Đề tài Cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 288 VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ON THE STRUCTURE OF THE ACCEPTABLE ALTERNATING BILINEAR MAP SVTH: NGÔ THỊ HOÀI PHƢƠNG Lớp: 05TT, Trường Đại học Sư Phạm GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm TÓM TẮT. Đề tài này nghiên cứu về cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận đƣợc. ABSTRACT. In this subject, we have studied about the structure of the acceptable alternating bilinear map. 1. Mở đầu. Trong đại số tuyến tính, phần cấu trúc của các dạng song tuyến tính, ta biết : “ Nếu f là một dạng thay phiên trên không gian vectơ E trên trƣờng K . Thế thì E là tổng trực giao của hạt nhân của nó và không gian Hyperbolic. Nếu E không suy biến thì E là một không gian hyperbolic và số chiều của nó là một số chẵn ”. ( Xem [ 4, tập III, định lý 6, trang 78 ] ). Một câu hỏi đƣợc đặt ra một cách tự nhiên là : kết quả đẹp đẽ này có thể mở rộng cho ánh xạ song tuyến tính thay phiên hay không ? Mục đích của đề tài này là tìm cách giải đáp cho câu hỏi trên. Cụ thể là: tìm hiểu cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận đƣợc  : E x E  U, trong đó dim K E là một số lẻ lớn hơn 1, dim KU = 2, K là trƣờng 2 , và  có độ rắn bằng 2. 2. Các kiến thức chuẩn bị. 2.1. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính. Giả sử E, F, G là những không gian vectơ trên trƣờng K . Ánh xạ f : E x F  G đƣợc gọi là ánh xạ song tuyến tính trên E x F nếu nó tuyến tính đối với mỗi biến, nghĩa là với mọi x, x’  E, y, y’  F, mọi a, b  K, ta có : i) f(x + x’, y) = f(x, y) + f(x’, y) ii) f(ax, y) = af(x, y) iii)f(x, y + y’) = f(x, y) + f(x, y’) iv) f(x, by) = bf(x, y) Nếu E = F thì ta nói f là ánh xạ song tuyến tính trên E thay cho ánh xạ song tuyến tính trên E x E. 2.2. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên. Một ánh xạ song tuyến tính f trên E đƣợc gọi là ánh xạ song tuyến tính thay phiên nếu f(x, y) = - f(y, x) , với mọi x, y  E . 2.3. Mệnh đề. Cho E, U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008 289  : E  E  U là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên. Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính   : (2)E  U. (v  v’)    (v  v’) =  (v, v’). 2.4. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. Cho E, U là các không gian vectơ trên 1 trƣờng K. Ánh xạ song tuyến tính thay phiên  : E  E  U đƣợc gọi là chấp nhận đƣợc nếu : i)  ( E x E ) sinh ra U . ii)  không suy biến, nghĩa là : { v  E /  (v, E ) = 0 } = 0 2.5. Độ rắn của ánh xạ song tuyến tính. 2.5.1. Định nghĩa. Cho : E E U   là ánh xạ song tuyến tính và *k U . Khi đó hợp thành k  : E E K  là dạng song tuyến tính. Đặt  / ( , ) 0kL v E k v E    * \ 0 min dim / k k U r E L   . Ta gọi r là độ rắn của ánh xạ song tuyến tính  . 2.5.2.Tính chất. Nếu  là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được thì : i) r là số chẵn. ii) 2  r  dim E. 3. Cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. 3.1. Mệnh đề. Cho E là không gian 3 chiều, U là không gian vectơ 2 chiều trên trường 2 , ánh xạ  : E  E  U là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. Khi đó, tồn tại một cơ sở của E và một cơ sở của U để ma trận của ánh xạ tuyến tính   : (2)E  U. (v  v’)    (v  v’) =   (v, v’). là A = 1 0 0 0 0 1       . 3.2. Mệnh đề. Cho E là không gian vectơ n chiều trên trường 2 , n lẻ, n > 3, U là không gian vectơ 2 chiều trên trường 2 . Ánh xạ  : E  E  U là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được, r = 2. Khi đó : E = 1E  2E , với dim 1E = 3 , dim 2E = n – 3 , trong đó 1 1 |E E  : là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được và 2E là một không gian Hyperbolic. 4. Kết luận. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 290 Đề tài đã xác định đƣợc cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận đƣợc  : E x E  U, trong đó dim K E là một số lẻ lớn hơn 1, dim KU = 2, K là trƣờng 2 , và  có độ rắn bằng 2. Hy vọng kết quả của đề tài sẽ tiếp tục đƣợc hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, cụ thể là các không gian vectơ sẽ đƣợc xét trên một trƣờng bất kỳ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G. Birkhoff và S. Maclane (1978), Tổng quan về đại số hiện đại, Bản dịch tiếng Việt của Ngô Thúc Lanh, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. [2] Nguyễn Ngọc Châu (1992), Về lớp đồng chất của các nhóm mở rộng tâm theo nhóm Abel sơ cấp, Tóm tắt luận án PTS khoa học Toán Lý Đại học Sƣ Phạm Hà Nội. [3] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục. [4] SERGE LANG (1978), Đại số, tập I, II,III, Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. [5] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội. [6] SZE – TSEN HU (1973), Nhập môn Đại Số Đồng Đều, Bản dịch tiếng Việt của NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. [7] Thái Xuân Tiên, Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Dục (1995), Đại số tuyến tính, Đại học Đà Nẵng.