Đồ án Phân tích độ nhạy bài toán điều khiển kết cấu

Chương I MỘT CÁCH BIỂU DIỄN VÀ TÍNH TOÁN HÌNH THỨC CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN Mô hình Các bài toán trong cơ học vật rắn biến dạng có thể tóm tắt theo sơ đồ phân loại như hình 1.1 dưới đây, trong đó các bài toán được sắp xếp theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó. Phương pháp phần tử hữu hạn khác phương pháp Ritz và Galerkin ở chỗ nó không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trong toàn miền xác định mà chỉ trong từng miền con thuộc miền xác định đó. Do đó việc đầu tiên khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn là thay thế miền tính toán bằng các miền con được gọi là các phần tử. Các phần tử này xem như chỉ nối nhau ở một số điểm xác định trên các mặt hoặc các cạnh biên của các phần tử (hình 1.2). Hình dạng các phần tử được chọn sao cho có khả năng xấp xỉ sát nhất hình dạng mặt biên của miền tính toán.
Trong các bài toán cơ học kết cấu, tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, Phương pháp phần tử hữu hạn có thể được dựa trên 3 loại mô hình: Mô hình tương thích: Xấp xỉ dạng phân bố của chuyển vị bên trong phần tử. Các ẩn số được xác định dựa trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange (hay nguyên lý công ảo). Mô hình cân bằng: Là dạng đối ngẫu của mô hình tương thích. Xấp xỉ dạng phân bố ứng suất hoặc nội lực bên trong phần tử. Các ẩn số được thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân Castigliano. Mô hình hỗn hợp: Xấp xỉ dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử; Xem chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố riêng biệt; Dựa trên nguyên lý biến phân Reisne-Helinge. Hình 1.3 là một ví dụ cho thấy sự hội tụ của hai mô hình tương thích và cân bằng trong một bài toán uốn tấm. Mô hình tương thích được dùng rộng rãi hơn cả, hai mô hình kia chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán . Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn Xét sự cân bằng của một vật thể rắn tổng quát 3 chiều, các ngoại lực tác dụng lên vật thể gồm: lực bề mặt fs , lực khối fV và lực tập trung fi :
(1.1) Chuyển vị tổng thể của hệ:
Tương ứng với chuyển vị, ta có: Vector chuyển vị tại điểm
(1.2) Vector biến dạng:
(1.3) Vector ứng suất:
(1.4) Trong đó:
Vấn đề bài toán: Với các ngoại lực (1.1) đã cho, ta tìm trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất (1.2), (1.3), (1.4). Quan hệ biến dạng và chuyển vị (biến dạng bé hay đàn hồi tuyến tính):
(1.5) Dạng ma trận:
(1.6) Với D là ma trận toán tử vi phân theo
:
(1.7) Quan hệ ứng suất_biến dạng (Định luật Hook tổng quát):
(1.8) Với
và
là biến dạng và ứng suất ban đầu. Trường hợp
thì
(1.9) trong đó:
(1.10) Nguyên lý công khả dĩ (hay nguyên lý biến phân Lagrange) Xét vật thể
, cân bằng dưới tác dụng của lực thể tích
, lực mặt
và các lực tập trung
. Nguyên lý công khả dĩ phát biểu rằng ứng với từng chuyển vị khả dĩ
, tổng công nội (nội năng hay thế năng biến dạng đàn hồi) bằng tổng công lực ngoài :
(1.11) Trong đó, từ (1.6) và (1.9) :
Phương trình (1.11) viết lại:
(1.12) Chia vật thể V thành các phần tử hữu hạn
, gọi
là các chuyển vị của các nút của
và U là các chuyển vị nút của toàn vật thể V. Ta có quan hệ “lắp ráp” :
(1.13) Ngoài ra ta có xấp xỉ
qua chuyển vị nút
:
(1.14) cùng với (1.14) ta có:
(1.15) (D là ma trận toán tử vi phân theo các
nên chỉ tác động vào ma trận hàm dạng
) Với các hệ thức trên, ta viết lại (1.12) :
(1.16) Vì
không phụ thuộc dấu tích phân và tổng trên các phần tử,
không phụ thuộc dấu tích phân nên (1.16) được viết lại:
(1.17)
là trường hợp chuyển vị (nút) khả dĩ nên (1.17) trở thành:
(1.18) hay KU=F (1.19) Trong đó:
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23) Các hệ thức K và F (1.20) và (1.22) có thể tính dể dàng (khi có các
) thông qua các kỹ thuật lắp ráp phần tử hữu hạn (trong lập trình không cần tính các ma trận
). Các hệ thức (1.21) và (1.23) sẽ được tính qua phần tử tham chiếu. Để tính (1.21) ta sử dụng phần tử tham chiếu
và các xấp xỉ trên
;
(1.24) trong đó :
. Cần lưu ý quan hệ đạo hàm theo các biến của một hàm
:
(1.25) Trong đó J là ma trận Jacobian của phép biến đổi tọa độ (1.24). Với lưu ý (1.25) thì ma trận
tính qua tọa độ tham chiếu sẽ là:
(1.26) Tích phân (1.26) có thể tính bằng tích phân Gauss:
(1.27) Trong đó
là các điểm Gauss ứng với các hệ số
và
(xem [4]). Phương trình (1.19) là phương trình cơ bản của bài toán tĩnh học. Đối với bài toán động lực, sử dụng nguyên lý D’Alembert, một cách đơn giản ta có thể thêm lực quán tính và kể thêm vào lực cản tỷ lệ với vận tốc và làm phân tán năng lượng dao động. Khi đó phương trình (1.19) trở thành:
(1.28) Với :
gọi là ma trận khối lượng của hệ;
gọi là ma trận khối lượng phần tử;
gọi là ma trận cản của hệ. Phương trình (1.28) là phương trình cơ bản của bài toán động lực học . Giải hệ phương trình (1.19) hoặc (1.28) cho ta trường chuyển vị tại các điểm nút của hệ, từ đó xác định được trường biến dạng và trường ứng suất. Nếu bỏ ngoại lực và lực cản, ta có phương trình cơ bản của bài toán dao động tự do:
(1.29) Trong (1.29) xét nghiệm không tầm thường dạng:
thì (1.29) trở thành:
với mọi t nên:
để có nghiệm không tầm thường, điều kiện cần và đủ là:
(1.30) Đó là bài toán tìm giá trị riêng
. Trong tính toán số ta dùng phương pháp Jacobian (hoặc Subspace), với K và M là các ma trận đối xứng, xác định dương, cho phép xác định n giá trị , n là bậc tự do của hệ,
là các tần số riêng, và n vector
là các vector riêng tương ứng. Các giá trị
là các tần số dao động riêng của hệ kết cấu, các vector riêng tương ứng
đặc trưng cho các dạng dao động của hệ ứng với tần số
. Trong thực tế, người ta chỉ cần xác định các tần số riêng bé nhất và dạng dao động tương ứng, vì đây là các dao động hay xảy ra nhất, đó là các dãy tần cần tránh các cộng hưởng có thể xảy ra. Các dạng phần tử hữu hạn cơ bản thường dùng Phần tử một chiều Tuyến tính ( 2 nút ) quadratic ( 3 nút ) cubic (4 nút ) Phần tử hai chiều Phần tử tam giác : tuyến tính ( 3 nút ) quadratic ( 6 nút ) cubic ( 9 nút ) Phần tử tứ giác : tuyến tính ( 4 nút ) quadratic ( 8 nút ) cubic (12 nút ) Phần tử ba chiều Phần tử khối tứ diện : tuyến tính (4 nút ) quadratic (10 nút) cubic (16 nút) Phần tử khối lăng trụ : tuyến tính (8 hoặc 6 nút) quadratic (20 nút) cubic (32 nút) PHẦN TỬ THAM CHIẾU Nhằm làm đơn giản các tính toán đặc trưng của một phần tử có dạng phức tạp, người ta đưa vào khái niệm về phần tử tham chiếu ( reference elements): phần tử tham chiếu Vr là một phần tử có dạng rất đơn giản , đặt trong một hệ quy chiếu, có thể biến đổi thành mỗi phần tử thực Ve qua một phép biến đổi hình học
. Ví dụ, với phần tử tam giác:
(1.31) Phép biến đổi
biến đổi một điểm có tọa độ
của phần tử tham chiếu thành một điểm của phần tử thực có tọa độ
:
(1.32) Phép biến đổi
phụ thuộc vào dạng và vị trí của phần tử thực, nghĩa là vào tọa độ của các điểm nút hình học. Như vậy , với mỗi phần tử thực thì:
(1.33) trong đó
. . . . , là tọa độ của các nút hình học của phần tử thực Ve

Phần tử 1
Phần tử 2
(1.34) Phần tử 3
Để đáp ứng các yêu cầu trên, một phép biến đổi hình học
tổng quát phải thỏa mãn ba điều sau đây: Là một song ánh từ phần tử tham chiếu vào phần tử thực : Mọi điểm của phần tử tham chiếu Vr (kể cả trên biên) đều tương ứng với một và chỉ một điểm của phần tử thực Ve và ngược lại. Các điểm nút hình học của phần tử tham chiếu tương ứng với các điểm nút hình học của phần tử thực. Bảo toàn vị trí các biên: Biên của phần tử tham chiếu xác định bởi các điểm nút hình học, sẽ tương ứng với biên của phần tử thực xác định bởi các điểm nút hình học tương ứng qua
. Hệ tọa độ tham chiếu ((, (, () còn được xem như là hệ tọa độ địa phương, trong khi hệ tọa độ thực (x,y,z) được xem như là hệ tọa độ toàn cục, và như vậy phép biến đổi hình học là một phép đổi biến. TÍNH TOÁN HÌNH THỨC (SYMBOLIC) CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lập trình tính toán hình thức (symbolic) Để giải một bài toán Cơ học, trên lý thuyết hay các tính toán thực tế, thông thường có thể được thực hiện qua các bước: 1.) Bước 1: Đặt bài toán. Lập mô hình vật lý của bài toán. Chọn lựa các điều kiện biên và điều kiện đầu phù hợp với yêu cầu. Định các tham số vật lý cần tìm ( ẩn của bài toán). 2.) Bước 2: Mô hình toán học. Thiết lập các phương trình vi phân mô tả quan hệ của các tham số cần tìm thông qua các nguyên lý và định luật của cơ học. Thiết lập các phương trình mô tả điều kiện biên. Khảo sát tính đúng đắn của mô hình toán học. 3.) Bước 3: Giải bài toán. Giải các phương trình để tìm các tham số ẩn. Phân tích kết quả. Bước 1 luôn luôn được thực hiện thông qua các nhu cầu thực tế hay lý thuyết đề ra, và được thực hiện như là đầu đề, hay là dữ liệu cung cấp cho máy tính. Bước 2 thông qua các nguyên lý và định luật cơ học, và nhiều tính toán trung gian đôi khi rất phức tạp (tùy thuộc mô hình vật lý và mức độ phù hợp với thực tế), nhằm thu được các phương trình vi phân ở dạng tổng quát nhất có thể được. Trong nhiều trường hợp, giai đoạn này không phải là đơn giản, đòi hỏi nhiều thời gian và kinh nghiệm, các tính toán được tiến hành không phải là số (numeric) mà là ở dạng các tính toán giải tích, với các toán tử và ký hiệu toán học (symbolic). Việc thiết lập các phương trình vi phân cho các bài toán như vậy là cơ sở cho việc đi đến kết quả cuối cùng (dù ở dạng số hay giải tích), ngay cả các khảo sát định tính của nghiệm, và các khảo sát khác (ổn định, xấp xỉ ... ). Trước đây, máy tính không thực hiện giai đoạn này vì các tính toán tiến hành ở dạng giải tích. Bước 3 giải các phương trình vi phân để tìm các tham số ẩn ở dạng giải tích, xấp xỉ, trung bình hóa, chuổi ..., hoặc dạng số (bằng các phương pháp số). Nói chung các phương trình vi phân là không giải được ở dạng giải tích, nhưng để đưa mô hình toán học tổng quát đã có về các dạng xấp xỉ được (dạng biến phân, tuyến tính hóa, chuỗi , theo tham số bé, trung bình hóa ...) cũng đòi hỏi nhiều thời gian và công sức, và thường cũng không thực hiện được trên máy tính vì đối tượng được xử lý ở dạng giải tích. Ngoài ra trong một số phương pháp tính toán mạnh nhất hiện nay trong Cơ học như: Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), Phần Tử Biên (PTB) ... cũng phải tiến hành các tính toán giải tích trước khi lập trình cho máy tính : Tích phân trên các miền con (phần tử) , thiết lập các ma trận cứng cho phần tử (điều này phụ thuộc vào dạng, số chiều của phần tử , việc chọn hàm xấp xỉ... ) ... trong phương pháp PTHH ; hoặc như phải tìm trước một nghiệm của hàm thế vị , một số tích phân ban đầu, ... như trong phương pháp PTB. Các vấn đề như vậy đã được tiến hành từ trước khi lập trình trên máy tính, do vậy khi xử dụng một chương trình tính toán nào đó, người ta không chủ động được về dạng phần tử chia, dạng hàm xấp xỉ, các tích phân đầu ... trừ khi tính toán lại và lập trình khác lại, và vẫn hạn chế ở dạng mới đã chọn (tuy có thể đáp ứng một số bài toán chuyên biệt , nhưng vẫn không phù hợp trong các nghiên cứu và áp dụng tổng quát). Ý tưởng sử dụng máy tính cho các tính toán “ phi số “ (non-numeric ) không phải là mới (như quá trình biên dịch (compiler) của các ngôn ngữ, lập trình logic, trí tuệ nhân tạo hiểu theo nghĩa rộng ... ). Nhưng việc dùng máy tính trong việc tính toán với các kiểu ký hiệu đặc biệt của toán học chỉ phát triển trong vài năm lại đây và hiện đang là vấn đề thời sự trên thế giới, có nhiều ích lợi trong nghiên cứu và giáo dục. Việc tính toán bằng máy tính với các đối tượng toán học hoàn toàn bằng ký hiệu thường được gọi là lập trình tính toán hình thức (Symbolic), hay Đại số máy tính (ĐSMT). Về mặt nguyên lý, các toán tử thực hiện trong các cấu trúc đại số đều có thể hình thành trong ĐSMT. Về lợi điểm, có thể tính toán, thực hiện trên các biểu thức toán học rất lớn. Một số hệ chương trình tính toán nổi tiếng hiện nay về ĐSMT trong vật lý như : SCHOONCHIP (vật lý năng lượng cao), CAMAL ( về Cơ học thiên thể), SHEEP ( lý thuyết tương đối) ... , và các hệ tổng quát cho phép tính toán toán học nói chung như : MATHEMATICA, AXIOM, MACSYMA, MAPLE, MATLAB, REDUCE, AXIOM ... , riêng một số hệ như MATHEMATICA và MAPLE có khả năng lập trình và chuyển đổi kết quả cho các ngôn ngữ tính toán số (numeric) truyền thống như FORTRAN, C. Trên cơ sở áp dụng ĐSMT cho các bài toán cơ học, một số tác giả đã thực hiện các tính toán giải tích và số kết hợp trên máy tính, cố gắng tiến đến một môi trường lập trình tự động Một cách biểu diễn của phương pháp phần tử hữu hạn cho lập trình tính toán hình thức Một bài toán Cơ học thường được mô tả dưới dạng một bài toán biên:
trên miền V và các điều kiện biên :
trên biên
(1.35)
trên biên
Dạng biến phân (dạng yếu) tương ứng (áp dụng các công thức tích phân biên):
(1.36)
thuộc một không gian hàm xác định nào đó, và các điều kiện biên như (1.35). Chọn
, và xử dụng các xấp xỉ của u trên từng phần tử con rời rạc của miền V ta sẽ thu được một hệ phương trình đại số xác định u tại các điểm nút của các phần tử. Bài toán (1.36) còn có thể nhận được thông qua các nguyên lý biến phân của cơ học, chẳng hạn trong các bài toán cơ vật rắn :
(1.37) với
Có nhiều cách để xây dựng các xấp xỉ của u trên các phần tử, nghĩa là xây dựng ma trận nội suy N , tùy thuộc vào cách chọn cơ sở của xấp xỉ:
(1.38) Tuy nhiên, nếu xây dựng các xấp xỉ như (1.16), xây dựng các xấp xỉ trên các phần tử thực, thì ma trận nội suy N sẽ phụ thuộc vào tọa độ các điểm nút của phần tử, và như vậy là phụ thuộc vào dạng hình học, và khác nhau với mỗi phần tử. Với các phần tử phức tạp, điều này đặc biệt không thuận lợi. Nếu xấp xỉ (1.16) được thực hiện trên các phần tử quy chiếu ([4]):
(1.39) thì ma trận hàm N là độc lập với dạng hình học của phần tử thực, do vậy các hàm này có thể xử dụng cho mọi phần tử có phần tử quy chiếu đặc trưng qua : hình dạng, các nút hình học và các nút nội suy (xem [4]). Phép biến đổi hình học giữa phần tử thực và phần tử quy chiếu:
(1.40) Trong đó :
Với các phần tử loại isoparametric thì ta có:
Việc tính toán hàm xấp xỉ N được tiến hành bình thường như các xấp xỉ phần tử hữu hạn quen thuộc với các tọa độ nút
của phần tử quy chiếu mà ta đã biết, qua các bước: Chọn đa thức cơ sở của xấp xỉ :
Tính ma trận nút :
Tính
theo công thức :
Phép biến đổi hình học (1.40) cho phép ta chuyển các tích phân của một hàm f trên phần tử thực thành tích phân trên một phần tử quy chiếu đơn giản hơn :
(1.41) với J là ma trận Jacobian của phép biến đổi. Một bài toán biên trong cơ học sau khi đưa về dạng biến phân hoặc đã ở dạng các nguyên lý biến phân trong Cơ học (Lagrange, Castiano, Reisne-Henliger, … và tạm chưa xét đến sự tồn tại duy nhất nghiệm trong các không gian hàm), và với các xấp xỉ phần tử hữu hạn ta đi đến mô hình của phương pháp phần tử hữu hạn diễn tả bằng hệ phương trình vi phân : Trường hợp bài toán biên tuyến tính :
(1.42) Trường hợp bài toán biên phi tuyến :
(1.43) trong đó
là một hàm phi tuyến. Trong cả hai trường hợp :
,
,
và
Trong đó,
là ma trận định vị dùng để lắp ráp ma trận phần tử vào ma trận tổng thể (ta không cần quan tâm vì có rất nhiều kỹ thuật lắp ráp tốt hơn là phép tổng như trên). Các ma trận
phụ thuộc vào dạng biến phân (tức là phụ thuộc vào từng bài toán), vào cơ sở của đa thức xấp xỉ, số nút và tính chất phần tử (Lagrange, Hermite C 1 , C 2 , …).