Đề tài Lọc ảnh bất biến tỷ lệ với đối xứng điểm và đối xứng đường

A. Giíi thiÖu Trong lÜnh vùc cña xö lý tÝn hiÖu sè nãi chung vµ ®Æc biÖt trong xö lý ¶nh, ng­êi ta ngµy cµng quan t©m ®èi víi nh÷ng vÊn ®Ò øng dông mµ kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®­îc b»ng nh÷ng ph­¬ng thøc xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh kinh ®iÓn, nh÷ng ph­¬ng thøc xö lý ®· næi tiÕng bëi nh÷ng kü thuËt ®· ®­îc ph¸t triÓn, cïng víi nh÷ng thuËt to¸n cã hiÖu qu¶ cao. TiÓu luËn nµy xem xÐt vµ nghiªn cøu mét líp ®Æc biÖt cña nh÷ng vÊn ®Ò øng dông nh­ vËy víi yªu cÇu ¶nh sau khi ®­îc xö lý kh«ng bÞ biÕn d¹ng khi cã thay ®æi kÝch cë cña ¶nh ®Çu vµo. Trong ph¹m vi líp c¸c hÖ thèng tuyÕn tÝnh, kh«ng tån t¹i mét xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn nµo mµ cã mét ®Æc tÝnh nh­ thÕ. Ta gäi ph­¬ng thøc xö lý cã ®Æc tÝnh nh­ vËy lµ bÊt biÕn tû lÖ (scale-invariance hoÆc form-invariance). Xö lý bÊt biÕn tû lÖ quan t©m chñ yÕu trong läc ¶nh mçi khi mét ¶nh cã kÝch cë ch­a biÕt tr­íc. §Çu tiªn ph¶i ®­îc tiÒn xö lý ®Ó gi¶m nhiÔu hoÆc t¨ng c­êng biªn, sau ®ã ®­îc nhËn d¹ng bëi nh÷ng kü thuËt cã s½n ®Ó ph¸t hiÖn nh÷ng ®éc lËp tû lÖ. Tµi liÖu “Linear shift-variant filtering for form-invariant procesing of linearly scaled signals, signal processing 4 (1982) 209-214” ®· chØ ra r»ng trong líp cña hÖ thèng biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh, tån t¹i hä ®Çy ®ñ nh÷ng läc bÊt biÕn tû lÖ. ViÖc ®­a ra lâi (kernel) biÓu thÞ mét sè líp con cña mét xö lý m« t¶ ®a d¹ng cña nh÷ng vÊn ®Ò vËt lý trong lÜnh vùc cña xö lý ¶nh lµ rÊt quan träng. Ch¼ng h¹n nh­ m« h×nh cña nh÷ng hÖ thèng kh«i phôc suy gi¶m quang häc, dùng l¹i ¶nh tõ tÝch ph©n ®­êng, vµ m« h×nh cña hÖ thèng thÞ gi¸c ngo¹i biªn trong con ng­êi. Néi dung tiÓu luËn ®­îc tr×nh bµy qua 3 phÇn. PhÇn 1: Giíi thiÖu vÒ líp tæng qu¸t nhÊt cña läc bÊt biÕn tû lÖ vµ th¶o luËn vÒ mét sè khÝa c¹nh liªn quan. PhÇn 2: Ph©n tÝch líp nh÷ng bé läc ®­îc quan t©m trong nh÷ng øng dông ®· ®Ò cËp ë trªn vµ th¶o luËn kh¶ n¨ng khai th¸c nh÷ng thuéc tÝnh ®èi xøng cña chóng ®Ó gi¶m ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n. §Æc biÖt, nã ®· chØ ra r»ng cã thÓ dïng mét phÐp chuyÓn täa ®é thÝch hîp ®Ó chuyÓn xö lý biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh dùa trªn kernels mµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi täa ®é gãc thµnh mét läc bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Kernel nh­ vËy bao gåm nh÷ng bé läc ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng. PhÇn 3: Tr×nh bµy mét sè vÝ dô xö lý nh»m minh ho¹ ¶nh h­ëng cña hai bé läc bÊt biÕn tû lÖ víi nh÷ng ®èi xøng ®­êng kh¸c nhau trªn ¶nh ®Çu vµo. B. Néi dung I/ Xö lý ¶nh bÊt biÕn tû lÖ Mét hÖ thèng tuyÕn tÝnh hai chiÒu ®­îc gäi lµ bÊt biÕn tû lÖ (hoÆc bÊt biÕn d¹ng) nÕu ®èi víi bÊt kú mét cÆp tÝn hiÖu vµo f(x,y) vµ tÝn hiÖu ra g(x,y), tÝn hiÖu ra Ag(b1x,b2y) ®­îc t¹o ra bëi tû lÖ f(a1x,a2y) cña tÝn hiÖu vµo. Trong ®ã: A, b1, vµ b2 lµ nh÷ng hµm thùc cña nh÷ng sè thùc a1 vµ a2 . Cho w(u,v;x,y) lµ hµm träng sè biÕn ®æi tÞnh tiÕn biÓu thÞ ®Æc ®iÓm cña hÖ thèng tuyÕn tÝnh, rµng buéc bÊt biÕn tû lÖ cã thÓ ®­îc kÕt hîp víi mèi quan hÖ tÝn hiÖu vµo-ra ®Ó thu ®­îc mét ph­¬ng tr×nh mµ w() lµ hµm ch­a ®­îc x¸c ®Þnh. g(x,y)= (1) Dùa trªn c¬ së cña kÕt qu¶ thu ®­îc tõ tr­êng hîp mét chiÒu, ta thu ®­îc líp nghiÖm tæng qu¸t nhÊt cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ: w(u,v;x,y)=p(u,v,x,y)w0 (2) Trong ®ã p() biÓu diÔn tÝch cña nh÷ng lòy thõa tuú ý cña nh÷ng ®èi sè cña nã, s1 vµ s2 lµ nh÷ng sè thùc tuú ý, vµ w0 lµ mét hµm chÝnh quy cña c¸c biÕn sè cña nã. Gi¸ trÞ cña s1 vµ s2 x¸c ®Þnh nh÷ng hÖ sè tû lÖ ®Çu ra, mµ b1=a11/s1 vµ b2=a21/s2 vµ tham sè z x¸c ®Þnh th«ng qua ®iÒu kiÖn b1=b2z. Nh÷ng gi¸ trÞ cña sè mò xuÊt hiÖn trong p() ¶nh h­ëng hÖ sè biªn ®é A. Râ rµng sù biÓu diÔn cña nh÷ng bé läc biÕn ®æi tÞnh tiÕn ®· ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (1) víi nh÷ng kernel tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (2) chØ cã thÓ ®­îc thùc hiÖn trong miÒn kh«ng gian bëi mét kiÓu riªng biÖt cña ph­¬ng tr×nh (1). Nh­ vËy, nãi chung víi mét ¶nh vµo cã kÝch th­íc N*N th× ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n lµ N4. Tuy nhiªn, ta cã thÓ t×m ®­îc c¸c líp con cña bé läc bÊt biÕn tû lÖ mµ biÓu thÞ ph¹m vi øng dông quan träng vµ cho nh÷ng kü thuËt biÓu diÔn hiÖu qu¶ h¬n. XÐt líp con cña nh÷ng hµm träng sè. w(u,v;x,y)= (3) B»ng c¸ch ®Æt F(s1,s2) lµ khai triÓn Mellin cña f(x,y), ta ®­îc F(s1,s2)= (4) vµ b»ng c¸ch lÊy khai triÓn Mellin cña hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1), ta ®­îc G(s1,s2)=F(q1+t1s1,q2+t2s2)W0(s1-d1,s2-d2) (5) víi qi=1-ci-diti, i=1,2. Ph­¬ng tr×nh (5) chØ ra r»ng khai triÓn Mellin cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó thu ®­îc mét mèi quan hÖ ®¹i sè tõ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n (1), víi nh÷ng kernel cña líp (3), nh­ x¶y ra víi khai triÓn Fourier trong tr­êng hîp bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Sù kh¸c nhau c¬ b¶n ®ã lµ ph­¬ng tr×nh (5) chøa nguyªn nh©n ®Çu vµo (c¸i mµ kh«ng h¹n chÕ trong thùc tÕ) vµ nh÷ng biÕn s1 vµ s2 ®­îc vÞ tù vµ tÞnh tiÕn theo nh÷ng tham sè cña mçi window cô thÓ x¸c ®Þnh hÖ thèng trong líp (3). Mét sù phô thuéc nh­ vËy kh«ng cã trong líp con ®Æc biÖt (tøc lµ qi=0,ti=1,di=0) w(u,v;x,y)=u-1v-1w0(x/u,y/v) (6) Tõ ®ã: G(s1,s2)=F(s1,s2)W0(s1,s2) (7) Ph­¬ng tr×nh (5) vµ (7) ®­a ra mét kü thuËt biÓu diÔn cho nh÷ng hÖ thèng ®­îc ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (3) vµ (6), ®­îc dùa trªn tÝnh to¸n cña khai triÓn Mellin. Mét tÝnh to¸n nh­ vËy cã thÓ ®­îc thùc hiÖn bëi khai th¸c mèi quan hÖ gi÷a khai triÓn Mellin vµ Fourier. ThËt ra, b»ng c¸ch ®æi biÕn x=X y=Y (8) ph­¬ng tr×nh (4) trë thµnh F(s1,s2)= (9) ®­îc nhËn d¹ng nh­ khai triÓn Fourier cña víi s1=-j vµ s2=-j. TÞnh tiÕn vµ vÞ tù xuÊt hiÖn trong ph­¬ng tr×nh (5) ®­îc gi¶i quyÕt b»ng viÖc lÊy mÉu l¹i mét c¸ch phï hîp f1 vµ t¨ng thªm nã bëi mét chuçi lòy thõa ë tr­íc khai triÓn Fourier. V× vËy, thuËt to¸n biÕn ®æi Fourier nhanh-FFT kinh ®iÓn cã thÓ ®­îc sö dông, víi ®iÒu kiÖn lµ ¸nh x¹ cña ph­¬ng tr×nh (8), ®i tõ f() vµo f1(), ®­îc thùc hiÖn mµ kh«ng lµm suy gi¶m nh÷ng tÝn hiÖu ®­îc xö lý. Gi¶ sö chØ cã ®é ph©n gi¶i, cã thÓ kiÓm tra ®­îc r»ng nÕu ®­a ra so s¸nh ®é ph©n gi¶i th× cÇn thiÕt ph¶i t¨ng thªm ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n lµ ln N trong sè l­îng vËt mÉu cña f1() ®­îc tÝnh tõ nh÷ng mÉu cña f(). V× vËy, ®é phøc t¹p tÝnh to¸n liªn quan víi thñ tôc nµy trë thµnh (N ln N)2 log N, céng víi nh÷ng phÐp to¸n cÇn thiÕt ®Ó thùc hiÖn ¸nh x¹ cña ph­¬ng tr×nh (8) mµ cã ®é phøc t¹p lµ (N ln N)2. §Ó kÕt luËn sù ph©n tÝch cña viÖc bæ sung cña nh÷ng líp (3) vµ (6), chó ý r»ng thñ tôc ®­îc giíi thiÖu ë trªn, gåm cã ¸nh x¹ loga ®­îc ®i kÌm víi tÝch cña khai triÓn Fourier cña tÝn hiÖu vµo vµ cña window, cã thÓ ®­îc hiÓu nh­ sù bæ sung mét kü thuËt bÊt biÕn tÞnh tiÕn chËp nhanh trong miÒn ®­îc ¸nh x¹ (). Thùc tÕ, phô thuéc ®Æc biÖt cña w0 trong ph­¬ng tr×nh (3) vµ (6) trªn tû sè cña nh÷ng täa ®é output vµ input, ®ã lµ phÐp ¸nh x¹ loga chuyÓn kernel biÕn ®æi tÞnh tiÕn thµnh mét ®¸p øng bÊt biÕn tÞnh tiÕn, tïy thuéc vµo sù kh¸c nhau cña nh÷ng biÕn míi. VÝ dô, trong tr­êng hîp ®¬n gi¶n h¬n cña ph­¬ng tr×nh (6), cho m= ln x, v= ln y, m’= ln u, v’= ln v, ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh g1(m,v)= (10) víi g1(m,v)=g() vµ h(m-m’,v-v’)=w0[exp(m-m’),exp(v-v’)]. MÆc dï kh«ng cã sù tiÕt kiÖm trong tÝnh to¸n liªn quan víi c¸ch tiÕp cËn ë tr­íc, nh­ng sù bæ sung cña nh÷ng kernels bÊt biÕn h×nh d¹ng bëi bÊt biÕn tÞnh tiÕn chËp gièng nh­ ph­¬ng tr×nh (10) cã thÓ lµ phï hîp víi hÖ thèng xö lý ¶nh ho¹t ®éng trong miÒn kh«ng gian (®· ¸nh x¹) II/ Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng Hai môc tiªu ®Ó nghiªn cøu nh÷ng líp con ®Æc biÖt cña hµm träng sè ®­îc ®Þnh nghÜa bëi ph­¬ng tr×nh (2) ®ã lµ ph©n tÝch c¸c líp ®Þnh h­íng xö lý cho nh÷ng øng dông cã liªn quan vµ t×m kiÕm nh÷ng l­îc ®å biÓu diÔn hiÖu qu¶ h¬n trong nh÷ng tr­êng hîp nãi chung, b»ng c¸ch lîi dông nh÷ng thuéc tÝnh cña mçi kernel cô thÓ. Trong phÇn nµy, ta xem xÐt bÊt biÕn d¹ng nh÷ng hµm träng sè mµ biÓu thÞ ®Æc ®iÓm mét sè øng dông xö lý ¶nh quan träng, gièng nh­ ®· ®­îc ®Ò cËp trong phÇn giíi thiÖu. §Ó giíi thiÖu nh÷ng líp con cña nh÷ng kernel nµy, mµ thuéc tÝnh chung cña nã lµ bÊt biÕn quay, ta b¾t ®Çu tõ bÊt biÕn d¹ng tæng qu¸t nhÊt ®ã lµ nh÷ng hµm ®èi xøng h×nh trßn xuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh (2). §Çu tiªn ta xÐt nh÷ng hµm träng sè thuéc vÒ mét líp mµ lµ biÕn ®æi tÞnh tiÕn trong nghÜa chóng “më réng” víi kho¶ng c¸ch r=(x2+y2)1/2 cña ®iÓm hiÖn t¹i tõ gèc täa ®é (0,0). Chóng ®­îc thu tõ ph­¬ng tr×nh (2) b»ng c¸ch ®Æt z=1 ®Ó b1=b2, hoÆc s1/s2=(ln a1)/(ln a2). Trong tr­êng hîp nãi chung a1a2 biÓu thøc ®ã lµ w(u,v;x,y)=p(u,v,r)wr (11) vµ “sù më réng” t­¬ng øng cña wr theo hai luËt lòy thõa kh¸c nhau theo hai trôc u vµ v. Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt s1=s2=1 (=-1) sù më réng (sù thu nhá) lµ tuyÕn tÝnh víi r. H×nh 1: Nh÷ng kÕt qu¶ cña ¸nh x¹ tõ hÖ to¹ ®é Cartesian (a) vµo hÖ täa ®é cùc (b) vµo hÖ täa ®é ln r- (c) cña mét window ®èi xøng ®iÓm tuyÕn tÝnh më réng víi r. Mét tËp c¸c ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi ®­îc ph¸c häa trong mçi mÆt ph¼ng H×nh 2: KÕt qu¶ ¸nh x¹ tõ hÖ to¹ ®é Cartesian (a) vµo hÖ täa ®é cùc (b) vµo hÖ täa ®é ln r- (c) cña mét window ®èi xøng xuyªn t©m tuyÕn tÝnh më réng víi r. Mét tËp c¸c ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi ®­îc ph¸c häa trong mçi mÆt ph¼ng. §Æc biÖt, xö lý lµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn trong (c). §iÒu nµy cã nghÜa r»ng xö lý cña ¶nh vµo ®­îc thùc hiÖn víi mét gi¶i ph¸p mµ gi¶m (t¨ng) tõ gèc ®Õn biªn (periphery). NÕu thuéc tÝnh cña ®èi xøng trßn xung quanh ®iÓm hiÖn t¹i ®­îc giíi thiÖu, líp míi cña hµm träng sè ®­îc ®Þnh nghÜa w(u,v;x,y) =r-2wc{[(u-x)2+(v-y)2]/r2} (12) =r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] ®Æt x=r cos q, y=r sin q, u=r cos f, v=r sin f vµ chän p()=r-2 ®Ó thu ®­îc hÖ sè biªn ®é A b»ng 1. Nh÷ng ®­êng bao (contours) cña h»ng sè trong ph­¬ng tr×nh (12) lµ nh÷ng ®­êng trßn cã t©m (x,y) víi ®­êng kÝnh tû lÖ víi r (®èi víi bÊt kú sùa lùa chän cña ®iÓm hiÖn t¹i (x,y)). Nãi c¸ch kh¸c, kernel cña líp (12) cã mét ®èi xøng ®iÓm xung quanh (x,y) vµ ®ång d¹ng víi nhau trªn kh¾p c¶ mÆt ph¼ng nh­ ®­îc ph¸c häa trong h×nh 1(a). Nh÷ng windows ®èi xøng ®iÓm cña ph­¬ng tr×nh (12) thuéc vÒ mét líp tæng qu¸t h¬n, biÓu thÞ sù phô thuéc trªn tû sè gi÷a täa ®é input, output vµ ®é lÖch cña biÕn gãc, nghÜa lµ víi líp r-2w1(r/r, q-f) (13) ®èi víi mèi quan hÖ tÝn hiÖu vµo-ra (1) cã thÓ ®­îc viÕt l¹i trong hÖ täa ®é cùc g1(r, q)= (14) vÒ b¶n chÊt g1(r, q)=g(r cosq, r sinq) vµ Hµm träng sè ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (13) lµ nh÷ng kernels cña ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n m« h×nh vµ dùng l¹i ¶nh tõ tÝch ph©n ®­êng vµ kh«i phôc cña mét sè biÕn ®æi tÞnh tiÕn biÕn d¹ng quang häc, trong khi windows cña ph­¬ng tr×nh (12) m« h×nh hµnh vi cña hÖ thèng thÞ gi¸c ngo¹i biªn. Trong tr­êng hîp nµy, h×nh d¸ng cña windows ®­îc gi¶ sö lµ hai hµm Gaussian kh¸c nhau víi ®é lÖch chuÈn kh¸c nhau (phô thuéc vµo r). CÇn chó ý r»ng líp (13) bao gåm windows r-2w2(r/r, q-f) (15) mµ cã mét ®èi xøng ®­êng riªng biÖt, nghÜa lµ ®èi víi nh÷ng ®­êng nèi ®iÓm hiÖn t¹i víi gèc. Mét ph¸c th¶o cña windows ®èi xøng xuyªn t©m (radially) nh­ vËy ®­îc chØ ra trong h×nh 2(a). Tr­êng hîp ®èi xøng ®­êng tæng qu¸t, ®èi víi mét h­íng tïy ý (gièng nh­ h­íng th¼ng ®øng trong h×nh 3(a)) kh«ng ®­îc bao gåm trong líp (13) vµ cã thÓ ®­îc biÓu diÔn bëi ph­¬ng tr×nh (11). Quan t©m ®èi víi xö lý ¶nh ®èi xøng ®­êng xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu nhiÒu khi ph¶i thùc hiÖn läc dùa trªn sù chän h­íng. Mét vÝ dô ®iÓn h×nh lµ ph¸t hiÖn s­ên cã mét h­íng cô thÓ: nÕu mét sù lµm tr¬n nhiÔu ®­îc thùc hiÖn ®Çu tiªn, läc ¶nh th«ng thÊp víi mÆt n¹ läc ®­îc më réng däc theo h­íng ®· chän lµ thÝch hîp (®Ó kh«ng lµm nh½n ngoµi cña biªn). H­íng nµy sÏ trë thµnh mét trôc ®èi xøng cña mÆt n¹. Quay l¹i víi nh÷ng kü thuËt thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (14), cÇn chó ý r»ng ph­¬ng thøc biÕn ®æi ®­îc th¶o luËn trong phÇn tr­íc vÉn ®­îc ¸p dông, söa ®æi mét c¸ch phï hîp ®Ó ®em vµo sù tÝnh to¸n mµ ph­¬ng tr×nh (14) biÓu diÔn mét c¸i ®­îc gäi lµ chËp “Mellin-type” ®èi víi täa ®é xuyªn t©m (radial coordinates), trong khi nã lµ mét biÕn ®æi tÞnh tiÕn (hoÆc “Fourier-type”) chËp ®èi víi täa ®é gãc. Cho nªn, lÊy biÕn ®æi Fourier-Mellin c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (14) ta ®­îc: G’(s,w)=F’(s,w)W1’(2-s, w) (16) s lµ biÕn Mellin t­¬ng øng víi r vµ w biÕn Fourier t­¬ng øng víi q Ph­¬ng tr×nh (16) ®Þnh nghÜa mét ph­¬ng thøc thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (14) trªn sù tÝnh to¸n cña biÕn ®æi Fourier-Mellin, v× thÕ yªu cÇu N2 ln N log N phÐp tÝnh, céng víi sù tÝnh to¸n cña mét nöa ¸nh x¹ (8) (nghÜa lµ chØ ®èi víi r). Do biÕn ®æi Mellin chØ ®­îc tÝnh theo mét h­íng, v× vËy ®èi víi ph­¬ng tr×nh 5, yªu cÇu mét sè phÐp to¸n thªm vµo cña phÐp ¸nh x¹ tõ (x,y) vµo mÆt (r, q) lµ tû lÖ víi N2. H¬n n÷a, mét phÐp ¸nh x¹ nh­ vËy bao hµm mét truy xuÊt phi cÊu tróc vµo d÷ liÖu, ®ã lµ mét mÆt h¹n chÕ nghiªm träng ®èi víi hÇu hÕt hÖ thèng xö lý ¶nh nãi chung. H×nh 1(b) vµ 2(b) ph¸c häa kÕt qu¶ cña ¸nh x¹ thø nhÊt, tõ (x,y) vµo (r,q), trong tr­êng hîp cña nh÷ng windows ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng xuyªn t©m. Trong c¶ hai tr­êng hîp, cÇn chó ý r»ng nh÷ng ¸nh x¹ windows bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi bÊt kú r cè ®Þnh. KÕt qu¶ cña ¸nh x¹ thø hai, tõ r vµo ln r, ®­îc chØ ra trong h×nh 1(c) vµ 2(c): xö lý ë ®©y lµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn trong c¶ hai chiÒu. §èi víi tr­êng hîp ®èi xøng ®­êng kh«ng xuyªn t©m (h×nh 3(a)), kÕt qu¶ cña hai ¸nh x¹ ®­îc chØ ra trong h×nh 3(b) vµ 3(c), c¸i mµ mét bÊt biÕn tÞnh tiÕn côc bé (partial) (®èi víi h»ng q) ®¹t ®­îc trong mÆt ph¼ng (ln r, q). Nh÷ng nghiªn cøu nµy cho thÊy ph­¬ng tr×nh (14) cã thÓ ®­îc thùc hiÖn bëi mét hÖ thèng xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn “kinh ®iÓn” ®­îc cung cÊp mét kü thuËt hiÖu qu¶ ®­îc ®­a ra ®Ó thùc hiÖn ¸nh x¹. Trong tr­êng hîp cña windows cña h×nh 3(a), kÕt luËn t­¬ng tù ®èi víi mçi cét cña mÆt ph¼ng (ln r, q). §Ó lîi dông bÊt biÕn tÞnh tiÕn côc bé cña windows, mét phÐp to¸n trong mÆt ph¼ng (w’,q), w’ lµ biÕn Fourier t­¬ng øng víi ln r: kÕt qu¶ ®é phøc t¹p tÝnh to¸n lµ N3 ln N. H×nh 3: KÕt qu¶ cña ¸nh x¹ cùc trªn mét window cã ®èi xøng ®­êng theo h­íng kh«ng xuyªn t©m. H×nh 4: Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®­êng: (a) ¶nh 512*512, 8 bÝt/pel; (b) d÷ liÖu ra cña bé läc, t­¬ng øng víi ph¸c häa cña h×nh 3(a), läc th«ng thÊp theo trôc hoµnh vµ läc th«ng gi¶i theo trôc tung; (c) gièng nh­ (b) víi bé läc quay 900 NhiÒu kÕt luËn ®· chØ ra sù thùc hiÖn cña nh÷ng kernel cña ph­¬ng tr×nh (13) lµ hîp lÖ ®èi víi windows trong ®ã tû sè cña täa ®é vÐc t¬ bÞ ®¶o ng­îc, nghÜa lµ, ®èi víi líp: w2(r/r,q-f) (17) nh­ng thÓ hiÖn nh÷ng ®èi xøng kh¸c nhau ®èi víi tr­êng hîp cña ph­¬ng tr×nh (13). VÝ dô, líp ®èi ngÉu cña líp (12), r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] (18) cã thÓ ®­îc gäi lµ mét ®èi xøng trßn gi¶ “pseudocircular” xung quanh ®iÓm hiÖn t¹i. ThËt ra, ®èi víi bÊt kú r cè ®Þnh, ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi vÉn lµ mét hä cña nh÷ng ®­êng trßn, nh­ng chóng kh«ng ®ång t©m xung quanh (x,y) nh­ trong tr­êng hîp cña ph­¬ng tr×nh (12). TÊt c¶ t©m n»m trªn ®­êng nèi gèc ®Õn (x,y), t¹i mét kho¶ng c¸ch tõ gèc tû lÖ víi r, vµ mçi b¸n kÝnh lµ tû lÖ víi r: bëi vËy, kÝch cë cña windows l¹i ngµy cµng t¨ng mét c¸ch tuyÕn tÝnh víi r. Quan t©m chÝnh ®èi víi líp windows cña ph­¬ng tr×nh (18) lµ v× mèi quan hÖ cña chóng víi nh÷ng biÕn ®æi tû lÖ. III/ Nh÷ng vÝ dô xö lý PhÇn nµy giíi thiÖu mét sè vÝ dô xö lý nh»m minh häa ¶nh h­ëng cña läc bÊt biÕn d¹ng khi sö dông nh÷ng bé läc ®èi xøng ®­êng (läc ®Þnh h­íng). Ta ®· chän mét lo¹i vÝ dô rÊt ®¬n gi¶n cña ®èi xøng ®­êng, ®ã lµ ®èi xøng ®èi víi hai trôc täa ®é x vµ y, nh­ d­íi d¹ng biÓu ®å ®­îc biÓu diÔn trong h×nh 3(a), ®Ó kÕt qu¶ xö lý (®Æc biÖt t¨ng c­êng biªn) ®­îc chó ý mét c¸ch ®Æc biÖt. Sù lùa chän hµm träng sè lµ kh«ng bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi biÕn gãc vµ sù t¨ng kÝch th­íc cña chóng tuyÕn tÝnh víi kho¶ng c¸ch r cña ®iÓm hiÖn t¹i tõ gèc. Bëi vËy, chóng thuéc vµo líp: w(u,v;x,y)=r-2w0() (19) nh­ ®· ®­îc chän ®Ó cho ®¬n gi¶n w0 cã thÓ t¸ch ra ®­îc thµnh d¹ng: w0()=w01(w02( (20) ®Ó miÒn kh«ng gian thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (1) dÔ h¬n ë trong tr­êng hîp tæng qu¸t sao cho tho¶n m·n c¶ hai yªu cÇu vÒ bé nhí cña mÆt n¹ vµ ®é phøc t¹p tÝnh to¸n (N3). H×nh 4 chøa mét tËp ¶nh lµm vÝ dô, trong ®ã h×nh 4(a) lµ ¶nh gèc. C¸c bøc ¶nh nµy ®­îc lÊy tõ mµn h×nh ®­îc kÕt nèi víi mét hÖ thèng xö lý ¶nh VDS-701 vµ víi mét m¸y tÝnh chñ PDP-11/34. §é ph©n gi¶i ¶nh lµ 512*512 pixels, 8 bit mçi pixel. H×nh 4(b) lµ kÕt qu¶ cña sù xö lý biÓu thÞ mét t¸c ®éng lµm tr¬n däc theo trôc x vµ mét t¸c ®éng lµm nh½n biªn däc theo trôc y. Mét c¸ch cô thÓ h¬n, w01 cña ph­¬ng tr×nh (20) lµ mét h»ng, trong khi w02 lµ hai hµm Gaussian kh¸c nhau cã ®é lÖch chuÈn trong tû sè 1:3 vµ mét gi¶i th«ng biÓu thÞ trong miÒn tÇn sè. Mét chó ý trong h×nh 4(b) ®ã lµ xö lý t¨ng c­êng ®­êng bao lµ n»m ngang hoÆc gÇn nh­ n»m ngang, trong khi sù lµm tr¬n nh÷ng chi tiÕt theo chiÒu th¼ng ®øng. H×nh 5: KÕt qu¶ cña còng xö lý nh­ h×nh 4 ¸p vµo ¶nh gèc míi (a). BiÓu diÔn trong täa ®é cùc cña (a) ®­îc chØ ra trong (b), lµ trôc hoµnh. (c) lµ kÕt qu¶ cña läc ®èi xøng ®­êng mµ läc th«ng thÊp theo chiÒu ngang vµ läc th«ng gi¶i theo chiÒu th¼ng ®øng. (d) lµ gièng nh­ (c) víi bé läc bÞ quay ®i 900. Mét kÕt qu¶ ®èi ngÉu thu ®­îc nÕu nh÷ng mÆt n¹ ®­îc m« t¶ trªn bÞ quay ®i 90 ®é, nh­ cã thÓ ®­îc kiÓm tra trong h×nh 4(c). Trong c¶ hai tr­êng hîp, ®é ph©n gi¶i cña nh÷ng chi tiÕt ®­îc t¨ng c­êng bÞ gi¶m mét c¸ch tuyÕn tÝnh tõ t©m ®Õn ngo¹i biªn. Lç ®en trong miÒn trung t©m t­¬ng øng víi vïng t¹i ®ã, tïy thuéc vµo nh÷ng gi¸ trÞ nhá cña r, kÝch cë cña mÆt n¹ lµ qu¸ nhá ®èi víi kho¶ng c¸ch pixel, v× vËy kh«ng cã xö lý thùc sù nµo x¶y ra. Trong ¶nh gèc (h×nh 4a), “edge content” lµ th« trªn mäi h­íng. Trong h×nh 5(a), nã ®­îc tËp trung theo h­íng gÇn nh­ th¼ng ®øng, ®ã lµ ¶nh gèc thø hai mµ ®· qua cïng mét xö lý ®· ®­îc m« t¶ tr­íc ®©y. H×nh 5(b) chØ ra cïng mét ¶nh gèc trong täa ®é cùc, r lµ trôc th¼ng ®øng vµ q lµ trôc n»m ngang. NÕu ¸nh x¹ loga ®­îc ¸p cho trôc r, ¶nh kÕt qu¶ cã thÓ ®­îc xö lý bëi mét tËp c¸c bé läc (mçi c¸i cho mçi gãc) mµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi täa ®é ln r, theo ph¸c häa cña h×nh 3(c). H×nh 5(c) ®­a ra kÕt qu¶ xö lý nh»m ®Ó thùc hiÖn mét läc th«ng thÊp theo trôc x vµ ®Ó t¨ng c­êng nh÷ng biªn n»m ngang. Mét kÕt qu¶ kh¸c thu ®­îc b»ng c¸ch quay 90 ®é cña hµm träng sè: nhiÒu néi dung th«ng tin ®­îc b¶o toµn, t¹i mét ®é ph©n gi¶i biÕn thiªn, gi¶m tõ t©m vÒ ngo¹i biªn (h×nh 5(d)) C. KÕt luËn Trong nh÷ng bé läc bÊt biÕn tû lÖ bæ sung, ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng cã thÓ ®­îc khai th¸c ®Õn mét ph¹m vi ®Ó thu ®­îc hiÖu qu¶. TiÓu luËn ®· ®i vµo ph©n tÝch nh÷ng tr­êng hîp øng dông kh¸c nhau trong xö lý ¶nh vµ ®· th¶o luËn hai l­îc ®å thùc hiÖn trong miÒn biÕn ®æi vµ miÒn kh«ng gian. Nh­ mét b­íc ®ét ph¸, ®ã lµ ®· ®­a ra mét ph­¬ng ph¸p chuyÓn täa ®é nh»m chuyÓn läc biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh thµnh chËp bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Nh÷ng l­îc ®å hiÖu qu¶ ®èi víi mét ¸nh x¹ nh­ vËy hiÖn ®ang ®­îc ®i s©u nghiªn cøu. Lêi kÕt: §Ó hoµn thµnh ®­îc ®Ò tµi nµy, ngoµi sù nç lùc vµ cè g¾ng cña b¶n th©n, t¸c gi¶ ®· nhËn ®­îc sù gióp ®ì qóy b¸u cña Quý ThÇy, TS Ng« V¨n Sü. Lµ mét häc viªn chuyªn ngµnh Tin häc vµ dï rÊt t©m ®¾c víi ®Ò tµi ®ang nghiªn cøu nh­ng víi thêi gian cã h¹n vµ khèi l­îng kiÕn thøc cña b¶n th©n cßn Ýt ái nªn ch¾c ch¾n tiÓu luËn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ trong viÖc tiÕp cËn, nghiªn cøu vµ tr×nh bµy. T¸c gi¶ xin kÝnh träng c¶m ¬n sù gióp ®ì quý b¸u cña Quý ThÇy vµ mong ®­îc ®ãn nhËn tõ Quý ThÇy sù gãp ý ®Ó gióp t¸c gi¶ cã ®­îc hiÓu biÕt ®óng h¬n ®èi víi vÊn ®Ò ®ang nghiªn cøu ®ång thêi mong ®­îc sù l­îng thø cho nh÷ng s¬ suÊt trong tiÓu luËn nµy. Tµi liÖu tham kh¶o 1/ L­¬ng M¹nh B¸, NguyÔn Thanh Thñy: NhËp m«n xö lý ¶nh sè, NXB KH vµ KT-2003 2/ Anil K.Jain, Fundamentals of digital image procesing. 3/ Maher Asid-Ahmed, Image Procesing-Theory, Algorthms and Architecture 4/ C. Braccini, A. Grattarola, Scale-invariant image filtering with point and line symmetry 5/ C. Braccini, G. Gambardella, A. Grattarola, Digital image processing by mean of generalized scale-invariant filters, Proc. NATO Advanced Research Workshop on Issues in Acoustic Signal/Image Processing and Recognition, S. Miniato, 1982 6/ C. Braccini, G. Gambardella, Linear shift-variant filtering for form-invariant processing of linearly scale signals, Signal Processing 4 (1982) 7/ G. Robbins, T Huang, Inverse filtering for linear shift-variant imaging systems, Proc. IEEE 60 (1972) 8/ C. R. Carlson, R. W. Klopfenstein, C. H Anderson, Spatially inhomogeneous scaled transform for vision and pattern recognition, Opt. Lett 6 (1981) ` Môc lôc Néi dung Trang Giíi thiÖu ................................. ................................ ................................................................................. 1 Néi dung ................................. ................................ .................................................................................... 2 1. Xö lý ¶nh bÊt biÕn tû lÖ ................................. ................................ ............................ 2 2. Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng 4 3. Nh÷ng vÝ dô xö lý .............................................................................................................. 9 KÕt luËn ................................. ...................................................................................................................... 12 Tµi liÖu tham kh¶o ............................................................................................................................ 13