Đề tài Kinh nghiệm sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán rèn khả năng suy luận

KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHÂN SỐ, TỈ SỐ TRONG GIẢI TOÁN RÈN KHẢ NĂNG SUY LUẬN PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý do: Kể từ năm học 1995 – 1996 các vấn đề phân số, tỉ số đã được chính thức đưa vào chương trình Toán ở bậc Tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 4 và lớp 5. Trong đó dạng toán có liên quan đến “ Phân số, tỉ số” chiếm một số lượng đáng kể trong các bài toán có lời văn. Loại toán này có nhiều ứng dụng trong thực tế. Song khi giải các bài toán này học sinh còn gặp nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm ra hướng giải quyết và thường bị nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác; học sinh giải toán thiếu suy luận, không mang tính toán học, thiếu mạch lạc, làm cho việc giải toán trở nên phức tạp. Với tư cách là giáo viên dạy học ở lớp 4, 5 và bồi dưỡng học sinh giỏi của trường nhiều năm. Tôi chọn nghiên cứu “ Sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán ” nhằm rèn khả năng suy luận cho học sinh. 2. Nhiệm vụ: Trong khuôn khổ của đề tài này, nhiệm vụ chính là giúp cho học sinh sử dụng tốt hơn khái niệm về phân số, giải thành thạo các bài toán có liên quan đến phân số - tỉ số, khắc phục những sai lầm của học sinh. Đồng thời cũng nêu lên một số thủ thuật giải toán theo kinh nghiệm của bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và phương pháp giải các bài toán ở dạng nâng cao. 3. Phương pháp tiến hành: - Sử dụng phương pháp giải trình, thống kê, mô tả là chủ yếu. - Tiến hành kiểm tra việc nắm khái niệm, giải toán của học sinh để biết sự nhầm lẫn, thiếu suy luận, qua đó phân loại, phát hiện học sinh có năng khiếu về toán để bồi dưỡng. - Hướng dẫn học sinh làm các bài toán có lời văn có liên quan đến phân số, tỉ số - So sánh thủ thuật giải các bài toán rút ra kết luận cần ghi nhớ. - Việc giúp cho học sinh giải được nhiều bài toán trở nên mạch lạc, mang tính toán học có tác dụng không nhỏ đối với việc rèn khả năng suy luận cho học sinh. 4. Cơ sở và thời gian tiến hành: Đề tài này được rút ra trên cơ sở đúc rút kinh nghiệm của nhiều năm dạy lớp năm và kết quả đã đạt được của từng năm. Đề tài được thực hiện ở lớp khoảng 3 năm trở lại đây. PHẦN II. KẾT QUẢ. 1/ Mô tả thực trạng: - Vấn đề phân số, tỉ số luôn xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán Tiểu học mà học sinh thường hay giải toán một cách máy móc, phương pháp không rõ ràng, hay nhầm lẫn. Vậy làm thế nào để giúp học sinh giải các bài toán trở nên mạch lạc, để nâng cao chất lượng dạy học và việc bồi dưỡng học sinh giỏi mang lại hiệu quả cao đáp ứng với sự phát triển của xã hội, những học sinh có năng khiếu về toán được phát triển. - Để rèn khả năng suy luận, giúp học sinh giải nhiều bài toán rõ ràng mang tính toán học, khắc sâu được kiến thức. Cần có cách hiểu, nhớ và vận dụng phương pháp giải về “phân số, tỉ số” – Góp phần rèn khả năng suy luận cho học sinh Tiểu học. 2/ Mô tả nội dung và giải pháp mới: Vấn đề phân số, tỉ số là một nội dung quan trọng chương trình, nó luôn xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh biết cách giải bài toán rõ ràng, mạch lạc, suy luận lô gic, mang tính toán học. Vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm vững khái niệm kiến thức và giải một số bài toán về phân số, tỉ số sau: a) Kiến thức cần nắm về phân số: - Phân số là số do một hay nhiều phần bằng nhau của đơn vị tạo thành. + Cách viết. + Cách đọc: Ví dụ: * đọc là “ ba phần tư” * đọc là “ a trên b” * đọc là “ x trên 2 ” - Phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên (khác 0). Ví dụ: 5 : 8 = ; 11 : 7 = ,……….. - Các phân số lớn hơn đơn vị còn được viết dưới dạng hỗn số như sau: = 1 . đọc là “ Một ba phần tư” - Các tính chất cơ bản: + Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó ( mẫu số > 0) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng thêm 1 đơn vị. Tổng quát: và thì = + = + 1 ( b > 0 ) + Khi phân số lớn hơn đơn vị ( a > b > 0 ). Nếu bớt ở tử số một số một số bằng mẫu số của phân số và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó giảm đi 1 đơn vị. Tổng quát: và thì = - = - 1 ( b > 0 ) + Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng tử số và giữ nguyên mẫu số thì phân số tìm được gấp 2 lần phân số đó. Tổng quát: và thì = = x 2 b) Giải toán rèn khả năng suy luận: Để giúp học sinh với phép suy luận. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán sau: Bài 1: Ba tấm vải dài 105 m. Nếu cắt 1/9 tấm vải thứ nhất, 3/7 tấm vải thứ hai và 1/3 tấm vải thứ ba thì phần còn lại của 3 tấm vải dài bằng nhau. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ? Bài giải: Cách 1: ( Qui đồng tử số ) Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ nhất: 1 – 1/9 = 8/9 ( tấm thứ nhất ) Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ hai: 1 – 3/7 = 4/7 = 8/14 ( tấm thứ hai ) Phân số chỉ số vải còn lại của tấm thứ ba: 1 – 1/3 = 2/3 = 8/12 ( tấm thứ ba ) Vậy 8/9 tấm thứ nhất = 8/14 tấm thứ hai = 8/12 tấm thứ ba Tổng số phần bằng nhau: 9 + 14 + 12 = 35 (phần) Chiều dài tấm thứ nhất dài là: 105 : 35 x 9 = 27 (m) Chiều dài tấm thứ hai dài là: 105 : 35 x 14 = 42 (m) Chiều dài tấm thứ ba dài là: 105 : 35 x 12 = 36 (m) ĐS: Tấm thứ nhất: 27 mét Tấm thứ hai: 42 mét Tấm thứ ba: 36 mét Bài 2: Tổng chiều dài của ba tấm vải là 112 m. Sau khi bán bớt 3/7 tấm vải xanh, 1/5 tấm vải đỏ và 2/5 tấm vải trắng thì phần còn lại của ba tấm vải dài bằng nhau. Hỏi chiều dài của mỗi tấm vải ? Bài giải: Cách 2: ( Tìm tỉ số ) Phân số chỉ số vải còn lại ở: - Tấm vải xanh là: 1 – 3/7 = 4/7 ( tấm vải xanh ) - Tấm vải đỏ là: 1 – 1/5 = 4/5( tấm vải đỏ ) - Tấm vải trắng là: 1 – 2/5 = 3/5( tấm vải trắng ) Vậy: 4/7 tấm vải xanh = 4/5 tấm vải đỏ = 3/5 tấm vải trắng. Do đó: Tấm vải đỏ = 4/7 : 4/5 = 4/7 x 5/4 = 5/7 ( tấm vải xanh ) ( cả hai tấm vải cùng nhân với 5/4 ) Tấm vải trắng = 4/7 : 3/5 = 4/7 x 5/3 = 20/21 ( tấm vải xanh ) ( cả hai tấm vải cùng nhân với 5/3 ) Phân số chỉ 112 m vải là: 1 + 5/7 + 20/21 = 56/21( tấm vải xanh ) Tấm vải xanh dài là: 112 : 56 x 21 = 42 (m) Tấm vải đỏ dài là: 42 : 7 x 5 = 30 (m) Tấm vải trắng dài là: 42 : 21 x 20 = 40 (m) ĐS: Tấm vải xanh: 42 mét Tấm vải đỏ: 30 mét Tấm vải trăng: 40 mét Bài 3: Đoàn vận động viên dự thi hội khẻo Phù Đổng của huyện có số nữ bằng 1/3 số nam. Sau đó theo yêu cầu của phòng giáo dục huyện nên nhà trường đã thay thế 6 vận động viên nam bằng 6 vận động viên nữ. Vì thế số học sinh nữ lại bằng 2/3 số nam. Hỏi có bao nhiêu vận động viên ? Bài giải: ( dùng tỉ số ) Số người cả đoàn không thay đổi. Vì lúc đầu số nữ bằng 1/3 số nam. Nên số nữ bằng = 1/4 số người cả đoàn. Thay thế 6 vận động viên nam bằng 6 vận dộng viên nữ thì số người toàn đoàn không thay đổi. Lúc này số nữ bằng 2/3 số nam. Vậy nữ bằng: = 2/5 số người cả đoàn. Hiệu số nữ lúc sau và lúc đầu bằng: 2/5 – 1/4 = 3/20 (số người cả đoàn) 3/20 số người toàn đoàn chính là 6 người. Vậy số người toàn đoàn là: 6 : 3 x 20 = 40 (người) ĐS: 40 người Bài 4: Đầu năm học, lớp 5A có số học sinh nam bằng 4/9 số học sinh cả lớp, sang đến học kỳ II lớp 5A có 2 học sinh nam mới chuyển đến nên số học sinh nam bằng 9/10 số học sinh nữ. Hỏi đầu năm lớp 5A có tất cả bao nhiêu học sinh ? Bài giải: ( dùng tỉ số ) Số học sinh nữ không thay đổi. Vì số học sinh nam = 4/9 số học sinh cả lớp. Nên số học sinh nam = = 4/5 số học sinh nữ Phân số chỉ 2 học sinh là: 9/10 – 4/5 = 1/10 ( số học sinh nữ ) Số học sinh nữ là: 2 : 1/10 = 20 (HS) Số học sinh nam là: 20 : 5 x 4 = 16 (HS) Số học sinh cả lớp: 20 + 16 = 36 (HS) ĐS: 36 HS Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của trường có 35 em. Trong đó 1/2 số học sinh nam bằng 2/3 số học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ nói trên ? Bài giải: ( dùng tỉ số ) Theo đề ta có: 1/2 số học sinh nam = 2/3 số học sinh nữ. Vậy số học sinh nam so với số học sinh nữ là: 2/3 : 1/2 = 4/3 Số học sinh nam là: 35 : ( 4 + 3 ) x 4 = 20 (HS) Số học sinh nữ là: 35 – 20 = 15 (HS) ĐS: Nam : 20 HS Nữ : 15 HS Bài 6: Một người phải đi từ A đến B trong khoảng thời gian xác định. Người đó nhận thấy rằng, nếu đi với vận tốc 50 km/giờ thì đến B chậm mất 12 phút so với thời gian qui định, còn nếu đi với vận tốc 60 km/giờ thì đến B sớm hơn 40 phút so với thời gian qui định. Tính: a) Quãng đường AB. b) Vận tốc cần thiết để đến B đúng giờ qui định. Bài giải: ( dùng tỉ số ) Đi với vận tốc 60 km/giờ thì thời gian đi ít hơn so với vận tốc 50 km/giờ là: 12 + 40 = 52 (phút) Tỉ số giữa hai vận tốc: 50/60 = 5/6 Ta thấy, quãng đường không thay đổi nên thời gian đi tỉ lệ nghịch với vận tốc. Nghĩa là nếu đi với vận tốc 50 km/giờ thời gian chia làm 6 phần thì đi với vận tốc 60 km/giờ chỉ đi bằng 5 phần như thế. ( Tỉ số thời gian là 6/5 ) Số phần thời gian giảm đi là: 6 – 5 = 1 (phần) Vậy 1 phần chính là 52 phút. Vậy vận tốc 50 km/giờ thì sẽ đi hết thời gian: 52 x 6 = 312 (phút) Quãng đường AB dài: 50 x 312 : 60 = 260 (km) Thời gian qui định: 312 – 12 = 300 (phút)= 5 (giờ) Vận tốc phải đi để đến nơi đúng giờ qui định: 260 : 5 = 52 (km/giờ) ĐS: a) 260 km b) 52 km/giờ. Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, lấy điểm M và K trên AB và CD sao cho MB = DK. Gọi P là một điểm trên cạnh AD. Đoạn thẳng KM cắt BP và CP lần lượt ở E và F. Hãy chứng tỏ rằng diện tích tứ giác EBCF bằng tổng diện tích của tứ giác AMEP và tứ giác PFKD. Bài giải: A M B E P F D K C Ta có: S.BPC = 1/2 S.ABCD ( Tam giác có đáy là chiều rộng, đường cao là chiều dài của hình chữ nhật) (1) S.AMKD = 1/2 S.ABCD ( Hình thang có tổng hai đáy bằng chiều dài, đường cao là chiều rộng của hình chữ nhật ABCD) (2) Từ (1) và (2) Suy ra : S.BPC = S.AMKD Mà: S.BPC = S.PEF + S.EBCF (3) S.AMKD = S.AMEP + S.PEF + S.PFKD (4) Từ (3) và (4) Suy ra : S.PEF + S.EBCF = S.AMEP + S.PEF + S.PFKD Bớt mỗi vế S.PEF ta được S.EBCF = S.AMEP + S.PFKD Vậy bài toán đã được chứng minh xong. * Tóm lại: Như vậy qua các bài tập ở những dạng khác nhau, Cùng với thao tác hóa hoạt động bằng tay trong giải toán, giúp học sinh rút ra được thủ thuật giải toán về phân số, tỉ số. Giúp các em khắc sâu hơn, nắm vững chắc hơn, hạn chế được sự nhầm lẫn. Giúp các em giải được nhiều bài toán mang tính toán học, có tác dung đối với việc rèn khả năng suy luận, phân tích. Nhất là đối với học sinh giỏi. PHẦN III: KẾT LUẬN 1/ Khái quát các kết luận cục bộ để tìm câu trả lời đề tài: - Học sinh được giáo viên hướng dẫn luyện tập với các dạng toán khác nhau, được rèn khả năng suy luận, phân tích, giúp các em làm quen với khái niệm mới, giải toán mang tính toán học, các em sẽ giải thành thạo các bài toán về phân số, tỉ số, biết phát hiện , đề xuất và giải bài toán mới. - Thủ thuật giải toán về “phân số, tỉ số” có tác dụng không nhỏ đến việc rèn luyện các thao tác: Tư duy lô gic, lập luận có căn cứ và sử dụng các phép suy luận đơn giản trong giải toán. Rèn luyện tính linh hoạt: nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó có thể tìm ra nhiều cách giải quyết bài toán. Biến đổi hình vẽ để đưa bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải. - Củng cố các mối quan hệ, khái niệm. + Cách tìm tỉ số của hai số. + Vận dụng tỉ số trong giải toán chuyển động, toán hợp, hình học…. 2/ Lợi ích và khả năng vận dụng: - Thủ thuật giải toán mang tính toán học về phân số, tỉ số ở Tiểu học, giúp cho việc giải nhiều bài toán theo một trình tự nhất định, , đưa bài toán đã cho về bài toán mẫu đã biết cách giải. Giúp cho các em nắm vững tính chất của phân số, mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữ vận tốc và thời gian khi quãng đường không thay đổi, mối quan hệ về diện tích, dáy, chiều cao trong tam giác như: Diện tích không thay đổi thì đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao (hoặc ngược lại) - Sau nhiều năm dạy tôi rút ra một số kinh nghiêm trên, tôi thấy sau khi áp dụng phương pháp này, hầu hết học sinh giải được một số dạng toán về phân số, tỉ số . Trong nhiều năm liền, tôi đã áp dụng đề tài này trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Đã có nhiều học sinh của trường đạt thành tích cao trong các kì thi học sinh giỏi 3 cấp và thi chọn học bỗng của huyện. Cụ thể: NĂM HỌC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. TỈNH. HUYỆN. TRƯỜNG. B.BỔNG T.BỔNG 2002-2003 1 2 2003-2004 1 2 2004-2005 5 1 1 1 - Năm học 2005-2006 riêng lớp tôi (5A) học kỳ I có 10 em đạt loại giỏi, 09 em đạt loại khá, 05 em trung bình. - Với đề tài này khả năng vận dụng vào dạy học là thực tế, mà bất cứ giáo viên nào cũng thực hiện được cho học sinh lớp mình, có thể áp dụng rộng rãi để giải nhiều bài toán khó, có thể áp dụng cho nhiều khối lớp, nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4,5. 3. Đề xuất, kiến nghị: Với đề tài này tôi đã áp dụng và đã đạt nhiều kết quả tốt, vậy mong Hội đồng khoa học xem xét. Nếu có thể được cho vận dụng vào các trường hay cho giáo viên tham khảo để thực hiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh.