Đề tài Dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

à 2,4m. Chia cạnh huyền làm hai loại hơn kém nhau là 1,4m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. A * Phân tích đề bài: Xét tam giác ABC vuông tại A. Giải sử AC>AB CH> BH. Và AH2 = BH.CH ( theo hệ thức lượng ) Giải: Gọi độ dài BH là x ( x>0; m) Độ dài CH là x+ 1,4 (m) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH2 = HB. HC 2,42 = x ( x+ 1,4) x2 + 1,4x – 5,76 = 0 = ( 1,4)2 – 4.1. ( - 5,76) = 1,96 + 23,04 = 25 = 5 >0 x1 = = 1,8 x2 = = -3,2 ( loại) Vậy BH = 1,8m CH = 1,8 + 1,4 = 3,2m BC = 1,8 + 3,2 = 5(m) 6. Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bước lập luận không được chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần phải thử lại kế quả và tìm các n0 của bài toán, tránh bỏ sót n0 đặc biệt là PT bậc 2, hệ PT Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25m, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35m. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là x,y (0<x<35 ; 0<y<35,m) Vì tổng độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác là 35 nên ta có: x+ y = 35 (1) Mặt khác theo định lý pitago áp dụng vào tam giác đã cho ta có: x2 + y2 = 252 = 625 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT: x + y = 35 x + y = 35 x2 + y2 = 625 x.y = 300 x,y là nghiệm của hệ PT: t2 – 35t + 300 = 0 Giải ra ta được t1 = 20; t2 = 15 ( T/m đk) Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là 15 và 20 Chú ý: ở bài toán này khi tìm ra hai kết quả là 15 và 20, học sinh sẽ lúng túng chọn 1 hay hai đáp số: ( x = 15; y = 20) hoặc ( x = 20; y = 15) Thực tế hai tam giác vuông này đều là một,. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo điều kiện thì các nghiệm tìm được đều hợp lý. Chương II Phân loại dạng toán: “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình” và các giai đoạn giải một bài toán. I. Phân loại dạng toán: “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ PT” Trong chương trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ PT có thể phân loại như sau: 1. Loại toán về chuyển động 2. Loại toán có liên quan đến số học 3. Loại toán về năng suất lao động 4. Loại toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng 5. Loại toán về tỷ lệ chia phần ( thêm bớt, tăng, giảm….) 6. Loại toán có liên quan đến hình học 7. Loại toán liên quan đến vật lý hóa học 8. Loại toán về xác định các hệ số cuả một đa thức 9. Dạng toán có chưa tham số 10. Một số bài toán khác. II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ PT 1. Phần giai đoạn: - Với bài toán bậc nhất một ẩn: Là dạng bài toán sau đây khi xây dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng ax+ b = 0 ( a0). - Với bài toán bằng cách lập phương trình bậc 2 là bài toán sau khi xây dựng phương trình biến đổi tương đương về dạng ax2 + bx + c = 0 ( a0).. - Với bài toán giải toán bằng hệ PT bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến đổi tương đương về dạng nguyên ( như mẫu số ) có dạng : ax + by = c (Trong đó a; a’; b; b’ không đồng thời bằng 0) a’x + b’y = c’ Để đảm bảo 6 yêu cầu về bái toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT thì bài taosn có thể chai thành các giai đoạn như sau: Gia đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hét giải thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập PT. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn. Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được Giai đoạn 4: Giải PT phải vận dụng các kỹ thuật giải PT đã biết để tìm nghiệm cuả PT. Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của PT, để xác định lời giải của bài toán, tức là xét nghiệm cuả PT với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không. Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm ( sau khi đã thử lại) Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho học sinh khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bài toán khác, ta có thể. - Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác - Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển tư duy học sinh - Giải bài toán bằng cách khác, Tìm cách giải hay nhất Chương III Những loại bài toán và hướng dẫn học sinh giải bài toán I. Dạng toán chuyển động: 1. Bài toán 1: Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’. Nhưng mỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11h20’ xe mới đến Hải Phòng. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng. * Phân tích đề bài: Đây là loại toán chuyển động mà vận tốc được chia làm hai giai đoạn: Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định Giai đoạn 2: Ô tô đi với vận tốc thực tế. Giải: Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là x (x>0; km) Vận tốc dự định mà xe dự kiến đi là: = ( km/h) Vận tốc thực tế là: = (km/h) Vì vận tốc thực tế kém vận tốc dự định là 10km/h nên ta có PT: 4x – 3x = 100 x = 100 ( T/m đk) Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Hải phòng là 100(km) 2. Bài toán 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian nhất định nào đó. Sau khi đi được một giờ thì xe bị hỏng nên xe phải dừng lại để sửa chữa mất 10 phút. Vì vậy để đến B kịp thời gian dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô. * Phân tích bài toán: - Thời gian ô tô đi được chia làm 3 giai đoạn + Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định + Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa + Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới - Thời gian dự định bằng thời gian thực tế Giải: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (x>0; km/h) Thời gian ô tô đi theo dự định là: (h) Sau 1h xe đi được 1.x=x (km) Quãng đường còn lại là: 120 –x (km) Vận tốc mới của ô tô là x + 6 Thời gian ô tô đi nốt quãng đường còn lại là: Theo đầu bài ta có PT: = 1 + + x2 + 42x – 4320 = 0 x1 = 48 x2 = -90 ( loại) Vậy vận tốc dự định cuả ô tô là 48km/h 3. Bài toán 3: Một bè gỗ được thả trôi trên một dòng sông. Sau khi thả bè gỗ trôi được 5 giờ 20 phút một xuồng máy cũng xuất phát từ chỗ bè gỗ bắt đàu thả đuổi theo bè gỗ. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc cuả bè gỗ biết rằng vận tốc của xuồng máy hơn vận tốc cảu bè gỗ là 12km/h * Phân tích đề bài: Vận tốc xuối dòng cuả xuồng máy = vận tốc thực + vận tốc dòng nước Vận tốc cuả bè gỗ chính bằng vận tốc dòng nước Giải: Gọi vận tốc cuả bè gỗ là x( x>0; km/h) Vận tốc của xuồng máy là x+ 12 (km/h) Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là: Thời gian xuồng máy đi cho đến khi đuổi kịp bè gỗ là: Theo đầu bài ta có PT: - = x2 + 12x – 45 = 0 Giải PT ta được x1 = 3 (T/mđk) x2 = - 15 ( loại) Vậy vận tốc của bè gỗ là 3km/h Tóm lại: Với các bài toán minh họa ở trên giáo viên phần nào đã hình thành cho học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập PT. ở đây mới chỉ nêu cách giải đại điện cho các dạng PT bậc nhất, bậc 2. Trong các bài toán về chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lương vận tốc, quãng đường và thời gian. Thông thường một trong 3 đại lượng đó được chọn là ẩn số. Một đại lượng đã được xác định là phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn dựa vào mỗi liên hệ trong bài toán để lập PT hoặc hệ PT. Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nhỏ. + Nếu 2 chuyển động ngược chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp nhau ta có s1 + s2 = khoảng cách ban đầu. + Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau ta có: s1 – s2 = khoảng cách ban đầu (s1 >s2) + Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau. + Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A. Biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì. Tổng thời gian – Thời gian đi + Thời gian về + Nếu là chuyển động trên dòng nước thì: Vận tốc xuối dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thức – Vận tốc dòng nước Vận tốc xuôi dòng – Vận tốc ngược dòng = 2 lần vận tốc dòng nước II. Dạng toán liên quan đến số học. 1. Bài toán 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho là 360 đơn vị * Phân tích bài toán: Với số có 2 chữ số = 10a + b Với số có 3 chữ số = 100a + 10b + c Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì số đó trở thành số có 3 chữ số. Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu trở thành chữ số hàng trăm của số mới còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ số hàng đơn vị của chữ số mới. Giải Gọi chữ số hàng dơn vị của số ban đầu là x ( x) Chữ số hàng chục là 7 – x Chữ số ban đầu là ( 7 - x)x = 10(7 - x) + x = 70 – 9x Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa 2 chữ số của số đã cho thì số mới là ( 7 - x)0x = 100 ( 7 - x) + 0.10 +x = 700 – 99x Theo đầu bài ta có PT: 700 – 99x = 360 + 70 – 9x 90x = 270 x = 3 ( TMĐK) Chữ số đã cho là 43 2. Bài toán 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ x chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99. Tìm số đã cho. * Phân tích đề bài: + = 10a+b + Khi đổi vị trí 2 chữ số cho nhau thì vai trò của hai chữ số sẽ được hoán đổi cho nhau Giải: Gọi chữ số hàng chục là x ( xN*; x) Gọi chữ số hàng đơn vị là y ( yN*; y) số đã cho là = 10y +x Theo đầu bài ta có PT hệ PT 10y +x – 10x –y = 63 10x +y + 10y +x = 99 Khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta sẽ được số mới là. = 10y +x Theo đầu bài ta có PT, hệ PT 10y + x – 10x –y = 63 10x = y +10y +x = 99 - 9x +9y = 63 11x + 11y = 99 Giải hệ ta được x = 1; y = 8 ( TMĐK) 3. Bài toán 3: Tìm hai số biết tổng là 17 và bình phương cuả hai số đó là 157. * Phân tích đề bài Bài toán có thể giải bằng cách lập Pt và hệ PT Cách Quá trình 1 Chưa bình phương x (17 – x) X2 + ( 17 - x)2 = 157 Bình phương x2 (17 - x)2 2 Chưa bình phương x Y x + y = 17 x2 + y2 = 157 Bình phương x2 y2 Giải Cách 1: Gọi số thứ I là x số thứ 2 là 17 – x Theo đầu bài ta có PT: x2 + ( 17 – x)2 = 157 x2 – 17x + 66 = 0 Giải PT ta được x1 = 6 ; x2 = 11 ( TMĐK) Vậy hai số phải tìm là 6 và 11 Cách 2: Gọi số thứ I là x Gọi số thứ II là y Theo đầu bài ta có hệ PT: x + y = 17 x2 = y2 = 157 Giải hệ PT ra ta được x = 6 và y = 11. Hoặc x = 11 và y = 6 ( TMĐK) Vậy hai số phải tìm là 6 và 11 * Tóm lại: + Với dạng toán liên quan đến số học ở trên cần cho học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các số. Đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị và hàng chục, hàng trăm… biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó. Ví dụ: = 10a + b = 100a + 10b + c + Khi đổi chỗ vị trí các chữ số cho nhau thì giá trị của mỗi chữ số có sự thay đổi tương ứng với vị trí mới III. Dạng toán về năng suất lao động ( tỷ số %) 1. Bài toán 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ 2 tổ 1 sản xuất vượt mức 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. * Phân tích bài toán: - Đã biết năng suất của hai đội trong tháng đầu là 800 chi tiết máy. Nên nếu biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính được tổ kia. - Nếu ta chọn ẩn số là năng suất tháng đầu tính được tổng chi tiết sản xuất trong tháng sau. Từ đó tính được năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng PT: Giải: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu ( 0<x< 800; x) Gọi y là số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu Số chi tiết của tổ 2 là 800 – x ( chi tiết máy) Tháng sau tổ 1 vượt mức định số chi tiết là x. Tháng sau tổ 2 vượt định mức số chi tiết là ( 800 - x) Số chi tiết mà 2 tổ vượt mức trong tháng sau là 945 – 800 – 145 Theo đầu bài ta có PT: x. + ( 800 - x) = 145 Giải PT ta được x = 300 ( TMĐK) Vậy trong tháng đầu tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết máy Trong tháng đầu tổ 2 snar xuất được 500 chi tiết máy. 2. Bài toán 2: Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trước kia là 2% với dân số đầu năm 2002 là 2 triệu dân. Do đó tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm đi 1000 người so với số đạt được với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn, nên số dân đầu năm 2003 cuả tỉnh đó là 2038400 người. tính số dân ở vùng thành thị cuả tỉnh đó vào đầu năm 2003 Giải Gọi số dân vùng thành thị, vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm 2002 lần lượt là x; y ( triệu dân); ( x>0 ; y>0) Ta có x+ y = 2 (1) Số dân tăng ở vùng thành thị là: 1,8% .x (Triệu dân) Số dân tăng ở vùng nông thôn là 2%.y – 0,001 ( triệu dân) Số dân tăng cuả tỉnh là 2,0384 – 2 = 0,0384 ( triệu dân) Theo đầu bài ta có PT: 1,8% x + 2%y – 0,001 = 0,0384 (2) Từ (1); (2) ta có hệ PT: x + y = 2 (1) 1,8%x + 2%y – 0,001 = 0,0384 (2) Giải hệ ta được x = 0,3 y = 1,7 ( TMĐK) Vậy số dân đầu năm 2002 cuả tỉnh đó ở vùng thành thị là 300.000 người Số dân tăng là: 1,8% . 300000 = 5700 ( người) Vậy số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là: 300.000 + 5.400 = 305.400 người * Tóm lại: Với dạng toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động ( tăng dân số….) so với mốc ban đầu từ đó lập được PT hoặc hệ PT IV Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng 1. Bài toán 1: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác, còn đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên ( với năng suất bình thường) Giải Gọi x là số ngày đội 1 làm một mình xong công việc ( x>12; ngày) Gọi y là số ngày đọi 2 làm một mình xong công việc ( y>12, ngày) Trong một ngày đội 1 làm được công việc Trong 1 ngày đội 2 làm được công việc Trong 1 ngày cả hai đội làm được công việc Ta có PT: + + Khi cả hai đội làm chung được 8 ngày cả hai đội làm được công việc Số công việc còn lại để đội 2 làm nốt là : 1 - công việc Đội 2 làm với năng suất gấp đôi trong 1 ngày là Theo đầu bài ta có PT: 3,5 . Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 3,5 . Giải hệ ta được x = 28 ( TMĐK) y = 21 Vậy đội 1 làm trong 28 ngày thì xong công việc Đội 2 làm trong 21 ngày thì xong công việc 2. Bài toán 2: Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể Giải Đổi 1h20’ = 80’ Gọi x là thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể ( x>80; phút) Gọi y là thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể ( y>80; phút) Trong 1 phút vòi 1 chảy được ( bể) Trong 1 phút vòi 2 chảy được ( bể) Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được bể Ta có PT: (1) Khi mở vòi 1 trong 10 phút được bể Khi mở vòi 1 trong 12 phút được bể Theo đầu bài ta có ( 2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT: Giải hệ PT ta được x = 120 y = 240 Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể Vòi thứ hai chảy một mình sau 24 phút đầy bể 3. Bài toán 3 Hai đội công nhân cùng làn công việc trong 16 ngày thì xong, nếu đội thứ nhất làm trong ba ngày và đội thứ hai làm trong 6 ngày thì được 25 % công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Giải: Gọi x là thời gian đội 1 làm một mình xong công việc (x>16; ngày) Gọi y là thời gian đội 2 làm một mình xong công việc ( y >16; ngày) Một ngày đội 1 làm được công việc Một ngày đội 2 làm được công việc Trong một ngày cả hai đội làm được công việc Ta có (1) Đội 1 làm một mình trong 3 ngày làm được công việc Đội 2 làm một mình trong 6 ngày làm được công việc Theo đầu bài ta có PT: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT: Giải hệ PT ta được x = 24 ; y = 48 ( TMĐk) Vậy đội 1 làm một mình trong 24 ngày sẽ hoàn thành công việc Đội 2 làm một mình trong 48 ngày sẽ hoàn thành công việc. * Tóm lại Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ được quan hệ giữa thời gian và năng suất làm việc: Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ) thì trong 1 ngày ( giờ) làm được công việc V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần 1. Bài toán 1: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày hoàn thành công việc giảm đi 7 ngày. Giải Gọi số công nhân của đội là x ( x) Sau khi tăng 5 người thì đội có x+5 ( người) Số ngày hoàn thành công việc với x người là 420 (ngày) Số ngày hoàn thành công việc với x+ 5 người là ( ngày) Theo đầu bài ta có PT: Giải PT ta được x1 = 15 ( TMĐK); x2 = - 20 ( Không TMĐK) Vậy số công nhân của đội là 15 người. 2. Bài toán 2: Một đội xe cần trở 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi khác mỗi xe pahir chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe. * Phân tích đề bài: Ta có bảng sau: Số xe Số hàng ( tấn) Số hàng 1 xe chở ( tấn) Dự định x 12 Thực tế x – 2 12 Giải: Gọi số xe của đội lúc đầu là x ( xe) ( x) Theo dự định mỗi xe phải chở ( tấn hàng) Số xe trên thực tế là x – 2 ( xe) Khi đó mỗi xe phải chở ( tấn hàng) Theo đầu bài ta có PT: x2 – 2x – 15 = 0 x1 = -3 ( loại) x2 = 5 ( TMĐK) Vậy lúc đầu đội có 5 xe VI. Dạng toán có liên quan đến hình học 1. Bài toán 1: A C M B Cho tam giác vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm. M là 1 điểm trên AB. Qua M kẻ các đường thẳng // AC và BC chúng lần lượt cắt BC; AC tại P và Q. Hãy xác định điểm M để diện tích hình bình hành MNCD = diện tích tam giác ABC * Phân tích đề bài: SABC = SMNCP = AM. NC Giải: Gọi độ dài AM là x ( cm; 0<x<8) Theo định lý talét trong ABC với MN//BC N Ta có: AN = (cm) NC = AC – AN = 6 - (cm) S MNCP = AM.NC = x(6 - ) (cm2) S ABC = AB.AC = . 6 . 8 = 24 (cm2) Theo đầu bài ta có PT: x. ( 6 - ) = x2 – 8x + 12 = 0 x1 = 2 ; x2 = 6 ( TMĐK) Vậy điểm M cách A là 2cm hoặc 6cm. 2. Bài toán 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đât trong vườn) rộng 2m. tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2 * Phân tích đề bài 2m 2m A B C D 4256 Khi làm lối đi xung quanh vườn thì diện tích phần đất còn lại cũng là hình chữ nhật. Giải: Nửa chu vi cuả HCN là 280: 2 = 140(m) Gọi 1 cạnh của vườn là x (x<140 ; m) Cạnh kia của vườn là 140 – x Do làm lối đi xung quanh 2m nên kích thước của đất trồng trọt là: ( x - 4)m và ( 140 – x - 4)m Theo đầu bài ta có PT: ( x - 4) ( 140 – x - 4) = 4256 ( x - 4) ( 136 - x) = 4256 Giải PT ta được x1 = 80 (m); x2 = 60 (m) ( TMĐK) Vậy các cạnh cuả HCN lần lượt là 60m và 80m 3. Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD cạnh là y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB, điểm G thuộc tia AD sao cho AG = AD + EB. Dựng HCN GAEF. Đựt EB = 2x (cm) . Tính x và y để diện tích của HCN bằng diện tích cuả hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng 100 + 4 (cm) Giải Theo giả thiết EB = 2x (cm); x>0 Ta có AE = y – 2x (cm) AG = AD + DG = y + EB = y + . 2x = y + 3x (cm) A D G F C B E 2x y Do diện tích HCN GAEF bằng AE. AG = ( y – 2x)( y+ 3x) Theo đầu bài ta có: ( y – 2x) ( y + 3x) = y2 xy – 6x2 = 0 x( y – 6x) = 0 Vì x>0 y -6x = 0 (1) Mặt khác FC = = = x Do chu vi của ngũ giác ABCFG bằng: 3y + x+ ( y – 2x) + 3x = x ( 1+ )+ 4y Theo đầu bài ta có PT: x( 1 + ) + 4y = 100 + 4 (2) Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ PT y – 6x = 0 x( 1 + ) + 4y = 100 + 4 Giải hệ PT ta được x = 4 và y = 24 ( TMĐK) Vậy x = 4cm và y = 24cm * Tóm lại: ở dạng toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ được các tính chất cuả các hình vào bài toán. Tốt nhất nên cho học sinh vẽ hình họa rồi dựa trên hình vẽ để phân tích các dữ kiện mà đề bài cho. VII. Dạng toán có liên quan đến vật lý, hóa học 1. Bài toán 1: Người ta hòa 8 g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. * Phân tích đề bài: Khối lượng riêng của mỗi chất được tính theo công thức m = hay V = Trong đó: M là khối lượng tính bằng kg V là thể tích của vật tính bằng m3 M là khối lượng riêng tính bằng kg/m3 Giải: Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x ( kg/m3; x>200) Khối lượng riêng của chất thứ 2 là x – 200 ( kg/m3) Thể tích cuả chất thứ nhất là: Thể tích của chất thứ hai là: Thể tích cuả hỗn hợp chất lỏng là: Vì trước và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất không đổi, cho nên ta có PT: = Giải PT ta được x1 = 800 (TMĐK) x2 = 100 ( không TMĐK) Vậy khối lượng riêng của chất thứ nhất là 80kg/m3 Khối lượng riêng cuả chất thứ hai là 800 – 200 = 600 kg/m2 2. Bài toán 2: Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng là 124 (g) và có thể tích 15cm3. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 gam đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7 gam kẽm thì có thể tích là 1cm3 Giải Gọi số gam đồng có trong hợp kim là x (0<x<124) Gọi số gam kẽm có trong hợp kim là y ( 0<y< 124) 1 gam đồng có thể tích là (cm3) x gam đồng có thể tích là (cm3) 1 gam kẽm có thể tích là (cm3) y gam kẽm có thể tích là (cm3) Theo đầu bài ta có hệ PT: x + y = 124 = 15 Giải hệ PT ta được x = 89; y = 35 ( TMĐK) Vậy trong hợp kim có 89g đồng và 35g kẽm * Tóm lại: Đối với dạng toán có liên quan đến Vật lý, hóa học học sinh cần nắm vững kiến thức vật lý, hóa học. Từ đó có thể áp dụng để thiếp lập các PT theo yêu cầu cuả đề bài. VIII. Dạng toán về xác định các hệ số của một đa thức 1. Bài toán 1: Xác định các giá trị của a để đa thức f (x) = x4 + 2ax3 – 4ax +4 bằng bình phương cuả một đa thức khác. * Phân tích đề bài Nếu f(x) = g(x)2 thì g(x) phải là đa thức bậc 2 Giải Đa thức f(x) = x4 + 2ax – 4ax +4 nếu bằng bình phương đa thức g(x) thì đa thức g(x) có dạng: g(x) = x2 +mx +n ta phải xác định a để có đồng nhất thức. x4 + 2ax3 – 4ax +4 = (x2 + mx + n)2 x4 + 2ax3 – 4ax +4 = x4 + 2mx3 + ( m2 + 2n).x2 + 2mnx + n2 Ta đồng nhất thức này khi và chỉ khi 2a = 2m a = m m2 + 2n = 0 m2 = -2n 2mn = -4a m n = - 2a n2 = 4 n = 2 hoặc n = - 2 Giá trị n = 2 làm cho m2 = -2n = -4 <0 ( loại) Ta có: a = m a =m m2 = -2n m2 = -2n mn = -2a n = -2 n = -2 a = 2 a = m m = 2 m = 2 hoặc m = -2 n = - 2 n = -2 a = -2 m = -2 n = -2 Nếu a = 2 ( m = 2; n = -2) thì f(x) = x4 + 4x3 – 8x +4 = (x2 + 2x -2) Nếu a = -2 ( m = -2; n =- 2) thì f(x) = x4 – 4x3 + 8x =4 = ( x2 – 2x -2) 2. Bài toán 2: Xác định đa thức f(x) biết rằng f(x ) chia cho x+3 dư 1 f(x) chia cho x – 4 dư 8 f(x) chia cho (x +3)(x -4) thì được thương là 3x và còn dư * Phân tích đề bài: Vì f(x) chia cho đa thức bậc 2 có thương là 3x nên f(x) có bậc 3 và đa thức dư có bậc 1 Giải: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức bậc hai (x+3)(x -40 thì đa thức dư phải là bậc nhất có dạng ax =b. Ta có F(x) = (x+3)( x-4).3x + (ã +b) (1) + Vì f(x) chia cho x+3 dư 1 nên f(-3) = 1 + Vì f(x) chia cho x – 4 dư 8 nên f(x) = 8 Lần lượt thay x = -3, x = 4 vào PT (1) Ta được hệ PT - 3a + b = 1 4a + b = 8 Giải hệ PT ta được 3a = 1; b = 4 ( TMĐK) Vậy đa thức cần tìm là:5 f(x) = (x + 3)(x - 4).3x + x + 4 = 3x3 – 3x2 – 35x +4 * Tóm lại: Đối với dạng toán liên quan đến xác định hệ số của đa thức cần cho học sinh nắm vững kiến thức về đa thức và tính chất của đồng nhất thức, từ đó tìm mối quan hệ giữa các hệ số để lập được PT hoặc hệ PT IX. Dạng toán có chứa tham số 1. Bài toán 1: Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc đó từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một ô tô tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ 2 ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B mất bao lâu biết rằng vận tốc xe tải = vận tốc xe du lịch * Phân tích đề bài: - Nếu x là thời gian xe du lịch đi từ A đến B. ta có sơ đồ sau: A B C - Ta có thể coi BC là tham số x 5 - x để biểu diễn các ại lượng khác qua nó. Giải: Gọi thời gian xe du lịch đi từ A đến B là x ( 0<x<5, giờ) Thời gian xe du lịch đi từ B đến C là 5 – x ( giờ) Vận tốc xe du lịch là (Km/h) Theo đầu bài ta có PT: (1) Coi BC = 1 đơn vị độ dài Thì (1) x = 2 (TMĐK) Vậy thời gian xe du lịch đi từ A đến B là 2 giờ 2. Bài toán 2: Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc xe thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi xe đi cả quãng đường AB mất bao nhiêu lâu. * Phân tích đề bài Khi hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường của hai xe đi được chính là độ dài quãng đường AB. Ta có thẻ coi AB là tham số để biểu diễn các đại lượng khác. Giải: Gọi thời gian xe thứ nhất đi Hết quãng đường AB là x ( x>5; giờ) Vận tốc của xe thứ nhất là: Vận tốc của xe thứ hai là Quảng đường xe thứ nhất đi được là : 5. Quãng đường xe thứ hai đi được là: 5. Theo đầu bài ta có PT: 5.+ 5.= AB (1) Coi AB bằng 1 đơn vị độ dài thfi (1) Giải PT ta được x = (TMĐK) Vậy thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là giờ. Thời gia