Giáo án Giải tích 12 nâng cao: Tích phân

ChươngIII§3 TÍCH PHÂN I. Mục tiêu: a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, -Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được của một vật. - Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong. - Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật c) Về tư duy và thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới . - Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. - Phương tiện dạy học: SGK. III. Chuẩn bị: + Chuẩn bị của giáo viên : Phiếu học tập, bảng phụ. + Chuẩn bị của học sinh : Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà. Đọc qua nội dung bài mới ở nhà. IV. Tiến trình tiết dạy : 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp. Tính : GV nhắc công thức : 3.Vào bài mới Tiết1: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong 1 Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 10’ 2o’ I/Khái niệm hình thang cong y 7 B H f(t)=t+1 3 A 1 D G C -1 x O 2 t 6 ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD -Lấy t . Khi đó diện tích hình thang AHGDbằng bao nhiêu? -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ? -Tính S(6) , S(2) ? và S? Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó. y B y= f (x) A x O a b -Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) -Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] S = S(t) = t S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm của f(t) = t+1 S(6) = 20,S(2) = 0 và S= S(6)-S(2) -Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong 1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: a) Diện tích hình thang cong -Bài toán 1: (sgk) y y=f(x) S(x) x o a x b Hình 3 KH: S(x) (a ) 2 3’ -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x(a ; b ] -Diện tích hình thang cong MNEQ? -Dựa vào hình 4 so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF *f(x) liên tục trên [ a; b ] ? - Suy ra ? *Xét điểm x[a ; b ) Tương tự ? Từ (2) và (3) suy ra gì? S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x) 0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ] SMNEQ = S(x) – S(x0) SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0) f(x0) (2) f(x0) (3) f(x0) S(x) = F(x) +C (C: là hằng số) S = S(b) – S(a) y y=f(x) F E f(x) f(x) Q P xo x x 0 a M N b Hình 4 *Xét điểm x(a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0) f(x0)<<f(x) (1) Vì f(x0) (1) f(x0)(2) *Xét điểm x[a ; b ) Tương tự:f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: f(x0) Hay S’ (x) = f(x0) Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x(a ; b ) nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là hằng số) S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) 3 7’ -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 1 -Tìm họ nguyên hàm của f(x)? -Chọn một nguyên hàm F(x) của f(x) trong họ các nguyên hàm đã tìm được ? -Tính F(1) và F(2) Diện tích cần tìm ? -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên: I = = C ( C là hằng số) Chọn F(x) = F(1) = , F(2) = S = F(2) –F(1) = GIẢI: I = = C Chọn F(x) = ( C là hằng số) F(1) = , F(2) = S = F(2) –F(1) = Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 8’ 5’ -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán 2 (sgk) +Gọi s(t) là quãng đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như thế nào? +Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập 2 +Tìm họ nguyên hàm của f(t)? +Lấy một nguyên hàm của F(t) của f(t) trong họ các nguyên hàm đã tìm được +Tính F(20) và F(50)? +Quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 =20 đến t2=50 liên hệ như thế nào với F(20) và F(50) -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên I = F(t) = F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m) b, Quãng đường đi đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk) CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) GIẢI: I = F(t) = F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m) 4 Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 7’ 5’ 15’ -Giáo viên nêu định nghĩa tích phân (sgk) -Giáo viên nhấn mạnh. Trong trường hợp a < b, ta gọi là tích phân của f trên đoạn [a ; b ]. Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: -Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm của f(x) -Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1 bất kì trong họ các nguyên hàm đó. -Tính F1(a), F1(b)? -Tính ? -Nhận xét kết quả thu được -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a). -Hãy dùng kí hiệu này để viết -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 3 Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Giả sử: F(x) = = g(x)+C Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì F1(a) = g(a)+C1 F1(b) = g(b)+C1 = [g(b)+C1]-[g(a)+C1] = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn C1 đpcm Học sinh tiếp thu , ghi nhớ Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: = F(x)| Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên: 5 2/Khái niệm tích phân Định nghĩa: (sgk) Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì : = F(x)| 5’ a) -Tìm nguyên hàm của 2x? -Thay các cận vào nguyên hàm trên b) -Tìm nguyên hàm của sinx? -Thay các cận vào nguyên hàm trên c) -Tìm nguyên hàm của ? -Thay các cận vào nguyên hàm trên d) -Tìm nguyên hàm của ? -Thay các cận vào nguyên hàm trên +Với định nghĩa tích phân như trên, kết quả thu được ở bài toán 1 được phát biểu lại như thế nào? -Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa ra nội dung của định lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là: S = -Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời H3. -Theo kết quả của bài toán 2. quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b được tính như thế nào? -Dựa vào định nghĩa tích phân hãy viết lại kết quả thu được? a) = x2| = 25 – 1 = 24 b) = - cosx |=- (0 -1) =1 c)= tanx|= d)= ln|x||= ln4 – ln2 =ln = ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời. Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên: Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân = F(b) –F(a) L = (đpcm) Giải: a) = x2| = 25 – 1 = 24 b) = - cosx |=- (0 -1) =1 c)= tanx|= d)= ln|x||= ln4 – ln2 =ln = ln2 ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là: S = Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân = F(b) –F(a) L = (đpcm) 6 Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân; Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 15’ -Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk) -Giáo viên định hướng học sinh chứng minh các tính chất trên: Giả sử F là một nguyên hàm của f, G là một nguyên hàm của g . 1) = 0 -Nguyên hàm của f(x) ? -Thay các cận vào nguyên hàmtrên? 2) = - = ? = ? 3) + = = ? = ? = ? 4) F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x) nguyên hàm của f(x) + g(x) =? + = ? Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên = F(x)|= F(a) – F(a) = 0 = F(x)|= F(b) – F(a) = F(x)|= F(a) – F(b) = - + =F(x)|+F(x)|=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) = F(x)|= F(c) – F(a) + = 4) = = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) + = F(x)|+G(x)| = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) 3 Tính chất của tích phân ĐỊNH LÍ2: (sgk) CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5) 1)= F(x)|=F(a) – F(a)= 0 2)= F(x)|= F(b) – F(a) = F(x)|= F(a) – F(b) = - 3) + =F(x)|+F(x)|=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) = F(x)|= F(c) – F(a) + = 4) = = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) + = F(x)|+G(x)| = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) 7 25’ 5) F(x) là nguyên hàm của f(x) nguyên hàm của kf(x)? =? =? Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 4 Biểu thức của tính chất 4? Áp dụng tính chất này tính tích phân trên? Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]? Áp dụng tính chất 3 tính tích phân trên? 5) = =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] = kF(x)=k[F(b) – F(a)] = Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên I = = = - cos2x |- sinx | = -(cos - cos0 ) - sin-sin0 = 0 J= = + = [-]+[] = 1 5) = =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] = kF(x)=k[F(b) – F(a)] = I = = = - cos2x |- sinx | = -(cos - cos0 ) - sin-sin0 = 0 J= = + = [-]+[] = 1 IV. CỦNG CỐ:5’ - Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. - Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong. - Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân. - Trả lời câu hỏi H5. V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ: -Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. -Học thuộc các tính chất của tích phân. - Giải bài tập sách giáo khoa - Bài tập làm thêm: 1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳng x =2 . 2) Tính : I = . 8 VI. PHỤ LỤC Phiếu học tập số 1 Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2 Phiếu học tập số 2 Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật đi được trong khoange thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s? Phiếu học tập số 3 Tính giá trị các tích phân sau: a) b) c) d) Phiếu học tập số 4 Tính các tích phân sau: I= , J= 9