Giáo án Toán khối 12 - Chuyên đề Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

t khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) LG: . 2)1( 1 '    x y .(C ) có giao 2 tiệm cận là: I(-1; 1) . Giả sử M(x0; 1 2 0 0   x x ) thuộc (C) ( 10 x ), tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình: 0)2)(1()1( 1 2 )( )1( 1 00 2 0 0 0 02 0        xxyxx x x xx x y (d) . Khoảng cách từ M đến (d): d(M; d)= 2 02 0 4 0 0 4 0 2 00 0 02 00 )1( )1( 1 2 )1(1 12 )1(1 )2)(1( 1 2 )1(            x x x x x xx x x xx Mà: 2 2 2 );(1,2)1( )1( 1 0 2 02 0   dMdxx x CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 13 Dấu = xảy ra         2 0 1)1()1( )1( 1 0 04 0 2 02 0 x x xx x Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max = 2 . 4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C). Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu. Gọi )( là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. Tìm điểm cố định mà )( luôn đi qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I( ) 4 11 ; 2 1 đến đường thẳng )( . LG: . y'=3x 2 -6x+m y'=0  3x2 -6x+m= 0 (1) . Hàm số có CĐ, CT  (1) có 2 nghiệm phân biệt 3039'  mm (*) . Với m t/m (*), (1) có 2 nghiệm: x1; x2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu là: A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2)) . Lấy y chia cho y' được: y=y'. 1 3 2 3 2 3 1         m x mx =>                      1 3 2 3 2 )( 1 3 2 3 2 )( 22 11 m x m xy m x m xy Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y= 0)633()12(1 3 2 3 2        xyxm m x m )( . Giả sử )( đi qua M(x0; y0) cố định                 2 2 1 0633 012 3,0)633()12( 0 0 00 0 000 y x xy x mxyxm Vậy )( đi qua điểm cố định M( )2; 2 1 có vtcp )2 3 2 ;1(  m u 4 5 ) 4 3 ;1(    IMIM N/ x: d(I; )( ) IM. Dấu = xảy ra 10)2 3 2 ( 4 3 10.   m m uIMIM Hay d(I; )( )max = IM= 5/4 khi m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1. * N/x: 1- Với bài toán dạng 4, nếu không phát hiện điểm cố định M mà )( luôn đi qua, ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có: d(I; )( )= )( 2 3 2 1 4 11 3 2 2 3 2 1 4 11 3 2 22 mf m m m m                   Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận f(m) 3),1(  mf hay d(I; )( )max= f(1)= 5/4 khi m=1. CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 14 2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng )( thay đổi biết )( luôn đi qua điểm cố định M: + d(I; )( ) IM + d(I; )( )max= IM khi M là hình chiếu của I lên )( hay 0. uIM 5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số dcx bax y    , edx cbxax y    2 đến 2 tiệm cận. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 1 3 x y x    (C). Tìm điểm M trên (C) có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất LG: . Giả sử M( 3),() 3 12 ; 0 0 0 0    xC x x x . (C) có TCĐ: (d1): x-3=0 TCN: (d2): y-2=0 . Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là: d= 72 3 7 .3.2 3 7 32 3 12 3 0 0 0 0 0 0 0         x x x x x x x Dấu = xảy ra khi            7273 7273 73 3 7 3 00 002 0 0 0 yx yx x x x * Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1( )72;73  ; : M2( )72;73  ; * Bài tập tự luyện 1. Cho hàm số  3 23 3 3 2 my x mx x m C     . Tìm m để  mC có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất. 2. Cho hàm số   2 2 : 1 x C y x    . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3. Cho hàm số   2 1 : 1 x x C y x     . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất. 4. Cho hàm số: 2 1 1 x y x    (C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bằng 4 5. Cho hàm số 2 4 3 2 x x y x      (C). CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận là số không đổi. 6. Cho hàm số   2 2 : 1 x C y x    . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. 7. (HVKTQS-2000): Cho hàm số: 2 4 5 2 x x y x     (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ nhất. 8. Cho hàm số   2 2 1 : 1 x x C y x     . CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 15 a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. 9. (ĐH KhốiA 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: 1 y mx x   (*) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1 4 . b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng 1 2 . 10. Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y=x4+mx2+6- 2 2m có 3 điểm cực trị A, B,C (trong đó A thuộc Oy) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành. DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ * Kiến thức cơ bản: 1. Cho 2 đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x). Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x). 2. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m. 3. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành. Đối với hàm bậc 3 : f(x) = ax3 + bx2 +cx+d, một số dạng thường gặp : - Cắt trục hoành tại điểm duy nhất           0. )( )( CTCD yy tricuchaicoxf tricuccokhongxf - Cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt      0 )( . CTCD yy tricuchaicoxf - Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt      0 )( . CTCD yy tricuchaicoxf - Cắt trục hoành tại 3 điểm tạo thành cấp số cộng: a b xxx   321 - Cắt trục hoành tại 3 điểm tạo thành cấp số nhân: a d xxx  321 Chú ý: Công thức Vi-et cho hàm bậc ba.             a d xxx a c xxxxxx a b xxx 321 313221 321 Đối với hàm trùng phƣơng - Cắt trục hoành tại 4 điểm tạo cấp số cộng: t2 = 9t1 Chú ý: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =f(x) trên đoạn [a,b]: - Tìm giá trị cực đại, cực tiểu f(x) trên [a,b] - Tìm f(a), f(b) CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 16 - Giá trị lớn nhất f(x) = )(max ],[ xf bax , giá trị nhỏ nhất f(x) = )(min ],[ xf bax Bài toán về biện luận: + f(x) = m có nghiệm  GTNN f(x)  m  GTLN f(x) + f(x)  m có nghiệm  m  GTLN f(x) + f(x)  m đúng với mọi x  m  GTNN f(x) + f(x)  m có nghiệm  m  GTNN f(x) + f(x)  m nghiệm đúng mọi x  m  GTLN f(x) Các dạng toán biện luận số nghiệm f(x) = m cần chú ý về cách vẽ đồ thị hàm chứa trị tuyệt đối Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số )(xfy  như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox + Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox (Đồ thị hàm số )(xfy  luôn nằm trên trục hoành ) 2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số  xfy  như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy (Đồ thị hàm số chẵn  xfy  luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng ) 3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số )(xfy  như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox (Đồ thị hàm số )(xfy  luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng 4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = )()( xvxu như sau: Ta viết:       0u(x) khi )().( 0u(x) khi )().( )()( xvxu xvxu xvxuy + Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)  0) + Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0) y = f(x) có đồ thị (C)  y f x có đồ thị (C’)  y f x có đồ thị (C “)   0,y f x x D    . Do đó ta phải giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.  y f x có    f x f x  , x D  nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 17 f(x)=x^3-2x^2-0.5 x y (C) f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5 x y (C') f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 x y (C'') 1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm m để phương trình: 2 3 3 1 x x m x     (1) có 4 nghiệm phân biệt. LG: a. Vẽ đồ thị (C) f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C'): y= 1 332   x xx Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C') và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có: (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3 Ví dụ 2: Cho hàm số   24 : 1 x x C y x    . a. Khảo sát hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  2 4 0x m x m    (2) CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 18 f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x y LG: (2) m x xx     1 4 2 . Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C'): y= 1 4 2   x xx và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt + Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt 2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phƣơng trình Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): 1 x y x   tại 2 điểm phân biệt. LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 1,0)2()( 1 2   xmxmxxfmx x x (1) . (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 01)1( 0)2( 2        m f m * Đ/s: Giá trị m cần tìm: m -2. 3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt *PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0  x3 -3x2-9x=-m . Xét hàm số y=x3 -3x2-9x có: + y'=3x 2 -6x-9 =3( x 2 -2x-3) +y'=0 x=-1 hoặc x=3 + BBT: X - -1 3 + + y' + 0 - 0 + Y 5 + -27 - Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 275527  mm * PP2: Đƣa về pt: (x- x0 ).g(x)=0 CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 19 Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3 thoả mãn: x1 2 + x2 2 + x3 2 <4 LG: . phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3-2x2+ (1-m)x+m =0 (1)  (x-1)(x2 -x-m)=0       0 1 2 mxx x (d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  pt: f(x)=x2 -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác1               0 4 1 0)1( 041 m m mf m (*) . Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x1, x2 ,x3=1. do đó x1 2 + x2 2 + x3 2 <4 132132)( 21 2 21  mmxxxx (**) . kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m 0. 4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0(1) =>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3(Viet) => x2 =1 . Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11 <=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 121;1;121  * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11. * Bài tập tự luyện: 1. Cho hàm số   2 1 1 x y x    có đồ thị là (C). a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  2 2 1 0x m x m     . 2. Cho hàm số 3 2 4y x kx   . a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3. b. Tìm các giá trị của k để phương trình 3 2 4 0x kx   có nghiệm duy nhất. 3. (ĐH KhốiD 2006): Cho hàm số 3 3 2y x x   . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. 15 , 24 4 m m  . 4. (ĐH KhốiA 2004): Cho hàm số   2 3 3 2 1 x x y x      (1) a. Khảo sát hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. ĐS: b. 1 5 2 m   . CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 20 5. (ĐH KhốiA 2003): Cho hàm số 2 1 mx x m y x     (*) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. ĐS: b. 1 0 2 m   . 6. (ĐH KhốiA 2002): Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 7. Tìm m để đồ thị hàm số y =  x3 - 3mx2 + 2m(m 4)x + 9 m2 -m cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng. 8. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thành cấp số cộng . 9. (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3(2m+1)x2 + 6mx + 1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 10. (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 1 x 3 - x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ 1. Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua Phƣơng pháp: Từ hàm số  ,y f x m ta đưa về dạng    , ,F x y mG x y . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình     , 0 , 0 F x y G x y     . Ví dụ 1: Cho hàm số    3 23 1 3 2 my x m x mx C     . Chứng minh rằng  mC luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. LG: . Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m  y0= x0 3 -3(m-1)x0 2 -3mx0+2, mọi m  (3x0 2 +3x0)m+y0-x0 3 -3x0-2=0, mọi m                          4 1 2 0 023xx- 033 0 0 0 0 0 3 00 0 2 0 y x y x y xx Vậy  mC luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4) * Bài tập tự luyện: CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 21 1. Cho hàm số    22 6 4 : 2 m x m x C y mx      . Chứng minh rằng đồ thị  mC luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. 2. Cho hàm số      4 2: 1 2 3 1mC y m x mx m     . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 3. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số        3 23 3 3 6 1 1 my m x m x m x m C        luôn đi qua ba điểm cố định. 2. Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị - Điểm  0 0;I x y là tâm đối xứng của đồ thị    :C y f x  Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:     0 0 ' 2 ' 2 x x x f x f x y          0 0 0 ' 2 2 2 x x x f x f x x y        Vậy  0 0;I x y là tâm đối xứng của (C)     0 02 2f x y f x x   . Cách 2 : Chuyển sang hệ trục tọa độ mới với IXY, trong đó f(X) là hàm lẻ Chú ý : f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm chẵn f (-x) = -f(x) thì f(x) là hàm lẻ - Tìm điểm đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : y =ax+b o Gọi M(x,y) là điểm thuộc C o Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc (d) cắt (C ) tại M’(x’,y’) o Trung điểm I của MM’ nằm trên (d) - Chứng minh đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y =ax+b o Gọi M(x,y) là điểm bất kỳ trên (C ) o Tìm M’(x’,y’) đối xứng M qua (d) o Chứng minh M’ thuộc (C ) Ví dụ 2 (ĐH Khối D2008): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lời giải: .d : y  2 = k(x  1)  y = kx  k + 2. .Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2 + 4 = kx  k + 2  x3  3x2  kx + k + 2 = 0.  (x  1)(x2  2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x2  2x  k  2 = 0. Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!. * Bài tập tự luyện: 1. Cho hàm số 22 2 2 2 3 x x m y x      có đồ thị  mC . Tìm giá trị của m để  mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 2. Cho hàm số   2 2 22 : 1 m x m x m C y x     . Định m để  mC có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 3. Cho hàm số  3 23 1y x x m   (m là tham số). a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. ĐS:a.    0 0 0, 0f x f x x      m>0. CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 22 4. Cho hàm số 3 2 113 3 3 x y x x     có đồ thị  C . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung. 5. Cho hàm số  3 2 1y x ax bx c    . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1). 3. Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số 1 2    x x y (C) các điểm có toạ độ là các số nguyên. LG: . Giả sử M( 1),() 1 2 ; 0 0 0 0    xC x x x là điểm có tọa độ là các số nguyên . Vì Z xx x y       1 1 1 1 2 00 0 0 nên           02 20 11 11 00 00 0 0 yx yx x x Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(0; 2) và M2(-2;0) DẠNG 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG TRONG HAM SỐ Kiến thức cơ sở Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy là trục đối xứng của nó . 2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Cho hai điểm    1 1 2 2; ; ;A x y B x y và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : 2 1 AB 2 1 . 1 ; i:k êm I d AB dk k y y vo Trungdi x x       4. Cho điểm I( 0 0; )x y . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : 0 0 x x X y y y      Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0) B. GHI NHỚ : - Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số . 1. Dạng 1. Chứng minh đồ thị có trục đối xứng * Cách 1. - Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0x x . Gọi điểm  0;0I x - Chuyển     0Oxy IXYOI x x X y Y       - Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 ) - Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm . * Cách 2. Nếu với 0x x là trục đối xứng thì : f(  0 0)x x f x x   đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả . CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 23 Ví dụ 1. Cho hàm số  4 3 24 7 6 4y x x x x C     . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? ) LG - Giả sử đường thẳng x= 0x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x - Chuyển :     0Oxy IXYOI x x X y Y       - Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :                 4 3 2 0 0 0 0 4 3 2 2 3 2 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 7 6 4 4 4 6 5 4 5 7 6 4 7 6 4 Y x x x x x x x x Y X x X x x X x x x X x x x x                         - Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không : 0 3 2 0 0 0 0 4 3 2 0 0 0 0 4 4 0 4 5 7 6 0 1 4 7 6 4 0 x x x x x x x x x                 Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1. Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số :  4 3 24 my x x mx C   có trục đối xứng song song với trục Oy. LG - Giả sử đường thẳng x= 0x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x - Chuyển :     0Oxy IXYOI x x X y Y       - Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :      4 3 2 2 3 2 4 3 20 0 0 0 0 0 0 0 04 4 6 3 4 12 2 4Y X x X x x m X x x mx X x x mx            - Để là hàm số chẵn thì :  0 0 3 2 0 0 0 4 1 0 1 44 12 2 0 x x mx mx            2. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. CÁCH GIẢI Ta cũng có hai cách giải Cách 1. - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là  0 0;I x y - Chuyển :     0 0 Oxy IXYOI x x X y y Y        - Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả . Cách 2. Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì : 0 0 0( ) ( ) 2f x x f x x y    với mọi x CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 24 Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : 2 1 x y x   a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó . LG a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I  0 0;I x y - Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1 1 1 y x x     - Chuyển :     0 0 Oxy IXYOI x x X y y Y        - Phương trình (C) trong hệ mới là :         0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Y y x X x X Y X x y X x                - Để hàm số là lẻ :  0 0 0 0 0 1 0 1 1;2 1 0 2 x y x I x y             Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2). Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số   1 x y C x   a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) LG a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Hàm số viết lại : 1 1 1 y x    - Giả sử (C) có tâm đối xứng là  0 0;I x y - Chuyển :     0 0 Oxy IXYOI x x X y y Y        - Phương trình (C) trong hệ mới là :     0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Y y x X Y y X x             - Để hàm số là lẻ :  0 0 0 0 1 0 1 1;1 1 0 1 y x I x y              Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C). 3. Tìm tham số m để ( )mC : y=f(x;m) nhận điểm I( 0 0; )x y là tâm đối xứng . Hƣớng giải quyết 1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b) CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ vansanh.math@gmail.com 25 - Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0 0 a x m b y    2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba . - Tìm tọa độ điểm uốn :   ''( ; ) 0 ; ( ; ) y x m x a J a b y f x m y b           - Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 0 0 a x m b y    Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số   3 23