Đề tài Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm - Tích phân ở trung học phổ thông

in cos (1 tan ) tan cos (1 cot ) cot sin = + < ≠ = + = − + = + = + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u u aa du C a a udu u C udu u C du u du u C u du u du u C u 2 2 2 arcsin 1 arccos 1 arctan 1 = +− = − +− = ++ ∫ ∫ ∫ du u C u du u C u du u C u 1.6.Bảng nguyên hàm mở rộng: ( ) ( ) + + + ++ = + ≠ −+ = + ++ = + ∫ ∫ ∫ m 1 m ax b ax b ax b1ax b dx . C (m 1) a m 1 dx 1 .ln ax b C ax b a 1e dx .e C a = + − = + + + + = − − − + − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx xarcsin C aa x dx ln x x a C x a dx ln x x a C x a LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 38 ( ) ( )+ = − + +∫ 1sin ax b dx cos ax b Ca ( ) ( )+ = + +∫ 1cos ax b dx sin ax b Ca ( ) ( )2 dx 1 cot ax b C ( vôùi a 0) sin ax b a = − + + ≠+∫ ( ) ( )2 2 2 2 2 dx 1 tan ax b C cos ax b a dx 1 xarctan x a a a dx 1 x aln C x a 2a x a = + ++ =+ −= +− + ∫ ∫ ∫ = − +∫ tan xdx ln cosx C = +∫ cot xdx ln sin x C 2 2 2 2 2 2 2 du 1 uarctan C u a a a du 1 C u u du 1 u aln C u a 2a u a du 1 u aln C a u 2a a u = ++ = − + −= +− + += +− − ∫ ∫ ∫ ∫ Công thức Newton-Leibnitz: ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = −∫ 1.7.Các tính chất của tích phân: ( ) a a f x dx∫ = 0 ( ) b a f x dx∫ = - ( ) a b f x dx∫ (b<a) ( ) b a kf x dx∫ = ( )b a k f x dx∫ (k là hằng số) [ ]( ) ( )b a f x g x dx±∫ = ( ) b a f x dx∫ ( ) b a g x dx± ∫ ( ) b a f x dx∫ = ( )c a f x dx∫ = ( )b c f x dx∫ (a <c <b) Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì ( ) 0 b a f x dx≥∫ ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx≥ ∈ ⇒ ≥∫ ∫ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 39 2.Các Phương Pháp Và Kiến Thức Giải Các Bài Tập Về Nguyên Hàm- Tích Phân: 2.1.Sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm: Các bài tập sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm gồm các dạng bài tập nhằm củng cố lại các công thức tính đạo hàm của hàm số, củng cố lại kiến thức về định nghĩa nguyên hàm như chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x), xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc, tìm điều kiện của tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x). Các dạng bài tập này yêu cầu HS phải thành thạo trong việc tính đạo hàm của các hàm số đã được học ở lớp 11. Đây là các bài tập nhằm cho HS thấy rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa đạo hàm và nguyên hàm chứ không có tác dụng nhiều trong việc rèn luyện kĩ năng tích phân. Các kiến thức cần dùng: ●Bảng công thức tính đạo hàm (cơ sở lý thuyết 1.1) ●Định nghĩa nguyên hàm: “Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈(a ; b)”. Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ( )f x dx∫ . Khi đó: ( )f x dx∫ = F(x) + C. ●F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] khi và chỉ khi '( ) ( ); ( ; ) ( ) ( )'( ) lim ( ) ( ) ( )'( ) lim ( ) x a x b F x f x vôùi moïi x a b f x f aF a f a x a f x f bF b f b x b + − + → − → ⎧⎪ = ∈⎪ −⎪ = =⎨ −⎪ −⎪ = =⎪ −⎩ ●Vài công thức tính giới hạn của hàm số: 0 0 1 0 0 0 0 0 0 sin 1lim 1 ; lim 1 tanlim 1 ; lim(1 ) arcsin ln(1 )lim 1 ; lim 1 arctan (1 ) 1lim 1 ; lim x x x x x x x x x x x e x x x x e x x x x x x x x x α α → → → → → → → → −= = = + = += = + −= = Định lí 1: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó”. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 40 Định lí 2: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số”. Các tính chất của nguyên hàm (1.4) Bảng các nguyên hàm (1.5) 2.1.1.Dạng 1:Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x): Phương pháp: Tính đạo hàm của F(x) rồi so sánh với f(x) trên từng khoảng xác định của f(x). Ví dụ minh họa: Bài 1: Kiểm tra F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không? 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 (2 )( ) ln( ) 8 8 ( ) x x a x a aF x x x a f x x x a + += − + + = + Giải: 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 )'( ) [ ln( ) 8 8 1 1[(6 ) (2 ) ] (1 ) 8 8 (6 )( ) (2 ) 8 8 ( )(7 ) 8 ( )[(7 ) ( )] 8 ( 8 x x a x a aF x x x a x a xx a x a x x a x a x x a x a x a x a x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a + += − + + = + + + + − ++ + + + + + + += −+ + + + + −= + + + + −= =+ 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) 8 x a x x a f x x a + = + =+ Vậy: F(x) là một nguyên hàm của f(x). Bài 2:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với: 2 2 ln ; 0( ) 2 4 0 ; 0 x xx vôùimoïi xF x x ⎧ − >⎪= ⎨⎪ =⎩ ln ; 0 ( ) 0 ; 0 x x vôùi moïi x f x x >⎧= ⎨ =⎩ Giải: Ta chứng minh F’(x) = f(x) ,với mọi x>0 Thật vậy 0x∀ > , ta có: 2 2 2 1 2'( ) ( ln )' ln . ln ( ) 2 4 2 4 '( ) ( ) , 0 (1) x x x xF x x x x x x f x x F x f x vôùi moïi x = − = + − = = ⇔ = > LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 41 Chứng minh F’(0+) = f(0) Ta có: 2 2 0 0 0 0 0 0 ( ) (0) 1'(0 ) lim lim ln 0 2 4 1 1 1lim( ln ) lim lim( ln ) lim ( ) 2 4 2 2 x x x x x x F x f x xF x x x xx x x x f x + + + + + + + → → → → → → ⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠ = − = = 0 0 :0 ln ln lnDo x neân vôùi x e tacoù x x x x x e x+→ < < ≤ = < = 0 0 0 : lim 0 lim ln 0 lim( ln ) 0 : '(0 ) 0 (0) (2) x x x Maët khaùc x x x x x Vaäy F f + + +→ → → + = ⇒ = ⇒ = = = Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra F’(x) = f(x) , với mọi 0x ≥ Bài 3:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với: ( )( ) ln 1 ( ) 1 F x x x xf x x = − + = + Giải: Tacó: ln(1 ) ; 0 ( ) 0 ; 0 ln(1 ); 0 ; 0 1 ( ) 0 ; 0 ; 0 1 x x vôùimoïi x F x x x x vôùi moïi x x vôùimoïi x x f x x x vôùi moïi x x − + >⎧⎪= =⎨⎪− − − <⎩ ⎧ >⎪ +⎪= =⎨⎪⎪ <−⎩ 10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (1) 1 1 10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (2) 1 1 xx tacoù F x x x f x x x xx tacoù F x x x f x x x ∀ > = − + = − = =+ + ∀ < = − − − = − + = =− − 0 0 0 0 ( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0 0x x x Taïi x F x F x x xF x x x+ + + + → → → = − − + +⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠ Show Desktop.scf 0 0 0 ( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0 0 : '(0 ) '(0 ) (0) '(0) (0) (3) (1),(2),(3) '( ) ( ) x x x F x F x x xF x x x Vaäy F F f F f Töø suy raF x f x vôùimoïi x R − − − − → → → + − − − − − −⎛ ⎞= = = − − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠ = = ⇒ = = ∈ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 42 Bài tập tương tự: Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) với: ( )( ) 4 5 3 2 2 2 2 2 2 1) ( ) tan 3 5 ; ( ) 5tan 4 tan 3 4 22) ( ) ln ; ( ) 3 4 3 1 13) ( ) ln ln 1 ; ( ) ln 1 F x x x f x x x x xF x f x x x x x xF x x x f x x x x = + − = + + ⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ + +⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠ sin sin 2 , 0, 0 4) ( ) ; ( ) 1 , 02 1 1, 0 1 ( 1) 11 , 0, 05) ( ) ; ( ) 11 , 0 , 0 2 x x x x coxe vôùi moïi xe vôùimoïi x F x f x vôùimoïi xx vôùi moïi x x x ee xx xF x f xx x x ⎧ <⎧ <⎪ ⎪= =⎨ ⎨ ≥+ − ≥⎪ ⎪⎩ +⎩ ⎧ − +⎧ − ≠⎪≠⎪ ⎪=⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪⎩ 2.1.2.Dạng 2:Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc: Phương pháp: Dùng công thức G(x) = F(x) +C (1) để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C. Thay C vào (1), ta có nguyên hàm phải tìm. Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho hàm số f(x) = xsinx+x2.Tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = xcosx biết rằng nguyên hàm này triệt tiêu khi x π= . Giải: : '( ) sin cos 2 : ( ) cos '( ) sin 2 Tacoù f x x x x x Suyra g x x x f x x x = + + = = − − 2: ( ) ( ) cos sin cosDoñoù G x f x x x C x x x C= + − + = + + ( ) 0 1 0 1 : ( ) sin cos 1 Khi x thìG C C Vaäy G x x x x π π= = ⇔ − + = ⇔ = = + + Bài 2:Chứng minh rằng nguyên hàm của hàm số : 2 1( ) 1 2 3 ... nf x x x nx −= + + + + là 1 1( ) , 1 nxF x x + −= − biết rằng nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0. Giải: 2 3 2 3 : ( ) ... 0 (0) 1 1 : ( ) 1 ... n n Tacoù F x x x x x C Khi x thì F C Doñoù F x x x x x = + + + + + = = ⇔ = = + + + + + LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 43 1 1 ( ) 1 1 . 1 1: ( ) 1. ( ) 1 1 n n F x laø toångcuûa n soá haïngcuûamoät caáp soá nhaâncoù soá haïng ñaàu laø vaø coâng boäi laø x x xVaäy F x ñpcm x x + + + − −= =− − Bài tập tương tự: Bài 1:Tìm nguyên hàm của hàm số 4 3 2 3 2 5( ) , 0x xf x x x − += ≠ , biết rằng nguyên hàm này bằng 2 khi x = 1. Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 cos 2 6 xf x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x = 0. 2.1.3.Dạng 3:Tìm điều kiện tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x): Phương pháp: Để F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F’(x) = f(x), với mọi ( ; )x a b∈ Tính F’(x) Tìm điều kiện của tham số để F’(x) = f(x), với mọi ( ; )x a b∈ . Ví dụ minh họa: Bài 1: Định m để hàm số 3 2( ) (3 2) 4 3F x mx m x x= + + − + là một nguyên hàm của hàm số 2( ) 3 10 4f x x x= + − . Giải: Ta có: 3 2 2 '( ) [ (3 2) 4 3]' '( ) 3 2(3 2) 4 F x mx m x x F x mx m x = + + − + ⇔ = + + − Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) ta phải có: 2 2'( ) ( ) 3 2(3 2) 4 3 10 4 3 3 1 1 2(3 2) 10 3 2 5 F x f x mx m x x x m m m m m = ⇔ + + − = + − = =⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩ Vậy m=1 là giá trị cần tìm. Bài 2:Cho ( ) (2 1)sin (3 2)s in2x+(5c-7)sin3x ; f(x) = cos2xF x a x b= + + − Tìm a, b, c để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R Giải: Ta có: '( ) (2 1)cos 2(3 2)cos2x+3(5c-7)cos3x, vôùi moïi x RF x a x b= + + − ∈ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 44 1 22 1 0 56 4 1 6 15 21 0 7 5 a a b b c c ⎧ = −⎪+ =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ − = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪− =⎩ ⎪ =⎪⎩ Bài tập tương tự: Bài 1:Tìm điều kiện của các tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R với: 3 2 3 2 2 2 ) ( ) ( ) ; ( ) (2 9 2 5) 1) ( ) s in2x+3bsin4x+(5c-4)sin6x ;f(x)=cos cos4 2 x xa F x ax bx cx d e f x x x x e ab F x x x = + + + = + − + −= Bài 2:Định m để hàm số 2( ) ln 5F x x mx= − + là một nguyên hàm của hàm số 2 2 3( ) 3 5 xf x x x += + + . 2.2.Sử dụng trực tiếp công thức tính nguyên hàm: Gồm các dạng bài tập rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng bảng công thức nguyên hàm một cách thành thạo. Những bài tập này rất quan trọng trong bước đầu làm quen với các dạng phong phú và nó cũng là nền tảng để giải quyết các bài toán khác của chuyên đề tích phân. Do đó GV cần đặc biệt chú ý cho HS làm nhiều bài tập dạng này. Ngoài ra tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức ta chỉ cần phân tích hàm phân thức là có thể áp dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân, tuy việc tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức không củng cố được nhiều các kiên thức của tích phân nhưng nó có tác dụng to lớn trong việc rèn luyện kỹ năng tính toán và biến đổi hàm số. Các bài tập tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức có khá nhiều trong các đề thi vào các trường Cao đẳng- Đại học và Trung học chuyên nghiệp. Các kiến thức cần dùng: Các tính chất nguyên hàm- tích phân(1.4-1.7) Các bảng công thức tính ngyên hàm(1.5-1.6) Một số công thức cần dùng: ( ) 1 1 ; ; 1; ; 1 1 1; ; mn nm n m n m n n m m nn km m nn nk n m m n n nk n n m n k m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − − = = = = = = = = = LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 45 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 ( ) 2 ( ) 3 3 ( )( ) ( )( ) a b a ab b a b a ab b a b a b a b a b a a b ab b a b a b a ab b a b a b a ab b + = + + − = − + − = + − + = + + + + = + − + − = − + + ; 2 2 2 2 1 cos2cos 2 1 cos2sin 2 1 cos2tan 1 cos2 1 cos2cot 1 cos2 aa aa aa a aa a += −= −= + += − Biến đổi vi phân: ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) dx d x c dx d x c adx d ax c adx d ax c = + = − = + = − 1 1;x c x cdx d dx d a a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Các công thức lượng giác: [ ] [ ] [ ] [ ] 1cos .cos cos( ) cos( ) 2 1sin .sin cos( ) cos( ) 2 1sin .cos sin( ) sin( ) 2 1cos .sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − = − − + = + + − = + − − = = − = − = − ⇔ = += − ⇔ = 2 2 2 2 3 3 3 3 s in2a 2sin cos cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin 3sina-s in3as in3a=3sina-4sin sin 4 cos3 3coscos3 4 cos 3cos cos 4 a a a a a a a a a a aa a a a 2.2.1.Dạng 1:Tính nguyên hàm- tích phân của hàm đa thức, hàm số chứa căn, hàm số luỹ thừa: Phương pháp: Sử dụng tính chất tích phân của tổng bằng tổng các tích phân để tách tích phân ban đầu ra thành tổng của nhiều tích phân đơn giản hơn rồi áp dụng bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp để tính các tích phân đơn giản (chú ý đến các hàm số hợp). Ví dụ minh họa: Bài 1:Tính tích phân bất định 2 2 2 4 4 xI dx x += −∫ Giải: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 46 2 2 2 2 2 2 4 2( 4) 12 4 4 12 22 2 3ln 4 2 x xI dx dx x x xdx x C x x + − += =− − −⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính tích phân bất định 5 (7 2)J x dx= −∫ Giải: 1 55 (7 2) (7 2)= − = −∫ ∫J x dx x dx 6 1 5 51 1 (7 2)(7 2) (7 2) . 67 7 5 −= − − = +∫ xx d x C 6 55 (7 2) 42 = − +x C Bài 3: Tính tích phân bất định 2 32 .2 .2x x xK dx= ∫ Giải: 2 3 642 .2 .2 2 .4 .8 64 6ln 2 x x x x x x x xK dx dx dx C= = = = +∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự: Tính các tích phân bất định sau: ( ) ( ) ( ) 3 4 52 3 34 5 2 33 2 32 5 41) 2 7 ; 4) 3 1 32) 2 1 ; 5) 5 3) 2 3 3 ; 6) 2 .3 .4 .5x x x x dxI x x x dx M x x x dxJ x x x dx N x x K x x dx L dx = + − − + = ⎛ ⎞= − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ = + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.2.Dạng 2:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số có chứa e: Ví dụ minh họa: Bài 1: 1 0 1 x x eI dx e − −= +∫ Giải: 1 1 0 0 1( 1) 1 2ln 1 ln 1 ln 2 ln 01 1 1 x x x x x e d e eI dx e e e e e − − − − − − += = = − + = − + + =+ + +∫ ∫ Bài 2: 1 0 3 x dxJ e = +∫ Giải: ( ) ( )1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 31 3 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟= = = = −⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x x x e e dx e dxdx dx e dxJ e e e e e LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 47 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 3 11 1 ln 3 03 3 3 1 1 41 ln 3 ln 4 1 ln 3 3 3 ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞= − + + = +⎜ ⎟+⎝ ⎠ ∫ ∫ x x x d e dx x e e e e Bài 3: 3 1 1 x x eK dx e += +∫ Giải: 3 2 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 1 1 2 x x x x x x x x x x e e e eK dx dx e e dx e e e e x C + + − += = = − ++ + = − + + ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự: 1) (1 ) 1x x dxI e e = + +∫ 2) 5x dxJ e = +∫ 23) 3x dxK e = −∫ 2.2.3:Dạng 3:Tính nguyên hàm tích phân của hàm số lượng giác: Phương pháp: Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức nhân ba. Ví dụ minh họa: Bài 1: 4 0 cosI xdx π = ∫ Giải: ( ) 2 2 4 0 0 0 2 0 0 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2cos 2 4 1 1 1 cos 41 2cos 2 cos 2 1 2cos 2 4 4 2 1 1 1 3s in2x+ s in4x 04 2 8 8 x x xI xdx dx dx xx x dx x dx x x π π π π π π π + + +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: 4tanJ xdx= ∫ Giải: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 48 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 tan tan (tan 1 1) tan (tan 1) tan tan (tan ) (tan 1 1) tan (tan 1) tan (tan ) tan tan J xdx x x dx x x dx xdx xd x x dx x x dx dx x d x x x x x C = = + − = + − = − + − = − + + = − + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 3: 4 4tan 4cot 4K x x dx= + +∫ Giải: 4 4 4 4 4 4tan 4cot 4 tan 4cot 4 tan cot= + + = + +∫ ∫K x x dx x x x xdx ( ) ( )22 2 2 2tan 2cot tan 2cot= + = +∫ ∫x x dx x x dx ( ) ( )2 21 tan 2 1 cot 3 tan 2cot 3x x dx x x x C⎡ ⎤= + + + − = − − +⎣ ⎦∫ Bài tập tương tự: Tính các tích phân bất định sau: ( ) ( ) 4 3 1) tan cot ; 5) sin 2 2) s in3xcos4x-cos3xsin4x ; 6) sin s in3xdx s in3xsin4x3) cos 6 cos3 ; 7) tan cot2x 4) s in5xsin3xdx ; 8) cos3 tan = + = = = = = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I x x dx I xdx I dx I x I x xdx I dx x I I x xdx 2.2.4.Dạng 4: Tính nguyên hàm- tích phân của hàm phân thức: Phương pháp:Tích phân hàm phân thức ( ) ( ) P x Q x , Với P(x) và Q(x) là các đa thức hệ số thực: Xét ( ) ( ) P xI dx Q x = ∫ với P(x) và Q(x) là các đa thức hệ số thực. Nếu degP(x) ≥ degQ(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; deg ( ) deg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x R x P x R xG x R x Q x dx G x dx dx Q x Q x Q x Q x = + < ⇒ = +∫ ∫ ∫ Vì có thể tính được nguyên hàm của G(x) dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp nên việc tính ( ) ( ) P xI dx Q x = ∫ được đưa về tính ( )( )R xJ dxQ x= ∫ với deg ( ) deg ( )R x Q x< . Theo định lý tổng quát về phân tích đa thức thí ta luôn phân tích được Q(x) thành tích của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai khi đó dùng phương pháp đồng nhất thức ta sẽ tách ( ) ( ) R x Q x thành tổng của các hàm phân thức đơn giản hơn, có thể dễ dàng tính được nguyên hàm- tích phân dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. Trường hợp Q(x) là tam thức bậc hai 2( )Q x ax bx c= + + , có 3 khả năng xảy ra : LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 49 Q(x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Khi đó 1 2( ) ( )( )Q x a x x x x= − − Ta thực hiện phép biến đổi 1 2 ( ) ( ) R x m n Q x x x x x = +− − với m, n là hai hằng số . Tích phân được quy về dạng 1 lndx ax b C ax b a = + ++∫ . Q(x) có nghiệm kép x0 . Khi đó 20( ) ( )Q x a x x= − . Ta biến đổi 2 0 0 ( ) ( ) ( ) R x m n Q x x x x x = +− − . Tích phân được quy về dạng 1 và dạng 2 0 0 1 ( ) dxI C x x x x = = − +− −∫ . Q(x) vô nghiệm. Khi đó Q(x) có dạng 2( ) ( )Q x x kα β= + + với k là một hằng số dương. Đặt tanx k tα β+ = và quy về dạng tính tích phân của hàm lượng giác. Định lý tổng quát về phân tích đa thức: Mọi đa thức ( ) 0Q x ≠ với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử ( không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai với biệt thức 0∆ < , tức là ta có: 1 2 12 21 2 1 1( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )k m r sr r s k m mQ x A x a x a x a x p x q x p x q= − − − + + + + Trong đó : A 0≠ ; 1 2, ,..., ka a a là các nghiệm phân biệt của Q(x) ; và ,i ip q là các số thực thoả mãn: 2 1 2 1 24 0 ; deg ( ) ... 2( ... )i i i k mp q Q x r r r s s s∆ = − < = + + + + + + + 2 2 2 2 4 2 4 b b acax bx c a x a a ⎡ ⎤−⎛ ⎞+ + = + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Ví dụ minh họa : Bài 1: 2 3 2 2 5 3 2 x xI dx x x x − −= + −∫ Giải: Ta có : 3 2 2 ( 1)( 2)x x x x x x+ − = − + 2 3 2 2 2 2 2 5 3 , 2 1 2 2 5 3 ( 1)( 2) ( 2) ( 1) , 2 5 3 ( ) ( 2 ) 2 , − − = + + ∀+ − − + ⇔ − − = − + + + + − ∀ ⇔ − − = + + + + − − ∀ x x A B C x x x x x x x x x A x x Bx x Cx x x x x A B C x A B C x A x LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 50 3 2 2 2 5 2 2 3 5 2 ⎧ =⎪+ + =⎧ ⎪⎪⇔ + − = − ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪− = −⎩ ⎪ =⎩ AA B C A B C B A C Vậy: 2 3 2 2 5 3 3 52 2 2 1 2 2 3 5ln 2ln 1 ln 2 2 2 − −= = − ++ − − + = − − + + + ∫ ∫ ∫ ∫x x dx dx dxI dxx x x x x x x x x C Bài 2: 2 3 1 ( 1) dxI x x = +∫ Giải: Ta có: 3 2 3 2 3 2 3 2 ( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) x x x x x x A B Cx D x x x x x x A x Bx x x Cx D x x A B C x B C D x B D x A + = + − + += + ++ + − + ⇔ = + + − + + + + ⇔ = + + + − + + + + + 1 10 30 20 3 1 1 3 A A B C B B C D B D C A D =⎧⎪+ + =⎧ ⎪ = −⎪ ⎪− + + =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ = = −⎪ ⎪⎪ ⎪=⎩ ⎪ =⎪⎩ Vậy: 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 ( 1) 3 1 3 1 1 1 1 ( 1) 3 1 3 1 21 1 2 4ln ln 1 ln 1 ln 13 3 3 3 dx dx dx xI dx x x x x x x dx dx d x x x x x x x x x x −= = − −+ + − + = − − − ++ − + ⎛ ⎞= − + − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 3: 1 3 2 0 4 1 2 2 xJ dx x x x −= + + +∫ Giải: Ta có: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 51 3 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 2 2 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)( 2) 1 2 4 1 ( )( 2) ( 1) 4 1 ( ) (2 ) 2 9 50 22 4 5 2 1 9 5 x x x x x x x x ax b c x x x x x ax b x c x x a c x a b x b c a a c a b b b c c − −=+ + + + + − += ++ + + + ⇔ − = + + + + ⇔ − = + + + + + ⎧ =⎪+ =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ + = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = −⎩ ⎪ = −⎪⎩ Vậy: 1 1 1 3 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 0 0 0 2 4 1 1 9 2 9 1 2 2 5 1 5 2 1 9 2 9 1 5 1 1 5 2 1 11 9 9 27 9ln( 1) 2arctan ln 2 ln 2 ln3 0 05 2 5 10 2 10 x xJ dx dx dx x x x x x x dx dx dx x x x x x x π − += = −+ + + + + ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞= + + − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 2 2 5 5 2 4 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 3 2 3 2 1) ; 6) 5 8 6 ( 1) 3 4 12) ; 7) 2 7 9 8 16 13) ; 8) 5 6 ( )( 1) 3 64) ; 9) ( 2 1) 6 5 3 1 4 25) ; 10) 2 5 6 3 5 7 5 dx x dx x x x x xdx dx x x x x x dxdx x x x x x x x x x xdxdx x x x x x x xdx dx x x x x x x − + − − + − + − + + − + + + + + + − + + + + + − − − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2.3.Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm- tích phân từng phần: Là một trong hai phương pháp đặc biệt quan trọng và chủ yếu của tích phân (cùng với phương pháp đổi biến số) nhưng nội dung của phương pháp tích phân từng phần không nhiều và phong phú như tích phân đổi biến số. Cơ sở của phương pháp này là áp dụng công thức = −∫ ∫b b a a b udv uv vdu a , trong đó u = u(x) , v = v(x) ,từ đó đặt u là một LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 52 hàm số nào đó dưới dấu tích phân và dv là phần còn lại . Tuy nhiên, để đặt u và dv cho phù hợp để du đơn giản, dễ tính được v (là nguyên hàm của dv) và tích phân ∫b a vdu đơn giản hơn tích phân ban đầu đòi hỏi HS phải nắm vững một số dạng cơ bản như: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của đa thức và hàm số mũ ( ). mx nP x a + thì đặt ( )u P x= và dv = mx na + dx nhằm mục đích hạ bậc của hàm đa thức Ngoài ra tích phân dạng truy hồi cũng áp dụng các kiến thức về quy nạp và có sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần. Các kiến thức cần dùng: Định lý phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ u x v x dx u x v x u x v x dx hay udv uv vdu Định lí(phương pháp tính tích phân từng phần ): Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì ( )( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b a a b u x v x dx u x v x u x v x dx a = −∫ ∫ b b a a b hay udv uv vdu a = −∫ ∫ 2.3.1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: Tính: ( )f x dx∫ Với sin( ) cos( ) ( ) ( ). ax b ax b ax b ax b f x P x e m + + +⎡⎢ +⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt u = P(x) ; dv phần còn lại. Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Đặt: '( )( ) 1sin( ) cos( ) =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= + =− +⎩ ⎪⎩ du P x dxu P x dv ax b dx v ax b a Ví dụ minh họa: Bài 1: 2 2 0 cosI x xdx π = ∫ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 53 Giải: ( )2 22 0 0 1cos 1 cos2 2 I x xdx x x dx π π = = +∫ ∫ 22 0 1 1 cos22 4 20 x x xdx ππ = + ∫ 2 2 0 1 cos2 16 2 x xdx π π= + ∫ Tính: 2 1 0 1 cos2 2 I x xdx π = ∫ Đặt: 1cos2 s in2x 2 du dxu x dv xdx v =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩ Do đó: 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1s in2x s in2xdx cos2x2 2 2 2 2 8 8 8 40 0 I x ππ π⎡ ⎤⎢ ⎥= − = = − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ Vậy: I = 2 16 π + I1 = 2 16 π 1 4 − Bài 2: cosI x xdx= ∫ Giải: Đặt: cos sin u x du dx dv xdx v x = =⎧ ⎧⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎩ Do đó: cos sin sin sin cosI x xdx x x xdx x x x C= = − = + +∫ ∫ Bài 3: 3 5 1xI x e dx−= ∫ Giải: Đặt: 2 3 5 15 1 3 1 5 xx du x dxu x v edv e dx −− ⎧ =⎧ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ ==⎪⎩ ⎪⎩ Do đó: 3 5 1 3 5 1 2 5 1 3 5 1 2 5 1 3 5 1 1 2 5 1 1 1 1 1 33 5 5 5 5 1 3 5 5 x x x x x x x I x e dx x e x e dx x e x e dx x e I I x e dx − − − − − − − = = − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 5 15 1 2 1 5 xx du xdxu x v edv e dx −− =