Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 môn: Toán

ờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. B. C. D. Giả sử tồn tại hàm số xác định trên liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt là A. B. C. D. Cho hàm số . Gọi là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số sao cho đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực đại không nhỏ hơn là A. . B. . C. . D. . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số đạt cực đại tại là: A. . B. . C. . D. . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt là: A. . B. . C. . D. . Một vùng đất hình chữ nhật có , và , lần lượt là trung điểm của , . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ đi đến bằng cách đi thẳng từ đến một điểm thuộc đoạn rồi lại đi thẳng từ đến Vận tốc của ngựa khi đi trên phần là vận tốc của ngựa khi đi trên phần là . Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ đến là mấy giờ? A. B. C. D. Hàm số có tập xác định là A. B. C. D. Phương trình có số nghiệm là A. . B. . C. . D. . Giá trị của để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn là A. . B. . C. . D. . Tìm tập xác định của hàm số . A. . B. . C. . D. . Nếu , thì A. . B. . C. . D. . Tập nghiệm của bất phương trình là A. . B. . C. . D. . Đạo hàm của hàm số là A. . B. . C. . D. . Cho hàm số . Khẳng định nào đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên . B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ. C. Giá trị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang. Một người vay ngân hàng đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong tháng. Lãi suất ngân hàng cố định / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu? A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng. Giá trị nhỏ nhất của với , là các số thực thay đổi thỏa mãn là A. . B. . C. . D. . Nguyên hàm của hàm số là A. . B. . C. . D. . Cho liên tục trên đoạn thỏa mãn ;. Khi đó giá trị của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Cho . Giá trị của bằng A. . B. C. . D. . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh trục hoành có giá trị bằng A. . B. . C. . D. . Xét hàm số liên tục trên miền có đồ thị là một đường cong . Gọi là phần giới hạn bởi và các đường thẳng , . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay quanh bằng . Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng , quanh là A. . B. . C. . D. . Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là A. . B. . C. . D. . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và đường thẳng bằng với , , là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của là A. . B. . C. . D. . Cho số phức . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của là A. . B. . C. . D. . Số phức nghịch đảo của số phức là A. . B. . C. . D. . Gọi , là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Xét số phức thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng. B. đường tròn. C. elip. D. hypebol. Cho số phức thỏa mãn . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của là A. . B. . C. . D. . Khối đa diện đều loại là khối đa diện có đặc điểm: A. mỗi mặt là đa giác đều cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng mặt. B. có mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng cạnh. C. có mặt là đa giác đều và mỗi mặt có cạnh. D. có mặt là đa giác đều và mỗi mặt có cạnh. Cho hình chóp có khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là và thể tích bằng . Nếu là tam giác vuông cân thì độ dài cạnh huyền của nó là A. . B. . C. . D. . Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng và là trọng tâm của tam giác . Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn thẳng . Biết rằng góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng Thể tích của khối trụ là A. . B. . C. . D. . Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là A. . B. . C. . D. . Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính là A. . B. . C. . D. . Cho tam giác đều cạnh và hình vuông nội tiếp trong tam giác thuộc thuộc , thuộc Gọi là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục là đường thẳng qua vuông góc với là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu có bán kính là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng phương trình là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , và . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là giao tuyến của và mặt phẳng trung trục của có tọa độ là: A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Mặt phẳng chứa , và song song với trục có phương trình là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng Nếu thay đổi thuộc thì giá trị nhỏ nhất của là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện có , , và . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện chia không gian thành số phần là A. . B. . C. . D. . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và các điểm , . Gọi , là các điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho và mặt cầu nội tiếp tứ diện có thể tích lớn nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là A. B. . C. . D. . ----------HẾT---------- BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B B C C D C D D A A B B D C D D A D D C B A A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D B C A B A D C C A B D D A C D A D B D C C A C D GIẢI Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. hoặc . Bảng biến thiên: –∞ +∞ 0 0 Dựa vào BBT, Suy ra hàm số có điểm cực trị. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Dựa vào đồ thị ta có Tiệm cận ngang nên và trái dấu à loại đáp án A và C. Tiệm cận đứng nên và trái dấu (vậy nên , cùng dấu) nên và cùng dấu à loại đáp án B. Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng tại bao nhiêu điểm? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi là tọa độ tiếp điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Khi đó là nghiệm của hệ phương trình (1). Ta có Vậy chỉ có một điểm thỏa yêu cầu bài toán. Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang. Hướng dẫn giải Chọn B. Tập xác định: Ta có: nên hàm số có tiệm cận đứng . Ta có nên hàm số có tiệm cận đứng Ta có nên hàm số có tiệm cận ngang bằng . Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. + Ta có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm và nên thay tọa độ đó vào các hàm số trong đáp án thì loại đáp án D. + Đồ thị không đi qua điểm nên thay tọa độ điểm vào đáp án A, B, C thì loại đáp án B. + Với thì từ đáp án A ta có điều này theo đồ thì là không đúng (Theo hình vẽ với thì ). Do đó loại đáp án A. Vậy đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số trong đáp án C. Giả sử tồn tại hàm số xác định trên liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có nên phần đồ thị tương ứng với có đường tiệm cận ngang là . Do đó phần đồ thị này không cắt đường thẳng . Ta có nên phần đồ thị tương ứng với có đường tiệm cận ngang là . Do đó phần đồ thị này không cắt đường thẳng . Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt khi . Cho hàm số . Gọi là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. . TXĐ: . , Vậy, điểm cực đại của đồ thị hàm số là gốc tọa độ . Các điểm cực tiểu là và . Phương trình đường thẳng thỏa đề bài có dạng , hay . . Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi hay . Vì nên ta kết luận đạt giá trị bé nhất là khi Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số sao cho đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực đại không nhỏ hơn là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Tập xác định . Ta có . Vậy (*) Đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị (*) có 2 nghiệm phân biệt (1) Gọi , là 2 nghiệm của (*), sao cho . Ta có bảng biến thiên Vậy là điểm cực đại của hàm số đã cho. Đặt . Yêu cầu bài toán tương đương hai nghiệm phân biệt , của phương trình phải thỏa , nghĩa là (2) Từ (1) và (2) suy ra . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số đạt cực đại tại là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Tập xác định . . Hàm số đạt cực đại tại nên cần có , hay . Với ta được: ; . Bảng biến thiên: 0 Quan sát bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại . Vậy không tồn tại thỏa yêu cầu bài toán. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. *Khảo sát vẽ đồ thị hàm số có đồ thị ta được đồ thị như hình bên dưới. *Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số có đồ thị bằng cách: Phần : Giữ nguyên đồ thị hàm số phần bên phải trục tung. Phần : Lấy đối xứng phần qua trục tung. Ta được đồ thị như hình bên dưới. *Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số có đồ thị bằng cách: Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục . Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục của đồ thị qua trục . Ta được đồ thị như hình vẽ bên trên. Quan sát đồ thị ta được phương trìnhcó đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . Một vùng đất hình chữ nhật có , và , lần lượt là trung điểm của , . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ đi đến bằng cách đi thẳng từ đến một điểm thuộc đoạn rồi lại đi thẳng từ đến Vận tốc của ngựa khi đi trên phần là vận tốc của ngựa khi đi trên phần là . Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ đến là mấy giờ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi với Quãng đường Þ thời gian tương ứng Quãng đường thời gian tương ứng Tổng thời gian với , tìm giá trị nhỏ nhất , Tính các giá trị , , Vậy hàm số đạt GTNN bằng tại Hàm số có tập xác định là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Hàm số đã cho là hàm luỹ thừa với số mũ không nguyên Hàm số xác định khi và chỉ khi Û. Vậy TXĐ . Phương trình có số nghiệm là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện . Phương trình đã cho tương đương với . Do nên phương trình có nghiệm duy nhất là . Giá trị của để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt , điều kiện . Phương trình đã cho trở thành (1). Ta có . Vậy phương trình (1) phải có hai nghiệm dương sao cho . Điều kiện . Tìm tập xác định của hàm số . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Hàm số xác định . Nếu , thì A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. . Tập nghiệm của bất phương trình là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Do nên Đạo hàm của hàm số là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Chú ý rằng Ta có Lưu ý với học sinh: Khi tính đến , học sinh có thể loại kết quả theo các sau Loại đáp án A, vì tử số trong đáp án A có dấu trừ. Loại đáp án B, vì mẫu số của đáp án B là căn bậc 6 Loại đáp án C, vì tử số của đáp án C có chứ không phải là . Cho hàm số . Khẳng định nào đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên . B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ. C. Giá trị của hàm số đã cho luôn không dương. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có vì và với mọi . Suy ra hàm số nghịch biến trên . Một người vay ngân hàng đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong tháng. Lãi suất ngân hàng cố định / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu? A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng. Hướng dẫn giải Chọn D. Để thuận tiện trong trình bày, tất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn vị triệu đồng. Số tiền phải trả tháng thứ 1: . Số tiền phải trả tháng thứ 2: . Số tiền phải trả tháng thứ 3: . Số tiền phải trả tháng thứ 48 . Suy ra tổng số tiền lãi phải trả là: Giá trị nhỏ nhất của với , là các số thực thay đổi thỏa mãn là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có Đặt . Vậy và Đặt Xét hàm số với có Từ đó suy ra , nên . Dấu xảy ra nên hay Nguyên hàm của hàm số là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có Cho liên tục trên đoạn thỏa mãn ;. Khi đó giá trị của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Vì liên tục trên đoạn nên . Cho . Giá trị của bằng A. . B. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Xét Đặt. Đổi cận: khi ; . . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh trục hoành có giá trị bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có Xét hàm số liên tục trên miền có đồ thị là một đường cong . Gọi là phần giới hạn bởi và các đường thẳng , . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay quanh bằng . Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng , quanh là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1. (Giải tự luận) Ta có Lại có , nên đồng biến trên . Suy ra . Từ đây ta thực hiện phép tính như sau Với . Cách 2. Học sinh có thể trực tiếp bấm máy tính tích phân để có kết quả Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Tập xác định ; Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu Vì nên hàm số đạt cực đại tại suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là . Phương trình hoành độ giao điểm của và là: Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) Ta có Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và đường thẳng bằng với , , là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1 (dùng máy tính): Phương trình hoành độ giao điểm Diện tích hình phẳng cần tìm là vì . Bước 1: Bấm máy tính tích phân ( Lưu D) Bước 2: Cơ sở : Tìm nghiệm nguyên của phương trình (coi , , và ta thử các giá trị ) Thử với : Thử với : Mode + 7 ; Kết quả: Cách 2 (giải tự luận): Phương trình hoành độ giao điểm Diện tích hình phẳng cần tìm là vì . Đặt Đổi cận Khi đó Đặt Đổi cận Ta có Tính Vậy Khi đó Cho số phức . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Vì Điểm biểu diễn của có tọa độ . Số phức nghịch đảo của số phức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có . Gọi , là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. . Suy ra . Xét số phức thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Giả sử có điểm biểu diễn là . Số phức có điểm biểu diễn. có điểm biểu diễn . TacóMà . Từ vàsuy ra . Khi đó Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng. B. đường tròn. C. elip. D. hypebol. Hướng dẫn giải Chọn C. Trên mặt phẳng tọa độ , gọi biểu diễn số phức . Ta có . Đặt khi đó suy ra nằm trên Elip có hai tiêu điểm là và bán kính trục lớn là . Phương trình của elip đó là . Cho số phức thỏa mãn . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Trước hết ta có bài toán tổng quát: Cho là các số thực dương và số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khilà số thuần ảo. Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình rồi lấy trị tuyệt đối mỗi nghiệm. Khi đó số dương nhỏ là số dương lớn là . Áp dụng kết quả trên với và , ta có và . Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của là . Khối đa diện đều loại là khối đa diện có đặc điểm: A. mỗi mặt là đa giác đều cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng mặt. B. có mặt là đa giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng cạnh. C. có mặt là đa giác đều và mỗi mặt có cạnh. D. có mặt là đa giác đều và mỗi mặt có cạnh. Hướng dẫn giải Chọn A. Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại nếu: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng mặt. Cho hình chóp có khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là và thể tích bằng . Nếu là tam giác vuông cân thì độ dài cạnh huyền của nó là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác vuông cân tại . Đặt , ta có và . Vậy . Độ dài cạnh huyền là Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng và là trọng tâm của tam giác . Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi là trung điểm của theo tính chất trọng tâm của ta có Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn thẳng . Biết rằng góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi là trung điểm của , đặt . Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với , , , , như hình vẽ Ta có: VTCP của đường thẳng là , VTCP của đường thẳng là . VTPT của là VTPT của là . Có do . . Cách 2: , kẻ và , suy ra . Đặt , ta tính được và . Vậy , Tam giác vuông tại có Vậy . Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng Thể tích của khối trụ là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Chiều cao chính là khoảng cách hai đáy . Diện tích xung quanh hình trụ là là bán kính đường tròn đáy. Vậy thể tích là . Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Thể tích của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác và . Vậy là trục các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đáy. Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực tại trung điểm của và cắt tại . Khi đó ta có . Mà . Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là là bán kính là . , . Ta có . Vậy thể tích khối cầu là . Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn D. Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó. Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn bán kính . Gọi với là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là hình tròn sẽ là . Khi đó bán kính đáy nón là , suy ra thể tích khối nón là Áp dụng BĐT Cô-si ta có Cho tam giác đều cạnh và hình vuông nội tiếp trong tam giác thuộc thuộc , thuộc Gọi là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục là đường thẳng qua vuông góc với là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục là đường thẳng bằng hiệu thể tích khối nón khi quay tam giác và thể tích khối trụ khi quay hình vuông quanh trục là đường thẳng . Gọi độ dài cạnh hình vuông là . Khi đó: . Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu có bán kính là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Bán kính mặt cầu là . Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng phương trình là A. . B. . C. . D. . Hướng dấn giải Chọn B. , vectơ pháp tuyến của là . Vậy có vectơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng , hay . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , và . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là giao tuyến của và mặt phẳng trung trục của có tọa độ là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Mặt phẳng có VTPT là . Gọi là mặt phẳng trung trực của mp có VTPT là Ta có nên đường thẳng có VTCP cùng phương với vectơ . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Mặt phẳng chứa , và song song với trục có phương trình là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có và trục có VTCP là Mặt phẳng chứa , và song song với trục nên có VTPT Khi đó mặt phẳng đi qua và VTPT nên có phương trình . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Ta có . Do đó đạt giá trị lớn nhất khi , khi đó mặt phẳng chứa và vuông góc với . . . Mặt phẳng qua có một vectơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng Nếu thay đổi thuộc thì giá trị nhỏ nhất của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi là trung điểm đoạn . Ta có . Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi . Khi đó ; . Vậy . Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện có , , và . Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện chia không gian thành số phần là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 3 đường thẳng chia mặt phẳng thành 7 phần. 3 mặt phẳng chia không gian thành 8 phần, mặt phẳng thứ 4 cắt 3 mặt phẳng trước thành 3 giao tuyến, 3 giao tuyến này chia mặt phẳng thứ 4 thành 7 phần, mỗi phần lại chia 1 phần của không gian thành 2 phần. Vậy 4 mặt phẳng chia không gian thành phần Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và các điểm , . Gọi , là các điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho và mặt cầu nội tiếp tứ diện có thể tích lớn nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là A. B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. + Thể tích tứ diện là: với là đoạn vuông góc chung của , ; . Rõ ràng là hằng số không đổi. + Mặt khác: , với là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện , là diện tích toàn phần của tứ diện . Dựa vào , yêu cầu đề bài tương đương với nhỏ nhất. Ta có: với , Vì , cố định nên không đổi. Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi trung điểm của là là giao điểm của và đường thẳng vuông góc chung của và . (Xem chứng minh ở phần bổ sung) + Giải bài toán tìm tọa độ điểm của đoạn vuông góc chung ta được như sau: , ; có VTCP co VTCP , chọn là . ; Ta có: . Suy ra: Bổ sung: Chứng minh nhận định trên bằng bài toán sau: Cho hai đường thẳng chéo nhau và và hai điểm , thay đổi trên đường thẳng sao cho (với là hằng số dương cho trước). Gọi , lần lượt là khoảng cách từ , đến . Chứng minh rẳng tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi trung điểm của là giao điểm của và đường thẳng vuông góc chung của và . Chứng minh + Gọi là đoạn vuông góc chung của và . Qua dựng đường thẳng song song với , gọi là mặt phẳng chứa và . Gọi là đoạn thẳng nhận là trun