Đề tài Tích phân mặt

NỘI DUNg I. Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt II. Bài tâp tích phân măt II.1.Bài tập trong ngân hàng đề II.2.Bài tập ngoài ngân hàng đề NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… MỤC LỤC I. Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt…………..4 I.1 Tích phân mặt loại ……………………………………………………...…….4 I.2 Tích phân mặt loại 2………………………………………………..…………9 II. Bài tâp tích phân măt……………………………………………….11 II.1.Bài tập trong ngân hàng đề…………………………………………………11 II.1.Bài tập ngoài ngân hàng đề…………………………………………………25 I. Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt: I.1 Tích phân mặt loại 1: 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên mặt S. Chia S thành n mặt con D S1, D S2, �, D Sn không chồng lên nhau và diện tích tương ứng của các mặt con cũng ký hiệu là D S1, D S2, �, D Sn . Trong mỗi mặt D Si lấy một điểm Mi(xi, yi, zi ) bất kỳ. Lập tổng tích phân: Khi cho max {d(D Si) } -> 0 (d(D Si) : đường kính của mặt D Si ), nếu tổng tích phân Sn tiến tới 1 giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S và cách lấy các điểm Mi thì giới hạn đó gọi là tích phân mặt loại 1 (còn gọi là tích phân mặt theo diện tích của hàm f(x,y,z) trên mặt S ) và ký hiệu : Khi đó ta nói f khả tích trên S. Mặt S được gọi là mặt trơn nếu hàm vectơ pháp tuyến liên tục và khác 0 trên S. Đã chứng minh được rằng : nếu f(x,y,z) liên tục trên mặt cong trơn S thì tích phân mặt loại 1 của f(x,y,z) trên S tồn tại. 2. Tính chất Từ định nghĩa ta có các tính chất sau: Nếu f, g khả tích trên S, thì kf+g cũng khả tích trên S và : Nếu S được thành 2 phần S= S1+S2 thì : Diện tích mặt S được tính là : 3. Cách tính tích phân mặt loại 1 Giả sử mặt S có phương trình z= z(x,y), với hàm z(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa hình chiếu D của S xuống mặt phẳng xy. Ta tính gần đúng D Si bằng mảnh phẳng tiếp xúc tương ứng (chương 1) ta có : Trong đó D Di là diện t ích hình chiếu của D Si xuống mặt phẳng xy. Như vậy ta có tổng tích phân mặt loại 1 là : Vế phải là tổng tích phân kép, khi qua giới hạn ta có: Như vậy tích phân mặt loại 1 được biểu diễn ở dạng tích phân kép trên hình chiếu. Khi lấy f =1 ta lại có công thức tính diện tích mặt cong ở chương 1 Thí dụ 1: Tính S là mặt biên vật thể W : x2+y2 £ z £ 1 Vật thể W là hình nón, nên S bao gồm 2 mặt S = S1 + S2, trong đó S1 = mặt nón , S2 : mặt đáy của hình nón, tuy nhiên S1, S2 cùng có hình chiếu là mặt tròn : x2 + y2 £ 1. Vì thế ta có : Với mặt nón S1 : z = à à Với mặt đáy S2 : z = 1, ds = dxdy, cho nên Vậy: I = Thí dụ 2: Tính S là các mặt hình lập phương:0£ x £ 1, 0£ y £ 1, 0£ z £ 1 (Hình 5.1 ) Do S là 6 mặt của hình lập phương, nhưng xyz =0 trên 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ ( xy, xz, yz), nên ta chỉ cần tích phân trên các mặt a), b), c) trên (hình 5.1) : Mặt a) : z=1, D: hình vuông : 0£ x,y £ 1 trong mặt xy, nên : Tương tự ta có : Vậy I = 4. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 Cho mặt S có khối lượng riêng theo diện tích là d (x,y,z) tại điểm (x,y,z). Khi đ� : Khối lượng của mặt S là : Moment tĩnh đối với c�c mặt tọa độ của mặt S là: Tâm khối lượng của mặt S là điểm c� tọa độ :  Moment quán tính đối với trục Ox, Oy, Oz , với góc O và đường thẳng D là: Trong đó r(x,y,z) là khoảng cách từ điểm M(x,y,z) tới đường thẳng D . Thí dụ 3: Tìm trọng tâm của nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a, với khối lượng riêng d = hằng số. Gọi M(x,y,z) là trọng tâm của nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a. Khi đó có phương trình mặt cầu là S : x2 + y2 + z2 = a2, z ³ 0. Do tính đối xứng nên x = 0, y =0. ta chỉ cần tính z theo công thức S là diện tích nửa mặt cầu bán kính a: S=2p a2 , và D là hình tròn bán kính a, hình chiếu của mặt cầu trên mặt phẳng xy à Trọng tâm có tọa độ: ( I.2 Tích phân mặt loại 2: II. Bài tâp tích phân măt: II.1.Bài tập trong ngân hàng đề: Câu 52/76: Tính tích phân mặt loại một: I=ds trong đó s là mặt z=3, 0≤x≤1, 0≤y≤2. Bg: Ta có: z=3 èz’x=0è(z’x)2=0 èz’y=0è(z’y)2=0 I=ds=3dxdy=301dx02dy=3 x|10 y|10=31-02-0=6 Câu 53/77: Tính: I=2x-2y+zds trong đó s là mặt 2x-2y+z-2=0, 1≤x≤2, 0≤y≤2 Bg: Ta có: 2x-2y+z-2=0 èz=2-2x+2y (1) èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=-2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I ta được: I=(2x-2y+2-2x+2y)1+4+4 dxdy =6dxdy=612dx02dy=6 x|21 y|20=6 2-12-0=12 Câu 54/77: Tính tích phân mặt loại một I=ds, trong đó s là mặt z=2x, 0≤x≤1,0≤y≤2 Bg: Ta có: z=2x èz’x=2è(z’x)2=4 èz’y=0è(z’y)2=0 I=ds=2x1+4+0 dxdy=25 2x1+4+0 dxdy=25 xdxdy ==2501xdx02dy=25 x2210y20=25 12-02-0=25 Câu 55/77: Tính tích phân măt loại một I=xyds, trong đó s là mặt z=2x, 0≤x≤1,0≤y≤2 Bg: Ta có: z=2x èz’x=2è(z’x)2=4 èz’y=0è(z’y)2=0 I= xyds=xy1+4+0 dxdy=5 0`xdx02ydy=5 x2210 y2220=512-042-0=5 Câu 56/77: Tính tích phân mặt loại một: I=xy+y2+yzds trong đó s là mặt x+y+z=1,0≤y≤1, 0≤z≤2 Bg: Ta có: x+y+z=1 èx=1-y-z (1) èx’y=-1è(x’y)2=1 èx’z=-1è(x’z)2=1 Thay (1) vào I ta được: I=(1-y-zy+y2+yz1+1+1dydz=y-y2-yz+y2+yz3 dydz=3 01ydy02dz=3 y2210 z20= 3 12-02-0=3 Câu 57/77: Tính tích phân mặt loại một: I=ds, trong đó s là mặt z=2, x2+y2≤4 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤2 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: z=2 èz’x=0è(z’x)2=0 èz’y=0è(z’y)2=0 I=202π02J1+0+0dφdr=202πdφ02rdr=2 φ|2π0 r22|20=22π-042-0=8π Câu 58/77: Tính tích phân mặt loại một: I=ds , trong đó s là mặt s x=4, y2+z2≤6 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤6 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: x=4 èx’z=0è(x’z)2=0 èx’y=0è(x’y)2=0 I=202π06J1+0+0dφdr=402πdφ06rdr=4 φ|2π0 r22|60=42π-062-0=24π Câu 59/77: Tính tích phân mặt loại một: I=x2-xz+1ds, trong đó s là mặt z=x, x2+y2≤1 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: z=x èz’x=1è(x’z)2=1 èz’y=0è(z’y)2=0 Thay z=x vào I ta đươc: I=ds I=02π01J1+1+0dφdr=202πdφ01rdr=2φ|2π0 r22|10=22π-012-0=2π Câu 60/77: Tính tích phân mặt loại một: I=xds , trong đó s là mặt x+y+z=0, x2+y2≤1 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: x+y+z=0èz=-x-y èz’x=-1è(x’z)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 I=02π01rcosφ J 1+1+1dφdr=302πcosφ dφ01r2dr=0 Câu 61/78: Tính I=x+y+zds , trong đó s là mặt 2x+2y+2z-1=0, x+y≤4; x≥0,y≥0 Bg: Ta có: 2x+2y+2z-1=0 èz=12-x-yè x+y+z=12 (1) èz’x=-1è(z’x)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Ta có: 0≤x≤4 0≤y≤4-x Thay (1) vào I ta được: I= 0404-x121+1+1 dxdy=31204dx04-xdy=312 04y|4-x0dx =312 04(4-x)dx=312 (4x-x22)|40=312 8-0=43 Câu 71/79: Tính tích phân mặt loại một: I=xyzds , trong đó s là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1] Bg: Chia z thành 2 mặt z=0, z=1 Ta được: A=0+xydxdy=01dx01xydy=01xy2210dx=0112xdx=x2410=14 èI =3A=314=34 Câu 72/79: Tính tích phân mặt loại một: I=xyds , trong đó s là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1] Bg: Chia z thành 2 mặt z=0, z=1 Ta được: A=xydxdy=01dx01xydy=01xy2210dx=1201xdx=12 x2410=14 èI =6A=614=32 Câu 73/79: Tính: I=x+y+zds trong đó s là mặt x+y+z=2, 0≤x≤1, 0≤y≤1 Bg: Ta có: x+y+z=2 èz=2-x-y (1) èz’x=-1è(z’x)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được: I=(x+y+2-x-y)1+1+1 dxdy =23dxdy=2301dx01dy=23x|21 y|20=23 1-01-0 =23 Câu 74/79: Tính: I=x+y+zds trong đó s là mặt x+y+z=1, 0≤x≤1, 0≤y≤1 Bg: Ta có: x+y+z=1 èz=1-x-y (1) èz’x=-1è(z’x)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được: I=(x+y+1-x-y)1+1+1 dxdy =3dxdy=301dx01dy=3x|21 y|20=3 1-01-0 =3 Câu 75/79: Tính: I=x+y+zds trong đó s là mặt x+y+z=2, 0≤x≤1, 0≤y≤1,z≥0 Bg: Ta có: x+y+z=1 èz=1-x-y (1) èz’x=-1è(z’x)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được: I=(x+y+1-x-y)1+1+1 dxdy =3dxdy=301dx01dy=3x|21 y|20=3 1-01-0 =3 Mà ta có z≥0èI=32 Câu 81/80: Tính diện tích s của mặt 2x-2y+z=1, 0≤x≤1,0≤y≤2 Bg: Ta có: 2x-2y+z=1 èz=1-2x+2y (1) èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I=ds ta được: I=1+4+4 dxdy =301dx02dy=3 x|10 y|20=31-02-0=6 Câu 83/80: Tính diện tích s của mặt x2+y2≤2x, z=2 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤2cosφ y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có I =ds=202π02cosφrdrdφ=202πr22|2cosφ0=202π(2cosφ)22dφ=402πcos2φdφ=4.4.w=4.4.12.π2=4π Câu 85/80: Tính diện tích s của mặt x24+y29≤1, z=2 Bg: Ta có:ds=a.b.π.z=2.3.π.2=12π Câu 89/81: Tính diện tích s của mặt 2x+2y-z-1=0, 0≤x≤2,1≤y≤3 Bg: Ta có: 2x-2y-z-1=0 èz=2x+2y-1 (1) èz’x=2è(z’x)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I=ds ta được: I=1+4+4 dxdy =302dx13dy=3 x|20 y|31=32-03-1=12 Câu 94/81: Tính diện tích s của mặt 2x+2y+z=1, 0≤x≤2,0≤y≤4 Bg: Ta có: 2x+2y+z=1 èz=1-2x-2y (1) èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=-2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I=ds ta được: I=1+4+4 dxdy =302dx04dy=3 x|20 y|40=32-04-0=24 Câu 62/78: Tính I=x+4y+2zds, trong đó s là mặt x+4y+2z-2=0, 1≤x2+y2≤2 Bg: Ta có: x+4y+2z-2=0 è z=2-x-4y2 (1) èz’x=-12è(z’x)2=14 èz’y=-2è(z’y)2=4 Đặt x=rcosφ 1≤r≤2 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Thay (1) vào I ta đươc: I=(x+4y+2.2-x-4y2)r1+14+4 drdφ=(x+4y+2-x-4y)r214drdφ=21 r22|21 φ|2π0=21 1-122π-0=21π Câu 63/78: Tính I=x+2y+zds, trong đó s là mặt x+2y+z-2=0,x+y ≤1,x≥0,y≥0 Bg: Ta có: x+2y+z-2=0 è z=2-x-2y (1) èz’x=-1è(z’x)2=1 èz’y=-2è(z’y)2=4 Cố định x: 0≤x≤1 0≤y≤1-x Thay (1) vào I ta đươc: I=(x+2y+2-x-2y)1+1+4 dxdy=26dxdy=26 01dx01-xdy=26 01y|1-x0dx=26 (x-x22)|10=26 1-12=6 Câu 64/78: Tính I=3x-4y+zds, trong đó s là mặt 3x-4y+z-3=0, x2+y2≤1 Bg: Ta có: 3x-4y+z-3=0 è z=3-3x+4y (1) èz’x=-3è(z’x)2=9 èz’y=4è(z’y)2=16 Đặt x=rcosφ 1≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Thay (1) vào I ta đươc: I=(3x-4y+3-3x+4y))r1+9+16 drdφ=326rdrdφ=326 r22|21 φ|2π0=326 122π=326 π Câu 65/78: Tính I=3xds, trong đó s là mặt z-x=0,x+y ≤1,x≥0,y≥0 Bg: Ta có: z-x=0 è z=x(1) èz’x=1è(z’x)2=1 èz’y=0è(z’y)2=0 Cố định x: 0≤x≤1 0≤y≤1-x Ta có: I=3x1+1+0 dxdy=32dxdy=32 01dx01-xdy=32 01y|1-x0dx=32 (x-x22)|10=32 1-12=322 Câu 66/78: Tính I=2x2-xy+3ds, trong đó s là mặt y=2x, x2+z2≤1 Bg: Ta có: y=2x (1) èy’x=2è(z’x)2=4 èy’z=0è(z’y)2=0 Đặt x=rcosφ 1≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Thay (1) vào I ta đươc: I=(2x2-x.2x+3)r1+4+0 drdφ=35rdrdφ=35 r22|10 φ|2π0=35 122π=35 π Câu 96/81:Tính tích phân mặt loại 2 I=zdxdy trong đó s là mặt trên của mặt 0≤x≤2;0≤y≤2 ;z=2 Bg: Chiếu s xuống mặt phẳng oxyèsOxy I=soxy2 dxdy=2 (x|20)y20=8 Câu 97/82:Tính tích phân mặt loại 2 :I=zdxdy trong đó s là mặt trên của mặt 0≤x≤2;0≤y≤3 ;z=1 Bg: Chiếu s xuống mặt phẳng oxyèsOxy I=soxy dxdy= (x|20)y30=6 Câu 98/82: Tính tích phân mặt loại 2, I=dxdy, trong đó s là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (2/3,-2/3,1/3) của mặt 2x-2y+z=1, 0≤y≤3,0≤x≤2 Bg: Ta có: 2x-2y+z=1 è z=1-2x+2y èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 I=13ds=sOxy131+4+4 dxdy=13.303dy02dx=y30 x20=6 Câu 99/82:Tính tích phân mặt loại 2 I=zdxdy trong đó s là mặt trên của mặt x+y≤1,x≥0;0≤y≤1;z=2 Bg: Cố định y: 0≤y≤1 0≤x≤1-y I=2 dydx=2 (01dy01-y dx=201(1-y)dy; I=2(y-y22)|10=1 Câu 100/82: Tính tích phân mặt loại 2, I=dxdy, trong đó s là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (-2/3,2/3,-1/3) của mặt -2x+2y-z=2, x+y≤1,x≥0 0≤y≤1 Bg: Ta có: -2x+2y-z=2 è z=2y-2x-2 èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 Cố định y: 0≤y≤1 0≤x≤1-y I=-13ds=sOxy-131+4+4 dxdy=-13.301dy01-ydx=-101(1-y)dy=-1y-y22|10=-12 II.2.Bài tập ngoài ngân hàng đề: Câu 1: Tính tích phân mặt loại một: I=(6x-6y+3z )ds , trong đó s là mặt 2x-2y+z-2=0, x2+y2≤4 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤2 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: 2x-2y+z-2=0èz=-2-2x+2y (1) èz’x=-2è(x’z)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I ta được: I=(6x-6y+3(2-2x+2y)1+4+4 dxdy I=602π02J 1+4+4dφdr=1802πdφ02rdr I=18(φ|2π0 r22|20)=18(2π-0)(42-0)=72π Câu 2: Tính tích phân mặt loại một: I=(7x-6y+3z)ds , trong đó s là mặt 2x-y+z-2=0, x2+y2≤1 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: 2x-2y+z-2=0èz=2-2x+2y(1) èz’x=-2è(x’z)2=4 èz’y=2è(z’y)2=4 Thay (1) vào I ta được: I=(7x-6y+3(2-2x+2y)1+4+4 dxdy I=02π02(x+6)J 1+4+4 dφdr I=602π01rcosφ J 9dφdr=1802πcosφ dφ01r2dr=18(sinφ|2π0 r3310 I=18(sin2π-sin0)(13-0)=0 Câu 3: Tính tích phân mặt loại một: I=ds , trong đó s là mặt 3x+4y+z=0, x2+y2≤6 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤6 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: 3x+4y+z=0èz=-3x-4y èz’x=-3è(x’z)2=9 èz’y=-4è(z’y)2=16 I=02π06J1+9+16dφdr=2602πdφ06rdr=26φ|2π0 r22|60=262π-062-0 I=6 π26 Câu 4: Tính tích phân mặt loại một: I=yzx+2y+zds trong đó s là mặt x+2y+z=3,0≤y≤2, 0≤z≤2 Bg: Ta có: x=3-2y-z èx’y=-2è(x’y)2=4 èx’z=-1è(x’z)2=1 Vì x+2y+z=3=>I=3yz 1+4+1 dydz I=3602y dy02z dz I=36 (y2220 z2220) I=36(42-0)(42-0)=126 Câu 5: Tính tích phân mặt loại một: I=2x+y+zds trong đó s là mặt x+y+z=0,0≤x≤1, 0≤y≤1 Bg: Ta có: z=-x-y(1) èz’x=-1è(x’z)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được I=(2x+y-x-y)1+1+1 dxdy I=301x dx01dy=3 (x2210 y10) I=3(12-0)(1-0)=32 Vì>=0 nên ta có I=322=34 Câu 6: Tính tích phân mặt loại một: I=ds trong đó s là mặt y=x;0≤x≤1, 0≤y≤1 Bg: Ta có: èz’x=1è(x’z)2=1 èz’y=0è(z’y)2=0 I=dxdy1+1+0=201dx01dy I=2 (x10 y10) I=2(1-0)(1-0)=2 Câu 7: Tính tích phân mặt loại một: I=x+y+2zds trong đó s là mặt x+y+z=2,0≤x≤1, 0≤y≤2 Bg: Ta có: z=2-x-y(1) èz’x=-1è(x’z)2=1 èz’y=-1è(z’y)2=1 Thay (1) vào I ta được I=(x+y+2(2-x-y)1+1+1dxdy I=(-x-y+4)3dxdy I=301(-xy-y22+4y)dx=3 01(-2x+6)dx I= 3(-x2+6x) |10=53 Câu 8: Tính tích phân mặt loại một: I=x+y+zds trong đó s là mặt y+z=0,0≤x≤1, 0≤y≤1 Bg: Ta có: z= -y(1) Thay (1) vào I ta được I=(x+y-y)1+1+0 dxdy I=2xdxdy=2 01x dx 01dy I=2 x22|10 y|10=2 (12-0)(1-0)=22 Câu 9: Tính tích phân mặt loại một: I=2x+y+z, trong đó s là mặt 2x+y+z=2,x2+y2≤1 Bg: Ta có: 2x+y+z=2 èz=2-2x-y (1) èz’x=-2è(x’z)2=4 èz’y=-1è(z’y)2=1 Đặt x=rcosφ 0≤r≤1 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r I=2x+y+2-2x-y r 1+1+4 drdφ =26 r2210 φ2π0=26 12-02π-0=2π6 Câu 10: Tính tích phân mặt loại một: I=ds , trong đó s là mặt 2x+4y+z=0, x2+y2≤6 Bg: Đặt x=rcosφ 0≤r≤6 y=rsinφ 0≤φ≤2π è|J|=r Ta có: 2x+4y+z=0èz=-2x-4y èz’x=-2è(x’z)2=4 èz’y=-4è(z’y)2=16 I=02π06J1+4+16dφdr=2102πdφ06rdr=21φ|2π0 r22|60=212π-062-0 I=6 π21 Câu 11: Tính tích phân mặt loại một: I=ds trong đó s là mặt z=4, 0≤x≤1, 0≤y≤2. Bg: Ta có: z=4 èz’x=0è(z’x)2=0 èz’y=0è(z’y)2=0 I=ds=4dxdy=401dx02dy=4 x|10 y|10=41-02-0=8 Câu 12: Tính: I=3x-3y+zds trong đó s là mặt 3x-3y+z-2=0, 1≤x≤2, 0≤y≤2 Bg: Ta có: 3x-3y+z-2=0 èz=2-3x+3y (1) èz’x=-3è(z’x)2=9 èz’y=3è(z’y)2=9 Thay (1) vào I ta được: I=(3x-3y+2-3x+3y)1+9+9 dxdy =219dxdy=21912dx02dy=219 x|21 y|20=2192-12-0=419 Câu 13: Tính tích phân mặt loại một I=ds, trong đó s là mặt z=3x, 0≤x≤1,0≤y≤2 Bg: Ta có: z=3x èz’x=3è(z’x)2=9 èz’y=0è(z’y)2=0 I=ds=3x1+9+0 dxdy=310 x dxdy =31001xdx02dy=310 x2210y20=310 12-02-0=310 Câu 14: Tính tích phân măt loại một I=xyds, trong đó s là mặt z=3x, 0≤x≤1,0≤y≤2 Bg: Ta có: z=3x èz’x=3è(z’x)2=9 èz’y=0è(z’y)2=0 I= xyds=xy1+9+0 dxdy=10 01xdx02ydy=10 x2210 y2220=1012-042-0=10 Câu 15: Tính tích phân mặt loại một: I=xy+y2+yzds trong đó s là mặt x+y+z=2,0≤y≤1, 0≤z≤2 Bg: Ta có: x+y+z=2 èx=2-y-z (1) èx’y=-1è(x’y)2=1 èx’z=-1è(x’z)2=1 Thay (1) vào I ta được: I=(2-y-zy+y2+yz1+1+1dydz=2y-y2-yz+y2+yz3 dydz=23 01ydy02dz=23 y2210 z20= 23 12-02-0=23 Câu 16:Tính I= trong đó s là mặt x+2y+2z-2=0;1+ Ta có x+2y+2z-2=0 èz=(1) èz’x=èx= èZ’y=-1èy=1 Đặt x=rcos;1r; y=rsin;0; |J|=r; Thay 1 vao I ta có: I=)|j| drd; I=2dr dr=2(2)()|=3 Câu 17:Tính I= trong đó s là mặt x+4y+z-2=0;x+y;x;y Ta có: x+4y+z-2=0 èz=2-x-4y(1) èz’x=1èx=1 èZ’y=-4èy=16 Cố định x : 0 Cố định y: 0 Thay (1) vào I ta được I= I=2 =2 (y|) I=2=2(x-)| I=2(1-)= Câu 18:Tính I= trong đó s là mặt y= 4x; x2+z2≤1 Ta có y=4x (1) èy’x=4èx=16 èy’z=-0 èy=0 Đặt x=rcos;1r; y=rsin;0; |J|=r; Thay (1) vào I ta được I=|J| I= 3 I=3|=3()(2)=3 Câu 19:Tính I= trong đó s là mặt 3x-2y+z-3=0; Ta có z=3-3x+2y(1) èz’x=-3èx=9 èZ’y=2èy=4 Đặt x=rcos;0r y=rsin;0; |J|=r; Thay (1) vào I ta được: I=|J| drd; I=3=3| I=3(-0)(2)=3 Câu 20:Tính I= trong đó s là mặt z-x=0; x+y=1;x≥0;y≥0 Ta có z-x=0 èx=z Ta có z=2-x-4y(1) èz’x=1èx=1 èz’y=0èy=0 Cố định x : 0 Cố định y: 0 Ta có I ==6 =6 I=6(x-)|=6(1-)=3 Câu 21: Tính I=x2+y2ds S là mặt biên vật thể Ω : x2+ y2 ≤ z ≤1 Bg: Vật thể Ω là hình nón nên S bao gồm 2 mặt S=S1+S2 , trong đó S1 la mặt nón, S2 là đáy mặt nón tuy nhiên S1,S2 có cùng hình chiếu của nặt tròn x2+y2≤1. Vì thế ta có: I= x2+y2ds=s1(x2+y2)ds+s2(x2+y2)ds với mặt nón S1: z=x2+y2 èds = è với mặt đáy S2 :Z=1 ds=dxdy cho nên S2x2+yy2ds=Dx2+y2dxdy=π2 vậy I= π2(1+2) Câu 22: Tính I=yzdxdy=0 với S là mặt phía ngoài giới hạn của vật thể x2+ y2 ≤ R2 , x ≥0 ,y≥ 0, 0≤z≤ b. Mặt S được chia làm 5 mặt 2 đấy s1, s2 hai mặt bên s3, s4 trong các mặt phẳng xy(z=0), zy(x=0) tương ứng và mặt trụ cong s5: Ta có 3 tích phân cuối cùng =0 vì là các mặt trụ có đường sinh song song trục Oz. Trên mặt S1 có z=0 nên : Trên mặt S2 , do z=h, nên : Vậy Câu 23: Tính I=zdxdy, với S là mặt ngoài của mặt cầu x2+y2 +z2 =R2 Giải : Gọi S1, S2 là nửa mặt cầu ứng với z≥ 0, z≤ 0. Ta có z=-R2-x2-y2 S1: D:x2+y2≤R2 Trên S2 z=-R2-x2-y2ta có và khi đưa về tích phân kép thì lấy dấu âm (do vecto pháp tuyến hướg xuống dưới) nên: Vậy : Câu 24: Tính tích phân lấy theo phía ngoài của S là biên hình chóp x≥ 0, y≥ 0. z≥ 0, x+y+z ≤1. Giải: Ta có Chiếu V lên mặt phẳng Oxy được tam giác x+y ≤ 1, x≥ 0, y≥0 Câu 25: Tính I=xyzds, S là các mặt hình lập phương 0≤ x ≤ 1, 0≤ y≤1, 0≤ z≤ 1 Do S là 6 mặt của hình lập phương xyz trên 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ( xy, xz, yz) nên ta chỉ cần tích phân trên các mặt a,b,c Mặt a: x≥0 , y≤ 1 trong mặt xy nên Tương tự ta có b=c=14 Vậy I=3/4 Câu 26: Tính x+y+zds, với S là mặt x+y+z=1, nằm trong góc phần tám thứ nhất Bg: Mặt (S) xác định bởi phương trình z=1-x-y p=δzδx=-1 q=δzδy=-1 Gọi D là hình chiếu của mặt S xuống mặt phẳng Oxy thì: D=x,y:0≤x≤1, 0≤y≤1-x] Khi đó:x+y+zds=(x+y+1-x-y)1+1+1 dxdy=301(01-xdy)dx=3 011-xdx=3 (x-x22)|10=3 1-12=32 Câu 27: Tính I=(1-x2-y2+z)ds, với S là mặt cầu x2+y2+z2 =1 lấy phần nằm ở phía dưới. Bg: Mặt phải S là phần dưới của mặt cầu có phương trình x2+y2+z2 =1 èz=-1-x2-y2 Gọi D là hình chiếu của (S) xuống mặt phẳng Oxy Khi đó: I=1-x2-y2+zds=(1-x2-y2 -1-x2-y2)1+z'x2+z'y2dxdy=0 Câu 28: Tính I=xzdydz+yxdzdx+zydxdy, s là phía ngoài biên của hình chóp x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z≤1 Bg: 0≤z≤1-x-y 0 ≤x≤1 0≤y≤1-x P=xz; Q=yx; R=zy P’x=z; Q’y=x;R’z=y xzdydz+xydxdz+zydxdy=x+y+zdxdydz 0≤z≤1-x-y, 0≤x≤1,0≤y≤1-x I=x+y+zdxdydz=dxdy01-x-yx+y+zdz D=[(x,y): 0≤x≤1,0≤y≤1-x] I=dxdy[x+y1-x-y+z221-x-y0=[x+y+x+y2+1-x-y2]dxdy=[3(x+y)22+12]dxdy=01(01-x[3(x+y)2+12]dy)dx=01(12(x+y)3+y)1-x0dx=01(12-x32+1-xdx=32x-x48-x22|10=78 Câu 29: Tính x2+y2ds, trong đó s là biên của vật thể x2+y2≤z≤1 S=S1∪ S2 S1={z=x2+y2;x2+y2≤1}; S2={z=1;x2+y2≤1}; Gọi D1 D2 lần lượt la hình chiếu của S1 S2 xuống mặt phẳng oxy D1= D2 =x,yx2+y2≤1 =(x2+y2)ds=s1(x2+y2)ds+s2(x2+y2)ds; D(x2+y2)ds1+(xx2+y2)2+(yx2+y2)2 dxdy+ D(x2+y2)1dxdy D(x2+y2)2+(x2+y2x2+y2) dxdy+ D(x2+y2)dxdy D2(x2+y2)dxdy+D(x2+y2)dxdy D(2+1)(x2+y2)dxdy Đặt x=rcosφ;0≤r≤1; y=rsinφ;0≤φ≤2π D(2+1)r2 rdrdφ=02π(01(2+1)r3dr)dφ=02π(2+1)r44|10=π(2+1)2 Câu 30: Tính tích phân mặt loại một: I=xy(2x+2y+z)ds trong đó s là mặt 2x+2y+z=2 , 0≤x≤2, 0≤y≤2. Bg: Ta có: 2x+2y+z=2 èz=2-2x-2y (1) èz’x=-2è(z’x)2=4 èz’y=-2è(z’y)2=4 Ta có thay 1 vao I ta được I=xy(2x+2y-2x-2y+2)1+4+4dxdy I=32xy dxdy=602x dx02y dy=6x22|20 y22|20=642-042-0=24 I=ds=3dxdy=301dx02dy=3 x|10 y|10=31-02-0=6