Đề tài Tích hợp mờ trong hệ trợ giúp đa mục tiêu

một hệ xử lý thông tin bất kỳ. Sự khác nhau thực sự ở các các điểm sau: Phương pháp sử dụng cho giao diện người dùng (dùng ngôn ngữ tự nhiên, tương tác). Có mặt thành phần lượng hóa để biểu diễn toán học các cấu trúc phức tạp và quan hệ giữa các thành phần khác nhau của bài toán. Công cụ lượng hóa của ứng dụng có thể tách thành bốn phần: mô hình hóa, mô hình toán học, kỹ thuật lượng hóa và quy trình giải thuật. Cấu trúc và đặc điểm của phần mềm. Tích phân mờ trong ra quyết định đa tiêu chuẩn Ra quyết định đa tiêu chuẩn Khuôn mẫu chung Một bài toán ra quyết định bao gồm sự lựa chọn khả năng thay thế tốt nhất theo một vài tiêu chuẩn, biết một lượng tri thức nhất định, và được mô hình hóa dưới dạng sau. Định nghĩa 1: Một bài toán quyết định là một bộ 5 phần tử , với: A: Tập các khả năng thay thế hoặc hành động, giữa những cái mà người ra quyết định phải chọn. X: Tập các hệ quả hoặc các kết quả. Các hệ quả này xuất phát từ sự lựa chọn một khả năng thay thế. : Tập các trạng thái của vũ trụ. Theo trạng thái của vũ trụ (ẩn số thông thường), các hệ quả của sự lựa chọn một khả năng thay thế có thể khác biệt. chỉ rõ với mỗi trạng thái của và mỗi sự lựa chọn khả năng thay thế a dẫn đến : Quan hệ thứ tự yếu trên X , quan hệ hai ngôi thỏa mãn (i) hoặc , (ii) là bắc cầu, ví dụ. , là quan hệ ưu tiên. Bởi phép loại suy quan hệ thứ tự thông thường trên số học, x>y nghĩa là đúng nhưng không có nghĩa (ưu tiên ngặt), và nghĩa là ta có cả và (sự không phân biệt). Ý tưởng cơ bản đằng sau lý thuyết thỏa dụng là biến đổi thứ tự yếu trên X thành thứ tự thông thường trên số thực theo nghĩa được gọi là hàm lợi ích , tính chất cơ bản của nó là . Ta nói rằng u cho thấy khi tính chất này được thỏa mãn. Sự tồn tại của hàm như vậy là bài toán cơ bản trong lý thuyết thỏa dụng. Ra quyết định đa tiêu chuẩn Tiếp theo, ta nói rằng bài toán quyết định đặc trưng, được gọi là quyết định đa tiêu chuẩn: ở đây trạng thái của vũ trụ luôn được biết (do vậy được định nghĩa trên A), nhưng X là nhiều chiều, kết quả x là bộ n phần tử trong đó tương ứng với các tiêu chuẩn hoặc các thuộc tính. Nhận thấy rằng khi trạng thái của vũ trụ được biết, ta có thể xử lý các khả năng thay thế hoặc các kết quả như nhau, với kết quả là quan hệ ưu tiên có thể được định nghĩa hoặc trên X hoặc trên A. Rõ ràng là u bây giờ là hàm nhiều chiều, và vấn đề là tìm các cách thức đơn giản để tính u. Một giải pháp dễ dàng là biểu diễn u với sự trợ giúp của các hàm lợi ích đơn chiều theo mỗi tiêu chuẩn. . được gọi là toán tử kết hợp. nếu ta giả định rằng u1 cho trước, vấn đề chính là tìm toán tử kết hợp phù hợp cái mà biểu diễn quan hệ ưu tiên của sự ra quyết định. Một giải pháp đơn giản nhất là phép toán tổng số học: Như vậy u được gọi là thỏa dụng phụ trợ, và hàng loạt công việc được thực hiện để tìm các điều kiện trên quan hệ ưu tiên để một hàm lợi ích cộng tính tồn tại. Ở khía cạnh này, định lí của Debreu đưa ra một điều kiện cần và đủ, nhưng nó ít được ứng dụng trong thực tế do nó khó. Tất nhiên, ta có thể sử dụng toán tử kết hợp bất kỳ, với điều kiện là sự lựa chọn có thể được thỏa mãn bài toán được xem xét. Mục đích của đề tài chính xác là để khảo sát nếu các tích phân mờ tạo thành một giải pháp cần thiết và thú vị cho bài toán này. Độc lập ưu tiên Độc lập ưu tiên là một khái niệm quan trọng trong ra quyết định đa tiêu chuẩn, có liên quan mật thiết tới sự tồn tại của hàm lợi ích cộng tính. Đầu tiên chúng ta đưa ra chú thích sau: Cho . Khi đó , và các thành phần của được biểu thị thành . Do vậy, mọi có thể được viết thành , trong đó cho biết phần bù của J. Định nghĩa 2. Cho . Không gian các thuộc tính được nói là độc lập ưu tiên của nếu và chỉ nếu, với mọi cặp của các phần tử , đối với một vài đối với tất cả . Toàn bộ tập thuộc tính được nói là độc lập ưu tiên tách rời nếu là độc lập ưu tiên của đối với mọi. Đại khái, sự ưu tiên của hơn không bị chi phối bởi các giá trị còn lại. Ta đưa ra đây một ví dụ minh họa, mượn từ Murofushi. Ta hãy xem xét vấn đề của các công việc đánh giá, cho các thuộc tính = income, = working hours và = {like,dislike}. Hầu hết mọi người cho rằng là độc lập ưu tiên từ {,}, tức là nếu (high salary, average working hours, like) được ưu tiên hơn (low salary, average working hours, like), thì với mọi a,b (high salary, a, b) sẽ được ưu tiên hơn (low salary, a, b). Theo một hướng, high salary được ưu tiên hơn low salary, các thuộc tính còn lại tương đương nhau. Dễ dàng kiểm chứng rằng sự tồn tại của hàm lợi ích cộng tính chỉ sự độc lập ưu tiên tương tác, nhưng điều ngược lại không đúng. Thực tế, bất kỳ toán tử kết hợp liên đới, nói đúng ra chỉ sự độc lập ưu tiên lẫn nhau, như được nhận xét bởi Dubois và Prade. Các khuôn mẫu khác Lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính không chỉ là khuôn mẫu để giải quyết các vấn đề quyết định đa tiêu chuẩn. Đại khái, theo cách tiếp cận này ta cộng các số (các monodimensional utility) tương ứng với một định giá tuyệt đối của một khả năng thay thế đã cho đối với một tiêu chuẩn đã cho. Đây được gọi là cách tiếp cận chính. Trái lại, trong cách tiếp cận tương phản, ta so sánh các khả năng thay thế cặp đối cặp, và ta biểu diễn với một số lượng của mức độ ưu tiên của một khả năng thay thế hơn các khả năng thay thế khác, theo một tiêu chuẩn (định giá tương đối). Tất cả các quan hệ ưu tiên này khi đó được gộp (cộng tất cả) lại để tính vào tất cả các tiêu chuẩn. Trong quá trình kết hợp, tính chất bắc cầu (theo nghĩa thông thường hoặc nghĩa max-min) thường bị bỏ qua nhiều nhất, vì vậy kết quả là một thứ tự không hoàn chỉnh của các khả năng thay thế. Cách tiếp cận này được phát triển về cơ bản bởi Roy (các phương pháp ELECTRE) với các quan hệ rõ thông thường, và sau đó bởi Fodor và Roubens với các quan hệ ưu tiên mờ. Tuy nhiên, cũng trong cách tiếp cận thứ hai, chúng ta cần một công cụ cho việc kết hợp mà mặc dù có thể có một vài đặc trưng, đại khái đòi hỏi các tính chất như nhau giống các toán tử kết hợp của cách tiếp cận chính. Do chủ đề chính của ta ở đây là sự kết hợp, ta có thể tiến hành như nhau theo một hoặc nhiều cách tiếp cận, nhưng ta lựa chọn ở đây cách tiếp cận lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính. Một lí do là để các kết quả quan trọng đã sẵn sàng đưa vào khuôn mẫu này, liên quan đến sự độc lập ưu tiên và tính cộng tính của độ đo mờ. Các tích phân mờ và các độ đo mờ Trong phần này, ta trình bày các định nghĩa cơ bản cần thiết. Các định nghĩa của các độ đo mờ và các tích phân sẽ được trình bày trong các trường hợp giới hạn của không gian hữu hạn, ta đề cập ở đây các không gian tiêu chuẩn mà hữu hạn (theo cách thông thường). Các định nghĩa sau đây lợi dụng khái niệm của không gian đo được mà một cặp (X, X), trong đó X thông thường là một - algebra (đại số) trong một không gian X. Do ta đề cập đến các không gian hữu hạn, ta sẽ xem xét để X đơn giản là tập mạnh X. Ta giả định rằng . 2.1 Các độ đo mờ Định nghĩa 3. Một độ đo mờ định nghĩa trên không gian đo được (X, X) là một hàm thiết lập thỏa mãn các tiên đề sau: (i). Đây là qui ước thông thường, mặc dù nói chung có thể là con số hữu hạn (không hữu hạn) dương bất kỳ. (ii) (monotonicity). Tính đơn điệu coi là một không gian có độ đo mờ. Chú ý rằng tiên đề cộng tính thông thường đối với các độ đo xác suất , đã được thay thế bởi một tiên đề yếu hơn: tính đơn điệu. Các độ đo mờ bao gồm như là các độ đo xác suất các trường hợp riêng, các độ đo xác suất và cần thiết, các hàm tin cậy và đáng tin cậy... Một lớp đáng quan tâm của độ đo mờ được xem xét sau đây. Định nghĩa 4: (Weber). Cho là một t-conorm và một độ đo mờ. coi là -decomposable (phân tích được) nếu mỗi khi . Một độ đo khả năng là -một độ đo phân tích được, và một độ đo xác suất là -một độ đo phân tích được, trong đó cho biết tổng chặn . Khi là Archimedean với tiền đề g, Weber phân biệt giữa ba loại độ đo phân tích được , cụ thể là: (S): là một t-conorm ngặt, do đó là một độ đo cộng tính vô hạn ( là hữu hạn). (NSA): là một t-conorm không ngặt (lũy linh) và là một độ đo cộng tính hữu hạn ( là hữu hạn). (NSP): là một t-conorm không ngặt và là một độ đo giả cộng tính hữu hạn theo nghĩa mà = có thể xảy ra đối với một họ của các tập con tách rời. 2.2 Các tích phân mờ Lúc này, ta đưa ra khái niệm của các tích phân mờ. Ta xem xét các tích phân mờ với các toán tử trên , ta thu hẹp các định nghĩa tới đoạn -các hàm trị số. Định nghĩa 5. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân Sugeno của một hàm theo được định nghĩa: , trong đó cho thấy các chỉ số đã được hoán vị để , và . Định nghĩa cơ bản của dựa trên min và max được mở rộng bởi một vài tác giả, sử dụng các t-conorm. Một định nghĩa thông dụng được đề cập tiếp theo. Định nghĩa 6. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân tựa Sugeno của một hàm theo được định nghĩa: T, với T là t-norm bất kỳ. Định nghĩa này do Weber khỏi xướng. Một nghiên cứu kỹ lưỡng của Murofushi và Sugeno cho thấy định nghĩa này là sự tổng hợp chung có ý nghĩa nhất của cả max và các toán tử khác. Để phân biệt với các định nghĩa hệ quả, nó được gọi là tích phân tựa Sugeno. Một định nghĩa khác biệt hoàn toàn được Murofushi và Sugeno đưa ra sử dụng một hàm định nghĩa bởi Choquet trong lý thuyết sức chứa (functional defined by Choquet in capacity theory). Định nghĩa 7. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân Choquet của một hàm theo được định nghĩa: với các chú giải tương tự như trên, và . Lúc này ta tiến tới để định nghĩa các tích phân t-conorm mờ, một khái niệm tổng quát hơn bao gồm hầu hết tất cả các loại của các tích phân mờ. Để tránh các khai triển không cần thiết và để tập trung vào vấn đề phân tích đa tiêu chuẩn, ta sẽ giới hạn đôi chút định nghĩa các tích phân t-conorm mờ. Định nghĩa 8. Cho là một cặp của các t-conorm Archimedean các hàm tiền đề của nó lần lượt là h,g,với g(1)=1, ví dụ một t-conorm lũy linh, và một không gian có độ đo mờ. Tích phân t-conorm mờ của hàm f dựa trên F theo được định nghĩa: Nhận thấy rằng tích phân Choquet được bù lại với . Chú ý rằng khi không là Archimedean, các tích phân tựa-Sugeno (quasi-Sugeno) không được bù lại theo định nghĩa này, nhưng điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định nghĩa tổng quát. 2.3 Các tính chất của các tích phân mờ Lúc này ta đưa ra một vài tính chất của các tích phân mờ, có tác dụng đối với sự suy diễn logic. Tính chất 1 (tính lũy đẳng). Mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, Tính chất 2. Cho độ đo riêng định nghĩa theo cách X, , và ( định nghĩa theo cách X, , và ), quy về toán tử cực tiểu (cực đại) (tính chất giống nhau với tích phân tựa Sugeno) Tính chất 3 (Tính đơn điệu đối với hàm dưới dấu tích phân). Cho hai hàm f, f’ trên X và một độ đo trên . Khi đó với mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, với mọi . Tính chất 4 (Tính đơn điệu đối với độ đo). Cho là hai độ đo trên . Khi đó với mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, với mọi . Tính chất 5. Sử dụng các tính chất 2 và 4, ta có thể suy ra . Tính chất 6. Với mọi độ đo cộng tính, tích phân Choquet quy về tích phân Lebesgue thông thường, ví dụ . Tính chất 7. Tích phân Sugeno là một trung vị (xem định nghĩa 10): với như trước. Kết quả này được thiết lập bởi Kandel và Byatt. Tính chất 8 (Tính liên tục). Với mọi độ đo mờ, các tích phân mờ là các hàm liên tục, ví dụ với mọi dãy của hàm trên X ta có . Tính chất 9 (Tính đối ngẫu, những người khác Grabisch). Mọi mà là lũy linh cả hai, , trong đó là một toán tử sai phân định nghĩa theo cách , trong đó h là tiền đề của là đối ngẫu của , định nghĩa theo cách . Tính chất 10 (Tính đối ngẫu, những người khác Grabisch). Tích phân Sugeno thỏa mãn quan hệ đối ngẫu sau đây: , trong đó là độ đo đối ngẫu (thông thường) của , ví dụ . Chú ý rằng các tích phân tựa Sugeno với không thỏa mãn tính chất này. Khảo sát các toán tử kết hợp phổ biến. Ta trở lại bài toán lựa chọn một toán tử kết hợp phù hợp H. . Trước khi liệt kê toán tử phổ biến nhất ta cố gắng để thể hiện tất cả các tính chất kỳ vọng của các toán tử như vậy, trong ngữ cảnh của ra quyết định đa tiêu chuẩn, sử dụng cách tiếp cận chính như giải thích ở trên. Điều này cần phải nhớ, do các tính chất yêu cầu có thể khác theo những cái được kết hợp: các mức độ ưu tiên, các ước lượng tuyệt đối, các ràng buộc, các ý kiến chuyên gia,… Trước khi bàn kỹ hơn, ta đưa ra nhận xét về miền của số học được kết hợp. Trong lý thuyết thỏa dụng, là các số thực, hoặc dương hoặc âm, nhưng nó được hiểu rằng được định nghĩa theo một phép biến đổi tuyến tính dương. Do vậy ta có thể cho rằng miền trong đoạn [0,1] không mất tính tổng quát. Điều này là sự giả định cần thiết khi đề cập đến các toán tử định nghĩa trên khoảng đơn vị, như các t-norm, tựa Sugeno hoặc các tích phân t-conorm mờ. Liên quan đến trường hợp tích phân Choquet, hàm dưới dấu tích phân có thể là hàm số thực bất kỳ, do định nghĩa của nó có thể dễ dàng được mở rộng cho các hàm âm. 3.1 Các yêu cầu trên các toán tử kết hợp Ta nghĩ rằng nó có lợi để nhấn mạnh là tính chất đáng xem xét nhất mà thực tế yêu cầu , trong đó x, y là các vector của X, các thành phần của nó lần lượt là . Các tính chất khác đơn thuần chỉ là hệ quả của tiên đề cơ bản này. Ở đây là sức mạnh của khuôn mẫu lý thuyết thỏa dụng. Ta đưa ra danh sách các thăm dò sau. (1) Các tính chất toán học sơ cấp. Các thứ sau đây là các quy tắc chung: Nếu 0 và 1 là các giá trị cực trị, thì , . Một quy tắc mạnh là tính lũy đẳng (I): . Tính liên tục Tính đơn điệu (M) (thường không giảm) đối với mỗi đối số. Tính giao hoán (hoặc tính chất trung lập) (N) có thể cần đến nếu tiêu chuẩn là khác nhau. Tuy nhiên, điều này là tự nhiên trong thủ tục biểu quyết hơn trong ra quyết định đa mục tiêu. Chú ý rằng tính đơn điệu và tính lũy đẳng đơn giản để nằm giữa min và max: như vậy, các t-norm và các t-conorm bị loại trừ. Tính kết hợp có thể cần đến, nhưng điều này mâu thuẫn với tính lũy đẳng: Các toán tử kết hợp và lũy đẳng tốt nhất là các trung vị (xem ở dưới). (2) Các tính chất toán học phức tạp hơn. Một vài thứ thuộc về chúng thông thường được yêu cầu trong các bài toán đo lường và định giá. Tính phân tích được (D): , trong đó đối với tất cả . Chỉ số trên (n) cho biết số các đối số của . Tính chất liên kết theo thứ tự (OL): Tính chất này được những người khác Fodor đưa ra là H (n+1)( H (n)(), H (n)(),…, H (n)()) = H (n)( H (n+1)(), H (n+1)(),…, H (n+1)()) Tính chất nối kết theo thứ tự với phép hoán vị (OLP): Tính chất này Grabisch đưa ra là H (n+1)( H (n)(), H (n)(),…, H (n)()) = H (n)( H (n+1)(), H (n+1)(),…, H (n+1)()), G. là một chú thích có nghĩa , ví dụ một phép hoán vị của các chỉ số. G biểu thị tập tất cả phép hoán vị trên một tập đã cho. Nhận xét rằng OLP hàm ý chỉ OL. Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau (SPL): H H . Tính chất này cho thấy thay đổi thang tỷ lệ không thay đổi kết quả. Nó là yếu tố cần thiết trong lý thuyết thỏa dụng vì ui được định nghĩa theo một phép biến đổi tuyến tính dương. Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính với đơn vị giống nhau, comonotonic zeroes (SPLUC): H H G Nhân xét rằng SPLUC hàm ý chỉ SPL. (3) Khả năng biểu diễn các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn nếu điều này là cần thiết. (4) Khả năng biểu diễn hành vi của người ra quyết định. Đương nhiên đây là điều đã đề cập đến, nhưng một cách cụ thể hơn, ở đây ta nói về khuynh hướng của ra quyết định, ví dụ nếu anh là định hướng hội hoặc tuyển. Thực tế, hai người ra quyết định với các hàm lợi ích đơn chiều giống nhau ui, các trọng số như nhau trên các tiêu chuẩn, có thể vẫn có các cách xử lý khác nhau. Ta có thể đưa ra ví dụ hai cách xử lý đặc trưng: tolerant và intolerant. Những người ra quyết định tolerant có thể thừa nhận rằng chỉ một vài tiêu chuẩn (ít nhất một) là được đáp ứng (điều này tương đương tính chất tuyển, ví dụ cực trị của nó là max). Theo cách khác, người ra quyết định intolerant yêu cầu tất cả tiêu chuẩn cũng phải được thỏa mãn (tính chất hội, ví dụ cực trị của nó là min). (5) Khả năng biểu diễn một hiệu ứng bù, hoặc một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Sự bù tồn tại nếu một điểm xấu trên một tiêu chuẩn có thể được bù bởi một điểm tốt trên các tiêu chuẩn khác. Khả năng tương tác khác giữa các tiêu chuẩn là dư thừa (hai tiêu chuẩn là dư thừa nếu chúng biểu diễn tương đối giống nhau)và trợ giúp hoặc củng cố (hai tiêu chuẩn không quá quan trọng khi mà chúng tách rời nhau và trở lên rất quan trọng khi chúng kết hợp với nhau) (6) Khả năng diễn giải một ngữ nghĩa dễ dàng. Các toán tử kết hợp phổ biến Lúc này ta trình bày các giải pháp thông thường cho bài toán kết hợp. Các toán tử lấy trung bình: Chúng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 9. Một toán tử lấy trung bình hoặc toán tử trung bình là một toán tử thỏa mãn tính lũy đẳng, tính giao hoán, và tính không giảm tại mỗi vị trí. Giả sử nhận xét rằng các tính chất này hàm ý là các toán tử trung bình nằm giữa min và max. Một vài tác giả yêu cầu cả tính liên tục, và thực tế là min và max bị loại trừ ra khỏi họ. Các ví dụ thông thường của các toán tử trung bình là trung bình cộng , trung bình nhân , trung bình điều hòa , và họ Dyckhoff-Pedrycz . Một họ quan trọng của các toán tử trung bình mà bao gồm tất cả các ví dụ ở trên, được thiết lập phù hợp với tựa các trung bình cộng: , trong đó f là hàm đơn điệu ngặt liên tục bất kỳ. Họ này được Kolmogoroff mô tả, như là lớp của tất cả các toán tử trung bình liên tục phân tích được. Các trung vị: Chúng là các trường hợp riêng của các toán tử trung bình, định nghĩa như sau. Định nghĩa 10. Xét một dãy của một số lẻ thuộc tập số thực trong đoạn . Khi đó, trung vị của dãy được định nghĩa theo cách , như trước, trong đó . Tức là, số trung bình là giá trị giữa của một dãy sắp thứ tự. Các trung vị là các toán tử trung bình kết hợp đáng xem xét nhất. Dubois và Prade chứng minh rằng một toán tử trung bình kết hợp tất yếu rút ra dạng , trong đó . Do tính kết hợp và tính lũy đẳng là các tính chất có phần đối lập. Phép toán đối xứng: Chúng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 11. coi là một tổng đối xứng nếu và chỉ nếu S là liên tục, không giảm đối với mỗi đối số, giao hoán, thỏa mãn và là tự đối ngẫu,… . Họ này của các toán tử được Siilvert đưa ra, và chúng không là các toán tử trung bình theo nghĩa tổng quát. Phép toán đối xứng có tính chất mà một nghịch đảo của thang tỷ lệ không tác động tới sự định giá. Các toán tử bù: Zimmermann và Zysno, trong một nghiên cứu sử dụng thí nghiệm trên sự ước lượng các kiểu xếp cạnh nhau, đã cho thấy thực tế rằng thủ tục kết hợp có tính người là bù (và do vậy, các t-norm, bao gồm cả min không phù hợp). Ngoài ra, chúng cho thấy trung bình cộng dẫn đến một ước lượng chệch, bởi vì toán tử này không tính vào sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Bởi vậy, Zimmermann và Zysno đã đưa ra cái gọi là - các toán tử là bù được định nghĩa theo cách H trong đó biểu thị tổng xác suất, định nghĩa theo cách . Đại khái, toán tử này là một sự tổ hợp của một t-norm với một t-conorm, cho một tỷ lệ . Ở đây tồn tại nhiều định nghĩa khác nhau của các toán tử bù, phần lớn dựa trên một hỗn hợp các t-norm và các t-conorm, như ví dụ một người khác Hayashi đưa ra, cái này là sự tổ hợp tuyến tính của một t-norm T và t-conorm đối ngẫu của nó S: H , trong đó là một loại toán trung bình định nghĩa theo cách , là các tham số trong [0,1] thỏa mãn Nhiều ví dụ khác có thể thấy ở. Nếu các toán tử bù bị yêu cầu bằng trực giác, chúng bị chậm do một định nghĩa không được dự tính trước, không dựa trên hệ tiên đề của các tính chất. Ta không biết chính xác các tính chất của chúng (trừ sự bù), cũng như trạng thái của chúng trong tập các toán tử; cụ thể, chúng không là các t-norm, các t-conorm, mà cũng không là các toán tử trung bình, mà cũng không là phép toán đối xứng,… Các toán tử trọng số, OWA: Hầu hết các ứng dụng trong quyết định đa tiêu chuẩn yêu cầu các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn, theo đó, hàm ý một mở rộng của các toán tử không trọng số thông thường mà có thể được thực hiện theo một vài cách thức phần nào không bị bó buộc (mũ hóa,…). Các toán tử cực đại và cực tiểu được mở rộng bởi Dubois và Prade, theo một cách mà phù hợp với lý thuyết khả năng. , trong đó các trọng số được bình thường hóa để . Họ tựa các trung bình cộng có thể được tổng quát hóa dễ dàng không bỏ qua các tính chất của nó (trừ tính giao hoán): , trong đó các trọng số được bình thường hóa để . Một lớp đáng quan tâm của các toán tử trọng số là các toán tử (OWA) trung bình trọng số theo thứ tự được Yager đưa ra. Chúng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 12. Cho là một tập các trọng số mà . Toán tử OWA trên được định nghĩa theo cách . Điều này đơn giản là một tổng trọng số với các đối số sắp thứ tự. Như nó được thực hiện với trung bình cộng, ta có thể khái quát hóa định nghĩa: các toán tử tựa OWA được định nghĩa theo cách , trong đó f là hàm đơn điệu. Các toán tử OWA gồm cả min và max (đơn giản lấy đối với max và đối với min). Lợi ích chính của chúng xuất phát từ thực tế là chúng có thể biểu diễn các phép lượng hóa không rõ ràng, như ví dụ: “ít nhất một vài tiêu chuẩn phải được thỏa mãn”, điều này có thể được mô hình bằng khi n = 5. Gần đây, những người khác Foder mô tả các toán tử OWA theo hai cách khác nhau. Chúng biểu diễn như sau. Định lý 1. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng, tính ổn định và liên kết theo thứ tự đối với phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau. Định lý 2. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng và tính ổn định đối với phép biến đổi tuyến tính dương, đơn vị giống nhau, các số không độc lập (independent zeroes) và các giá trị theo thứ tự (ví dụ SPLUC với duy nhất ). Tích phân mờ như một công cụ kết hợp mới Có thể thấy rằng các giải pháp hiện tại để kết hợp các tiêu chuẩn gặp nhiều trở ngại. Tóm tắt, chúng có thể dễ dàng giải thích được trên một quan điểm về ngữ nghĩa, như tổng (trọng số), min và max (trọng số), OWA, và trong trường hợp này chúng quá giới hạn, quá cụ thể, hoặc chúng bao trùm một phạm vi rộng hơn nhưng ta không thể giải thích chúng (tựa trung bình cộng, các toán tử bù, …), ví dụ, mối liên hệ các tham số của các toán tử với kiểu hành vi (the kind of behaviour). Thứ hai là không ai có vẻ có khả năng trong việc trình bày vài cách dễ hiểu một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Để khắc phục những điểm yếu này, ta đưa ra giá trị của các tích phân mờ. Toàn bộ mục này được dành hết cho sự chứng minh là đúng của một đề xuất như vậy, theo các quan điểm khác nhau: các tính chất của các tích phân mờ tuân theo sự kết hợp, sự mô tả, các quan hệ với các toán tử kết hợp hiện tại, và các toán tử tương đương, theo một hướng mà sẽ được định nghĩa dưới đây. Một cách cụ thể, ta cho , trong đó là tích phân mờ bất kỳ, hoặc tựa Sugeno, Choquet hoặc tích phân t-conorm mờ. là độ đo mờ bất kỳ, định nghĩa trên tập các tiêu chuẩn . Độ đo mờ đại diện cho các trọng số trên các tiêu chuẩn, hoặc trên các tiêu chuẩn riêng lẻ (theo nghĩa ), hoặc trên nhóm các tiêu chuẩn bất kỳ (ví dụ ): đây là điểm then chốt về các tích phân mờ, mà có thể chúng biểu diễn tương tác giữa các tiêu chuẩn. Điểm này sẽ được nói đến trong phần cuối của mục này. Các tính chất đối với sự kết hợp Ta khảo sát lần lượt các tính chất yêu cầu đối với sự kết hợp. Tính lũy đẳng: Đây là tính chất 1. Tính liên tục: Đây là tính chất 8. Tính không giảm: Đây là tính chất 3. Tính giao hoán: Không tổng quát, do các tích phân mờ là các toán tử trọng số. Những điều sau đây có thể được chứng minh. Định lý 3. Cho hoặc là một tích phân tựa Sugeno hoặc là một tích phân t-conorm mờ. Khi đó, là giao hoán nếu và chỉ nếu thỏa mãn như là , trong đó cho biết lực lượng của A. Tính kết hợp: Nó có thể được chứng minh là chỉ tích phân Sugeno với một độ đo mờ với là kết hợp (xem thêm mục 5.3.1). Tính phân tích được: Với mọi tích phân t-conorm mờ hoặc tích phân Choquet theo một độ đo cộng tính (xem mục 5.3.3). Liên kết theo thứ tự với phép hoán vị: Nó có thể được biểu diễn để tích phân t-conorm mờ bất kỳ và tích phân tựa Sugeno bất kỳ thỏa mãn tính chất này (và như vậy cũng liên kết theo thứ tự). Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính dương với đơn vị giống nhau, comonotonic zeroes: Tích phân Choquet bất kỳ thỏa mãn tính chất này. Các tích phân mờ khác thỏa mãn các tính chất giống nhau: Tích phân tựa Sugeno thỏa mãn SPLUC với T và max thay cho tích số và min, và các tích phân t-conorm mờ với là lũy linh với tiền đề h, xác minh tính chất với thay cho tích số và tổng số. là phân phối t-conorn duy nhất với , định nghĩa theo cách . Các trọng số trên các tiêu chuẩn: Rõ ràng. Cách hoạt động của ra quyết định: Các tích phân mờ có thể trải rộng tự do giữa min và max (xem tính chất 5). Hiệu ứng bù, sự tương tác: Các tích phân mờ rõ ràng là bù vì chúng trải rộng giữa min và max, xem ở dưới. Liên quan đến tương tác giữa các tiêu chuẩn, Giải thích ngữ nghĩa: Các tính chất có trước, plus characterization (xem mục 5.2), mối quan hệ với các toán tử hiện tại (xem mục 5.3), và cách thức của mô hình các tương tác (xem 5.5) cho thấy các dấu hiệu rõ ràng