Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán có đáp án

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT Chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số thỏa mãn điều kiện Hãy chỉ ra một hàm số không phải là hàm hằng và thỏa mãn bất đẳng thức trên. Chứng minh rằng với mọi số thực Câu 2 (2 điểm). Cho dãy các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 3 (2điểm). Cho ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Xét ba đường kính của của của sao cho các vectơ cùng hướng. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. Câu 4 (2 điểm). Cho hai số nguyên dương : Gọi là một ước nguyên tố lẻ của ( nguyên dương nào đó). Chứng minh rằng Câu 5 (2 điểm). Cho số nguyên . Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất tập hợp con không rỗng phân biệt của tập hợp đều tìm được ba tập hợp mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại. ¾ Hết ¾ Họ và tên thí sinh …………………………………………………. SBD …………. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 HDC MÔN TOÁN – CHUYÊN Chú ý. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó. Câu 3 (Hình học) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, không cho điểm. Hướng dẫn chấm này có 4 trang. Câu 1 (2 điểm) Ý Nội dung trình bày Điểm 1(1điểm) Xét hàm số . Ta có 0.5 Suy ra 0.25 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi . Suy ra hàm số với là một hàm số khác hằng số thỏa mãn bất phương trình hàm đã cho. 0.25 2(1điểm) Với , ta chọn sao cho (tức là ) 0.25 Từ giả thiết suy ra 0.25 Thay vào ta được (1) 0.25 Để ý rằng , từ (1) suy ra 0.25 Câu 2 (2 điểm). Nội dung trình bày Điểm Từ điều kiện thứ nhất suy ra dãy , với , là dãy số giảm. 0.25 Từ đó, nếu thì Suy ra và do đó với đủ lớn thì , mâu thuẫn với điều kiện thứ hai. Vậy (1) 0.5 Giả sử tồn tại sao cho . Khi đó với mọi đều có (do dãy giảm) 0.25 Do đó 0.5 Nhưng khi đó mâu thuẫn với điều kiện 2. Do đó (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0.5 Câu 3 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm Gọi các điểm như hình vẽ. Do nên thẳng hàng và thẳng hàng. Tương tự, cũng được thẳng hàng; thẳng hàng; thẳng hàng và thẳng hàng. 0.5 Gọi là giao điểm của các đường thẳng là tiếp tuyến chung tại của Ta có Suy ra cùng nằm trên một đường tròn. 0.5 Bằng lập luận tương tự, cũng được các đường thẳng cắt nhau tại và các đường thẳng cắt nhau tại điểm nằm trên đường tròn này. 0.5 Từ đó, do một đường thẳng và một đường tròn có không quá hai điểm chung nên hay đồng quy. 0.5 Câu 4 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm Từ giả thiết suy ra và (do định lý Fermat) 0.5 Gọi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho thế thì và 0.5 Giả sử ta có 0.5 Từ đó, do suy ra Mâu thuẫn với Vậy 0.5 Câu 5 (2điểm). Nội dung trình bày Điểm Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. Với thì tập hợp chỉ có đúng ba tập con không rỗng và 0.5 Với . Giả sử có tập con không rỗng của tập hợp . Nếu ít nhất trong tập hợp trong chúng không chứa phần tử , thì sử dụng giả thiết quy nạp, được điều phải chứng minh. 0.5 Nếu ít nhất tập hợp chứa , thì loại bỏ khỏi những tập này, ta thu được ít nhất tập con không rỗng, phân biệt của và một tập con . Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp, có ngay điều phải chứng minh. 0.5 Nếu có đúng tập con không chứa , thì có đúng tập con chứa (số phần tử lớn hơn 1) và tập con . Loại bỏ trong những tập con này, ta được tập con không rỗng của , và do đó trong chúng phải có hai tập hợp trùng nhau, gọi tập đó là . Khi đó rõ ràng (ĐPCM) 0.5 -------------------------------------Hết--------------------------------