⇔ − > ⇔ > ⇔ >   − −  hoÆc Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( )5;+∞ . 43 Để giải bất phương trình g(x) < a f(x) ta nhân vào hai vế của bất phương trình cùng một biểu thức, trong trường hợp này là biểu thức ( )f x . Trong phép nhân này, ( )f x mang giá trị dương (điều kiện mẫu số khác không) nên khi nhân vào bất phương trình không đổi chiều, ta được bất phương trình tương đương. Chú ý rằng trường hợp này phép biến đổi nhân của bất phương trình là giống với của phương trình, chỉ thay dấu “=” bởi dấu “< ”. Như thế, liệu học sinh có đồng nhất phép biến đổi nhân của phương trình với bất phương trình là một hay không? Trên đây là trường hợp căn thức ở mẫu, với trường hợp căn thức trên tử chúng tôi cũng xác định được một dạng bất phương trình vô tỉ liên quan đến kiểu nhiệm vụ dưới đây,  bptTtö : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ∈ f(x) < a ,a R g(x) ( hoặc f(x) > a g(x) ) (Chúng tôi dùng từ “tử” để chỉ tử số là biểu thức có chứa ẩn dưới dấu căn)  ânbptnhτ : Nhân hai vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức g(x) + Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau ( ) 0 ( ) ( ) g x f x ag x >  < hoặc ( ) 0 ( ) ( ) g x f x ag x <  > + Nghiệm của bất phương trình là hợp các tập nghiệm của 2 hệ trên. ân bpt nhθ : Định lí về phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức) , [GK10, tr 115] Ví dụ 17: [GK10, bài 73c, tr154] Giải bất phương trình 5 1 1 x x + < − Giải Bất phương trình đã cho tương đương với 44 1 0 ( ) 5 1 x I x x − >  + < − hoặc 1 0 ( ) 5 1 x II x x − <  + > − Ta có 2 2 1 1 ( ) 5 0 5 5 (1 ) 3 4 0 x x I x x x x x x  < <  ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −   +   5 1 5 1 1 4 x x x x − ≤ < − ⇔ ⇔ − ≤  hoÆc 1 ( ) 1 5 0 x II x x > ⇔ ⇔ > + ≥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ) ( )5; 1 1,− − ∪ +∞ Để giải một phương trình hoặc một bất phương trình có dạng phân thức, thông thường là thực hiện phép biến đổi “nhân mẫu lên”. Chẳng hạn, đối với bất phương trình f(x) < a g(x) đang xét, khi thực hiện nhân mẫu lên vế phải thì bất phương trình quay về dạng cơ bản. Việc nhân g(x) lên đòi hỏi phải xét hai trường hợp có thể xảy ra của g(x) vì giá trị âm, dương của g(x) là chưa xác định.  bptntcT : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≤h(x) f(x) h(x).g(x) (hoặc ≥h(x) f(x) h(x).g(x) )  ânbptnhτ : Nhân hai vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức 1 ( )h x + Xét h(x) = 0, kiểm tra nghiệm của phương trình h(x) = 0 có là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không. + Xét h(x) > 0, bất phương trình tương đương với f(x) g(x)≤ : kiểu nhiệm vụ bptcbbé - knnT . 45 + Xét h(x) g(x) : kiểu nhiệm vụ bptcblín - knnT . + Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của các tập nghiệm trong 3 trường hợp trên. ân bpt nhθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất phương trình cùng một biểu thức) [GK10, tr 115]  bptntcτ : Đặt nhân tử chung + Chuyển vế, đặt h(x) làm nhân tử chung để đưa về bất phương trình tích: ( )( ) f(x) - g(x) < 0h x ( )( ) 0 f(x) - g(x) 0 h x I <⇔  > hoặc ( ) ( ) 0 f(x) - g(x) < 0 h x II >   + Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp 2 tập nghiệm của hệ (I) và hệ (II). bpt ntcθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (cộng vào hai vế của bất phương trình cùng một biểu thức) [GK10, tr115]. Ví dụ 18 : [BT10, bài 4.81/ tr 116] Giải bất phương trình 2 2( 3) 4 9x x x− + ≤ − (1) Giải  Kĩ thuật ânbptnhτ + Ta có x = 3 là nghiệm của bất phương trình (1) + Với x > 3, 2(1) 4 3x x⇔ + ≤ + ( ) 2 22 3 0 3 54 0 6 54 3 6 x x x x R x x x x   + ≥ ≥ −   −⇔ + ≥ ⇔ ∈ ⇔ ≥    −+ ≤ +  ≥  Kết hợp điều kiện x > 3 ta nhận được ( )3;x∈ +∞ + Với x < 3, 2(1) 4 3x x⇔ + ≥ + 46 ( )22 2 3 03 0 4 0 4 3 33 5 6 53 3 6 xx x x x xx x R x x x + ≥+ < ⇔   + ≥ + ≥ +  ≥ −< − ⇔ − ∈ ≤  − ⇔ < − − ≤ ≤ hoÆc hoÆc hoÆc Kết hợp điều kiện x < 3 ta có tập nhận được 5; 6 x − ∈ −∞   Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ )5; 3; 6 S − = −∞ ∪ +∞    Kĩ thuật bptntcτ Ta có ( )2(1) ( 3) 4 ( 3) 0x x x⇔ − + − + ≤ 2 2 3 0 3 0 ( ) ( ) 4 3 4 3 x x I II x x x x − ≥ − ≤  ⇔   + ≤ + + ≥ +   hoÆc Giải hệ (I) ta có 3x ≥ Giải hệ (II) ta có 5 6 x −≤ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ )5; 3; 6 S − = −∞ ∪ +∞   Khi thực hiện kiểu nhiệm vụ bptntcT bằng kĩ thuật ân bpt nhτ ta cũng thực hiện một phép nhân hai vế của bất phương trình cho cùng biểu thức là 1 , ( ) 0 ( ) h x h x ≠ và còn phải xét thêm h(x) 0, bởi nếu h(x) < 0 thì chiều của bất phương trình bị thay đổi.  bptTh®t : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ( ) ( ) 2 2 ∈f(x) + f(x) > c, (c R)  τ bpth®t : + Biến đổi bất phương trình về dạng ( ) ( )f x g x c+ > + Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 47 θ bpth®t : Hằng đẳng thức 2A A= và tính chất của trị tuyệt đối. Tổ chức toán học trên được xác định qua bài toán sau Ví dụ 19 : [BT10, bài 4.79d, tr 116] Giải bất phương trình sau: 2( 6) 9 6 9 1x x x x+ + − − + > Giải Bất phương trình đã cho tương đương với 3 3 1x x+ − − > (1) Với 3x < − , ta có x + 3 < 0 và x – 3 < 0. Khi đó (1) ( 3) 3 1 6 1 (!) x x⇔ − + + − > ⇔ − > Với 3 3x− ≤ < , ta có 3 0x + ≥ và x – 3 < 0. Khi đó (1) 3 3 1 1 2 x x x ⇔ + + − > ⇔ > Với 3x ≥ , ta có x + 3 > 0 và 3 0x − ≥ . Khi đó [ ) (1) 3 ( 3) 1 6 1 , 3; x x x ⇔ + − − > ⇔ > ∀ ∈ +∞ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 ; 2 S  = +∞    Nếu như ở lớp 9 hằng đẳng thức 2A A= chỉ vận dụng trong phương trình vô tỉ thì ở lớp 10 nó cũng xuất hiện khi giải bất phương trình vô tỉ. Vì thực hiện phép khai căn nên quá trình giải liên quan mật thiết với giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối. Việc biện luận các giá trị của x để bỏ dấu trị tuyệt đối sẽ khó khăn hơn nếu biểu thức trong dấu trị tuyệt đối lại có chứa căn bậc hai, chẳng hạn như trong bài toán sau Ví dụ 20 : [BT10, bài 4.79a, tr116] 48 Giải bất phương trình : 3 5x x− + > Giải Nếu 5 0x− ≤ < bất phương trình luôn luôn đúng Xét 0x ≥ . Nếu 3 5x , bất phương trình đã cho tương đương với 5 3x x+ > + . Không có x thỏa mãn bất phương trình này. Nếu 3 5x≥ + tức là 4x ≤ , bất phương trình đã cho tương đương với 3 5x x+ > + 2 2 3 3 7 33 29 6 5 7 4 0 x x x x x x x x < <  − ⇔ ⇔ ⇔ <  − + > + − + >  Kết hợp ta có : 7 335 2 x −− ≤ < Tổ chức toán học được đưa vào trong ví dụ trên là  bptTtt® (ttđ: trị tuyệt đối) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ∈a + f(x) > g(x), a R  τ bpttt® : + Biện luận các giá trị của x đ