Đồ án Robot dư dẫn động

m ma trận tựa nghịch đảo của ma trận chữ nhật. Tuy nhiên phương pháp này chỉ áp dụng được khi hạng của ma trận A là đầy đủ. Trong trường hợp hạng của ma trận A không đầy đủ, để tìm được ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A ta sử dụng phương pháp khác đó là phương pháp Greville. 2.3 PHƯƠNG PHÁP GREVILLE 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Phương pháp Greville cho phép tính toán ma trận tựa nghịch đảo A+(AÎCmxn ) bằng phương pháp lặp. Để xác định ma trận tựa nghịch đảo theo phương pháp này ta đưa vào một số ký hiệu sau: Gọi ma trận là phần của ma trận A. Trong đó là cột thứ k của A, cho k=1,..,n. Vector và được định nghĩa bởi: (2.9) (2.10) Định lý 2.2: Cho ma trận AÎCmxn . Nghịch đảo Greville của Ak(k=2..n) được xác định theo công thức sau: (2.11) trong đó: (2.12) (2.13) Chú ý: nếu cả hai và , khi đó và . Như vậy dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp nghịch đảo ma trận Greville, ta có thể xây dựng thuật giải cho phương pháp này như sau: b1. Nhập ma trận A. b2. Cho k=2 khi đó ta tính được theo công thức: Sau đó ta tính được và theo (2.9) và (2.10) từ đó theo công thức (2.11) của định lý 2.2 ta tính được . b3. Cho cho đến khi thì ta thu được 2.3.2 Sơ đồ khối phương pháp Greville return( Nhập vào: i:=i+1 false END START true false true Dựa trên lý thuyết về ma trận nghịch đảo của Greville và sơ đồ khối trên ta xây dựng thủ tục GRE_Inverse() để tính ma trận tựa nghịch đảo của , mã nguồn được viết trên phần mềm Maple 9.0 trình bày ở phần phụ lục. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHALIL 2.4.1 Cơ sở lý thuyết Đối với phương pháp Khalil ta chỉ xét các ma trận chữ nhật A cỡ () và có hạng là m. Theo lý thuyết ma trận (F.R. Gantmacher: Matrazentheory, Springer Verlag, Berlin 1986), ta có thể phân tích A thành tích của hai ma trận như sau: (2.14) Ta có thể viết lại ma trận C như sau: (2.15) Trong đó: (2.16) : Ma trận đơn vị cấp m : cột thứ k của A : ma trận cỡ Do J là ma trận hạng m, C là ma trận có hạng m và bằng hạng của A nên ta có công thức xác định tựa nghịch đảo: (2.17) Trong đó C+ được xác định theo công thức: (2.18) (2.19) Với là ma trận 0 (). - Như vậy thuật toán của phương pháp này được đưa ra như sau: b1. Nhập vào ma trận A. b2. Phân tích A thành tích 2 ma trận và ma trận C với ma trận được lấy từ m cột đầu của ma trận A (là ma trận vuông).Ta tiến hành kiểm tra nếu thì dừng lại và thoát khỏi chương trình còn nếu thì tiếp tục chương trình. Ma trận C được tính theo công thức (2.15) và (2.16). b3. Sử dụng công thức để tính ma trận tựa nghịch đảo với ma trận được tính theo (2.18) hoặc (2.19). - Dựa trên lý thuyết về nghịch đảo ma trận theo phương pháp phân tích cân xứng và sơ đồ khối ta xây dựng thủ tục KHALIL_Inverse() tính ma trận tựa nghịch đảo của , trình bày ở cuối phụ lục. Return(A+) START END Nhập vào false true true false 2.4.2 Sơ đồ khối phương pháp Khalil 2.5 MỘT SỐ VÍ DỤ CỤ THỂ Ví dụ 1: Giải hệ hai phương trình 3 ẩn sau Ta nhận thấy: ; Sử dụng các thủ tục MP_Inverse() của phương pháp Moore-Penrose, thủ tục GRE_Inverse() của phương pháp Greville đều cho ta kết quả ma trận tựa nghịch đảo của là được tính như sau: Vậy nghiệm của hệ là: Nếu sử dụng thủ tục KHALIL_Inverse() của phương pháp Khalil thì kết quả ma trận tựa nghịch đảo là: Suy ra nghiệm như sau: Ví dụ 2: giải hệ 3 phương trình 5 ẩn sau Ta có: ; Sử dụng các thủ tục MP_Inverse() của phương pháp Moore-Penrose, thủ tục GRE_Inverse() của phương pháp Greville, cho ta kết quả ma trận tựa nghịch đảo của là được tính như sau: Nghiệm của hệ phương trình là: Nếu sử dụng thủ tục KHALIL_Inverse() tính được 2.6 SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TỰA NGHỊCH ĐẢO - Đối với phương pháp Moore- Penrose: có thuật toán đơn giản nhất trong 3 phương pháp cho phép ta có thể xác định ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A cỡ nhưng yêu cầu là hạng của ma trận A phải đầy đủ. Nếu A có hạng thì phương pháp này không xác định được ma trận tựa nghịch đảo. - Đối với phương pháp Greville: có thể tính toán tựa nghịch đảo ngay cả khi ma trận A có hạng không đầy đủ (tức là ). Trong trường hợp hạng của ma trận A là đầy đủ thì phương pháp này có cùng kết quả với phương pháp Moore- Penrose. - Đối với phương pháp Khalil: cho phép xác định ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A cỡ với và hạng của ma trận A phải đầy đủ , nếu không thì phương pháp này cũng không thể áp dụng. Kết quả của phương pháp này cho ta hàng đầu của ma trận giống với 2 phương pháp trên, còn hàng sau thì có khác so với 2 phương pháp trên. CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC ROBOT DƯ DẪN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN JACOBI Để giải quyết bài toán động học ngược của Robot dư dẫn động, chúng ta có khá nhiều phương pháp . Trong chương này chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu 2 phương pháp: phương pháp Khalil và phương pháp Reduced Gradient (RG). Mỗi phương pháp trên sử dụng các hàm tối ưu hoá khác nhau để đưa ra những ràng buộc đối với các tọa độ khớp dư nhằm giải quyết bài toán động học ngược của Robot dư dẫn động. 3.1 GIẢI PHÁP ĐƯA RA CHO MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC NGƯỢC Giả sử là các tọa độ khớp, là các tọa độ xác định vị trí của khâu thao tác (bàn kẹp). Theo bài toán động học thuận ta có quan hệ như sau: (3.1) Đối với các Robot dư dẫn động ta có , khi đó số tọa độ trạng thái lớn hơn tọa độ của bộ phận thao tác. Bậc tự do dư để thoả mãn các yêu cầu sau: Tránh các chướng ngại vật Tránh cấu hình kỳ dị động học Giữ biến khớp trong giới hạn vật lý của chúng Tạo ra sự khéo léo cho Robot Giới hạn mô men khớp, cực tiểu động lực… Từ hệ thức (3.1) ta có biến đổi một cách hình thức: Đạo hàm hai vế của phương trình (3.1) theo q ta được: (3.2) Trong đó là ma trận Jacobi cỡ (3.3) Từ (3.2) suy ra: Do đó ta có: ở đây: Đặt: Từ đó ta có: (3.4) Trong đó: là ma trận tựa nghịch đảo của J là ma trận đơn vị cấp n z là một vector khớp bất kỳ được xác định bằng cách tối ưu hoá hoặc chọn một cách thích hợp. Để thực hiện ta đưa vào hàm , khi đó z được đưa ra trong [9,15]: ở đó: : Gradient của : hằng số dương nếu là hàm cực đại, hằng số âm nếu là cực tiểu. Sau khi thiết lập được công thức (3.4) ta sử dụng phương pháp số để tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khâu ở từng thời điểm. Ở đây chúng ta sử dụng công thức sai phân hữu hạn: (3.5) Từ đó ta có: (3.6) (3.7) Thay (3.6), (3.7) vào (3.4) ta tìm được vị trí của các khâu tại thời điểm thứ k: (3.8) Hay (3.9) Việc xác định điều kiện đầu cho các toạ độ : Khi cho biết vị trí ban đầu của bàn kẹp ta có m vị trí , do đó ta phải cho trước vị trí ban đầu sau đó ta sử dụng phương trình xác định vị trí bàn kẹp để xác định m vị trí ban đầu còn lại. Vận tốc các khâu tại thời điểm thứ k được tính theo công thức (3.6). Để tính gia tốc các khâu tại thời điểm thứ k ta cũng sử dụng công thức sai phân hữu hạn: (3.10) Như vậy, một cách giải quyết đơn giản bài toán động học ngược Robot dư dẫn động là chúng ta chỉ cần chọn hàm z thích hợp và sử dụng các phương pháp được đưa ra ở chương hai để tính ma trận tựa nghịch đảo của ma trận Jacobi là J+ sau đó thay vào công thức (3.4). Tuy nhiên các phương pháp đó cho ta kết quả chưa thật sự chính xác. Dưới đây chúng ta sẽ nêu ra 2 phương pháp tính trực tiếp để giải quyết bài toán mà không cần phải tính J+. 3.2 PHƯƠNG PHÁP KHALIL GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC ROBOT DƯ DẪN ĐỘNG 3.2.1 Phân tích ma trận Jacobi Xét ma trận Jacobi J kích thước có hạng là m. Khi đó ma trận J có thể được phân tích thành hai ma trận có hạng đầy đủ như sau: (3.11) trong đó: : ma trận lấy từ ma trận J C : ma trận Không làm giảm tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng ma trận lấy từ m cột trái của ma trận J. Thưc tế để chính xác, chúng ta chọn ma trận Jm sao cho định thức lớn nhất trong các trị số đã có, m khớp đầu tiên gọi là các khớp chính và các khớp còn lại gọi là khớp phụ. Từ (3.11) theo tài liệu [10]: (3.12) Với: (313) : ma trận đơn vị cỡ : cột thứ k của ma trận J : ma trận cỡ Theo phương pháp này hạng của hai ma trận phân tích là đầy đủ dẫn đến biểu thức tính ma trận tựa nghịch đảo: (3.14) Với C+ được xác định theo công thức (trình bày ở chương 2): Hoặc (3.15) Theo công thức (3.2) ta có biến đổi sau: (3.16) Nếu ta đặt (3.17) Thì phương pháp giải các khớp cơ bản như sau: (3.18) Khi đó (3.17) tìm các khớp còn lại để thoả mãn tiêu chuẩn cực tiểu. Chú ý: Có một vấn đề phát sinh là khi ta lấy m cột trái của ma trận J rồi sau đó tính nghịch đảo ma trận . Trong một số bài toán mà ma trận là ma trận suy biến tức là không thể tiến hành nghịch đảo được ma trận đó. Một cách giải quyết được đưa ra là ta sẽ đảo vị trí các cột của ma trận J, thuật toán đổi chỗ các cột của ma trận J được tiến hành như sau: 1. Lấy m cột trái của ma trận J thành lập ma trận 2. Kiểm tra nếu thì ta tiến hành đổi chỗ cột 1 với cột i (i=m+1..n) của ma trận J sau đó ta quay về bước 1. Công việc kiểm tra dừng lại khi hoặc . Đồng thời trong quá trình đổi chỗ sẽ ghi lại việc đổi chỗ giữa cột 1 với cột bao nhiêu từ đó tương ứng với việc đổi chỗ vị trí giữa bậc tự do q. Thủ tục đổi chỗ giữa các cột của ma trận J được trình bày ở phần phụ lục. 3.2.2 Giải quyết theo tựa nghịch đảo Để tìm vector ta giải quyết như sau: Tìm và sau đó sử dụng (3.17), (3.18) (3.19) Khi tính toán có thể cân nhắc tới vấn đề tối ưu: Tối ưu sử dụng để giải quyết phần vận tốc khớp cơ bản , chúng ta cần cực tiểu nó. Ta có: (3.20) Trong đó (3.21) Ta biến đổi: (3.22) Với: : m thành phần đầu của : (n-m) thành phần sau của Sử dụng (3.21) và đã được xác định theo (3.17) chúng ta có thể tính theo tự do. Chúng ta cần cực tiểu chuẩn: (3.23) Đạo hàm (3.23) theo : Dựa vào công thức đạo hàm vector: ta có (3.24) (3.25) Thay vào biểu thức đạo hàm của (3.23): (3.26) Chuyển vị 2 vế của (3.26) ta được: (3.27) Từ đó: (3.28) Với ma trận hoàn toàn xác định và (3.28) chính là công thức giải quyết tối ưu của . Như vậy các bước giải quyết bài toán như sau: b1: tính sử dụng công thức (3.17) b2: tính sử dụng công thức (3.28) b3: tính sử dụng công thức (3.22) Dựa vào các bước giải bài toán động học ngược như trên ta xây dựng thủ tục INV_KHALIL() để tính toán vị trí và vận tốc các khâu của Robot dư dẫn động. Thủ tục được trình bày trong phần phụ lục. 3.3 PHƯƠNG PHÁP REDUCED GRADIENT (RG) GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC RÔBỐT DƯ DẪN ĐỘNG Trong đồ án này ta xét ma trận Jacobi là ma trận chữ nhật có kích thước . Giả sử rằng hạng của ma trận Jacobi J bằng số hạng của ma trận này Từ công thức ta biến đổi như sau: (3.29) Trong đó: (3.30) Công thức (3.35) được viết lại như sau: (3.31) , với và với Từ đó ta có: (3.32) trong đó là ma trận vuông không suy biến. Tọa độ khớp q được chia làm hai phần , tương ứng với biến cơ bản và biến độc lập. Do vậy, được xác định theo hàm ngược hình thức trình bày trong [9]. Biểu thức này được xuất phát từ định lý hàm ẩn theo hướng động học. Từ đó, khi vận tốc chọn tuỳ ý, vận tốc khớp cơ bản tính theo công thức sau: (3.33) Việc chọn có thể xác định theo hàm chuẩn , trong trường hợp này có thể biến đổi thành hàm . Cụ thể, vector vận tốc sẽ được chọn để tối ưu hàm . Do vậy ta đạo hàm hàm theo thời gian: (3.34) sau đó vector vận tốc độc lập sẽ được cho bởi: (3.35) trong đó : : hàm tiêu chuẩn, trong đồ án này ta chọn hàm như sau: , trong đó B là ma trận khối lượng quán tính được chọn tuỳ ý có dạng ma trận đường chéo kích thước : (3.36) : gọi là bước điều chỉnh. Gradient của hàm theo q Đặt , giải pháp toàn bộ không gian khớp là: (3.37) Phương trình (3.37) là cách giải bài toán động học dư dẫn động gọi là phương pháp Reduced Gradient (RG). Chú ý: Trong trường hợp ma trận có định thức bằng 0 thì cách giải quyết cũng được đưa ra như cách giải quyết đã được trình bày trong phương pháp Khalil. Dựa trên lý thuyết về phương pháp Reduced- Gradient, chúng ta xây dựng thủ tục INV_RG() để giải quyết bài toán động học ngược của Robot dư dẫn động (được trình bày ở phần phụ lục) . 3.4 ỨNG DỤNG HAI PHƯƠNG PHÁP TRÊN TÍNH TOÁN CHO CÁC ROBOT DƯ DẪN ĐỘNG CỤ THỂ 3.4.1 Robot 3 trục phẳng a, Hình vẽ và bảng thông số Denavit- Hartenberg Hình 1.3 Trục θi di ai αi 1 2 3 q1 q2 q3 0 0 0 a1 a2 a3 0 0 0 b, File dữ liệu đầu vào cho bài toán động học ngược: - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 q1 0 20 0 2 q2 0 20 0 3 q3 0 20 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=Pi/6,q2(0)=1.8803,q3(0)=-1.2164; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[10+6*sin(t),36+6*cos(t)]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=7; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.00001; - Ma trận quán tính: c, Kết quả bài toán động học ngược: Sử dụng phương pháp Khalil giải quyết theo tựa nghịch đảo: Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 3.4.2 Robott 4 trục phẳng a, Hình vẽ và bảng thông số Denavit- Hartenberg Hình 1.4 Trục θi di ai αi 1 2 3 4 q1 q2 q3 q4 0 0 0 0 a1 a2 a3 a4 0 0 0 0 b, Dữ liệu đầu vào cho bài toán động học ngược Robot - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 q1 0 15 0 2 q2 0 15 0 3 q3 0 15 0 4 q4 0 15 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=Pi/4,q2(0)=Pi/4,q3(0)=7.33712,q4(0)=-7.67822; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[3+6*sin(t),42+6*cos(t)]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=6; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.00001; - Ma trận KL quán tính: c, Kết quả: Sử dụng phương pháp Khalil giải quyết theo tựa nghịch đảo Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 3.4.3 Robot 5 khâu phẳng Hnh 1.5 a, Hình vẽ và bảng thông số DH Trục θi di ai αi 1 2 3 4 5 q1 q2 q3 q4 q5 0 0 0 0 0 a1 a2 a3 a4 a5 0 0 0 0 0 b, Dữ liệu đầu vào giải bài toán động học ngược Robot 5 trục phẳng - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 q1 0 10 0 2 q2 0 10 0 3 q3 0 10 0 4 q4 0 10 0 5 q5 0 10 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=Pi/4,q2(0)=Pi/6,q3(0)=-Pi/3,q4(0)=6.59406,q5(0)=-8.196947; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[30-2*t,15+2*t]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=6; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.00001; - Ma trận KL quán tính: c, Kết quả Sử dụng phương pháp Khalil Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 5 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 5 3.4.3 Robot PPR phẳng a, Hình vẽ và bảng thông số DH Trục θi di ai αi 1 2 3 Pi/2 Pi/2 q3 q1 q2 0 0 0 a3 Pi/2 Pi/2 0 b, File dữ liệu đầu vào cho bài toán động học ngược Robot: - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 Pi/2 q1 0 Pi/2 2 Pi/2 q2 0 Pi/2 3 q3 0 20 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=5,q2(0)=6.795,q3(0)=Pi/3; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[24+4*sin(t),6+9*cos(t)]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=6; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.02; - Ma trận KL quán tính: c, Kết quả: Sử dụng phương pháp Khalil: Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient: Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 3.4.4 Robot RRRP1 a, Hình vẽ và bảng thông số DH Trục θi di ai αi 1 2 3 4 q1 q2 q3 0 0 0 0 q4 a1 a2 a3 0 0 0 Pi 0 b, File dữ liệu đầu vào cho bài toán động học ngược: - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 q1 0 10 0 2 q2 0 10 0 3 q3 0 10 Pi 4 0 q4 0 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=0,q2(0)=1.047195,q3(0)=1.04717,q4(0)=Pi/6; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[5*sin(2*t),15+5*cos(2*t),t]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=4; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.01; - Ma trận KL quán tính: c, Kết quả bài toán động học ngược: Sử dụng phương pháp Khalil: Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 3.4.5 Robot RRRP2 a, Hình vẽ và bảng thông số DH Trục θi di ai αi 1 2 3 4 q1 q2 q3 0 d1 0 0 q4 0 a2 0 0 Pi/2 0 -Pi/2 0 b, Dữ liệu đầu vào cho bài toán động học ngược Robot - Thông số DH: khau theta d a alpha 1 q1 20 0 Pi/2 2 q2 0 20 0 3 q3 0 0 -Pi/2 4 0 q4 0 0 - Cấu hình ban đầu: dkdau:=q1(0)=Pi/6,q2(0)=1.22026,q3(0)=-1.39333,q4(0)=-5; - Quỹ đạo bàn kẹp: QuyDao:=[5+4*sin(t),-1+4*cos(t),34+t/5]; - Bước thời gian: buoc:=0.05; - Thời gian vẽ đồ thị: thoigian:=4; - Bước điều chỉnh: alpha:=0.01; - Ma trận KL quán tính: c, Kết quả bài toán động học ngược: Sử dụng phương pháp Khalil: Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 Sử dụng phương pháp Reduced- Gradient Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 1 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 2 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 3 Đồ thị tọa độ, vận tốc, gia tốc khâu 4 3.5 SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP KHALIL VÀ PHƯƠNG PHÁP REDUCED - GRADIENT - Do sử dụng các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau để đưa ra những ràng buộc khác nhau đối với các tọa độ khớp dư của bài toán động học ngược Robot dư dẫn động nên mỗi phương pháp cho ta kết quả khác nhau đối với quy luật chuyển động của mỗi khâu, tuy nhiên cả hai phương pháp đều đưa lại cho chúng ta quỹ đạo bàn kẹp là như nhau. - Trong 2 phương pháp thì khối lượng tính toán của phương pháp Reduced-Gradient ít hơn so với phương pháp Khalil hay thuật toán phương pháp Khalil phức tạp hơn phương pháp Reduced- Gradient. - Ở phương pháp Khalil do chúng ta sử dụng hàm tối ưu đối với toàn bộ vận tốc các khớp, còn phương pháp Reduced- Gradient thì chỉ tối ưu hàm H’ đối với vector vận tốc cho nên ta tìm được quy luật chuyển động của các khâu của phương pháp Khalil hợp lý hơn. 3.6 GIỚI THIỆU VỀ MAPLE VÀ CÁCH SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC ROBOT DƯ DẪN ĐỘNG 3.6.1 Giới thiệu về phần mềm Maple Maple là một phần mềm tính toán rất mạnh, ngày càng thân thiện với người sử dụng được xây dựng ở trường đại học Waterloo(Canada) từ năm 1990 hiện đang được dùng rất phổ biến ở các trường đại học và trung học trên thế giới. Maple là một môi trường tính toán số, chữ và các ứng dụng đồ họa của toán học. Do đó việc sử dụng nó không đòi hỏi người dùng phải có kỹ năng lập trình giỏi (như đòi hỏi ở một số ngôn ngữ lập trình C++, visual C++,..) mà chỉ yêu cầu họ nắm vững các kiến thức lý thuyết cơ bản. Tuy nhiên Maple cũng là một ngôn ngữ lập trình bậc cao rất mạnh và cũng dễ tiếp cận. Về lập trình tính toán nó vượt xa các ngôn ngữ lập trính thông thường khác trên cả hai phương diện: mạnh và đơn giản, bởi vì mỗi hàm của nó tương đương với cả một gói chương trình con. Maple có thể giải quyết rất nhiều vấn đề của toán học như đại số ma trận, vector, giải hệ phương trình phi tuyến tính, hệ phương trình vi phân, tích phân…cho phép chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách cực kỳ linh hoạt và phong phú. Cửa sổ làm việc chính của maple 9.0 Từ dấu nhắc lệnh ta có thể gõ bất kỳ lệnh nào của Maple 9.0 và sẽ nhận được kết quả một cách nhanh chóng. Trong Maple có hàng ngàn lệnh, tên các lệnh này mang tính rất dễ nhớ. Do đó ta không phải nhớ hàng ngàn câu lệnh đó mà chỉ cần nhấn phím F1 hoặc sử dụng ?command để tìm hiểu cú pháp từng câu lệnh. 3.6.2 Sử dụng Maple 9.0 để giải bài toán động học Robot dư dẫn động 3.6.2.1 Tính toán động học thuận cho Robot dư dẫn động Chương trình được trình bày ở phần phụ lục. Trong chương trình chúng ta sủ dụng các thủ tục sau: - BangDH(“duong dan”): nhập thông số Denavit- Hartenberg với tham số truyền vào là đường dẫn tới File chứa thông số Robot cần tính. - InTranDH(A): tính ma trận chuyển DH với tham số nhập vào ma trận chứa thông số DH - vitri(T): tính vị trí bàn kẹp với tham số truyền vào là ma trận chuyển DH T. - vantoc(p): tính vận tốc bàn kẹp với tham số truyền vào là vị trí bàn kẹp p. - giatoc(v): tính gia tốc bàn kẹp với tham số truyền vào là vận tốc bàn kẹp v. - vantocgoc(T): tính vận tốc góc bàn kẹp với tham số truyền vào là ma trận chuyển DH - giatocgoc(vg): tính gia tốc góc bàn kẹp với tham số truyền vào là vận tốc góc bàn kẹp - quydao(p): vẽ quỹ đạo chuyển động của bàn kẹp với tham số truyền vào là vi trí bàn kẹp 3.6.2.2 Chương trình tính toán động học ngược Robot dư dẫn động Chương trình chính là thủ tục hàm main( ) vời tham số truyền vào là tên phương pháp được sử dụng để tính toán động học ngược Robot dư dẫn động. Trong đó ta sử dụng các thủ tục sau: - JCB(p,q): tính ma trận Jacobi với tham số truyền vào là vị trí bàn kẹp p và ma trận tọa độ khớp q. - INV_Khalil(J,P,delta,t): giải bài toán động học ngược bằng phương pháp Khalil với tham số truyền vào là ma trận Jacobi J, quỹ đạo chuyển động của bàn kẹp P, bước và khoảng thời gian tính toán. - INV_RG(J,P,alpha,B,delta,t): giải bài toán động học ngược bằng phương pháp Reduced- Gradient với tham số truyền vào gồm có: ma trận Jacobi, quỹ đạo bàn kẹp, bước điều chỉnh, ma trận khối lượng quán tính, bước và khoảng thời gian tính toán. 2.3 Các thủ tục tính ma trận tựa ngịch đảo - MP_Inverse(A): đưa ra kết qủa ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp Moore- Penrose, tham số truyền vào chính là ma trận A. - GRE_Inverse(A): đưa ra kết qủa ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp Greville, tham số truyền vào chính là ma trận A. - KHALIL_Inverse(A): đưa ra kết qủa ma trận tựa nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp Khalil, tham số truyền vào chính là ma trận A. KẾT LUẬN Tại sao việc sử dụng Robot dư dẫn động vào trong thực tế sản xuất công nghiệp và các lĩnh vực khác ngày càng lan rộng và tăng nhanh. Điều đó được bắt nguồn từ khả năng khéo léo, linh hoạt của chúng, khả năng tránh cấu hình kỳ dị, tránh chướng ngại vật, giới hạn mômen khớp, cực tiểu động học…. Nhiều nhà khoa học bắt đầu chú ý nhiều đến lĩnh vực khoa học này . Trong đồ án bước đầu tìm hiểu về vấn đề này. * Những vấn đề đã được trình bày trong đồ án này: + Khái quát về ma trận Denavit- Hartenberg và cách thiết lập ma trận Denavit- Hartenberg là cơ sở xây dựng và viết chương trình tính toán động học thuận của Robot dư dẫn động về vị trí, vận tốc, gia tốc, vận tốc góc, gia tốc góc và vẽ được quỹ đạo chuyển động của bàn kẹp. Đồng thời nó cũng là đầu vào cho bài toán động học ngược . + Đưa ra định nghĩa ma trận tựa nghịch đảo và trình bày ba phương pháp xác định ma trận tựa nghịch đảo của ma trận bất kỳ. Nêu lên ứng dụng của các phương pháp đó trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính từ đó so sánh sự khác nhau của các phương pháp cũng như đánh giá được ưu nhược điểm của từng phương pháp. + Giải pháp chung cho bài toán động học ngược Robot dư dẫn động và trình bày cụ thể hai phương pháp tính toán động học ngược mà không cần phải tính ma trận tựa nghịch đảo của ma trận Jacobi: đó là phương pháp Khalil và Reduced- Gradient, vấn đề phát sinh trong mỗi phương pháp và cách khắc phục chúng. Giải bài toán động học ngược đối với một số Robot dư dẫn động cụ thể. So sánh hai phương pháp. Đồng thời trình bày khái quát phần mềm Maple và sử dụng nó một cách hiệu quả xây dựng chương trình tính toán động học Robot dư dẫn động. * Hướng tiếp tục phát triển của đồ án là: + Cần kết hợp với các ngôn ngữ lập trình khác (OpenGL) để có thể mô phỏng cho ta một cách nhìn trực quan về chuyển động của Robot. + Tiếp tục nghiên cứu các phương pháp khác để xác định vector z trong công thức (3.4) để thoả mãn vấn đề tránh cấu hình kỳ dị, chướng ngại vật… đồng thời tạo sự khéo léo linh hoạt hơn cho Robot. + Cần xây dựng chương trình có giao diện thuận tiện cho việc người dùng nhập các thông số tính toán cho Robot. PHỤ LỤC 1. CÁC THỦ TỤC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC THUẬN Tạo ma trận DH: DH:=proc(theta,d,a,alpha) local A; A:=matrix(4,4); A[1,1]:=cos(theta); A[1,2]:=-sin(theta)*cos(alpha); A[1,3]:=sin(theta)*sin(alpha); A[1,4]:=a*cos(theta); A[2,1]:=sin(theta); A[2,2]:=cos(theta)*cos(alpha); A[2,3]:=-cos(theta)*sin(alpha); A[2,4]:=a*sin(theta); A[3,1]:=0; A[3,2]:=sin(alpha); A[3,3]:=cos(alpha); A[3,4]:=d; A[4,1]:=0; A[4,2]:=0; A[4,3]:=0; A[4,4]:=1; return(A); end proc: Xác định ma trận chuyển Tn: TranDH:=proc(A) local i,n,temp1,temp2,temp3,temp4,tempM,T;