Đề tài Biểu diễn trực quan hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập và phân tích dữ liệu. 2. Phương pháp nghiên cứu  Khảo cứu: Khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về biểu diễn trực quan động như bài báo, khóa luận, luận văn, sách...để biết được họ làm gì, thiếu gì.  Định tính: Phân tích các quá trình khám phá dựa trên các biểu diễn trực quan động. Từ đó, đưa ra kết luận. Đồng thời, phần nào giải thích được tại sao HS có được kết quả nào đó.  Định lượng: Thống kê các kết quả khám phá khi tiến hành thực nghiệm sư phạm. 3. Thiết kế quá trình nghiên cứu  Nghiên cứu phần mềm The Geometer’s Sketchpad để xây dựng các mô hình động nhằm hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng.  Nghiên cứu các tác động của phần mềm động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng.  Tiến hành thực nghiệm dựa trên các phiếu hỏi, phiếu thăm dò ý kiến HS và GV để từ đó thấy được tác động tích cực và con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. 22 4. Đối tượng nghiên cứu Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: HS lớp 10, lớp 11. HS sẽ được nghiên cứu trong một lớp học của trường trung học phổ thông Hai Bà Trưng ở thành phố Huế. 5. Công cụ nghiên cứu  Kế hoạch bài dạy: Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trong 1 tiết, đưa ra ba mô hình có trong khóa luận. Đó là, mô hình phát hiện định lý sin trong tam giác, hai mô hình của bài toán 1 và bài toán 2 trong nội dung các bài toán quỹ tích.  Các mô hình động: Chúng tôi sẽ thiết kế một số mô hình động như: Mô hình phát hiện định lý cosin, định lý sin, một số mô hình của bài toán quỹ tích, mô hình khám phá kiến thức phép biến hình và mô hình bài toán thực tế.  Phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập: Chúng tôi sẽ thiết kế phiếu trắc nghiệm bằng những câu hỏi thăm dò ý kiến HS và GV, thiết kế phiếu học tập theo các mục đích nghiên cứu đã đề ra. 6. Quy trình thu thập dữ liệu  Khảo cứu để có những nền tảng lý thuyết cần thiết cho khóa luận.  Chuẩn bị các mô hình động về hình học phẳng trong sách giáo khoa hình học và một số bài tập liên quan đến kiến thức lớp 10, lớp 11, phiếu học tập. Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu các biểu diễn trực quan động của một số định nghĩa hay bài toán trong tiết dạy. HS sẽ quan sát, sau đó, GV đưa ra các câu hỏi vấn đáp để HS khám phá kiến thức. Nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập.  Thông qua các hoạt động dạy - học của GV và HS chúng tôi nghiên cứu và trả lời cho câu hỏi: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập, các biểu diễn trực quan động có tác dụng tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học ra sao, con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào. 23 7. Quy trình phân tích dữ liệu  Với dữ liệu từ các câu hỏi vấn đáp, các phiếu học tập, phiếu trắc nghiệm, các bảng hỏi đối với học sinh được nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phân tích quá trình khám phá kiến thức hình học phẳng góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ ba.  Với dữ liệu thu được từ học sinh, chúng tôi thấy được các tác động của phần mềm động trong việc học toán của học sinh, thấy được các điểm mạnh, các hạn chế của phần mềm như thế nào, góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.  Với dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu phần mềm GSP, chúng tôi nghiên cứu cách sử dụng hiệu quả các tính năng trong phần mềm, từ đó xây dựng các biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời giáo viên sử dụng như thế nào để dạy hiệu quả hơn, góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai. 8. Các hạn chế Việc tiến hành dạy thực nghiệm có thể gặp nhiều khó khăn. Các câu hỏi đưa ra nhằm hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức có thể chưa phù hợp với học sinh của lớp đang nghiên cứu. Nội dung trong phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể quá khó hoặc quá dễ đối với học sinh. Do đó, thu thập dữ liệu không theo chứng kiến của mình. Kết quả của các phiếu trắc nghiệm, phiếu trắc nghiệm có thể có độ chính xác không cao. Kết quả nghiên cứu lấy từ lớp chúng tôi nghiên cứu có thể không phù hợp với các đối tượng khác. 9. Tóm tắt Trong chương 3, chúng tôi đã thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và dự đoán những khó khăn có thể mắc phải. Từ đó, đưa ra kết quả nghiên cứu trong chương 4 một cách có hệ thống và khoa học. 24 Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng thiết kế được trình bày ở chương 3. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thu được, để lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1. 2. Các kết quả nghiên cứu 2.1 Kết quả cho hỏi nghiên cứu thứ nhất: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Chúng tôi chọn nội dung 1 và nội dung 2 để đưa vào nghiên cứu bởi vì, chúng tôi thấy rằng, định lý cosin và định lý sin trong tam giác là hai kiến thức khá quan trọng trong hệ thống kiến thức lớp 10. Đồng thời, quá trình khám phá hai định lý này sẽ giúp HS bước đầu có những tư duy logic, tư duy sáng tạo và tư suy phê phán. Nội dung 1: Định lý cosin trong tam giác Trong tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c   . Khi đó, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C          c a b A B C Hình 2 25 Mở file kl | 1.gsp. c b a A'B' B A C Hình 3. Mô hình phát hiện định lý cosin 1. Giới thiệu cách dựng mô hình:  Dựng tam giác ABC có các cạnh tương ứng , ,a b c .  Trên mỗi cạnh dựng các hình vuông và hình bình hành như hình 2. 2. Khảo sát mô hình:  Di chuyển C tới các vị trí: C nằm trong, C nằm trên và C nằm ngoài nửa đường tròn để HS quan sát tất cả các trường hợp. H: Tính diện tích các hình vuông màu đậm, màu nhạt và diện tích hình vuông ' 'ABA B theo , ,a b c ? H: Dự đoán về sự bằng nhau của hai hình bình hành? H: Sau đó, GV áp dụng Measure | Area để HS quan sát và đưa ra nhận xét đúng đắn về diện tích hai hình bình hành? H: Tính diện tích hai hình bình hành theo ·, ,a b ACB ? 26 Trường hợp điểm C nằm trên nửa đường tròn Mở file kl | 2.gsp 1. Liệu ta có thể ghép hai hình vuông màu đậm và màu nhạt thành hình vuông ' 'ABA B được không? Nếu được thì tiến hành như thế nào? 2. Sau đó, GV nhấn nút cat để HS quan sát. H: Từ đó, em hãy đưa ra một hệ thức liên hệ giữa diện tích các hình vuông nói trên? c b a A'B' B A C Hình 4. Điểm C nằm trên đường tròn Trường hợp điểm C nằm trong nửa đường tròn  Nhấn nút cat. H: Theo quan sát trên thì hình vuông cạnh c được lắp ghép từ các hình nào? H: Nhận xét về độ lớn của góc ·ACB ? H: Từ đó ta có hệ thức gì? c b a A'B' B A C Hình 5. Điểm C nằm trong đường tròn. 27 Trường hợp điểm C nằm ngoài nửa đường tròn Mở file kl | 3.gsp  Áp dụng Measure | Area để tính tổng và Measure | Calculate để tính toán.  Nhấn cat1, cat2. H: Hãy tính phần diện tích còn dư của hình vuông màu đậm và hình vuông màu nhạt khi tiến hành lấp ghép vào hình vuông ' 'ABA B ? H: Nếu ghép các phần còn dư của hình vuông màu đậm và hình vuông màu nhạt lại với nhau ta có điều gì? c b a A'B' B A C Hình 6. Điểm C nằm ngoài đường tròn.  Kéo rê điểm C di động bất kì sao cho C nằm ngoài đường tròn. H: Với diện tích hình vuông màu đậm, hình vuông màu nhạt, hình vuông ' 'ABA B và diện tích hai hình bình hành như trên. Em hãy đưa ra đẳng thức liên hệ giữa các diện tích đó trong trường hợp này? Vậy, với tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c   . Ta có đẳng thức gì? Nội dung 2: Định lý sin trong tam giác Với mọi tam giác ABC, ta có 2 sin sin sin a b c R A B C    Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c a b R C A B Hình 7 28 1. Trường hợp tam giác ABC vuông tại A  Mở file kl | 4.gsp H: Khi kéo rê điểm A, ta thấy góc ·ABC và góc ·BCA thay đổi phụ thuộc vào ,b c , còn các yếu tố nào không thay đổi?  Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc so sánh sự thay đổi của hai tỷ số · ·,sin sin b c ABC BCA . H: Tính , ,b c ·ABC , ·BCA ? c a b 2RBK O A CB Hình 8. Tam giác ABC vuông tại A . H: Nhận xét về sự thay đổi của các tỷ số · ·,sin sin b c ABC BCA khi kéo rê điểm A quanh đường tròn đường kính BC ? H: Vậy, ta có hệ thức liên hệ giữa các đối tượng , , ,a b c · · ·sin , sin , sin ,BAC ABC BCA R như thế nào?  Nhấn nút ABC đều để học sinh quan sát hình. 2. Trường hợp tam giác ABC đều  Nhấn nút tiso H: Quan sát hình và cho biết đẳng thức trên còn đúng với tam giác ABC đều không? H: Tính · · ·sin , sin , sinCAB ABC BAC ? H: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC được xác định như thế nào? Hãy tính bán kính đó? H: Hãy chứng minh đẳng thức đúng với tam giác ABC đều ? c a b 2RBK O A CB Hình 9. Tam giác ABC đều. 29  Kéo rê các điểm , ,A B C bất kì. Trường hợp tam giác ABC thường Kéo rê một trong các yếu tố sau: điểm A , điểm B , điểm C , bán kính R . H: Khi đó đẳng thức còn đúng không? H: Nhấn nút 'AA , hãy nhận xét về độ lớn của góc ·BAC và góc · 'BA C khi góc ·BAC nhọn và khi góc ·BAC tù? Hãy chứng minh cho nhận xét đó? H: Tam giác 'A BC là tam giác gì? c a b 2RBK O A CB Hình 10. Tam giác ABC thường H: Hãy đưa ra đẳng thức thể hiện mối liên hệ của ·, sin ,a BAC R ? Tương tự cho góc · ·,ABC BCA Vậy, với tam giác ABC bất kỳ ta có đẳng thức gì? Nội dung 3: Các bài toán quỹ tích Các bài toán quỹ tích là kiến thức tương đối khó. Do đó, chúng tôi nghiên cứu vấn đề này nhằm giúp HS nắm chắc hơn kiến thức. Cụ thể, chúng tôi đưa bài toán 1 tương đối dễ, tuy nhiên, HS phải hiểu rõ định nghĩa elip. Bài toán 2, đòi hỏi các em không những nắm chắc kiến thức mà còn phải thấy được mối quan hệ giữa các đối tượng bất biến và biến thiên. Bài toán 3 sẽ giúp HS giải một bài toán quỹ tích dựa trên tọa độ của các đối tượng. Giúp HS có cái nhìn mới trong việc giải các bài toán quỹ tích. Bài toán 1: Cho đường tròn tâm 2F bán kính 2a, A là một điểm di động trên đường tròn. Trong đường tròn lấy điểm cố định 1F . Trung trực đoạn 1AF cắt 2AF tại M. Tìm quỹ tích điểm M? 30 Mở file kl | 5.gsp M F1 F2 A Hình 11 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 2a : Chọn Straightedge Tool  Dựng điểm 2F và bán kính 2a :  Chọn lần lượt ,A B vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate.  Áp dụng Compass Tool để vẽ đường tròn tâm 2F bán kính 2a .  Dựng điểm 1F cố định:  Lấy 1 điểm C bất kỳ trên đoạn AB , chọn lần lượt ,B C vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate.  Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn. Dựng đoạn thẳng 1 2,AF AF .  Dựng đường trung trực đoạn 1AF :  Dựng trung điểm đoạn 1AF : Chọn đoạn thẳng 1AF , áp dụng Construct | Midpoint; 31  Chọn trung điểm vừa dựng, chọn đoạn thẳng 1AF , áp dụng Construct | Perpendicular Line.  Xác định giao điểm của đường trung trực đoạn 1AF và 2AF : Áp dụng Point Tool.  Tạo vết cho quỹ tích điểm M : Chọn M vào Display | Trace Objects. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng: Đối tượng Thay đổi Cố định Điểm A Điểm M Điểm 1F Điểm 2F Độ dài 2AF Độ dài 1 2F F H: Điểm M thuộc đường trung trực đoạn 1AF , ta có điều gì? H: Từ đó, hãy nêu mối liên hệ của 1 2,MF MF và 2AF ? H: Kéo rê điểm A , hãy so sánh độ dài 2AF với độ dài 1 2F F ? H: Vậy, quỹ tích điểm M là gì? Hãy chứng minh điều đó? Bài toán 2: Cho hai đường tròn trong nhau 1( )C có tâm 1O bán kính 1r , 2( )C có tâm 2O bán kính 2r , 1 2O O . Chứng minh quỹ tích của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn trên là một elip. 32 Mở file kl | 6.gsp O O2 O1 Hình 12 1. Hướng dẫn cách dựng: a. Phân tích:  Gọi đường tròn cần dựng là ( )C có tâm O , bán kính a .  Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc trong với 1( )C : 1 1OO r a  ;  Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc ngoài với 2( )C : 2 2OO r a  ;  Từ đó, ta dựng được điểm M sao cho 1 2 1 2OO OO r r   . b. Cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng đoạn thẳng AB có độ dài 2a : Chọn Straightedge Tool;  Dựng điểm 2F và bán kính 2a :  Chọn lần lượt ,A B vào Transform | Mark Vector;  Chọn 2F , áp dụng Transform | Translate;  Áp dụng Compass Tool để vẽ đường tròn tâm 2F bán kính 2a ;  Từ đó vẽ được hai đường tròn cố định.  Lấy điểm A bất kì trên 1( )C ;  Dùng Compass Tool dựng đường tròn 3( )C tâm A bán kính 2r ; 33  Chọn lần lượt 1,O A áp dụng Construct | Ray dựng tia 1O A . Tia 1O A cắt đường tròn 3( )C tại hai điểm ,B C . Trong đó, 2 1 2O B r r  ;  Dựng đường trung trực 2O B cắt tia 1O A tại O ;  Điểm O vừa dựng là tâm đường tròn cần tìm. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Xét đường tròn ( )C tâm O bán kính a , tiếp xúc trong với đường tròn 1( )C tại M , tiếp xúc ngoài với đường tròn 2( )C tại N .  Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng: Đối tượng Thay đổi Cố định Điểm O Điểm 1O Điểm 2O Độ dài 1MO Độ dài 2NO Độ dài 1OO Độ dài 2OO Độ dài 1 2O O 1 2OO OO H: Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc trong với 1( )C là gì? H: Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc ngoài với 2( )C là gì? H: Từ đó, hãy nêu mối liên hệ giữa các đối tượng thay đổi và cố định ? H: Vậy, hãy chứng minh quỹ tích các đường tròn ( )C tiếp xúc với cả hai đường tròn 1( )C , 2( )C ? 34 Bài toán 3: Cho hai đường tròn ( )C và ( ')C có phương trình : 2 2 2 2( ) : 4 ) : 1.và ( 'C x y x yC    Các điểm ,A B lần lượt di động trên ( )C và ( ')C sao cho Ox là phân giác của góc ·AOB . Gọi M là trung điểm AB . Lập phương trình quỹ tích của M . Mở file kl | 7.gsp 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Áp dụng Compass Tool để vẽ hai đường tròn ( ), ( ')C C ;  Lấy điểm B bất kỳ trên 2( )C . Lấy điểm 1B đối xứng với B qua Ox : Kích đúp vào Ox , chọn B , áp dụng Transform | Reflect;  Điểm A cần tìm là giao điểm của đường thẳng 1OB và đường tròn ( )C . (C) (C') x y M A B' 1 B Hình 13  Xác định trung điểm M của AB : Chọn AB , áp dụng Construct | Midpoint.  Tạo vết cho quỹ tích điểm M : chọn M , áp dụng Display | Trace Objects. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá :  Di chuyển ,A B và quan sát quỹ tích của M là một elip. Khi đó, phương trình của elip này là gì ? Chúng ta theo dõi các hướng dẫn sau.  Đo tọa độ điểm ,B C (chọn ,B C , áp dụng Measure | Coordinates). 35 H: Kéo rê điểm B , hãy quan sát tọa độ 1B . Khi đó, hãy cho biết 1B có mối liên quan với B như thế nào?  Đo tọa độ điểm A , ,B C (chọn A , ,B C , áp dụng Measure | Coordinates). H: Kéo rê điểm B , quan sát mối liên quan giữa tọa độ điểm A và tọa độ điểm B ? H: Tổng quát, nếu ,( )B BB x y thì A có tọa độ bao nhiêu? H: ( , )M x y , hãy biểu diễn tọa độ điểm M theo tọa độ điểm B ? Kết hợp thêm điều kiện ( ')B C ta có điều gì? H: Vậy, phương trình quỹ tích của M được viết như thế nào? Nội dung 4 : Khám phá một số kiến thức của phép biến hình Phép vị tự là phép biến hình tương đối khó, chúng tôi chọn nội dung bài toán 1 để nghiên cứu nhằm mục đích giúp HS nắm chắc được kiến thức cơ bản của phép biến hình từ đó phát triển khả năng quan sát của HS. Bài toán 2, nhằm mục đích củng cố các phép biến hình, các em thấy được mối quan hệ giữa các phép biến hình. Bài toán 1: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó. Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k ,biến góc thành góc bằng nó. 36 Mở file kl | 8.gsp  Mở trang mới;  Dựng đường thẳng d , trên d lấy điểm M và điểm O nằm ngoài d .  Dựng điểm 'M là ảnh của điểm M qua phép vị tự ( , )O kV .  Quan sát điểm 'M khi cho M di động trên đường thẳng d . M' O M Hình 14 H: Có nhận xét gì về đường thẳng và ảnh của nó qua phép vị tự? H: Làm thế nào để xác định ảnh của một đường thẳng qua một phép vị tự xác định?  Mở file kl | 9.gsp  Dựng đường tròn ( )I nào đó, qua M . H: Điểm 'M di động trên hình nào khi M di động trên đường tròn ( )I ? Mở file kl | 10.gsp M' I O M Hình 15  Dựng tam giác ABC và miền trong của nó. Dựng điểm N trên biên của tam giác, dựng điểm 'N là ảnh của điểm N qua phép vị tự ( , )O kV . N' A B C O N Hình 16 37 Cho điểm N di động trên biên của tam giác ABC . H: Dự đoán quỹ tích điểm 'N khi N di động trên tam giác ABC ? Có nhận xét gì về tam giác và ảnh của nó qua phép vị tự? Từ đó, hãy cho biết: H: Ảnh của đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự là gì? Làm thế nào để xác định ( ')I là ảnh của đường tròn ( )I qua một phép vị tự? H: Phép vị tự có bảo toàn độ lớn của một góc không? H: Với phép vị tự tỉ số k , khi nào thì đường thẳng, tam giác biến thành chính nó? Thay đổi tỉ số k . Nháy các nút điều khiển và quan sát, nhận xét, cho dự đoán về các câu hỏi trên. Từ đó, đi đến định lý và hệ quả có nội dung là bài toán 3. Bài toán 2: Củng cố phép biến hình Mở file kl | 11.gsp x y N' M' O N M BA 1 a b  Hình 17 38  Trong hệ trục tọa độ Oxy cho trước hai số thực ,a b và góc lượng giác  . Hai số thực ,a b có thể thay đổi bằng cách rê điểm ,a b của hai thanh trượt tham số, góc lượng giác  thay đổi được bằng cách rê điểm  trên đường tròn lượng giác.  Hãy dựng vectơ MN uuuur tùy ý trên mặt phẳng tọa độ và đo tọa độ của các điểm ,M N .  GV tính tọa độ các điểm ', 'M N theo công thức:  ' ' os sin sin os +b M M M M M M x x c y a y x y c           và ' ' os sin sin os +b N N N N N N x x c y a y x y c            Dựng điểm ' ' ' ''( ; ), '( ; )M M N NM x y N x y trên mặt phẳng tọa độ. Dựng vectơ ' 'M N uuuuuur .  Đo khoảng cách tọa độ của các đoạn thẳng , ' 'MN M N .  Rê điểm  quanh đường tròn lượng giác để thay đổi góc  , quan sát hai vectơ MN uuuur và ' 'M N uuuuuur . Rê  đến các vị trí đặc biệt: 0, , , 4 2    . H: Khi 0  : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 4    : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 2    : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi   : Phép biến hình F biến vectơ MN uuuur thành vectơ ' 'M N uuuuuur là phép biến hình gì? H: Khi 0a b  , có nhận xét gì về các tam giác , ' 'OMN OM N ? H: Khi 0a b  và 0  phép biến hình F là phép gì? 39 Nội dung 5 : Các bài toán thực tế Các bài toán này dựa trên những lĩnh vực quen thuộc trong đời sống, trong hoạt động thường ngày. Các bài toán thực tế sẽ giúp HS thấy được toán học rất gần gũi và ứng dụng của toán học là không nhỏ trong đời sống. Bài toán 1:(chạy thi trên bãi biển) Người ta tổ chức một cuộc chạy thi trên bãi biển với điều kiện sau: Các vận động viên xuất phát từ địa điểm A và đích là địa điểm B , nhưng trước khi đến B vận động viên phải chạm vào nước biển (ta giả sử rằng mép nước biển là một đường thẳng). Hãy xác định vị trí điểm M ở mép nước để quãng đường phải chạy là ngắn nhất. Bài toán trên ta có thể phát biểu dưới dạng thuần túy toán học như sau: Cho hai điểm ,A B nằm về một phía của đường thẳng d . Hãy xác định điểm M trên d sao cho AM MB nhỏ nhất. Mở flie kl | 12.gsp d B A M Hình 18 1. Hướng dẫn cách dựng và hướng dẫn học sinh khám phá:  Mở trang mới;  Dựng đường thẳng d và hai điểm ,A B nằm về một phía của đường thẳng d , dựng điểm M tùy ý trên đường thẳng d .  Đo các khoảng cách ,AM MB rồi tính tổng AM MB . 40 H: Rê điểm M trên đường thẳng d sao cho tổng AM MB có giá trị nhỏ nhất, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt này của điểm M ?  Nếu HS chưa đưa ra được nhận xét thì thực hiện bước sau: Hãy đo các góc · ·,AMD EMB . Có nhận xét gì về các góc trên khi M ở vị trí mà tổng AM MB có giá trị nhỏ nhất? Từ đó, hãy nêu cách xác định vị trí của điểm M đó.  Liệu có thể áp dụng cách giải bài toán này để giải bài toán chạy thi trên bãi biển được không?  Trên thực tế, khó có thể dựng được điểm 'A là ảnh của A qua phép đối xứng có trục là mép nước biển, vì 'A lúc đó là điểm nằm trên mặt biển. Bài toán sẽ được giải quyết như thế nào? Mở file kl | 13.gsp d d' A' B' M' H A B M Hình 19  Dựng điểm H là hình chiếu của điểm B xuống mép nước biển. Dùng phép tịnh tiến T theo vectơ HB uuur để dời toàn bộ các đối tượng liên quan vào sau trong bãi biển, cụ thể: Dựng các điểm ', ', 'A B M , đường thẳng 'd lần lượt là ảnh của các điểm , ,A B M và đường thẳng d qua phép tịnh tiến T . H: Hãy xác định vị trí của điểm 'M trên đường thẳng 'd sao cho ' ' ' 'A M M B ngắn nhất ? Với lưu ý là : điểm đối xứng của điểm 'B qua đường thẳng 'd chính là điểm H . 41  Từ vị trí xác định của điểm 'M hãy suy ra vị trí của điểm M cần dựng trên đường thẳng d . Bài toán 2: (bàn bi-a) Cho bàn bi-a hình chữ nhật, hai viên bi A và B nằm tùy ý trên bàn. Hãy xác định ví trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn sao cho khi viên bi A di chuyển theo hướng AP chạm vào cạnh 1 của bàn, lúc đó phản xạ sẽ chạm vào bi B 1 4 2 3 BA P Hình 20.Bàn bi-a Mở file kl | 14.gsp 1. Hướng dẫn cách dựng:  Mở trang mới;  Dựng một hình vuông bất kì. Trong hình vuông lấy hai điểm ,A B .  Dựng đường đi của viên bi:  Lấy một điểm 1P bất kì trên cạnh thứ 1, đối xứng điểm đó qua cạnh thứ 1 (kích đúp cạnh thứ 1, chọn 1P , áp dụng Transform | Reflect) ta được điểm 2P . Đoạn thẳng 2AP cắt cạnh thứ 1 tại P .  Lấy một điểm 3P trên cạnh thứ 3, sao cho 3P nằm phía trong góc · 1APP . Nối các điểm 1 3, , ,A P P P ta được tứ giác 1 3APPP . Chọn lần lượt 1 3, , ,A P P P áp dụng Construct | Quadrilateral Interior để được miền trong của tứ giác 1 3APPP . Sau đó, chọn miền trong, áp dụng Construct | Point on Quadrilateral ta sẽ được một điểm M di động trên biên của tứ giác 1 3APPP .  Chọn điểm 3 ,P P áp dụng Edit | Merge Point để nhập điểm 3P vào P . 42  Chọn lần lượt 1,M P , áp dụng Edit | Action Buttons | Movement, trong thẻ Label đặt tên là ban1.  Tiếp tục chọn lần lượt ,M A áp dụng Edit | Action Buttons | Movement, trong thẻ Move chọn Instant, trong thẻ Label đặt tên reset. 2. Hướng dẫn học sinh khám phá:  Điều chỉnh hướng chuyển động của viên bi A bằng cách rê điểm P .  Nháy nút ban 1 hãy quan sát hướng di chuyển của viên bi A sau khi va vào cạnh 1 của bàn bi-a, lúc 1 4 2 3 BA P Hình 21 phản xạ vào viên bi B , trong trường hợp đó, đo các góc hợp bởi các tia PA , PB và cạnh 1 của bàn bi-a rồi đưa ra nhận xét.  Cho các viên bi ,A B ở nhiều vị trí khác nhau, để dự đoán.  Trường hợp không dự đoán được hãy làm bước tiếp sau đây:  Dựng điểm 'B là ảnh của điểm B qua phép đối xứng trục CD , dựng đoạn thẳng 'PB , đo các góc ·APC , ·BPD .  Rê điểm P đến vị trí sao cho " góc tới" ·APC bằng " góc phản xạ " ·BPD . Khi đó, H: Có nhận xét gì về vị trí các điểm , , 'A P B ?  Suy ra cách xác định vị trí của điểm P cần tìm. Tương tự, hãy xác định vị trí của điểm P trên cạnh 1 của bàn bi-a sao cho:  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, rồi mới chạm vào viên bi B . 43  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, chạm vào cạnh 3, rồi mới chạm vào viên bi B .  Viên bi A sau khi chạm vào cạnh 1, chạm vào cạnh 2, chạm vào cạnh 3, chạm vào cạnh 4, rồi mới chạm vào viên bi B . Bài toán 3: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn đường từ địa điểm A tới địa điểm M và từ địa điểm B đến địa điểm N . Hãy xác định vị trí của chiếc cầu sao cho AM BN ngắn nhất. Mở file kl | 15.gsp a b M B A N Hình 22 Trường hợp 1: Bài toán trở nên đơn giản nếu con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông xem như trùng nhau. Trong trường hợp này, bài toán có thể đưa về dạng bài toán 1 để giải được không?  Kéo rê đường thẳng a trùng với đường thẳng b . Đo độ dài các đoạn A