Đề tài Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N

e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc125). Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) ba chữ số tận cựng của số đú chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11. Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng cỏc chữ số hàng lẻ và cỏc chữ số hàng chẵn (từ trỏi sang phải) chia hết cho 11. Sau khi học sinh đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người giỏo viờn khụng chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ra con đường hợp lý để giải bài toỏn như nhà toỏn học Pụlia đó núi “Tỡm được cỏch giải một bài toỏn là một điều phỏt minh”. Tuy nhiờn khi giải bài tập dạng này tụi khụng muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tụi muốn giới thiệu thờm một số bài tập điển hỡnh và một số phương phỏp giải cỏc bài tập đú. II.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT 1. Phương phỏp 1: Dựa vào định nghĩa phộp chia hết. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta biểu diễn a dưới dạng tớch, trong đú cú 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). Bài 1: Cho nN, chứng minh rằng (5n)chia hết cho 125 Giải : Ta cú : (5n) = 5. n= Vậy (5n)chia hết cho 125. Bài 2: Chứng minh số chia hết cho 143. Giải: Ta cú: = 1001.= 7.11.13. =143.(7) 143. Vậy chia hết cho 143. Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 6. Giải: Ta cú 2. Phưong phỏp 2: Dựa vào tớnh chất của quan hệ chia hết. * Dựng tớnh chất chia hết của một tổng, hiệu. - Để chứng minh a chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả cỏc số hạng đú đều chia hết cho b. - Để chứng minh a khụng chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh cú một số hạng khụng chia hết cho b cũn tất cả cỏc số hạng cũn lại đều chia hết cho b. Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng của 3 số lẻ liờn tiếp chia hết cho 3 nhưng khụng chia hết cho 6. Giải: Gọi 3 số lẻ liờn tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (nN) Tổng của 3 số đú là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6n + 6 + 3 Suy ra a chia hết cho 3 (vỡ 3 số hạng của a đều chia hết cho 3). Mặt khỏc: 6n 6 và 6 6 nhưng 3 khụng chia hết cho 6 Do đú a khụng chia hết cho 6. Vậy tổng của 3 số lẻ liờn tiếp chia hết cho 3 nhưng khụng chia hết cho 6. Bài 2: Tỡm số tự nhiờn n sao cho: a. n + 2 chia hết cho n – 1. b. 2n + 7 chia hết cho n+1. Giải: Căn cứ vào tớnh chất chia hết của một tổng (hiệu) ta cú thể rỳt ra phương phỏp chung để giải dạng này dựa vào nhận xột sau: Nếu A B thỡ (mA + nB) hoặc (mA - nB) B (m, n) a) Vỡ (n + 2) (n – 1) suy ra [(n+ 2) – (n – 1)}] (n – 1) Hay 3(n – 1) Do đú (n – 1) Ư(3) = {1 ; 3} + Nếu n – 1 = 1 thỡ n = 2 + Nếu n – 1 = 3 thỡ n = 4 Vậy với n = 2; 4 thỡ (n+2) (n – 1) b) Vỡ (2n + 7) (n + 1) suy ra [( 2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) hay 5 (n + 1) Do đú (n+ 1) Ư(5) = {1 ; 5} + Nếu n+ 1 = 1 thỡ n = 0 + Nếu n + 1 = 5 thỡ n = 4 Vậy với n = 0; 4 thỡ (2n + 7) (n + 1) Bài 3: Chứng minh tổng của 3 số tự nhiờn liờn tiếp luụn chia hết cho 3. Giải: Gọi 3 số tự nhiờn liờn tiếp là: n; n + 1; n + 2 Tổng của 3 số tự nhiờn đú là: n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3 chia hết cho 3 (Tớnh chất chia hết của một tổng). Từ bài tập này giỏo viờn cú thể đưa ra tỡnh huống: Cú phải tổng của n số tự nhiờn liờn tiếp luụn chia hết cho n khụng? Qua đú gợi cho học sinh trớ tũ mũ đưa ra tỡnh huống cú vấn đề cần giải quyết. Sau đú giỏo viờn gợi ý cho học sinh qua bài tập sau: Bài 4: Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp cú chia hết cho 4 hay khụng? Giải: Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3 Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp đú là: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = (n + n + n + n) + (1+ 2 +3) = 4n + 6 Ta cú: 4n chia hết cho 4 6 khụng chia hết cho 4 Suy ra (4n + 6) khụng chia hết cho 4 Vậy tổng của n số tự nhiờn liờn tiếp chưa chắc chia hết cho n. * Dựng tớnh chất chia hết của một tớch. a. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta cú thể biểu diễn số b dưới dạng 1 tớch b = m.n + Nếu (m, n) = 1 thỡ tỡm cỏch chứng minh am và a n lỳc đú a m.n tức là ab + Nếu (m, n) 1 thỡ ta biểu diễn số a thành tớch a = aarồi chứng minh am; an thỡ aa m.n tức là a b Bài 5: Chứng minh rằng tớch của 2 số chẵn liờn tiếp luụn chia hết cho 8. Giải: Gọi 2 số chẵn liờn tiếp là: 2n, 2n + 2. Tớch của 2 số chẵn liờn tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vỡ n và n+ 1 khụng cựng tớnh chẵn lẻ nờn n.(n+ 1) 2. Mà 4 chia hết cho 4 nờn 4n.(n+1) (4.2) Hay 4n.(n+1) 8. Suy ra 2n.(2n + 2) 8. Vậy tớch của 2 số chẵn liờn tiếp luụn chia hết cho 8 Bài 6: Tỡm cỏc số tự nhiờn cú 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của nú. Giải: Gọi số phải tỡm là = 10a + b (1 9) Theo đề bài ta cú 10a + b = 9b hay 10a = 8b Suy ra 5a = 4b (1) Suy ra 4b5 mà (4, 5) = 1 nờn b 5 Vỡ (1 9) nờn b = 5 Thay b = 5 vào (1) ta được a = 4. Vậy số phải tỡm là 45. * Vận dụng dấu hiệu chia hết liờn quan đến cỏc số nguyờn tố, cỏc số nguyờn tố cựng nhau. + Nếu tớch ab m mà (b, m) =1 thỡ am. + Nếu a m; a n và (m, n) =1 thỡ a mn. + N ếu a p (p là số nguyờn tố) thỡ a p. Bài 7: Cho a, b là cỏc số tự nhiờn, n 0, biết a 7. Chứng minh rằng: (a+ 98b) 49 Giải : Ta cú a 7; mà 7 là số nguyờn tố nờn a 7. Suy ra a 7hay a 49 Mặt khỏc: 98b 49 nờn (a+ 98b) 49 (tớnh chất chia hết của một tổng). 3. Phương phỏp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9; 11;… hoặc cú thể xột chữ số tận cựng khi chứng minh chia hết cho 2, cho5, cho 10. Bài 1: Cho nN .Chứng minh A = (3+7) 10 Giải: Ta cú : cú tận cựng là 1 (3+7) =.3+ 7 = Vậy A 10 Bài 2: Tỡm cỏc chữ x và y để 2; 3; 5 Giải : Để 2 và 5 thỡ y = 0 (1) 3 thỡ (4+1+x+5+y) 3 (10 + x + y) 3 Hay x + y = 2; 5 ; 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra x = 2; 5 ; 8 Vậy với x = 2; 5; 8 và y = 0 thỡ 2; 3; 8 4. Phương phỏp 4: Dựng định lý về phộp chia cú dư. Để chứng minh n chia hết cho p ta xột mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p (cú thể cú số dư là một trong cỏc số từ 0 đến p-1) Bài 1: Chứng minh rằng : a) Tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp luụn chia hết cho 3 b) Tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp luụn chia hết cho 4. Giải: a) Gọi 3 số tự nhiờn liờn tiếp là: n; n+ 1; n+ 2 Tớch của 3 số tự nhiờn liờn tiếp là: n(n + 1)(n + 2). Một số tự nhiờn khi chia cho 3 cú thể nhận một trong cỏc số dư sau: 0; 1; 2 + Nếu r = 0 thỡ n chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 + Nếu r = 1 thỡ n = 3k + 1 (k là số tự nhiờn). n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. + Nếu r = 2 thỡ n = 3k + 2 (k là số tự nhiờn) n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiờn. b) Chứng minh tương tự ta cú: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiờn. Sau khi giải xong bài tập này giỏo viờn cho học sinh nờu bài tập này ở dạng tổng quỏt. Giỏo viờn khắc sõu cho học sinh: Tớch của n số tự nhiờn liờn tiếp luụn chia hết cho n. Chỳ ý: Phương phỏp này sử dụng khi chứng minh 1 biểu thức cú chứa biến chia hết cho cỏc số tự nhiờn cú 1 chữ số. Khi chứng minh 1 biểu thức chia hết cho cỏc số tự nhiờn cú 2 chữ số trở nờn ta khụng sử dụng phương phỏp này vỡ phải xột nhiều trường hợp đối với số dư. 5. Phương phỏp 5: Vận dụng nguyờn lý Đirichlờ. Bài 1: Một lớp học cú 40 học sinh, chứng minh rằng cú ớt nhất 4 học sinh cú thỏng sinh giống nhau. Giải: Một năm cú 12 thỏng, ta phõn chia 40 học sinh vào 12 thỏng đấy, nếu mỗi thỏng cú khụng quỏ 3 học sinh được sinh ra trong thỏng đú thỡ số học sinh khụng quỏ 3.12 = 36 Mà lớp cú 40 học sinh, như vậy cũn thừa 4 học sinh. Vậy tồn tại 1 thỏng cú ớt nhất 4 học sinh trựng thỏng sinh. Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiờn bất kỳ tỡm được 2 số cú hiệu chia hết cho 5. Giải: Một số bất kỳ chia cho 5 chỉ cú 1 trong 5 số dư: 0; 1; 2; 3; 4; Vỡ cú 6 số tự nhiờn bất kỳ nờn tồn tại 2 số cú cựng số dư khi chia cho 5. Vậy hiệu của 2 số đú chia hết cho 5. *) Sau khi học sinh đó nắm vững được một số phương phỏp trờn, giỏo viờn cú thể đưa ra một số dạng bài toỏn về chia hết nhằm giỳp học sinh khắc sõu kiến thức một cỏch cú hệ thống. II.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT. 1. Dạng1: Tìm các chữ số chưa biết của một số. Bài 1: Tìm các chữ số a và b sao cho chia hết cho 5 và chia hết cho 3. * Để tìm được a và b học sinh phải thấy được 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 3 và sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3, 5 để tỡm a, b. Vì chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5 (1) Vì chia hết cho 3 nên suy ra (1 + 9 + a + b) 3 (10 + a + b) 3 a + b = 2; 5; 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 2; 5; 8 và b = 0 hoặc a = 0; 3 và b = 5 Vậy với a = 2; 5; 8 và b = 0 hoặc a = 0; 3 và b = 5 thỡ chia hết cho 5 Bài 2: Chữ số a là bao nhiêu để vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 8. (Giỏo viờn hướng dẫn học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3; 8 để làm) Vì 8 8 (100a + 96)8 mà 96 8 Suy ra 100a8 do đó a là số chẵn a ẻ{2, 4, 6, 8} (1). Vì 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6) 3 (5a + 15) 3 Mà 153 nên 5a 3 Mặt khỏc: (5, 3) = 1 suy ra a 3 vậy a ẻ{ 3, 6, 9} (2). Từ (1) và (2) suy ra a = 6 KL: Vậy số phải tìm là 6666696. Bài 3: Tìm chữ số a để 11. HD: Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a. Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a. * Nếu 2a ³ a + 2 a ³ 2 thì 2a - (a + 2) = a -2 Ê 9 - 2 = 7 Mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 a = 2 * Nếu 2a Ê a + 2 a 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a Suy ra 2 - a = 1 hoặc 2 - a = 2 khụng chia hết cho 11 Kết luận: Vậy a = 2 thỡ 11 Bài 4: Tìm các chữ số a, b để số chia hết cho 8 và cho 9. * Cách 1: +) Nếu chia hết cho 8 thì dựa vào dấu hiệu chia hết cho 8 ta có 8 hay = 400 + 10a + b = 8p (p ẻ N) (*) Mặt khác nếu 9 thì (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 1 + a + b = 9q (qẻ N) ( **) Vì a và b là các chữ số nên a + b Ê 18 Từ (**) suy ra 9q Ê 19 (q>1) Vậy q = 2 Trừ (*) với (**) ta có 390 + 9a = 8p - 9q Hay p = 49 + a + q + Vì pẻ N nên ẻ N hay a + q – 2 8 +) Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8 Từ (**) ta có b = 9q - a - 10 do đó b = 8 hoặc b = 0 KL: Vậy có số thoả mãn đề bài là: 123480; 123408. * Cách 2: Ta cú: = 123400 + = 72.1713 + 64 + Vì chia hết cho 8 và cho 9 nên chia hết cho 72 Vậy 64 + chia hết cho 72. Vì Ê 99 nờn 64 < 64 + Ê 163 nên 64 + bằng 72 hoặc 144. + Nếu 64 + = 72 thì = 08 + Nếu 64 + = 144 thì = 80 KL: Vậy các số thoả mãn đề bài là: 123480; 123408. Bài 5: Tìm các số a, b sao cho: a) a - b = 4 và chia hết cho 3 b) a - b = 6 và + chia hết cho 9 Giải: a) a - b = 4 và chia hết cho 3 Ta có: 3 (7 + a + 5 + b + 1) 3 Hay (a +b + 13) 3 suy ra (a +b ) chia 3 dư 2 (1) Ta có a -b = 4 nên 4 Ê a Ê 9 ; 0 Ê b Ê 5 Suy ra 4Ê a+b Ê 14 (2) Mặt khác a - b là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra a + b ẻ {8; 14} Với a + b = 8; a - b = 4 ta được a = 6; b = 2. Với a + b = 14; a - b = 4 ta được a = 9; b = 5. Vậy các số phải tìm là a = 6; b = 2 và a = 9; b = 5 b) + 9 (4 + a + 7 + 1 + b + 5) 9 hay (a + b + 8) 9 Suy ra (a + b) chia cho 9 dư 1 Do a + b ³ a – b = 6 nên a + b = 10 từ đó tìm được a = 8; b = 2. * Bài tập tương tự : Bài 1: Tìm các số x, y sao cho 72 HD: 72 72. 2769 + 32 + 72 32 + 72 Vì 32 Ê 32 + Ê 32 + 99 = 131 nên 32 + = 72 ô = 40 Vậy x = 4, y = 0. Bài 2: Tìm chữ số x để chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. HD: Vì chia hết cho 3 ô (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1Ê x Ê 9 nên 24 Ê 23 + x Ê 32 Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có số 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Bài 3: Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để được một số chia hết cho 3. HD: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì dư 2. Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để số nhận được chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau. Bài 4: Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác không, biết rằng tích này chia hết cho 125. Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu? HD: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000. Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải có một số chia hết cho 125. Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128 2. Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số. Bài 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 chia hết cho 45. Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1) + (3921 + 1) Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ … + 1) chia hết cho 5 và 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ … + 1) chia hết cho 5 Suy ra: (2139- 1) + (3921 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) - (3921 - 321) + (339 - 321) Mà 2139- 339= 18 (2138+ … +338) chia hết cho 9 3921- 321 = 27(1321318 + … +318) chia hết cho 9 Và 339+ 321= 321 (318 - 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9 Mà (5, 9) = 1 nên 2139 + 3921 45 KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 Bài 2: Chứng minh rằng: 4343 - 1717 chia hết cho 5 +) Ta có: 4343 = 4340. 433= (434)10.433 Vì 433 có tận cùng bởi chữ số 1 (34 có tận cùng bởi 1) nên (434) có tận cùng bởi chữ số 1 hay 4340 có tận cùng bởi chữ số 1. 433có tận cùng bởi chữ số 7. Vậy 4340. 433 có tận cùng là chữ số 7. Hay 4343 có tận cùng là chữ số 7 +) Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 Vì 174 có chữ số tận cùng là 1 nên (174)4 cũng có chữ số tận cùng là chữ số 1 hay 1716 có chữ số tận cùng là 1. Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7 Hai số 4343 và 1717có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343 - 1717 có chữ số tận cùng là chữ số 0 KL: Vậy 4343 - 1717 chia hết cho 5. Bài 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 7 và 15. Giải Ta có: A =2 + 22 + 23+ … + 260 A = 2(1+2) + 23 (1+2) + … + 259 (1 + 2) = 3 (2 + 22 + 23+ … + 259) A = 3 (2 + 22 + 23+ … + 259) chia hết cho 3 Ta có A = 2 + 22 + 23+ … + 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7(2 + 24 + … + 258) chia hết cho 7 Ta có A = 2 (1 + 2 + 22+ 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + … + 257.15 A = 15(2 + 25 + … + 257) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3, 7 và 15. * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho B = 3 + 33 + 35 + … + 31991 Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41. Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + … + 11 + 1 Chứng minh rằng C chia hết cho 5. Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với A = 13 + 23 + 33 + … + 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 3. Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ Bài 1: Chứng minh rằng: n3 - n chia hết cho 6 với n là số tự nhiờn * Cách 1: Vì (2, 3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 - n chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n + 1)(n - 1) Mà n, n + 1, n - 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên (n - 1)n(n + 1)2. Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k+2 (k ẻ N) + Nếu n = 3k thì n3 - n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 - 1) 3 + Nếu n = 3k + 1 thì n3 - n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3. + Nếu n = 3k+ 2 thì n3 - n = n(n + 1)(n - 1) = (3k+1)(3k+2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k+ )3. KL: Vậy n3 - n 6 với n ẻ N * Cách 2: Nếu n ẻ N thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau: 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 (do phép chia một số cho 6) + Nếu n = 6p thì n3 - n = 6p(6p + 1)(6p - 1) 6 +Nếu n = 6p + 1 thì n3 - n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6. + Nếu n = 6p + 2 thì n3 - n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) 6. + Nếu n = 6p + 3 thì n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. + Nếu n = 6p + 4 thì n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. + Nếu n = 6p + 5 thì n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. n chữ số Bài 2: Chứng minh rằng 2n + 11...1 chia hết cho 3. n chữ số * Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 9, do đó 11...1 - n chia hết cho 9. n chữ số n chữ số Ta có: 2n + 11...1 = 3n + (11...1 - n) chia hết cho 3. Bài 3: Chứng minh rằng A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27. * Cách 1: A = 10n + 18n - 1 = 10n - 9n + 27n - 1 n chữ số n chữ số = 99...9 - 9n + 27n = 9(11...1 - n) + 27n n chữ số n chữ số Mà 27n chia hết cho 27 nên (11...1 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(11...1 - n) Vậy 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) + Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 - 1 = 27 chia hết cho 27. Vậy mệnh đề đúng với n = 1. + Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) - 1 = 10k.10 + 18k + 18 - 1 Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) - 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k + 18k-1) - 27.6k + 27 Mà 10 (10k + 18k-1) 27 27.6k 27 => Ak+1 27 27 27 Vậy 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 * Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh rằng: a) -10n + 72n - 1 chia hết cho 91. b) - 22n + 15n - 1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương. Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì: (n+ 19931994 ).(n+ 19941993 ) chia hết cho 2. Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 4.32n+2 + 32n - 36 64 Vì 4. 32n+2 + 32n - 36 = 4 (32n+2 -8n - 9) nên bài toán đưa về việc chứng minh: 32n+2 + 8n - 9 16 + Nếu n chẵn, ta đặt n = 2k (k ẻN) khi đó: 32n+2 + 8n - 9 = 34k+2 +16k -9 = 34k . 32 - 9 + 16k = 9(34k - 1) + 16k = 9(81k -1) + 16k Vì hiệu (81k-1) 80 nên (81k - 1) 16 Vậy khi n chẵn thì 4. 32n+2 + 32n - 36 64 + Nếu n lẻ, ta đặt n = 2k + 1 (k ẻN) Khi đó 32n+2 + 8n - 9 = 34k+4 + 16k + 8 - 9 = (34)k+1- 1+ 16k = 81k+1 -1 + 16k Vì hiệu (81k+1 -1) 80 nên (81k+1 -1) 16 Vậy với n lẻ thì 4. 32n+2 + 32b - 36 64 Kết luận: Vậy với mọi số tự nhiên n thì 4(32n+2 + 8n - 9) 64 * Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì 3n+2 + 42n-1 13 Bài 2: Với mọi n nguyên dương, chứng minh rằng: 62n + 3n+2 + 3n 11 Bài 6: Chứng minh tổng k số tự nhiờn liên tiếp (k lẻ) thì chia hết cho k. Giải: Gọi k số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, …, n + k-1. Khi đó tổng của chúng bằng: n + n + 1+ n + 2 + ... + n + k - 1 = kn + 1 + 2 + … + k - 1 = kn + = kn + Vì k lẻ nên: =p (pẻ N) Như vậy kn + = kn + kp = k(n+p) Điều này chứng tỏ rằng khi k lẻ, tổng k số tự nhiờn liên tiếp k + Chú ý: Đây là bài toán tổng quát, từ bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh chứng minh các trường hợp riêng của bài toán tổng của ba, năm, bảy... số tự nhiờn liên tiếp thì chia hết cho 3, 5, 7... Bài 7: Chứng minh rằng tích của k số tự nhiờn liên tiếp thì k * Cách 1: Gọi k số tự nhiờn liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, ... , a + k -1. Tích của chúng là: a(a + 1)(a + 2) ... (a + k -1). Ta cần chứng minh: a (a+1)(a+2) ...(a+1 -1) k +Nếu a k thì bài toán đã giải xong. +Nếu a không chia hết cho k thì a = qk + r (0 < r < k) Thừa số (a + k + r) có mặt trong tích đang xét và a + k - r = qk + r + k - r = k(q+1) k. Điều đó chứng tỏ rằng trong tích đang xét luôn luôn tồn tại một số k. Từ đó => a(a+1)(a+2)…(a+k-1) k * Cách 2: (Chứng minh bằng phản chứng). Giả sử trong tích đang xét không có thừa số nào chia hết cho k. Như vậy thì chia k thừa số của tích cho k ta nhận được các số dư từ 1 đến k-1. Theo nguyên lý Đirichlờ tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư. Ta gọi 2 số đó là (a + h) và (a + l) với 0 h < l k-1 Khi đó (a + h) - (a + l) k hay k-l k. Vô lý vì 0 < < k. Vậy tớch của k số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho k + Chú ý: Từ bài toán này có thể đưa ra các trường hợp riêng của bài toán đã quen thuộc đối với học sinh đó là: Chứng minh tích hai, ba, bốn, năm ... số tự nhiờn liên tiếp 2, 3, 4, 5 … Bài 8: Cho a và b là các số tự nhiờn, hãy chứng minh rằng: Nếu 2a +3b 17 thì 9a + 5b 17 và ngược lại. Giải: * Chứng minh: Nếu (2a + 3b) 17 thì 9a +5b 17 Nếu (2a + 3b) 17 thì 8(2a + 3b) 17 +) Rõ ràng (34a + 34b) 17 Vậy (34a + 34b) - (16a +24b) = 34a + 34b - 16a - 24b =18a + 10b =2 (9a + 5b) 17 Vì (2, 17) =1 nên 9a + 5b 17 * Chứng minh: Nếu (9a + 5b) 17 thì (2a + 3b) 17 Ta có: (34 a + 34 b) 17 Theo giả thiết (9a + 5b) 17 => 2 (9a + 5b) 17. Hay (34a + 34b) - 2(9a + 5b) = 34a + 34b - 18a - 10b. =16a + 24b = 8(2a + 3b) 17 Vì (8, 17) =1 nên (2a + 3b) 17. Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a, b là các số tự nhiên sao cho 5a + 3b và 13a + 8b 1995 thì a và b chia hết cho 1995. + Theo giả thiết 5a + 3b 1999 => 8(5a + 3b) 1995 và 13a + 8b 1995 => 3(13a + 8b) 1995 Hay 8(5a + 3b) - 3(13a + 8b) = 40a + 24b - 39a + 24b = a 1995 + Theo giả thiết 5a + 3b 1995 => 13(5a + 3b) 1995 13a + 8b 1995 => 5(13a + 8b) 1995 Hay 5(13a + 8b) -13(5a + 3b) = 65a + 40b - 65a - 39b = b 1995 Vậy a và b chia hết cho 1995. * Bài tập tương tự: Bài 1: Biết các số tự nhiên a và b có a + b và a2 + b2 chia hết cho 11. Chứng minh a.b 11. Bài 2: Chứng minh với x và y là số tự nhiên thì: x + 2y 5 ú 3x - 4y 5 Bài 3: Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 3 thì a và b chia hết cho 3 4. Dạng 4: Tìm điều kiện để 1 biểu thức chia hết cho 1 số hoặc chia hết cho 1 biểu thức. Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho n + 4 n +1 Giải: Ta có: (n + 4) = (n+ 1) + 3 Mà (n + 1) (n + 1) nờn để (n + 4) (n + 1) thì 3 n + 1 hay n + 1 ẻ Ư(3). Mặt khác: Ư(3) ={1; 3} +) Nếu n + 1 = 1 -> n = 0 (thoả mãn) +) Nếu n + 1 = 3 -> n = 2 (thoả mãn). Vậy với n = 0; n = 2 thì n + 4 n+1 Bài 2: Tìm số tự nhiờn n để: n2 + 2n - 4 11 Giải: n = B(11) + 3 hoặc n =B(11) - 5. III.KẾT QUẢ NGHIấN CỨU: Với phương phỏp thực hiện như trờn học sinh đó tự tỡm ra kiến thức một cỏch độc lập tớch cực. Do đú học sinh cú hứng thỳ, hiểu bài sõu sắc, từ đú vận dụng tốt cỏc phương phỏp trờn để giải cỏc bài toỏn và dạng bài toỏn cú liờn quan đến chia hết. Qua dạy đối chứng và kiểm tra tụi thấy chất lượng học tập được nõng lờn một cỏch rừ rệt, số học sinh yờu thớch toỏn ngày càng nhiều, học sinh ngày càng hăng say học tập và thu được kết quả tương đối khả quan. Lớp Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài 6A Giỏi : 8/46 17,4% Khỏ : 16/46 34,8% Trung bỡnh: 19/46 41,3% Yếu: 3/46 6,5% Kộm 0% Giỏi : 20/46 43,5% Khỏ : 21/46 45,7% Trung bỡnh: 5/46 10,8% Yếu: 0 % Kộm 0% 6C Giỏi: 1/39 2,5% Khỏ: 6/39 15,4% Trung bỡnh: 12/39 30,8% Yếu 18/39 46,2% Kộm : 2/39 5,1% Giỏi: 5/39 12,8 % Khỏ: 13/39 33,3 % Trung bỡnh: 14/39 36 % Yếu 7/39 17,9 % Kộm : 0 % PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ. I. KẾT LUẬN: Trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương phỏp giảng dạy là nhiệm vụ hết sức quan trọng, bản thõn tụi mong muốn làm thế nào để nõng cao chất lượng của học sinh nờn tụi cố gắng tỡm tũi và ứng dụng những cỏi mới. Để làm tốt được bài tập dạng “Toán chia hết” này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như: Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích, dấu hiệu chia hết của các số thường gặp như: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, … bên cạnh đó còn hiểu nguyên lý Đirichlê, phương pháp chứng minh phản chứng và một số phương pháp khác nữa. Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có như vậy mới đạt được hiệu quả tốt. II. bài học kinh nghiệm: Trên đây là một số dạng toán thường gặp trong chương trình toán THCS. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên. Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau khi giải giỏo viờn nờn chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đú để khi gặp cỏc bài tương tự học sinh cú thể liờn hệ được và từ đó để làm các bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao lên. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó và các dạng rất phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc. Bờn cạnh đú mỗi giỏo viờn phải khụng ngừng nỗ lực nắm bắt kịp thời theo yờu cầu đổi mới phương phỏp giảng dạy, tham khảo cỏc tài liệu liờn quan đến bài giảng, củng cố nõng cao chuyờn mụn nghiệp vụ, để khi giảng dạy hay bồi dưỡng một vấn đề nào đú cú thể tự xõy dựng cho mỡnh một hệ thống phương phỏp giảng dạy phự hợp. III. KHUYẾN NGHỊ: Xu hướng hiện đại hoỏ giỏo dục ứng dụng cụng nghệ thụng tin vào giảng dạy đang được chỳ trọng, mỗi khi giỏo viờn thực hiện dạy giỏo ỏn điện tử thỡ phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phũng dạy. Vậy đề nghị cỏc cấp trờn quan tõm và đầu tư để nhà trường cú những phũng bộ mụn phục vụ cho cụng tỏc giảng dạy tốt hơn. Bờn cạnh đú sỏch tham khảo ở trường cũn hạn chế cả về chất lượng lẫn số lượng đầu sỏch, chưa đỏp ứng được đủ nhu cầu của giỏo viờn và học sinh, đề nghị phũng giỏo dục, nhà trường đầu tư thờm. Việc đổi mới phương phỏp dạy học theo chiều hướng tớch cực phỏt huy tớnh độc lập sỏng tạo của học sinh khụng thể trong chốc lỏt mà cả một quỏ trỡnh lõu dài. Mục tiờu cuối cựng là hướng dẫn học sinh biết giải toỏn, học toỏn và biết vận dụng toỏn học vào cỏc bộ mụn khỏc cũng như vào thực tế. Trờn đõy là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thõn tụi tự rỳt ra khi dạy phần phộp chia hết trong N, cựng với sự gúp ý của đồng nghiệp hy vọng rằng đề tài của tụi sẽ gúp phần tăng thờm hiệu quả học tập của học sinh. Do khả năng và kinh nghiệm chưa nhiều nờn khụng trỏnh khỏi những thiếu xút, rất mong nhận được sự quan tõm gúp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học cỏc cấp để những năm tới đạ