Đề tài Phương pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 4 + 5 nắm vững cách tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên

ân trong công tác bồi dưỡng, nhưng việc cung cấp kiến thức cho học sinh cũng mới chỉ nghiên cứu trên phương diện tư liệu có sẵn, chứ chưa chịu đào sâu kiến thức của từng dạng bài cụ thể, những nội dung ở sách giáo khoa và sách tham khảo không đề cập tới. 3, Về tài liệu tham khảo : Trên thực tế, bản thân chúng tôi làm công tác quản lí và nhiều năm tham gia công tác bồi dưỡng. Với lòng say mê nghiên cứu và tìm hiểu nhiều tư liệu tham khảo nhằm nâng cao trình độ và thuận lợi cho việc chỉ đạo dạy - học thì chúng tôi nhận thấy rằng : Tài liệu tham khảo là một tư liệu cơ bản không thể thiếu trong quá trình dạy học của người giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viên tham gia làm công tác nâng cao chất lượng mũi nhọn trong các nhà trường. Về cơ bản, các tư liệu có tính ưu việt hết sức cao. Song bên cạnh đó, trong nhiều tài liệu còn có một số hạn chế nhất định và chưa đáp ứng hết được lòng đam mê khám phá toán học của nhiều giáo viên và học sinh. Nhiều dạng toán ở tài liệu tham khảo đưa ra hướng giải quyết chưa có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi người có hạn, lĩnh vực toán học thì rất rộng lớn. Dạng toán : Tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn” cũng không phải là trường hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn có rất nhiều hạn chế, cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụ thể. Các bài tập đưa ra phương pháp giải chưa gãy gọn, mới xét đến trường hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số chẵn có trong tích để tìm số chữ số tận cùng giống nhau, chứ chưa chú trọng hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích.( Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng toán này thì không chỉ căn cứ vào số thừa số 5 trong tích để xét số chữ số tận cùng giống nhau là được như tài liệu đề cập, mà phải xét đến số thừa số chẵn tham gia trong tích khi trường hợp số thừa số chẵn ít hơn số thừa số là 5 . Đây cũng chính là nội dung sáng kiến hướng dẫn học sinh giải loại toán này. Điểm mới so với các tài liệu tham khảo ). Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đưa ra của sáng kiến, trước khi triển khai thực nghiệm, chúng tôi đã tổ chức khảo sát chất lượng học sinh ở một số trường về dạng toán này. * Kết quả kiểm tra học sinh đầu năm : TT Đơn vị, lớp Số lượng hs Kết quả G K TB Y SL TL SL TL SL TL SL TL 1 TH QHồng, Lớp thực nghiệm 5A 25 0 0 7 28 18 72 0 0 2 TH QTân B, Lớp Tnghiệm 5A + 4A 50 0 0 8 16 40 80 2 4 3 TH QTân A, Lớp đối chứng 4A 25 0 0 3 12 18 72 4 16 Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách giải. Với trách nhiệm là những người làm công tác quản lí và chỉ đạo chuyên môn, cũng là những người trực tiếp làm công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu ( khá, giỏi ), chúng tôi phải suy nghĩ, tìm tòi, chắt lọc và lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, với mục đích khắc phục những hạn chế trong quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh; nhằm hoàn thiện về dạng toán này một cách cụ thể và chi tiết hơn. III, Biên pháp khắc phục : Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với một số đồng nghiệp để tìm ra cách giải tốt dạng bài toán mà sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra, chúng tôi đã lựa chọn và đưa ra hướng giải quyết các tồn tại của dạng bài toán trên bằng những biện pháp cụ thể như sau : 1, Cung cấp cho học sinh một số kiến thức về phép nhân có liên quan đến dạng toán : + Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích có tận cùng là chữ số 0. + Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng 0 thì tích đó có tận cùng bên phải bằng 0. + Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5. + Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số tự nhiên đó chia hết cho 2 và 5. + Trong một tích có chứa thừa số là 2 và có chứa thừa số là 5, thì cứ một cặp thừa số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng . 2, Hình thành và xác lập rõ các thành tố có liên quan đến dạng bài tập tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ”. ở nội dung này chúng tôi đã hình thành cho học sinh về việc xác định và nắm vững các thừa số tham gia trong tích, nó thường xảy ra ở những dạng nào ? Kiến thức cần xác định : + Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa thừa số là 5 (Dạng toán này không thuộc phạm vi đề cập của đề tài nên chúng tôi không đưa vào phân tích) + Tích có các thừa số trong đó có chứa thừa số là chẵn và chứa thừa số là 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) . 3, Xây dựng kĩ năng giải toán trong dạng bài toán này: Chuyên đề 1 : Xét các trường hợp số thừa số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5( sau khi phân tích) tham gia trong tích để tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong tích đó. * Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 : Cho tích : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Phân tích và hướng dẫn học sinh : -Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 2 thừa số là 16 và 10 ). -Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15; 25 ). -Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. -Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào. Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) A = 2 x2 x2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 5 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ). Ví dụ 2 : Cho tích B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ). Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Phân tích và hướng dẫn học sinh : -Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ). -Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65 ). -Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. -Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào. Giải : Ta thấy tích B có thể viết : B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ) B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x 9 x 5 x 11 x 5 x 13 x 5 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 8 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 8 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ). Ví dụ 3 : Tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 tận cùng có bao nhiêu chữ số giống nhau và là chữ số nào ? Giải : Trong tích này thì số thừa số chẵn bằng số thừa số lẻ và bằng 50 : 2 = 25 ( thừa số ). Trong các thừa số lẻ, số thừa số có tận cùng bằng 5 là : 5; 15; 25; 35; 45. Các thừa số này chia hết cho 5 và có thể phân tích thành các thừa số như sau : 5 = 5 x 1; 15 = 3 x 5; 25 = 5 x5; 35 = 7 x5; 45 = 9 x 5. ( 1 ) Trong tích trên còn có các thừa số tận cùng bằng 0 là : 10; 20; 30; 40; 50, các thừa số này phân tích thành các thừa số như sau : 10 = 2 x5; 20 = 2 x 2 x 5; 30 = 2 x 3 x 5; 40 = 2 x 2 x2 x5; 50 = 2 x 5 x 5. ( 2 ). Từ ( 1 ) và ( 2 ) thì trong tích có 12 thừa số 5 và trong tích rất nhiều thừa số 2 ( vì một số chẵn cho ta ít nhất một thừa số bằng 2 khi phân tích ). Vì số thừa số là 5 có 12 thừa số ít hơn số thừa số là 2 của tích. Vậy tích trên có 12 chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số 0. Ví dụ 4 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Nếu không chú ý đến thừa số chẵn mà chỉ dựa vào thừa số là 5 thì bài toán này cũng tính được 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và đều là chữ số 0 ( trường hợp này sai với kết quả thực của tích ). Như vậy phải giải bài toán theo biện pháp đưa ra của sáng kiến và xét đến yếu tố các thừa số là số chẵn tham gia trong tích. Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 = 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều bằng 0. *( Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ theo các thừa số là 5 được, vì nếu không chú ý đến yếu tố thừa số chẵn của tích thì dễ dẫn đến giải bài toán sai. Bởi trong một tích cứ một cặp thừa số chẵn và một thừa số là 5 thì cho ta kết quả là một chữ số 0 tận cùng bên phải. Để chứng tỏ vai trò tham gia của các thừa số là số chẵn và thừa số là 5 trong tích ta có thể tham khảo thêm các ví dụ sau : Ví dụ 5 : Cho tích C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 C = 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37) C = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0. *( Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 3 ) ít hơn số thừa số chẵn là 2 ( bằng 4 ) nên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ). Ví dụ 6 : Cho tích : D = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : D = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 D = 4 x 5 x 10 x 15 x 25 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) D = 2 x2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 3 thừa số là 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0. *( Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ theo các thừa số là 5 được, vì thừa số chẵn ít hơn thừa số 5 ). Ví dụ 7 : Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009. Hỏi P có bao chữ số 0 tận cùng bên phải ? Giải Ta thấy tích P có thể viết : P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009 P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009 P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009. Ta thấy tích này có số thừa số chẵn nhiều hơn số thừa số 5 ( sau khi phân tích ) nên số chữ số 0 tận cùng bên phải của tích phụ thuộc vào số thừa số 5 tham gia trong tích. ( Tích có 4 thừa số là 5 ) vậy tích trên có 4 chữ số 0 tận cùng về bên phải. Qua các ví dụ trên chứng tỏ vai trò thừa số chẵn trong tích không thể không lấy làm căn cứ để tính số chữ số tận cùng giống nhau ( số 0 ) trong một tích các số tự nhiên. kết luận cho chuyên đề 1 : Trên cơ sở xây dựng chúng tôi đã rút ra được kết luận chung như sau : Khi giải dạng toán tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ”, thì cần : Bước 1 : + Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía, các thừa số lẻ còn lại về một phía. Bước 2 : + Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. + Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác. Bước 3 : + Đếm số thừa số 2 và số thừa số 5 để kết luận tích có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số 0. Số chữ số 0 tận cùng của tích rơi vào một trong 3 trường hợp sau : * Trường hợp 1 : Nếu số lượng thừa số chẵn ( là 2 ) và số lượng thừa số 5( sau khi phân tích ) bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số chẵn ( hoặc chính bằng số thừa số 5 ) tham gia trong tích . * Trường hợp 2 : Nếu thừa số chẵn ( là 2 ) tham gia trong tích ( sau khi phân tích ) ít hơn số thừa số 5 thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số chẵn ( là 2 ) tham gia trong tích ( sau khi phân tích). * Trường hợp 3 : Nếu thừa số 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích ) ít hơn số thừa số chẵn ( là 2 ) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích). Từ cơ sở chuyên đề 1 chúng ta có thể xây dựng thành chuyên đề 2 cho dạng toán này như sau : * Chuyên đề 2: Xét số lượng “ Cặp thừa số 2 x 5 ” có trong tích ( sau khi phân tích ) để tính số chữ số tận cùng giống nhau ( số 0 ) ở trong tích đó. * Xuất phát điểm: Ta có : 1, ( 100 có 2 chữ số 0 tận cùng). Ta thấy 100 là tích của 10 x 10 = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ). Xét : ( trong tích này có 2 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích ( 2x 5 ) x ( 2 x 5 ) có tận cùng bên phải là 2 chữ số 0. 2, ( 1500 có 2 chữ số 0 tận cùng ). Ta thấy 1500 là tích của 10 x 10 x 15 = (2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 3 x 5 ). Xét : ( trong tích này có chứa 2 thừa số là 2 và có chứa 3 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 2 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích (2x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 3 x 5 ) có tận cùng bên phải là 2 chữ số 0. 3, ( 4000 có 3 chữ số 0 tận cùng ). Ta thấy 4000 là tích của 10 x 10 x 10 x 4 = (2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 2 ). Xét : ( trong tích này có chứa 5 thừa số là 2 và có chứa 3 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 3 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích (2x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 2 ) có tận cùng bên phải là 3 chữ số 0. * Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 : Cho tích 24 x 25. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau ? * Cách 1 : Đối với bài toán này học sinh thường thực hiện cách tính tích theo phép nhân thông thường. Sau đó dựa vào kết quả ở tích tìm được để khẳng định tích có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau. Cụ thể : Giải : Theo bài toán ta có kết quả của tích là : 24 x 25 = 600. Ta thấy tích trên bằng 600 có 2 chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số 0. Vậy tích trên có 2 chữ số tận cùng giống nhau. Giáo viên nhận xét : Các em làm như vậy là đúng rồi. Nhưng ngoài cách giải trên thì còn cách giải nào khác không ? Và đây là tích có 2 thừa số ta có thể làm như vậy là được còn nếu là một tích có rất nhiều thừa số thì sao ? Chúng ta cũng giải như vậy liệu có nhanh không ? Thầy có thể giới thiệu cho các em cách giải sau hợp lý hơn và các em có thể giải nhanh hơn trong nhiều trường hợp ở dạng toán này. * Cách 2 : (Cách giải theo hướng khai thác của đề tài ). Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : 24 x 25 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 Trong tích này có chứa 3 thừa số là 2 và có chứa 2 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 2 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 2 chữ số tận cùng bên phải giống nhau và là chữ số 0. Ví dụ 2 : Cho tích : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Phân tích và hướng dẫn học sinh : -Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 2 thừa số là 16 và 10 ). -Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15; 25 ). -Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. -Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số cặp thừa số 2 x 5, rồi tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào. Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) A = 2 x2 x2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Trong tích này có chứa 5 thừa số là 2 và có chứa 5 thừa số là 5 nên thành lập được 5 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng bên phải giống nhau và là chữ số 0. Ví dụ 3 : Cho tích B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ). Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Phân tích và hướng dẫn học sinh : -Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ). -Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65 ). -Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. -Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số cặp thừa số 2 x 5, rồi tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào. Giải : Ta thấy tích B có thể viết : B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ) B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x 9 x 5 x 11 x 5 x 13 x 5 ). Trong tích này có chứa 8 thừa số là 2 và có chứa 8 thừa số là 5 nên thành lập được 8 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng bên phải giống nhau và là chữ số 0. Ví dụ 4 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37. Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ? Giải : Ta thấy tích trên có thể viết : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 = 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). Trong tích này có chứa 4 thừa số là 2 và có chứa 5 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 4 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng bên phải giống nhau và là chữ số 0. Ví dụ 5 : Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x… x 2008 x 2009. Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ? Giải Ta thấy tích P có thể viết : P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009 P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009 P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009. Ta thấy tích này có số thừa số chẵn nhiều hơn số thừa số là 5 và các thừa số chẵn đó có thể phân tích được rất nhiều thừa số là 2, nên số cặp thừa số 2 x 5 của tích phụ thuộc vào số thừa số là 5 tham gia trong tích. Trong tích này có chứa 4 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 4 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng bên phải là chữ số 0. * Vậy căn cứ vào xuất phát điểm và các ví dụ minh họa chúng ta có thể đưa ra kết luận : kết luận cho chuyên đề 2 : Khi giải dạng toán tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ”, thì cần : Bước 1 : + Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía, các thừa số lẻ còn lại về một phía. Bước 2 : + Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác. + Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác. Bước 3 : + Đếm số thừa số 2 và số thừa số 5 có trong tích ( sau khi phân tích) để tìm số cặp thừa số 2 x 5, rồi kết luận tích có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau. + Trong tích có bao nhiêu cặp thừa số 2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số tận cùng gống nhau và là chữ số 0. IV. Kết quả đạt được : Với những biện pháp cụ thể được thể nghiệm trong quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm, cũng như việc thực nghiệm công tác giảng dạy theo hướng nghiên cứu chúng tôi nhận thấy các biện pháp đưa ra có tính hiệu quả cao và tương đối rõ rệt, cụ thể * Kết quả kiểm tra học sinh cuối năm sau khi đã thực nghiệm cách giải trên : TT Đơn vị, lớp Số lượng hs Kết quả G K TB Y SL TL SL TL SL TL SL TL 1 TH QHồng, Lớp thực nghiệm 5A 25 21 84 4 16 0 0 0 0 2 TH QTân B, Lớp Tnghiệm 5A + 4A 50 28 56 14 28 8 16 0 0 3 TH QTân A, Lớp đối chứng 4A 25 0 0 6 24 17 68 2 8 *** Nhận xét về kết quả đạt được : * Về học sinh: - Hiệu quả học tập được nâng lên rõ rệt, phản ánh rõ nét qua thực nghiệm cách giải trên. Tỉ lệ học sinh khá, giỏi các lớp dạy thực nghiệm chuyển biến một cách khá rõ ràng, chất lượng cao hơn hẳn so với đầu năm và so với lớp đối chứng. - Giúp các em có một hệ thống về phương pháp làm bài cũng như vốn hiểu biết hết sức phong phú về dạng toán tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ” . * Về giáo viên: - Khi nắm bắt các biện pháp đưa ra của sáng kiến kinh nghiệm nhiều đồng chí đã rất tâm đắc và truyền thụ tốt hơn, cụ thể hơn trong dạng toán này. - Mỗi một thành viên đều rút ra cho mình một cách nhìn rõ nét hơn, chính xác hơn về cách dạy của bản thân, điều này hết sức thuận lợi trong việc tổ chức hoạt động học cho học sinh khá, giỏi rèn luyện để thi tuyến trên. V, Bài tập tự luyện Bài 1 : Cho tích là dãy số tự nhiên liên tiếp từ 2 đên 97. Hỏi tận cùng bên phải của tích có bao nhiêu chữ số 0 ? Bài 2 : Cho tích : 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x 10 x 15 x 25. Hỏi tận cùng bên phải của tích có bao nhiêu chữ số giống nhau và là chữ số nào ? Bài 3 : Cho tích : 2 x 3 x 5 x 8 x 10 x 15 x 35. Hỏi tận cùng bên phải của tích có bao nhiêu chữ số 0 ? Bài 4 : Cho tích : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 10 x 15 x 25. Hỏi tận cùng bên phải của tích có bao nhiêu chữ số giống nhau và là chữ số nào ? Bài 5 : Cho tích : 1 x2 x3 x5 x8 x…x 89 x144. Hỏi tích trên có tận cùng bên phải bao nhiêu chữ số giống nhau ? Bài 6 : Cho tích : . Hỏi mẫu số của tích trên có tận cùng bên phải bao nhiêu chữ số giống nhau và là chữ số nào ? *** Ngoài ra trong quá trình tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi để nhằm gây hứng thú học tập, tạo phản xạ nhanh nhạy cho học sinh trong tư duy. Cũng như không để học sinh đi theo lối mòn của dạng toán đưa ra trong các tài liệu, chúng tôi đã xây dựng một số bài toán dưới dạng câu hỏi như sau : Bài 7 : Tính tổng 6 chữ số tận cùng của tích sau : 5 x 6 x 7 x …x 25 x 26. ( Muốn giải bài này học sinh trước hết phải tìm được 6 chữ số tận cùng là những chữ số nào đã và đây chính là yêu cầu về giải quyết dạng toán của sáng kiến KN). Bài 8 : Bạn Tí tính tích : 6 x 7 x 8 x …x 29 x 30. Rồi đem kết quả của tích tìm được chia cho 100 000. Tí nói : “ Thương của phép chia này có tận cùng là một chữ số 0 ). Hỏi Tí nói đúng hay sai ? Bài 9 : Bạn Nam tính tích : 6 x 7 x 8 x …x 29 x 30. Rồi đem kết quả của tích tìm được chia cho 1000 000. Hỏi có thể chắc chắn rằng thương tìm được là một số tự nhiên không ? Bài 10 : Cho M = ( 120 x 210 x 310 x 420 x 560 ) x 2015. Hỏi M có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng ? Bài 11 : Cho H = 1x 2 x 3 x4 x …x 238 x 239 x240. K = 5 x 10 x15 x … x 230 x 235. Hỏi ( H - K ) có tận cùng là chữ số gì ? Bài 12 : Cho D = ( 5 x 15 x 25 x 35 x45 ) x ( 10 x 20 x 30 x 40 x 50 ). Hỏi D có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng ? VI. Bài học kinh nghiệm : Như vậy với quá trình nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm chúng tôi đã rút ra một số kinh nghiệm hết sức quý báu trong quá trình chỉ đạo và tham gia công tác dạy - học của bản thân là: - Để giúp học sinh học tốt phần toán tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn” nói riêng và các dạng toán trong chương trình tiểu học nói chung, thì người giáo viên phải biết hướng học sinh vào các hoạt động đa dạng như biện pháp đã đưa ra. Cùng một dạng bài nhưng người giáo viên phải biết biến tấu, chuyển dạng dưới nhiều hình thức hỏi khác nhau, nhằm phát huy tốt các năng lực tư duy của học sinh và gây được hứng thú cho các em trong học tập. Quan điểm dạy học sinh một bài cụ thể chặt chẽ, chính xác để học sinh làm được những bài tương tự còn lại. - Hiệu quả dạy - học cao nó không chỉ đơn thuần là hoạt động dạy của thầy tốt, mà nó còn phụ thuộc rất lớn vào hoạt động học của trò. Người giáo viên phải biết dung hòa giữa vai trò của thầy và vai trò của học sinh trong cả quá trình dạy học, để hướng hoạt động học tập đến một hiệu quả cao nhất. Học sinh không chỉ thừa hưở