Đề tài Tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu

MỤC LỤC Trang CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2 LỜI NÓI ĐẦU 3 Chương I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 §1. Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu. 5 §2. Chiều Goldie và CS – môđun. 12 Chương II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17 §1. Môđun giả nội xạ. 17 §2. Môđun giả nội xạ cốt yếu. 24 §3. Môđun nội xạ cốt yếu. 28 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
: A là môđun con của môđun M.
: A là môđun con cốt yếu của môđun M.
: quan hệ thứ tự.
: A là tập hợp con của tập M.
: tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.
: tổng trực tiếp của các môđun.
: phép tương ứng từ N đến M.
: môđun thương của M trên N. : phép nhúng.
: thu hẹp của
trên A.
: môđun N đẳng cấu với M. ( : kết thúc một chứng minh. LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu bởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), A.A.Tuganbaev (1978), Đinh Quang Hải … ; các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, P.F.Smith, R. Wisbauer, N. Er, M.Okado, S.H. Mohamed and B.J.Muller…phát triển, xây dựng mối liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun. Ngoài ra, lớp môđun nội xạ cốt yếu cũng được nghiên cứu và phát triển bởi He Qun. Lần đầu tiên, mối liên hệ giữa môđun nội xạ cốt yếu và hệ phương trình tuyến tính được thiết lập, tạo nền móng cho việc nghiên cứu, xây dựng đặc trưng của các lớp môđun mở rộng khác theo phương trình. Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”. Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bày một cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều. Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương: – Chương I. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn. – Chương II. Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu. Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo phương trình. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sau đại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, các bạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008. Tác giả CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN §1. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON CỐT YẾU Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita. 1.1.1 Định nghĩa – Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu
, nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn
thì X = 0. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi môđun khác 0 của M đều cốt yếu trong M. Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M. Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu K là mở rộng cốt yếu tối đại của B. – Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M. 1.1.2 Tính chất (1)
khi và chỉ khi
. (2) Cho
thì
khi và chỉ khi
và
. (3) Cho
và
thì
. (4) Cho
. Nếu
thì
. Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy môđun con X bất kỳ của N mà
. Do
nên
và
nên X = 0. Vậy
. Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà
. Do
nên
và
. Suy ra Y = 0. Vậy,
. Ngược lại, nếu
và
thì với môđun con X bất kì của M mà
. Đặt
, ta có
, do
nên B = 0
và do

. Vậy
. (3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho
hay
, do

. Vậy
cốt yếu trong K. (4) Lấy
sao cho
. Khi đó,
, từ đây ta suy ra
. Do
nên
hay
. Vậy X = 0 hay
. ( 1.1.3 Bổ đề Cho
là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ((L) cốt yếu trong M. Chứng minh. (() Cho
, thì
sao cho
. Suy ra:
. Do
nên

(( là đẳng cấu). Vậy
. (() Cho
, thì
sao cho
. Do ( đẳng cấu

. Do
nên

. Vậy
. 1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T của M sao cho
. Chứng minh. Đặt
, vì
nên
. Ta sắp thứ tự
theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của
sao cho:
Khi đó
là môđun con của M và dễ thấy B là cận trên của dãy đã cho. Lấy
, suy ra có một số k nào đó sao cho
. Từ đây ta có
. Vậy x = 0 hay
. Do đó, theo bổ đề Zorn,
có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh
. Thật vậy,
thỏa mãn
. Ta có
và
. Nếu có
và
sao cho
thì
, ta suy ra
và
. Như vậy
, ta suy ra
. Do tính tối đại của T nên
. Vậy
. ( 1.1.5 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì
. Chứng minh. Giả sử
sao cho
, ta có
và
. Khi đó:
. Do tính tối đại của K, nên X = K. Vậy
hay
. ( 1.1.6 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M, thế thì: (1) K đóng trong M. (2)
là môđun con cốt yếu của M. Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho
, thế thì, nếu
, do
, K tối đại nên
. Ta có
, vì
, suy ra
. Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M. (2) Suy ra từ 1.1.4. ( 1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun. – Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi môđun con X của N, mọi đồng cấu f :
đều mở rộng thành đồng cấu
, tức là biểu đồ sau giao hoán:
, trong đó i là phép nhúng đồng cấu. – Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ. – Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N. – Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N là M – nội xạ. – Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt yếu trong E(M). 1.1.8 Mệnh đề [3, Proposition 18.12] Cho M là R – môđun trái. Khi đó: (1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M). (2) Nếu
thì E(N) = E(M). (3) Nếu
và Q là môđun nội xạ thì
. (4) Nếu
là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì
. 1.1.9 Mệnh đề Giả sử môđun
là tổng trực tiếp các môđun
. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) M là tựa nội xạ. (2)
là tựa nội xạ và
là
– nội xạ với mọi
. Chứng minh. xem [6, Proposition 1.18]. 1.1.10 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R, mọi đồng cấu
thì tồn tại
để
. Chứng minh. (() Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R,
là đồng cấu môđun. Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ. Do đó, f mở rộng thành đồng cấu
. Đặt
. Khi đó:
thì
. (() Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N. Lấy X là môđun con tuỳ ý của N,
là đồng cấu bất kỳ. Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g* là mở rộng của g. Thật vậy, xét họ
. Ta thấy
. Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:
. Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:
(a) Đặt
. Lấy
, với
Ta định nghĩa
. Dễ dàng kiểm tra được ( là đồng cấu. Khi đó
là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu
. Ta chứng minh
và g* = (. Thật vậy, nếu
. Đặt
(
(do a(B), ta xác định đồng cấu
cho bởi
, trong đó m được xác định như sau: Gọi
. Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R. Xác định đồng cấu
bởi
. Theo giả thiết nên
để
, (x(I. Như vậy, do
, và theo cách xác định của h nên h là mở rộng của (. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của
. Vậy,
và lấy g* = (. Vậy g* là mở rộng của g. ( 1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và
thì M là A – nội xạ và
– nội xạ. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ. Thật vậy, lấy
và
là đồng cấu. Ta cũng có
, do M là N – nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu
. Khi đó
là mở rộng của f trên A hay M là A – nội xạ. Bây giờ ta chứng minh M là
– nội xạ. Lấy
và
là đồng cấu. Gọi
là đồng cấu tự nhiên. Đặt
. Do M là N – nội xạ nên
mở rộng thành đồng cấu
. Ta có:
. Suy ra
. Do đó, tồn tại đồng cấu
sao cho
. Với mọi
, ta có
. Vậy,
là mở rộng của
hay M là
– nội xạ. ( 1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi
với mọi
. Chứng minh. Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi
là đủ.
Giả sử M là N – nội xạ, với
. Đặt
. Dễ thấy X là môđun con của N. Vì M là N – nội xạ,
mở rộng thành đồng cấu
, ta chứng minh
. Thật vậy, giả sử có
và
sao cho
. Khi đó,
nên
. Như vậy,
. Vậy,
và vì
nên
.
Giả sử có
với mọi
. Lấy
và
là đồng cấu. Vì E(M) là nội xạ, nên
mở rộng thành đồng cấu
. Theo giả thuyết
. Vậy,
mở rộng thành đồng cấu
hay M là N – nội xạ. ( 1.1.13 Bổ đề Cho M1 và M2 là các môđun và
. Thế thì, M2 là M1 – nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà
đều tồn tại môđun con K của M sao cho
và
. Chứng minh.
Giả sử M2 là M1 – nội xạ và với mọi môđun con N của M mà
. Gọi
là các phép chiếu. Đặt
. Vì
nên
là đơn cấu và do M2 là M1 – nội xạ nên tồn tại đồng cấu
sao cho
. Lấy
. Với mọi
thì
. Ta có
hay
, từ đây ta suy ra
. Do đó,
. Nếu có
và
sao cho
thì
, nên m1 = 0 và m2 = 0. Như vậy,
. Mặt khác,
. Vậy
.
Giả sử với mọi môđun con N của M mà
đều tồn tại môđun con K của M sao cho
và
. Lấy X là môđun con của M1 và
là đồng cấu. Đặt
. Khi đó H là môđun con của M và hiển nhiên
. Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho
và
. Lấy
là phép chiếu. Đặt
,
thì
. Vậy, g là mở rộng của f, hay M2 là M1 – nội xạ. ( §2. CHIỀU GOLDIE VÀ CS – MÔĐUN Cho môđun M, chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M: (C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (C2) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M. (C3) Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn
, thì
là một hạng tử trực tiếp của M. 1.2.1 Định nghĩa – Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn tính chất (C1), hay nói cách khác, M là CS – môđun nếu mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M. – Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C1) và (C2). – Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Ngược lại, ta nói M có chiều đều vô hạn. 1.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun. Khi đó: (1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M. (2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M. Chứng minh. (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là
, với
. Lấy
sao cho
, thế thì ta có
. Gọi
là phép chiếu. Do
nên
, suy ra
là đơn cấu. Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A, mà
. Do vậy A = N, hay A là môđun con đóng trong M. (2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi
sao cho
thì
. Thật vậy, lấy
sao cho
và
. Do
nên
. Từ đây, ta suy ra
. Do đó
. Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M. Lấy K’ là phần bù giao của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M. Theo 1.1.6 thì
và theo kết quả chứng minh trên thì
. Theo 1.1.2, thì
, ta cũng có
và
. Lấy
sao cho
. Khi đó, do
nên
, từ đây suy ra
. Do đó
hay K đóng trong M. ( 1.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun. Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M, tức là
, với
. Ta chứng minh P là CS – môđun. Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo 1.2.2, nên A đóng trong M. Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là
, với
. Theo luật modular, thì
. Vậy, A là hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun. ( 1.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một môđun con đều. Chứng minh. Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn tại các môđun con khác không K1, L1 của M sao cho
. Khi đó K1 không là môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K2, L2 của K1 sao cho
. Tiếp tục lí luận tương tự đối với K2, dẫn đến M chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không
. Điều này mâu thuẫn với tính chiều đều hữu hạn của M. Vậy M có chứa môđun con đều. ( 1.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều. Chứng minh. Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.4, nên trong M tồn tại môđun con đều U1. Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M. Giả sử X1 không là môđun con đều, suy ra tồn tại
mà
sao cho
. Do
nên
. Từ đây, ta có
. Điều này mâu thuẩn với tính đều của U1. Vậy X1 là môđun đều. Bởi M là CS – môđun và X1 là bao đóng của U1 nên X1 là hạng tử trực tiếp của M, tức là
. Vì M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.3, nên M1 cũng là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn. Lí luận tương tự như trên đối với M1, ta có
, trong đó X2 là môđun con đều và M2 là CS – môđun có chiều đều hữu hạn. Tiếp tục lí luận như trên, ta được
, trong đó các
là các môđun con đều và Mn là CS – môđun có chiều đều hữư hạn. Do M có chiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số hữu hạn bước, tức là tồn tại n để Mn = 0. Khi đó
với
là các môđun con đều. ( 1.2.6 Định nghĩa và kí hiệu Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J và K. Một
– ma trận trên R là hàm
. Kí hiệu A là một
– ma trận trên R. Với mỗi
, đặt
. Ta gọi
là phần tử trên A với chỉ số
, ta viết
. Nếu không có gì nhầm lẫn giữa J và K, thì ta viết
. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu At, là ma trận dạng
, trong đó
. Nếu
là các tập con khác rỗng, thì thu hẹp của A trên
là một ma trận con của A và kí hiệu:
. Lấy
thì
và
theo thứ tự là dòng thứ j và cột thứ k của ma trận A. Tập hợp tất cả các
– ma trận trên vành R, ta kí hiệu
. Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn) nếu mỗi dòng của A ( mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằng 0 trừ một số hữu hạn. Nếu J = K thì ta gọi A là
– ma trận vuông hay
– vuông. Đường chéo của ma trận
– vuông A là tập các phần tử có dạng
. Giả sử J, K, F là các tập khác rỗng.
,
. Với mỗi
, xét chuỗi
. Nếu A có dòng hữu hạn hoặc B có cột hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và
. Khi đó
– ma trận
gọi là tích của hai ma trận A và B. Nếu A và B có cột hữu hạn (dòng hữu hạn) thì AB có cột (dòng) hữu hạn. Cho J là tập khác rỗng, M là R – môđun trái. Kí hiệu
và
. Ta quy ước các phần tử của
,
được viết dưới dạng các vectơ cột. – Hệ phương trình tuyến tính trên M dạng AX = B, trong đó: A là ma trận có dòng hữu hạng
trên R, tức là
và
. Nếu tồn tại
thỏa mãn AC = B thì ta gọi
là một nghiệm của hệ phương trình AX = B. Hệ phương trình AX = B gọi là giải được nếu nó có nghiệm trên M. Với mỗi
, tập
gọi là linh hoá tử của C. Dễ dàng kiểm tra được
. – Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích mạnh trên M nếu tồn tại phần tử
sao cho
. – Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là tương thích cốt yếu trên M nếu tồn tại phần tử
sao cho
và
. Hiển nhiên, nếu hệ AX = B tương thích cốt yếu thì cũng tương thích mạnh. 1.2.7 Bổ đề Cho
. Kí hiệu
là môđun con của M sinh bởi tập
. Khi đó
xác định bởi
, là một đẳng cấu. Chứng minh. Ta có
với



( ( là ánh xạ và với mọi
,
,
trong đó
thì:

, với
. nên ( là đồng cấu môđun. Dễ thấy ( là đơn cấu, đồng thời theo cách xác định của ( nên ( cũng là toàn cấu. Vậy ( là đẳng cấu. ( CHƯƠNG II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU §1. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ 2.1.1 Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái. M được gọi là N – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N, với mọi đơn cấu
đều mở rộng thành đồng cấu
. M được gọi là giả nội xạ nếu M là M – giả nội xạ. 2.1.2 Mệnh đề Cho
. Nếu M là N – giả nội xạ thì M là A – giả nội xạ. Chứng minh. Lấy
và
là đơn cấu. Khi đó, X cũng là môđun con của N và do M là N – giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu
. Hiển nhiên
là mở rộng cần tìm. Vậy M là A – giả nội xạ. ( 2.1.3 Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
. Các điều kiện sau là tương đương: (1) M là N – giả nội xạ. (2) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn
, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho
. Chứng minh.
Giả sử có (1) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (2). Gọi
là các phép chiếu. Ta xác định đồng cấu
như sau: Với mỗi
. Do
, nên ( là đơn cấu. Theo giả thiết,
mở rộng thành đồng cấu
. Đặt
. Từ đây, ta thấy
và
,
, với
, do đó
, thỏa mãn (2).
Giả sử có (2). Gọi B là môđun con của N và
là đơn cấu. Đặt
, thế thì
. Theo giả thiết, tồn tại môđun con T của X chứa A sao cho
. Lấy
là phép chiếu. Khi đó,
, ta có:
. Vậy,
là mở rộng của f cần tìm. ( 2.1.4 Định nghĩa – Một dãy các đồng cấu R – môđun:
được gọi là khớp tại An nếu
. Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại An với mọi n. – Một dãy khớp dạng
được gọi là dãy khớp ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg. – Một toàn cấu của các R – môđun
được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu
sao cho
. – Một đơn cấu của các R – môđun
được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu
sao cho
– Dãy khớp ngắn
được gọi là chẻ ra nếu
(hoặc
) là hạng tử trực tiếp của N. 2.1.5 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ thì mọi đơn cấu
là chẻ ra, và khi đó
, với X là môđun con nào đó của N. Chứng minh. Vì
là đơn cấu nên có thể xem M như là một môđun con của N. Do M là N – giả nội xạ nên
có thể mở rộng thành đồng cấu
sao cho
. Ta chứng minh
. Với mọi
, thì
. Ta có
. Hiển nhiên,
, ta chứng minh
. Thật vậy,
. Như vậy, ta có
. Mặt khác, nếu có
, thế thì tồn tại
sao cho
và
. Từ đây, ta suy ra
hay
. Vậy,
. Do đó,
. ( 2.1.6 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M thì A là N – giả nội xạ. Chứng minh. Giả sử M là N – giả nội xạ, đặt
và
, với
. Lấy K là môđun con của
sao cho
. Lấy
, khi đó,
, với
. Ta có
, suy ra n = 0 hay
. Vậy x = 0 hay
. Do M là N – giả nội xạ, theo 2.1.3, thì tồn tại môđun con T của X chứa K sao cho
. Vậy thì,
. Theo 2.1.3, thì A là N – giả nội xạ. ( 2.1.7 Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ và
thì P là N – giả nội xạ. Chứng minh. Lấy
và
là đơn cấu. Do
nên tồn tại đẳng cấu
. Khi đó
là đơn cấu, do M là N – giả nội xạ nên
mở rộng thành đồng cấu
sao cho
, trong đó
là phép bao hàm. Đặt
, thế thì ta có
. Vậy, g là mở rộng của f cần tìm hay P là N – giả nội xạ. ( 2.1.8 Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C2). Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và B là môđun con của M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A của M. Ta chứng minh B là hạng tử trực tiếp của M. Thật vậy, lấy
là đẳng cấu. Khi đó, f cũng là đơn cấu từ A vào M. Vì M là M – giả nội xạ, theo 2.1.6 thì A là M – giả nội xạ. Theo 2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra. Vậy B là hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C2). ( 2.1.9 Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ. Chứng minh. Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M, tức là
, với
. Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ. Lấy
và
là đơn cấu. Khi đó
cũng là đơn cấu, trong đó
là phép nhúng. Do M là giả nội xạ, nên
mở rộng thành đồng cấu
. Đặt
và
là phép chiếu. Lấy
, thế thì ta có
, trong đó
là phép nhúng. Vậy g là mở rộng của f cần tìm hay A là môđun giả nội xạ. ( 2.1.10 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của M đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M. Chứng minh. Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho
. Lấy
là đẳng cấu môđun. Theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
. Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong M sao cho
. Hiển nhiên
là đơn cấu. Vậy
. Vì K là môđun con bù nên K = g(A’). Do đó, A = A’. ( Nhận xét Theo định lí 2.1.8 và định nghĩa 1.2.1, ta thấy một môđun giả nội xạ, CS – môđun là môđun liên tục. Trong [6] trình bày một số định nghĩa sau: môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập I (hữu hạn) sao cho
với N và Ai là các môđun thì
với
. Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu
thì
. M gọi là có tính triệt tiêu trong nếu
mà
thì
. Môđun M gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M không đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp thực sự nào của M. Đồng thời [6] đã chứng minh được một số kết quả: Môđun nội xạ M có tính triệt tiêu trong khi và chỉ khi M là hữu hạn trực tiếp [Theorem 1.29]. Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục là môđun liên tục [Proposition 2.7] và mọi môđun liên tục đều có tính biến đổi [Theorem 3.24]. Từ những kết quả trên, ta chứng minh một số định lí sau: 2.1.11 Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M2 là CS – môđun. Chứng minh. Giả sử M là giả nội xạ và M2 là CS – môđun. Lấy
và
. Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên tục. Gọi A là phần bù trong X sao cho
và
. Do M2 CS – môđun nên tồn tại môđun con V và V’ của M2 sao cho
và
. Mặt khác,
là CS – môđun nên ta cũng có
, với
. Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là môđun liên tục hay V có tính biến đổi. Vì
, ta có
. Vậy,
. Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M2. Gọi C là môđun con của X sao cho
. Theo bổ đề Zorn, tồn tại một phần bù K trong X của M1 chứa C. Cũng theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K1 trong K của
và phần bù K2 trong K của K1 chứa
. Ta thấy
và theo 1.2.2 thì K1 và K2 là phần bù trong X. Theo 2.1.3, tồn tại môđun con T của X chứa K1 thỏa mãn
. Thế thì
và K1 là phần bù trong T. Từ đây, suy ra K1 đẳng cấu với một phần bù trong M2. Theo chứng minh trên, ta cũng có K2 đẳng cấu với một phần bù của M2. Lấy
là phép chiếu thông thường. Ta có
, trong đó
. Do tính liên tục của M2 và điều kiện ở trên, nên
là hạng tử trực tiếp của M2. Vì K là phần bù của M1,
nên
. Theo cách chọn K1, K2 và
, thế thì
. Do đó,
. Từ đây suy ra
. Vậy,
. Theo 1.1.13, M1 là M2 – nội xạ. ( 2.1.12 Mệnh đề Nếu
là giả nội xạ thì M và N là nội xạ lẫn nhau. Chứng minh. Giả sử
là giả nội xạ, ta chứng minh M là N – nội xạ, N là M – nội xạ chứng minh tương tự. Thật vậy, đặt
và
sao cho
. Gọi K là phần bù của M trong X chứa A,
là phép chiếu. Ta có
, từ đây ta suy ra
, trong đó
. Gọi
là đẳng cấu. Vì X là giả nội xạ nên theo 2.1.2, X là N – giả nội xạ. Do đó
mở rộng thành đồng cấu
. Ta có
, do K là môđun con bù trong X nên
và
. Vậy
. Theo 1.1.13, M là N – nội xạ. ( 2.1.13 Bổ đề (1) Nếu môđun đều M là giả nội xạ thì M là tựa nội xạ. (2) Cho
là tổng trực tiếp các môđun đều Mi. M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ. Chứng minh. (1) Lấy A là môđun con của M và
là đồng cấu. Nếu Kerf = 0, theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
. Nếu
, đặt
, trong đó
là phép bao hàm. Lấy
, ta có
và
hay
. Vậy,
. Vì M đều,
, nên
. Từ đây, ta suy ra
. Do M là giả nội xạ nên
mở rộng thành đồng cấu
. Hiển nhiên, 1 – g là mở rộng của f.